求离心率的一组美妙结论

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离心率问题的7种题型和15种方法

离心率问题的7种题型和15种方法离心率（eccentricity）是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它的大小决定了行星或卫星轨道的偏心程度。

在天文学、航天学等相关领域，经常需要解决各种与离心率相关的问题，下面我们将介绍离心率问题的7种常见题型和15种解题方法。

一、离心率的定义及性质离心率是描述椭圆轨道形状的一个参数，它等于椭圆长半轴和短半轴之差的一半与长半轴的比值。

离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，当离心率为1时，椭圆变成了一条直线。

离心率越大，椭圆的形状越扁平，轨道越偏心。

二、离心率问题的7种题型1. 求给定离心率的椭圆的半长轴和半短轴长度；2. 已知椭圆的长半轴和离心率，求短半轴长度；3. 已知椭圆的长半轴和短半轴长度，求离心率；4. 求给定行星或卫星的轨道离心率；5. 已知行星或卫星轨道的离心率和半长轴长度，求轨道的半短轴长度；6. 已知行星或卫星的轨道离心率和半短轴长度，求轨道的半长轴长度；7. 求给定行星或卫星的轨道周期。

三、离心率问题的15种解题方法1. 利用椭圆轨道的定义和性质，直接计算出椭圆的长短半轴；2. 利用椭圆的面积和周长公式计算出椭圆的长短半轴；3. 利用行星或卫星的轨道速度和距离公式计算出轨道离心率；4. 利用行星或卫星的轨道周期和距离公式计算出轨道离心率；5. 利用行星或卫星的轨道半径和速度公式计算出轨道离心率；6. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的距离差和总距离计算出轨道离心率；7. 利用行星或卫星的轨道焦点距离和长轴长度计算出轨道离心率；8. 利用行星或卫星的轨道高度、速度和引力公式计算出轨道离心率；9. 利用行星或卫星的轨道高度、周期和引力公式计算出轨道离心率；10. 利用行星或卫星的轨道高度、半径和引力公式计算出轨道离心率；11. 利用行星或卫星的轨道平均速度和最高、最低速度之比计算出轨道离心率；12. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点速度之比计算出轨道离心率；13. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的动能之比计算出轨道离心率；14. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的势能之比计算出轨道离心率；15. 利用行星或卫星的轨道半径、质量和速度计算出轨道离心率。

双曲线中常见结论

双曲线中罕见结论：之欧侯瑞魂创作1、离心率e=a c =21）（ab + 2、焦半径3、通径及通径长ab 22 4、焦点到准线的距离c b 2, 中心到准线的距离ca 2 5、焦点到渐近线的距离为b, 垂足恰好在准线上.6、P 为双曲线上任一点, 三角形PF 1F 2的内切圆圆心在直线x=a 或x=-a 上.7、P 为双曲线上任一点, 以PF 1直径的圆和x 2+y 2=a 2相切.8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和12222=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率.9、P 为双曲线上一点, 则21F PF ∆的面积为S=θθcos sin b -1210、F 1, F 2是双曲线的两个焦点, P 为双曲线上任一点, ∠PF 1F 2=α , ∠PF 1F 2=β.则双曲线的离心率为e=αββαsin sin sin -+）（例（湖南卷）已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0, b ＞0）的右焦点为F, 右准线与一条渐近线交于点A, △OAF 的面积为22a （O 为原点）, 则两条渐近线的夹角为（D ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º 例双曲线）（0122≠=-mn n y m x 的离心率为2, 则n m 的值为（） A ．3B ．31C ．3或31D ．以上都分歧毛病椭圆的几何性质一、教学目标设PF 1=m, PF 2=n.则）（βααβαβ+=--==sin c sin sin n m sin n sin m 2 αββαβααβsin sin sin e sin c sin sin a -+=⇒+=-）（）（22(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论, 使学生掌握椭圆的几何性质, 能正确地画出椭圆的图形, 并了解椭圆的一些实际应用．(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学, 培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法, 加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解, 这样才华解决随之而来的一些问题, 如弦、最值问题等．二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决法子：引导学生利用方程研究曲线的性质, 最后进行归纳小结．)2．难点：椭圆离心率的概念的理解．(解决法子：先介绍椭圆离心率的界说, 再分析离心率的年夜小对椭圆形状的影响, 最后通过椭圆的第二界说讲清离心率e的几何意义．)3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质, 与坐标系选择无关, 即不随坐标系的改变而改变．(解决法子：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问1．椭圆的界说是什么？2．椭圆的标准方程是什么？学生口述, 教师板书．(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质, 并正确地画出它的图形, 是b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关, 即不随坐标系的改变而改变．1．范围即|x|≤a, |y|≤b, 这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解, 并指出描点画图时, 就不能取范围以外的点．2．对称性先请年夜家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x, 或把y换成-y？, 或把x、y同时换成-x、-y时, 方程都不变, 所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？事实上, 在曲线的方程里, 如果把x换成-x而方程不变, 那么当点P(x, y)在曲线上时, 点P关于y轴的对称点Q(-x, y)也在曲线上, 所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种, 那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称, 那么它一定关于y轴对称．事实上, 设P(x, y)在曲线上, 因为曲线关于x轴对称, 所以点P1(x, -y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称, 所以P1关于原点对称点P2(-x, y)必在曲线上．因P(x, y)、P2(-x, y)都在曲线上, 所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．3．极点只须令x=0, 得y=±b, 点B1(0, -b)、B2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y=0, 得x=±a, 点A1(-a, 0)、A2(a, 0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个极点A1(-a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, -b)、B2(0, b)．教师还需指出：(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴, 它们的长分别即是2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长, b是短半轴的长；这时, 教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和极点, 再进行描点画图, 只须描出较少的点, 就可以获得较正确的图形．4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的界说：比及介绍椭圆的第二界说时, 再讲清离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0, ∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的年夜小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时, c越接近0, 从而b越接近a, 因此椭圆接近圆；(3)当e=0时, c=0, a=b两焦点重合, 椭圆的标准方程成为x2+y2=a2, 图形就是圆了．(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识, 掌握用描点法画图的基本方法, 给出如下例1．例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和极点的坐标, 并用描点法画出它的图形．本例前一部份请一个同学板演, 教师予以勘误, 估计不难完成．后一部份由教师讲解, 以引起学生重视, 步伐是：(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形, 再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量年夜年夜减少．本例实质上是椭圆的第二界说, 是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一界说做准备的, 同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步伐, 因此, 要详细讲解：设d是点M到直线l的距离, 根据题意, 所求轨迹就是集合P={M将上式化简, 得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．这是椭圆的标准方程, 所以点M的轨迹是椭圆．由此例不难归纳出椭圆的第二界说．(四)椭圆的第二界说1．界说平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线, 常数e是椭圆的离心率．2．说明这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的, 同一曲线由于坐标系选取分歧, 方程的形式也分歧, 可是最后得出的性质是一样的, 即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质, 类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．安插学生最后小结下列表格：五、安插作业1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个极点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0,(2)x2+4y2-1=0．2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆, 近地址距空中266Km, 远地址距空中1826Km, 求这颗卫星的轨道方程．3．点P与一定点F(2, 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2, 求点P的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图形．的方程．作业谜底：4．极点(0, 2)可能是长轴的端点, 也可能是短轴的一个端点, 故分两种情况求方程：六、板书设计。

快速求离心率12个二级结论

快速求离心率12个二级结论在物理学中，离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数。

它可以通过多种方法进行计算，本文将介绍12个二级结论，帮助读者快速求解离心率。

以下是这些结论：1. 椭圆轨道的离心率定义为焦点之间的距离与长轴长度的比值。

即e = c/a，其中e表示离心率，c表示焦点之间的距离，a表示长轴长度。

2. 椭圆轨道的离心率范围在0到1之间，当离心率为0时，轨道为圆形，当离心率为1时，轨道为抛物线。

3. 焦距可以通过离心率与长轴的乘积得到，即c = ae。

4. 当离心率小于1时，椭圆轨道的焦点在轨道内部。

当离心率等于1时，焦点位于抛物线的顶点上。

5. 椭圆轨道的半长轴长度可以通过长轴长度和离心率计算得出，即b = a√(1-e^2)。

6. 椭圆轨道的半短轴长度可以通过半长轴长度和离心率计算得出，即c = b√(1-e^2)。

7. 离心率可以通过焦点之间的距离和轨道长度的比值求解，即e = 1 - (r_min/r_max)，其中r_min表示轨道的最小半径，r_max表示轨道的最大半径。

8. 当离心率小于1时，椭圆轨道的最小半径和最大半径分别为r_min = a(1-e)和r_max = a(1+e)。

9. 当离心率等于1时，抛物线轨道的最小半径为r_min = a，最大半径趋于无穷大。

10. 椭圆轨道的周长可以通过半长轴、半短轴和椭圆的周长公式计算得出，即C = 4aE(e)，其中E(e)表示第二类完全椭圆积分。

11. 椭圆轨道的面积可以通过半长轴和半短轴的乘积和π计算得出，即S = πab。

12. 当离心率接近于1时，椭圆轨道的形状趋近于一条直线。

当离心率趋近于0时，椭圆轨道的形状趋近于一条圆。

通过以上12个二级结论，读者可以快速求解椭圆轨道的离心率，并对其形状有一个清晰的了解。

离心率的求解在天体力学、航天工程等领域有着广泛的应用，对于研究天体运动和设计轨道具有重要意义。

高中数学-高考数学离心率题型总结

c 1 ，所以离心率 e c 1 .故选 C. a2
变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）
A. 3
B. 6
C. 3
D2
2
2
2
解：由题设 a 2 ， 2c 6 ，则 c 3 ， e c 3 ，因此选 C a2
变式练习 3：点 P（-3，1）在椭圆 x 2 a2
3 2
，即双曲线的右准线
x
a2 c
c2 1 c
3 ，则 2c 2 2
3c 2 0 ，
解得 c 2 ， a 3 ， e c 2 3 ，故选 D a3
变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为 F11,0 、 F2 3,0 ，则其离心率为（）
3
2
A.
B.
4
3
1
1
C.
D.
2
4
解：由 F11,0 、 F2 3,0 知 2c 3 1，∴ c 1 ，又∵椭圆过原点，∴ a c 1， a c 3 ，∴ a 2 ，
得e2
4 或e2
4 ，又 0 a b 3
，∴ e2
c2 a2
a2 b2 a2
1
b2 a2
2 ，∴ e 2
4 ，∴ e 2 ，故选 A
变式练习 2：双曲线虚轴的一个端点为 M ，两个焦点为 F1、 F2 ， F1MF2 1200 ，则双曲线的离心率
为（）
A3
6
B
2
6
C
3
3
D
3
解：如图所示，不妨设 M 0,b， F1 c,0， F2 c,0 ，则
MF1 MF2 c 2 b 2 ，又 F1F2 2c ，
7

高考离心率知识点总结

高考离心率知识点总结高考是对学生十几年学习成果的一次总结和检验。

其中，数学作为高考的一门重要科目，对于许多学生来说，是十分关键和困惑的。

而在数学中，离心率是一个涉及到椭圆、抛物线和双曲线的重要概念。

本文将对高考中常见的离心率知识点进行总结。

离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它是椭圆、抛物线和双曲线的特征之一。

一般来说，离心率越大，圆锥曲线形状越扁平。

离心率的计算公式如下：离心率=√(1-(b²/a²))其中，a是椭圆的长半轴长度，b是椭圆的短半轴长度。

接下来，我们将通过具体的例子来讨论高考中可能遇到的离心率问题。

1. 椭圆的离心率求解假设有一个椭圆的长轴长度为8，短轴长度为6。

我们可以先计算出椭圆的离心率。

离心率=√(1-(6²/8²))=√(1-36/64)=√(1-9/16)=√(7/16)因此，这个椭圆的离心率为√(7/16)。

2. 抛物线的离心率求解抛物线是一种特殊的圆锥曲线，其离心率定义为1。

所以，无论抛物线的形状如何，其离心率始终为1。

3. 双曲线的离心率求解对于双曲线，其离心率的计算稍微复杂一些。

假设有一个双曲线的方程为x²/16 - y²/9 = 1，我们可以通过方程来求解其离心率。

首先，将方程化简为标准形式，即(x²/16) - (y²/9) = 1。

然后，我们将方程与椭圆的标准方程进行比较，可以发现椭圆的长半轴为4，短半轴为3，进而计算出椭圆的离心率。

离心率=√(1-(3²/4²))=√(1-9/16)=√(7/16)因此，这个双曲线的离心率为√(7/16)。

综上所述，离心率是数学中重要的概念之一，对于高考尤为重要。

本文通过椭圆、抛物线和双曲线的例子，展示了离心率的计算方法。

希望通过这篇文章的阅读，学生们能够对离心率有一个更加清晰的理解，从而在高考中能够更好地应用和运用相关知识。

高中数学高考数学离心率题型总结

F 2P F 1xy OF 2PF 1xy OF 2PF 1xyOQF 2PF 1xyO高中数学高考数学离心率题型总结求解含直角三角形的椭圆离心率二．典例剖析：例.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ^，求椭圆离心率。

圆离心率。

分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到 2221222222=Þ=Þ=+=e e c c b a 的结论。

的结论。

变式1.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P （除短轴端点外），若21PF PF ^，求椭圆离心率取值范围。

，求椭圆离心率取值范围。

分析：点P 在椭圆上Þ b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上Þc OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到÷÷øöççèæÎÞ>Þ<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。

变式2. 满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 内，求椭圆离心率取值范围。

内，求椭圆离心率取值范围。

分析：满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆内Þ以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆内Þb c <，进而得到÷÷øöççèæÎÞ<Þ>+=22,021222222e e c c b a 的结论。

的结论。

变式3.过椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 右焦点2F 的直线交椭圆于QP 、两点且满足PQPF ^1，若135sin 1=ÐQP F ，求该椭圆离心率。

离心率专题总结大全

离心率专题对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。

一般来说,求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a 与b或a 与c 的其次式,从而根据221c b e a a ==-（这是椭圆）221c b e a a==+（这是双曲线）,就可以从中求出离心率，用最淳朴的定义来解题是最好的,此时无招胜有招！一、求椭圆与双曲线离心率的值:（一）、用定义求离心率问题:122121(05,,221A.B. C. 2 2 D. 21F F F P F PF ∆例、全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）－－－【强化训练】1。

在ABC △中,AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = ．2、已知正方形ABCD,则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________;3、已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。

4。

已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+5、如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点， A 和B 是以O 为圆心,以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形,则双曲线的离心率为（ )（A)3(B ）5 （C)25 (D)31+(二）、列方程求离心率问题：构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系（特别是齐二次式)，进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e例2、如图,在平面直角坐标系xoy 中,1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点,F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为。

椭圆离心率

椭圆离心率
离心率e=c/a=√［（a2-b2)/a2]=√［1-(b/a)2]。

离心率是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。

椭圆扁平程度的一种量度，离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值，用e表示，即e=c/a (c=半焦距；a=长半轴）。

圆的离心率＝0
椭圆的离心率：e=c/a(0,1)（c,半焦距；a,半长轴（椭圆）/半实轴（双曲线））抛物线的离心率：e=1
双曲线的离心率：e=c/a(1，＋∞）（c=半焦距；a=半长轴（椭圆）/半实轴（双曲线））
偏心因子计算：
对应态蒸气压关联方程法：
基于Pitzer定义式的对应态蒸气压关联方程法，具有代表性的如基于Clapeyron 方程的Edmister方程法、Lee—Kesler方程法和最近Daniel基于Antoine方程提出的计算法等。

每一个蒸气压温度关系式都对应一个w估算关系。

关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧

关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个常见的题型，解题时需要掌握一些有效的解决技巧。

下面将介绍几种常见的离心率题型及解法。

一、求离心率的大小对于给定的椭圆方程或双曲线方程，要求其离心率的大小，可以通过以下步骤进行解题：1.找到椭圆（或双曲线）的焦点坐标（a，0）和（-a，0），及顶点的坐标（c，0）和（-c，0）。

2.根据离心率的定义，离心率e等于焦点到顶点的距离与长轴的一半的比值，即e=c/a。

3.计算离心率的大小。

二、已知离心率和焦点坐标求椭圆（或双曲线）方程对于给定的离心率e和焦点坐标（a，0）和（-a，0），要求方程的解，可以按照以下步骤进行：2.由于离心率与顶点的坐标有关，可以令顶点的坐标为（c，0）和（-c，0）。

3.根据顶点坐标和离心率的定义，可以得到方程的表达式。

4.化简方程，得到标准形式的方程。

2.根据标准形式可以得到椭圆（或双曲线）的中心坐标（h，k），椭圆（或双曲线）的焦点公式为（h ± ae，k），离心率为e。

四、已知椭圆（或双曲线）方程及一点求与该点相切的切线方程3.通过求导可得到椭圆（或双曲线）的斜率k1。

4.由于切线与椭圆（或双曲线）相切，切线的斜率与椭圆（或双曲线）的斜率k1相等。

5.利用点斜式得到切线方程。

五、已知圆心和两个点的坐标求圆方程1.根据圆的定义，圆的半径r等于圆心到任意一点的距离，即r=sqrt((x1-h)^2+(y1-k)^2)。

六、已知圆的方程求切线方程总结：在解决高中数学离心率题型时，需要熟悉椭圆和双曲线的基本概念和性质，掌握离心率的定义和求解方法。

通过对给定的条件进行分析和计算，可以得到离心率的大小、椭圆（或双曲线）的方程、焦点的坐标及离心率的大小、与给定点相切的切线方程等信息。

掌握了这些解题技巧，就能够快速、准确地解决高中数学离心率题型。

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。

例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。

解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。

变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。

解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。

因此，选C。

变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。

变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。

设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。

设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。

其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。

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上面所讲的只是常见的一些类型，并不能解决所有的问题．希望同学们在学习中进行领悟，通过学习证明不等式提高自己的分析与综合思维能力．
求离心率的一组美妙结论
山东省临沭县第一中学
２２
２６０７７０
李成波郇秀珍
引已双线ｃ０一Ｉ＞，＞例知曲：告：（０Ｄｎｂ
９。，ｅ＝’ ０）则（Ａ为两个焦半径长的
Ｐ，Ｑ在双曲线的右支上，把公式中的绝对值符号去
掉，＝
把ｅ＝，＝１５代入，Ａ＝２一３ｏｔ０。得，
所以ＩＰＩ＝（一３ｑＩＦ２）Ｉ．Ｆ
比值，依据Ａ和去绝对值）（于篇幅，．限定理２，，３４及推论的证明从略）．
Ｆ分弦ＡＢ所成的比Ａ及直线的倾斜角等知识点，题目难度不大，学生解答起来颇费时间．道小题，但这
和倾斜角Ｏｔ求离心率的公式．但有时题目会告诉我
们ｌＦ＝Ｆ（０，命题的结论，ＩＡＩＡ＞）由ＢＩＡ用÷换
（１＋Ａ）ＯＣＳ
由（）（）证明可知，曲线的离心率ｅ＝１，全国二卷理科的一道试题，考查双曲线的定义及数形结合的思想方法，涉及定义、焦点
这样我们得到一个由焦点Ｆ分ＡＢ所成的比Ａ
（＞０ｐ）的焦点，
且倾斜角为（ ≠ ９。０）的直线交抛物线于Ａ，两
＋Ａｃｓ５，Ａ＝３＋ √ ，以ＩＡＩＩＢｌ）０。即４２所与ＦＦ
的比值为３＋２
例３２０（０７年重庆理）过双曲线一Ｙ＝４的
解由题意知０＜Ａ＜１倾斜角Ｏ＝１５，，／０。故
定理４焦点在轴上的圆锥曲线的右焦点为Ｆ，Ｆ的直线交圆锥曲线于Ａ，两点（为双曲过若线，点，在一支上）Ａ的倾斜角为（－则，Ｂａｙ＝
Ｂ点离率＝两，心ｅ则｛
３２
Ｉ为个（两焦Ａ
中学数学杂志２１００年第７期半径长的比值，依据Ａ和去绝对值）．
舅
铭弱星裼
舅庑
，
把ｅ＝１ｏ＝４。入，Ａ一１＝（，ｅ５代得１
定理３过抛物线，，＝
ＡＡＦ，离率ｅ｛Ｆ＝Ｉ心＝ＩＩ则
Ｊ－
，图ｌ如・
ｊ
＼
…
为两个焦半径长的比值，据Ａ和去绝对值）依．
．，ｖ
＼
推过曲一１＞＞）右论双线告＝（ｂ０的００口
焦点，且倾斜角为（ ≠９。的直线交双曲线两０）
Ａ得双曲线的离心率ｅ＝，．
求离心率ｅ是否有其内在的规律呢？
１结论探究
２
．，
２
，
命题过双曲线一＝１口＞ｂ＞０（）的右
ｉｔ，０
由以上的探究可知，不论ＩＦ［Ｂ，是Ａ＝ＡＩＦＩ还ＩＦＩＡ，下面的定理及推论：Ｂ＿ＡＩＦｌ有
弱爱
所以得
弱弓弓蠡％９醌
中学数学杂志综上即证明了不等式．
２ｌ００年第７期
＋— ＋… ＋１＞（２Ｊ．ｍ＋１ｍ／ √ ｎ
一
２，）＋（／ｇ２＿『一２）＝２Ａ－
一２￣／一２
）＋… ＋（２
０的右焦点为Ｆ过Ｆ），且斜率为的直线交ｃ于Ａ、日两点，＝４Ｆ则双曲线ｃ的离心率为若ＡＢ，
●
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一
（）若为钝角，０＜Ａ＜１同理可证得ｅ＝２则．
Ａ一１
３－＇日两点，离心率ｅ＝￣ＴＡ，－则＿＿二ｌ（Ａ为
两个焦半径长的比值，依据Ａ和ａ去绝对值）．将上面的定理推广到椭圆和抛物线中，以下有
结论：
定理２过椭圆＋＝ｌｎ＞ｂ＞０（）的右焦点，且倾斜角为ａａ≠９。的直线交椭Ｉｒａ，（ｏ）￣：
２结论应用
由ＩＢ＝孕广ｐ焦点准距（为到线的ＡＩ
运用定理４的结论，文的引例可解决如下：本引例解由题意知Ａ＝４＞１Ａ，Ｂ的倾斜角为锐角，＝６。把公式中的绝对值符号去掉，ｅ０，则
焦点，且倾斜角为（ ≠ ９。０）的直线交双曲线右支于Ａ，两点（分别在轴的上方和下方）且ＩＡ，，
定过曲一＝（＞＞）理１双线告１ｂ０的口
右焦点Ｆ且倾斜角为（ ≠９。的直线交双曲线０）右支于ＡＢ，两点，则离心率ｅ＝。ＩＡ（
点则心ｅ。‘ ，离率＝
。Ａ两焦径（为个半
长的比值，据Ａ和去绝对值）依．以上定理１２３可以归结为一个统一的美妙的，，
结论：
右焦点Ｆ作倾斜角为１５的直线，０。交双曲线于Ｐ，Ｑ两点，ＩＦ＋ＱＩ的值为则ＰＩＩＦ