初三数学一元二次方程公式法和因式分解法
上册一元二次方程的解法——因式分解法人教版九年级数学全一册完美课件
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6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
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7学习这篇课文，应该重点引导学生运 用探究 式的学 习方式 ，注意 激发学 生了解 植物知 识、探 究大自 然奥秘 的兴趣 ，把向 书本学 习和向 大自然 学习结 合起来 ，引导 学生养 成留心 身边的 事物、 认真观 察的好 习惯。
第二十一章 一元二次
方程
第5课时 一元二次方程的解法 (4)
——因式分解法
学习目标
1.了解因式分解法的概念． 2．掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次” 的数学思想方法.
知识要点
知识点一：回顾因式分解的概念
(1)提公因式法 ma＋mb＝ m(a＋b) ； (a＋b)m＋(a＋b)n＝ (a＋b)(m＋n)． (2)公式法 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ (a±b)2； 平方差公式：a2－b2＝ (a＋b)(a－b).
知识点三：用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)把方程右边整理为0； (2)把方程左边进行因式分解； (3)解两个一元一次方程．
上册第21章 第5课时 一元二次方程的解法(4)——因式分 解法-2 020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共18 张PPT)
上册第21章 第5课时 一元二次方程的解法(4)——因式分 解法-2 020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共18 张PPT)
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人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法探求点1 用因式分解法解一元二次方程情形激疑直接开平方法解方程比拟复杂,配方法、公式法十分费事，运算量较大，有没有复杂的解一元二次方程的方法呢?知识解说(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是应用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法。
因式分解法就是先把方程的左边化为0,再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的方式,那么这两个因式的值就都有能够为0,这就能失掉两个一元一次方程,这两个一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,这样也就把原方程停止了次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的效果了(数学转化思想)。
(2)因式分解法解一元二次方程的普通步骤：①移项,使方程的左边为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式区分为零,失掉两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。
留意 运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的方式,左边一定要化为0,否那么求得的解是错误的。
如:把方程化为(x+3)(x-2)=5,那么x+3=0,或x-2=0得原方程的解为2,321=-=x x 是错误的。
典例剖析例1 用因式分解法解方程:(1)4x2=11x；(2)(x-2)2=2x-4.解析(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4,提取因式-2,即—2(x-2),再提取公因式x-2,便可到达分解因式的目的,一边为两个一次式的乘积,另一边为0的方式。
答案 (1)移项,得4x2-11x=0.因式分解,得x(4x-11)=0于是,得x=0,或4x-11=0,(2)移项,得(x-2)2-2x+4=0,(x-2)2-2(x-2)=0因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.整理,得(x-2)(x-4)=0于是,得x-2=0,或x-4=0,规律总结用因式分解法解一元二次方程的普通步骤:一移(方程的左边为0);二分(将方程左边停止因式分解);三化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程);四写(写出原方程的解)。
九年级数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版知识精讲
初三数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：用因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．体会解决问题方法的多样性．二. 知识要点： 1. 因式分解法解方程x 2－x ＝0．方程左边x 2－x 可以分解因式：x 2－x ＝x （x －1），于是： x ＝0或x －1＝0．所以x 1＝0，x 2＝1． 上述解法过程中，不是不用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法． 2. 因式分解法解一元二次方程的主要步骤： （1）将方程化成右边等于0的形式；（2）将方程左边分解因式（两个一次因式的积），方程化成（ax ＋m ）（bx ＋n ）＝0的形式；（3）由ax ＋m ＝0或bx ＋n ＝0得出方程的根．3. 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的对比形如x 2＝a （a ≥0）或（ax ＋b ）2＝c （c ≥0）的用直接开方法解．因为一元二次方程的求根公式是由配方法推导出来的，对一般形式的一元二次方程一般不用配方法求根，可考虑因式分解法或公式法．三. 重点难点：因式分解法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了“降次”的思想，这种思想不但是本节的重点，而且在以后处理其他方程时也是非常重要的．【典型例题】例1. 用因式分解法解下列方程：（1）5x 2＋3x ＝0；（2）7x （3－x ）＝4（x －3）；（3）9（x －2）2＝4（x ＋1）2． 分析：（1）左边＝x （5x ＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x （3－x ）－4（x －3）＝0，找出（3－x ）与（x －3）的关系；（3）应用平方差公式．解：（1）因式分解，得x （5x ＋3）＝0， 于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35；（2）原方程化为7x （3－x ）－4（x －3）＝0， 因式分解，得（x －3）（－7x －4）＝0， 于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47；（3）原方程化为9（x －2）2－4（x ＋1）2＝0， 因式分解，得[3（x －2）＋2（x ＋1）][3（x －2）－2（x ＋1）]＝0， 即（5x －4）（x －8）＝0， 于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8．评析：（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．例2. 选择合适的方法解下列方程．（1）2x 2－5x ＋2＝0； （2）（1－x ）（x ＋4）＝（x －1）（1－2x ）；（3）3（x －2）2＝x 2－2x ． 分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1－x ）与（x －1）的关系用因式分解法；（3）题中x 2－2x ＝x ·（x －2）用因式分解法．解：（1）a ＝2，b ＝－5，c ＝2， b 2－4ac ＝（－5）2－4×2×2＝9＞0， x ＝－（－5）±92×2＝5±34，x 1＝2，x 2＝12；（2）原方程化为（1－x ）（x ＋4）＋（1－x ）（1－2x ）＝0， 因式分解，得（1－x ）（5－x ）＝0， 即（x －1）（x －5）＝0， x －1＝0或x －5＝0， x 1＝1，x 2＝5；（3）原方程变形为3（x －2）2－x （x －2）＝0， 因式分解，得（x －2）（2x －6）＝0， x －2＝0或2x －6＝0， x 1＝2，x 2＝3． 评析：（1）解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑公式法，而配方法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．例3. 已知（a 2＋b 2）2－（a 2＋b 2）－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把（a 2＋b 2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a 2＋b 2）为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0．a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×（－6）×1＝25＞0， x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2．即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2， ∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3．评析：（1）本题求的是a 2＋b 2，而题中条件是关于a 2＋b 2的，把a 2＋b 2看成一个整体是一个朴素的数学思想，能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．（2）根据非负数的性质有a 2＋b 2≥0，在做题时要注意隐含条件．例4. （1）当代数式x 2＋7x ＋6的值与x ＋1的值相同时，x 的值为多少？（2）方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为几？分析：（1）两个代数式值相等，即x 2＋7x ＋6＝x ＋1，解这个方程可得x 的值；（2）先解出方程的两个根再看其中的正整数根．解：（1）x 2＋7x ＋6＝x ＋1， x 2＋6x ＋5＝0，a ＝1，b ＝6，c ＝5，b 2－4ac ＝16＞0．所以x ＝－6±162，x 1＝－1，x 2＝－5，所以x 的值为－1或－5．（2）解方程x 2＋2x －8＝0， a ＝1，b ＝2，c ＝－8，b 2－4ac ＝22－4×1×（－8）＝36＞0， x ＝－2±362＝－1±3， x 1＝2，x 2＝－4．所以方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为2．评析：（1）题中涉及代数式的值的问题，实质上方程就是表示含有未知数的两个代数式的值相等的式子；（2）题中方程用了公式法，用因式分解法也很方便．例5. 用一根长40cm 的铁丝围成一个面积为91cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？分析：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由相等关系长×宽＝面积列出方程．解：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由矩形面积等于91cm 2，得x ·（402－x ）＝91，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13．当x ＝7cm 时，402－x ＝20－7＝13（cm ）（舍去）；当x ＝13cm 时，402－x ＝20－13＝7（cm ）．当围成正方形时，它的边长为404＝10（cm ），面积为102＝100（cm 2）．答：矩形的长为13cm ，若围成正方形，则这个正方形的面积为100cm 2．评析：有一些几何面积问题用到一元二次方程，解这类题时要注意一些条件，如习惯上矩形中较长的边称为长，而较短的边称为宽，故本题中取长为13cm ，宽为7cm 较合适．例6. 解方程2（12－x ）2－（x －12）－1＝0．分析：因为（12－x ）2＝（x －12）2，如果把（x －12）看成一个整体，并设x －12＝y ，则原方程化为2y 2－y －1＝0，先求出y 的值，再反过来求x 的值． 解：设x －12＝y ，原方程化为2y 2－y －1＝0，a ＝2，b ＝－1，c ＝－1，b 2－4ac ＝9＞0，y ＝－（－1）±92×2＝1±34．y 1＝1，y 2＝－12．当y ＝1时，x －12＝1，x ＝32；当y ＝－12时，x －12＝－12，x ＝0．所以原方程的解是x 1＝32，x 2＝0．评析：本题如果化成一般形式再求解可能要麻烦些，这里使用了把x －12设为y 的做法，回避了很多计算，这种方法叫做换元法．【方法总结】1. 对某些方程而言因式分解法比较快捷，一般选择方法时应先考虑因式分解法，不适合因式分解法的再考虑其它方法．2. 注意体验类比、转化、降次的数学思想方法．解一元一次方程的基本思路是整理后把未知数的系数化成1；解一元二次方程的基本思路是通过开平方或因式分解把一元二次方程降次、转化成一元一次方程．【预习导学案】（实际问题与一元二次方程） 一. 预习前知1. 两个数的差等于3，积等于18，则这两个数是__________．2. 三个连奇数的平方和等于155，则这三个数是__________．3. 矩形的长比宽大4厘米，面积等于60厘米2，则它的周长为__________．4. 经实验，某物体运动规律满足等式s ＝40t －5t 2，问t ＝__________时，s ＝60． 二. 预习导学1. 两个数的和为2，且积为－15，那么求其中一个数x ，列方程为（ ）A ．x 2－2x －15＝0B ．x 2＋2x ＋15＝0C ．x 2－2x ＋15＝0D ．x 2＋2x －15＝02. 某厂2008年总产值达1493万元，比2007年增长11.8%，下列说法： ①2007年总产值为1493（1－11.8%）万元； ②2007年总产值为1493÷（1－11.8%）万元； ③2007年总产值为1493÷（1＋11.8%）万元；④若按11.8%的年增长率计算，2010年总产值预计为1493（1＋11.8%）万元．其中正确的是（ ） A ．③④ B ．②④ C ．①④ D ．①②③3. 在一块长12m ，宽10m 的长方形平地中央划出一块地，砌成面积为48m 2的长方形花台，使花台四周的空地的宽度一样，①则花台面积占长方形平地面积的__________；②空地面积与花台面积的比是__________；③如果求花台四周空地的宽度x ，则所列方程为__________． 反思：（1）列一元二次方程解实际问题的一般步骤是怎样的？（2）用一元二次方程解实际问题应该注意什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 方程x （x －1）＝0的根是（ ） A. 0 B. 1 C. 0，－1 D. 0，12. 方程9（x ＋1）2－4（x －1）2＝0的正确解法是（ ） A. 直接开方得3（x ＋1）＝2（x －1）B. 化为一般形式13x 2＋5＝0C. 分解因式得[3（x ＋1）＋2（x －1）][3（x ＋1）－2（x －1）]＝0D. 直接得x ＋1＝0或x －1＝03. 解方程（5x －1）2＝3（5x －1）的适当方法是（ ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 4. 若实数x 、y 满足（x ＋y ＋2）（x ＋y －1）＝0，则x ＋y 的值为（ ） A. 1 B. －2 C. 2或－1 D. －2或1 5. 方程3x （x －2）＝0的解是（ ）A. x 1＝3，x 2＝2B. x 1＝0，x 2＝2C. x 1＝13，x 2＝2 D. x 1＝0，x 2＝－2*6. 若a 使得x 2＋4x ＋a ＝（x ＋2）2－1成立，则a 的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2*7. 如果x 2＋x －1＝0，那么代数式x 3＋2x 2－7的值是（ ） A. 6 B. 8 C. －6 D. －8 **8. 已知（x ＋y ）（1－x －y ）＋6＝0，则x ＋y 的值为（ ） A. 2 B. －3 C. －2或3 D. 2或－3二. 填空题1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是__________． 2. 方程（x －1）（x ＋2）＝2（x ＋2）的根是__________． *3. 方程 （x －1）（x ＋2）（x －3）＝0的根是__________． 4. 方程x （2x －1）＝3（2x －1）的根是__________．*5. 使代数式x 2＋x －2的值为0的x 的值是__________．6. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__________．**7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x 2－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是__________．*8. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，若b ＝a ＋c ，则这个方程必有一根为__________．三. 解答题1. 用因式分解法解下列方程：（1）（x －2）2－9＝0；（2）3y 2＋y ＝0；（3）2x （3x ＋2）＝9x ＋6；（4）（3x －1）2＝4（x ＋2）2．2. 用适当的方法解下列方程：（1）（5－8x ）2＝2；（2）x 2＋8x ＝20；（3）3x 2＋2x －3＝0；（4）（x －1）（x ＋2）＝70．3. 试求使代数式（x －7）（x ＋3）的值比（x ＋5）大10的x 的值．4. 审查下面解方程（x －1）2＝2（x －1）的过程回答问题． 方程两边都除以（x －1）得x －1＝2， ∴x ＝3．上述过程对不对，为什么？*5. 直角三角形的三边长是三个连续整数，求这个直角三角形的斜边的长．试题答案一. 选择题1. D2. C3. D4. D5. B6. C7. C8. C二. 填空题1. x 1＝0，x 2＝22. x 1＝－2，x 2＝33. x 1＝1，x 2＝－2，x 3＝34. x 1＝12，x 2＝3 5. x 1＝－2，x 2＝1 6. 0或72 7. 24 提示：方程的解为2或10，当x ＝2时，与另两边8和6不能组成三角形应舍去．所以x ＝10，三角形周长为24． 8. x ＝－1三. 解答题1. （1）x 1＝－1，x 2＝5；（2）y 1＝0，y 2＝－33；（3）x 1＝32，x 2＝－23；（4）x 1＝5，x 2＝－35． 2. （1）x 1＝5－28，x 2＝5＋28；（2）x 1＝2，x 2＝－10；（3）x 1＝－1＋103，x 2＝；（4）x 1＝8，x 2＝－9．3. 根据题意（x －7）（x ＋3）－（x ＋5）＝10，解得x 1＝9，x 2＝－4．4. 不对．当x －1＝0时，原方程成立，此时x ＝1；当x －1≠0时，两边同除以x －1得x －1＝2．即x ＝3．所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝3．5. 设斜边长为x ，则两直角边分别为x －2，x －1．根据题意可得（x －2）2＋（x －1）2＝x 2，解得x 1＝1，x 2＝5．当x ＝1时x －2＝－1，x －1＝0，不符合题意舍去；当x ＝5时x －2＝3，x －1＝4，所以三角形的斜边长为5．。
初三数学因式分解法解一元二次方程--
参考答案：
4.2( x 3)2 x 2 9;
5.5( x x) 3( x x); 2 2 6.(x 2) 2x 3 ; 7.(x 2)x 3 12; 8.x 2 5 2 x 8 0.
2 2
5.x1 0; x2 4. 1 6.x1 5; x2 . 3 7.x1 1, x2 6. 8.x1 4 2; x2 2.
小颖是这样解的 :
解 : x 2 3x 0.
3 9 x . 2
小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去x, 得. x 3.
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
这个数是3.
小明做得对吗?
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
风向标
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学习目标
了解分解因式法解一元二次 方程的概念,并会用分解因式法 解某些一元二次方程.
自学
指导
认真思考下面大屏幕出示的问题, 列出一元二次方程并尽可能用多 种方法求解.
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
• 1.解下列方程:
争先赛
1. x 2x - 4 0, 2.4x2x 1 32x 1. 解 :1 . x 2 0, 或x - 4 0.
初中数学 一元二次方程解法全攻略
一元二次方程解法全攻略解一元二次方程有四种基本方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.四种解法各有千秋,因题而异.针对方程特点灵活选择是提高解一元二次方程能力的基本保证.现对各种解法作一小结,供同学们学习时参考.一、直接开平方法一边是关于某个未知数的完全平方式,另一边是非负数的形式.符合这一特征的方程都可以用直接开平方法.直接开平方法的一般步骤为:⑴将方程化为()02≥=a a x 或()()02≥=+c c b ax 形式; ⑵两边平方,得a x ±=或.a c b x ±-=例1 ⑴方程()412=-x 的解为 .⑵一元二次方程(2x －1)2＝(3－x)2的解是__________________．分析:⑴由于方程的左边是一个完全平方式,右边是一个非负数,故选用直接开平方法是最简单的解法.两边直接开平方得,21±=-x 解之得.1,321-==x x⑵本题考查一元二次方程的解法,利用直接开平方法可得:()x x -±=-312,解得.2,3421-==x x 也可以展开后变成一元二次方程的一般形式后用公式法来解,或移项后适合平方差公式应用因式分解法来解.评注:直接开平方法实际是求一个数平方根的运算.应用直接开平方法来解一元二次方程的关键是将方程化为()02≥=a a x 或()()02≥=+c c b ax 的形式,特别注意方程两边方程两边开平方时,一边取“±”号，以防漏解.二、配方法(将次解一元二次方程)配方法是通过配方将方程化为一边含有未知数的完全平方式,另一边是非负数,来解一元二次方程的方法.配方法的一般步骤为:⑴将含有未知数的代数式放在一边,常数项放在另一边;⑵将二次项系数化为;⑶两边都加上一次项系数一半的平方;⑷左边配成含有未知数的完全平方式,右边是非负数的形式;⑸用直接开平方法求解.例2 用配方法解方程0342=-+x x分析:利用配方法来求解,先将一般形式的方程化为()()02≥=+b b a x 的形式，然后利用直接开平方法求解.解:移项,得.342=+x x方程两边都除以4,得.4341=+x x 配方,得.8143814122⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .6449812=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x .8781±=+x ∴.8781±-=x ∴43,121=-=x x ∴原方程的解为: 43,121=-=x x 评注:用直接开平方法,只能解()()02≥=+c c b ax 形式的方程,因配方法可解任何形式的一元二次方程,但在配方时容易出错,一定要细心.三、公式法一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根是由方程的系数a,b,c 确定,当042≥-ac b 时,方程的根为aac b b x 242-±-=,利用这个求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤:⑴把一元二次方程化为一般形式;⑵确定a,b,c 的值;⑶求出ac b 42-的值;⑷判断ac b 42-的符号,当042≥-ac b 时,则把a,b,c 及ac b 42-的值代入求根公式,求出21,x x .当042 ac b -时,原方程没有实数根.例3 方程23510x x -+=的解为：分析:本题先确定a,b,c 的值,然后利用求根公式来解.∵a=3,b=-5,c=1.∴(),01312251345422 =-=⨯⨯--=-ac b ∴.6135±=x ∴原方程的解为61351+=x ,61352-=x .评注:利用公式法求解时一定要注意a,b,c 的符号.四、因式分解法将一元二次方程化为两个一次因式乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于0,从而实现降次的解法叫因式分解法.它一般适用于系数较简单而判别式又是完全平方的方程.因式分解法的一般步骤为:⑴将方程右边化为零;⑵将方程左边分解成两个一次因式的乘积;⑶令每个因式分别为零,得两个一元一次方程;⑷解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.例4 解方程：x 2＋3＝3(x ＋1)．分析:本题化为一般形式后,可提取公因式,达到因式分解的目的.解:原方程可化为一般形式:.032=-x x∵x(x -3)=0 ∴ x=0 x -3=0∴.3,021==x x原方程的根为.3,021==x x评注:用因式分解法解一元二次方程的关键是:⑴要将方程右边化为零;⑵要熟练掌握因式分解的方法.总之,这四种方法既有联系又有区别，公式法比配方法简单，它是直接由配方法导出的求根公式求解，但不如直接开平方法和因式分解法快捷.具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解.一般顺序为：先特殊,后一般,即先考虑直接开平方法和因式分解法,不能用这两种方法时,再用公式法或配方法.。
人教新课标版数学九年级上册21.2.2-一元二次方程的解法-公式法(2)课件
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实
数解根：∵. 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0， b2 4ac 0
凡形先如把方a程x2+的c常=0数(项a≠移0到, a方c<程0的) 右边，再把左边配成一
个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接
开平方法或来求a出(x+它p的)2解+q.=0 (a≠0, aq<0)
的公一式元二法次是方解程一都元可二用次直接方开程平的方通法法解..
一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
解：∵ b2 4ac (m 5)2 4 2(m 1)
把判别式配方 m2 10m 25 8m 8
m2 2m 17
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
典型例题解析
【例5】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
解 : a 1, b 2m 1, c m2 4, b2 4ac (2m 1)2 4(m2 4) 4m2 4m 1 4m2 16 4m 17
由4m 17 0, 得m 17 . 4
当m 17 时,b2 4ac 0, 4
（3） x2 x 1 0
（4） x2 x 1 0
（5） 2x2 x 3 0 （6）2x2 x 3 0
解一元二次方程_因式分解法_课件
解：解出这个两个一元一次方程
练习 1．解下列方程：
练习
2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积 增加了一倍，求小圆形场地的半径．
练习 用因式分解法解下列方程：
易错点 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
得先把方程变成两个一次式的乘积等于0的形式， 然后才能降次求解
知识回顾 除了提公因式法和公式法， 还有一种常见的因式分解的方法——十字相乘法
由平方差公式，可得（2x+1）（2x-1）=0
于是得 2x+1=0 或 2x-1=0
解得
归纳 下面来归纳一下用因式分解法解方程的一般步骤
简记歌诀 右边化0左分解 两个因式各求解
（2x+1）（2x-1）=0 2x+1=0 或 2x-1=0
化：将方程化为右___边__为__0__的形式 分：将方程左边因__式___分__解__ 变：根据“___若__a_b__=_0__，__则__a_=__0_或___b_=__0” 将方程转化为两个一元一次方程
因式分解法 适用类型 能分解的一元二次方程 基本步骤 化：将方程化为_右__边__为__0__的形式
分：将方程左边因___式__分__解___
变：根据_“__若__a_b__=_0__，__则__a__=_0__或__b_=__0” 将方程转化为两个一元一次方程 解：解出这个两个一元一次方程
简记歌诀 右边化0左分解
九 年 级 数 学 上册
第二十一章 一元二次方程
精品 课件
因式分解法
人教版
初三数学
上册
第二十一章 一元二次方程
《因式分解法》
人教版
教学目标
会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程．
九年级数学：用因式分解法解一元二次方程
小明做得对吗?
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗 ？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来 x2 3x.
的小？颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小亮是这样想的: 030,15 00,
000. 反过 ,如 来 a 果 b 0 ,
那么a 0或b 0 或a b 0. 即,如果两个因式的积等于 0, 那么这两个数至少有一 个为0.
复习回顾：
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方 程转化为_(_x_+_m_)_2=_n_（__n_≥__0_）__的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为 _____一_般__形_式_________
3、选择合适的方法解下列方程 （1）x2-6x=7 （2）3x2+8x-3=0
相信你行：
:
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程 解:2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1是 7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22) y 73( . 7)
.
3
小结 拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一
x5x 4 0.
x 0,或5x 4 0. 4
x1 0; x2 5 .
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转 化为两个一元一次方程.
2 .x 2 x x 2 0 , 4. 分别解两个一元一次方程，
x 21 x 0.
它们的根就是原方程的根.
一元二次方程4种解法
一元二次方程4种解法
一元二次方程的4种解法是：一般式、工具方法、因式分解法和
求根公式法。
一、一般式：
一般式又称“把头挑出来法”或“十字相乘法”。
在这种方法中，首先把一元二次方程化为化简的一般式，如ax^2+bx+c=0，然后分别根
据a, b, c 的意义，将系数和常数参数代入系数表中，仿照公式的形
式完成无穷多种可能的解答，最后通过对称性和排除法的方法排除不
符合要求的解，从而得出结论。
二、工具方法：
工具方法就是联立矩阵等数学工具，来快速解决一元二次方程，
尤其是在涉及数量较大的情况下，使用矩阵来解决更加有利。
只要建
立好系数矩阵，就可以根据其特点，按照一定步骤，使用乘法、加法、分解等技巧，求得矩阵解，从而获得满足一元二次方程的解。
三、因式分解法：
因式分解法是把原方程转换成两个一元一次方程的形式，然后分
别求解，最后将解代入原方程，检验是否仍然满足原方程。
首先，将
原方程化成两个一元一次方程的形式，例如：ax^2+bx+c=0，我们把它
化为 (ax+m)(ax+n)=0，其中m和n分别是ax+m=0及ax+n=0的解。
然后，我们可以把m和n代入到原方程中，检验是否是原方程的解，即
看是否能使原方程成立。
四、求根公式法：
求根公式法是根据一元二次方程的特征，用公式求解一元二次方
程解。
一元二次方程有两个解，因此也有对应的两个求根公式，即复
根公式：x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)和x_2=(-b-sqrt(b^2-
4ac))/(2a)。
通过将常数值代入到公式，就可以求出一元二次方程的解。
因式分解法求解一元二次方程
自学指导二
认真看课本P14例3，看懂例题的解题过程。 时间：3分钟
归纳
1. 因式分解法：
将一元二次方程先因式分解化为 两个一次因式的乘积等 于 0 的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降
次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。
2.用因式分解法的一般步骤：
（1）移项：将方程右边化为 0
x=0 或 x-2=0 。
求解
x1= 0 ，x2= 2 。
x²-2x=0 x(x-2)=0
4.(1)因式分解法是解一元二次方程的基本方 法之一，具备什么特点的一元二次方程能用 因式分解法来解呢？
左边x-2=0 。 （2）用因式分解法的依据是什么？
若a ·b = 0，那么 a = 0 或 b= 0 x1= 0 ，x2= 2 。
学习目标
1.理解如何用因式分解法解一元二次方程，并 能灵活应用；
2.理解解一元二次方程的思路就是降次.
自学指导一
认真看课时练P10左侧学习任务一， 并用心填写1----3题， 时间：4分钟
学习过程 1.有理数乘法：
如果a ·b = 0，那么 a = 0 或 b= 0 。
2.因式分解：
x²+2x =
；
（2）化积：将方程左边分解为 两个一次因式 的乘积；
（3）转化：令这两个一次式分别等于0，得到两 个 一元一次方程 ；
（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是
一元二次方程的 解 。
检测题一
课本第14页第1 (1)（3）（5）
要求：仿照例题 书写规范 字体工整
时间：6分钟独立完成.
检测题二
x(x+2）
x²-4 =
(x+2)(x-2)
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实用文档 标准文案 第6次课：一元二次方程公式法和因式分解法 一、考点、热点回顾 学习要求： 1、学会一元二次方程求根公式的推导 2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。 3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。 4、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。 5、会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。 6、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。 知识要点：
1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式： 对于一元二次方程02cbxax其中0a，由配方法有22244)2(aacbabx，
（1）当042acb时，得aacbbx242； （2）当042acb时，一元二次方程无实数解。 2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。 3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：
（1）必须把一元二次方程化成一般式02cbxax，以明确a、b、c的值； （2）再计算acb42的值：
①当042acb时，方程有实数解，其解为：aacbbx242； ②当042acb时，方程无实数解。
4、分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。 5、分解因式法的理论依据是：若0ba，则0a或0b 6、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 实用文档 标准文案 ④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。
二、典型例题 例1、推导求根公式：02cbxax（0a）
例2、利用公式解方程： （1） 0222xx （2） 4722xx
（3）0142xx （4）010342xx 例3、已知a，b，c均为实数，且122aa＋｜b＋1｜＋(c＋3)2＝0，解方程02cbxax 例4、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x－1与B=3x2－2相等吗？
例5、一元二次方程(m－1)x2＋3m2x＋(m2＋3m－4)＝0有一根为零，求m的值及另一根． 实用文档
标准文案 1、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是 （ ） A.x1、2=24312122 B.x1、2=24312122
C.x1、2=24312122 D.x1、2=32434)12()12(2 2、方程x2+3x=14的解是 （ ） A.x=2653 B.x=2653 C.x=2233 D.x=2233 3、下列各数中，是方程x2－(1+5)x+5=0的解的有 ( ) ①1+5 ②1－5 ③1 ④－5 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5、若代数式x2－6x＋5的值等于12，那么x的值为( ) A．1或5 B．7或－1 C．－1或－5 D．－7或1 6、关于x的方程3x2－2(3m－1)x＋2m＝15有一个根为－2，则m的值等于( )
A．2 B．－21 C．－2 D．21 7、当x为何值时，代数式2x2＋7x－1与4x＋1的值相等?
9、用公式法解下列各方程 （1）x2+6x+9=7 （2）017122xx
（3）08242xx （4）05322xx 实用文档
标准文案 （5）012xx （6）01532xx （7）4)3)(12(xx （8）02)82(42yy （9）02322xx （10）0112yyyy （11） 1852xx （12）02332222nmnmnxmxx 例1、（1）方程)2(2)2)(1(xxx的根是__________ （2）方程0)3)(2)(1(xxx的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程 （1）0632xx （2）)5(2)5(32xx
（3） 0122xx （4）4842xx 实用文档 标准文案 （5） 0)3()23(22xx （6）22)6(16)3(49xx
（7）0625412xx （8）(x－1)2－4(x－1)－21＝0． 例3、2－3是方程x2+bx－1=0的一个根，则b=_________，另一个根是_________. 例4、已知a2－5ab+6b2=0，则abba等于 （ ） 21331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或
例5、解关于x的方程：(a2－b2)x2+4abx＝a2－b2．
例6、x为何值时，等式0232222xxxx 实用文档
标准文案 一、填空题 1、用因式分解法解方程9=x2-2x+1 (1)移项得 ； (2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x1 = ， x2= 。 2、（1）方程t(t＋3)＝28的解为_______． (2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解为__________． 3、（1）用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 和 求解。 （2）方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x1=__________,x2=__________. 4、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ， 该方程可化为（x -1）（x ）=0 5、已知x2－7xy+12y2=0，那么x与y的关系是_________. 6、小英、小华一起分苹果，小华说：“我分得苹果数是你的3倍。”小英说：“如果将我的苹果数平方恰好等于你所得的苹果数。”则小英、小华分得的苹果个数分别是 。 二、选择题 1、方程3x2=1的解为（ ）
A.±31 B.±3 C.31 D.±33 2、2x(5x－4)=0的解是（ ） A.x1=2，x2=54 B.x1=0，x2=45 C.x1=0，x2=54 D.x1=21，x2=54 3、下列方程中适合用因式分解法解的是（ ） A.x2+x+1=0 B.2x2－3x+5=0
C.x2+(1+2)x+2=0 D.x2+6x+7=0 4、若代数式x2+5x+6与－x+1的值相等，则x的值为（ ） A.x1=－1，x2=－5 B.x1=－6，x2=1 C.x1=－2，x2=－3 D.x=－1 5、已知y=6x2－5x+1，若y≠0，则x的取值情况是（ ）
A.x≠61且x≠1 B.x≠21 C.x≠31 D.x≠21且x≠31 6、方程2x(x+3)=5(x+3)的根是（ ） 实用文档 标准文案 A.x=25 B.x=－3或x=25 C.x=－3 D.x=－25或x=3 7、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是 A.(2x－2)(3x－4)=0 ∴2－2x=0或3x－4=0 B.(x+3)(x－1)=1 ∴x+3=0或x－1=1 C.(x－2)(x－3)=2×3 ∴x－2=2或x－3=3 D.x(x+2)=0 ∴x+2=0 8、方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是
A.x1=b,x2=a B.x1=b,x2=a1 C.x1=a,x2=b1 D.x1=a2,x2=b2 9、若一元二次方程(m－2)x2+3(m2+15)x+m2－4=0的常数项是0，则m为（ ） A.2 B.±2 C.－2 D.－10 三、解下列关于x的方程 (1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0；
(3)(x－1)(x＋3)＝12； (4)x2－4x－21＝0； (5)3x2＋2x－1＝0； (6)10x2－x－3＝0； (7)4(3x+1)2-9=0 (8) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3) 三、课后练习 1、方程(x－5)2＝6的两个根是( ) A．x1＝x2＝5＋6 B．x1＝x2＝－5＋6 实用文档 标准文案 C．x1＝－5＋6，x2＝－5－6 D．x1＝5＋6，x2＝5－6 2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a,b,c的值代入公式，x1，2=____________求得方程的解. 3、当x为何值时，代数式2x2＋7x－1与x2－19的值互为相反数?
4、用公式法解下列方程： （1）0172xx （2）0)8(xx
（3）22xx （4）3.08.02xx
（5）2132x （6）xx72 一、选择题 1、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
A.只有一个根x=43 B.只有一个根x=0
C.有两个根x1=0,x2=43 D.有两个根x1=0,x2=-43 2、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ） A.x=1或x=-2 B.必须x=1 C.x=2或x=-1 D.必须x=1且x=-2 3、若方程(x-2)(3x+1)=0，则3x+1的值为（ ） A. 7 B. 2 C. 0 D. 7 或0 4、方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为( )