求圆锥曲线中离心率取值范围方法举例

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求离心率取值范围的八种方法-求离心率的方法总结

求离心率取值范围的八种方法-求离心率的方法总结
例 1 在 给 定 椭 圆 中 , 焦 点 且 垂 直 于 长 轴 的 弦 长 : 过
为 , 焦点 到相 应 准 线 的 距 离 不 小 于 1 则 该 椭 圆 的 离 .
心 率 的 取值 范 围是 (
A.( , ) 1

B ( ) . 0,
解 析 : z一 2 C
解 析 :设 F一目 由 I — l :2 l , PF1 l PF2 1 a, PF】 一 l

5 ・ 4
数 学教 育研 究
21 0 1年第 4 期
4j PF
得I 警 l 警. 目 :F= ' l ' 一 P P 一 . F 2 一s
1 7 9
焦 点 F作 双 曲线 在 第 一 , 象 限 的渐 近 线 的垂 线 z若 z 三 . 与 曲 线 C的 两 支 各 有 一 个 交 点 . 双 曲 线 离 心 率 的 取 求 值范围.
2 1 年 第 4期 01
数 学 教 育 研 究
・ 3 5 ・
求 离 心率 取值 范 围的八 种方 法
方 海 兵 ( 安徽省太和县第八中学 260) 360
离 , 是 圆 锥 曲 线 的 一 个 重 要 性 质 , 近 几 年 高 l f 率 在
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考 中频 繁 出现 , 求 离 心 率 的 取 值 范 围 又 是 较 为 复 杂 而 的 一种 , 面 介 绍 八 种 求 离 心 率 的 方 法 , 大 家 参 考 . 下 供
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求圆锥曲线中心离心率的取值范围的方法

求圆锥曲线中心离心率的取值范围的方法

案例分析新课程NEW CURRICULUM 高中政治主观题解题方法之我见黎小琴︵江西省萍乡市芦溪中学︶纵观近几年的高考题,发现全国各地的高考试卷题在书外,理在书中;以教材主干知识为载体,考查学生运用政治基本原理分析和解决问题的能力;根据学生实际出题,不出怪题、偏题、陈题。

但更要突出情景设置,试题体现生活化;更优化问题设计,发挥学生的主体作用;更注重考查学生的全面能力,侧重解释能力、知识迁移能力、推理能力。

2015年全国政治试题命题既具有以往高考政治考查的优点,同时又具备自身的特点,考点全面,整个试题延续了平稳,保持了难度,却加大了创新力度,不仅选择题得分低,连主观题得分也要比往年更低。

为了适应高考的需要,我们应积极探索,开拓创新,不断提升教师自身的教学能力。

下面,就本人在高中思想政治课课堂教学中对主观题的解题方法谈一点拙见。

一般来讲,我们熟知的高考政治主观题分为九大类型:“体现类”主观题、“反映类”主观题、“为什么(原因)类”主观题、“怎么办(对策)类”主观题、“意义或影响类”主观题、“认识(评价)类”主观题、“启示类”主观题、“依据类”主观题、“图表类”主观题。

在平常的教学中,我们会做到以下六步:一看:看设问。

要看出设问的范围、角度(是什么、为什么、怎么样)指向、主体、特殊的限制与要求等,并一次性将所有的问题看完。

二抓:抓住材料的关键词、中心意。

通常可用“首尾法,词语频率法,同一中心法,引导法”来抓。

三领:领悟命题者的意图,主要是考什么知识原理。

从题目的材料出发,去思考该题所处的时政背景,从而判断出命题者的意图,主要是想考查什么知识内容。

四联:紧扣题目的材料联系相应的教材术语和时政术语。

回想相应的教材知识网和相关热点背景,准确完整地联想。

五列:列出答题纲要,按照前面的四部曲的内容,把相关题目设问所要求的材料知识、教材知识、时政知识等内容按先后次序列出答案要点。

六思:反思答案的完整性、科学性,倒推重审题,注意题分值(看分作答)。

圆锥曲线离心率取值范围求法大放送

圆锥曲线离心率取值范围求法大放送

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圆锥曲线离心率取值范围求法大放送
作者:孔建芳
来源:《中学教学参考·理科版》2013年第06期
如何求解离心率的取值范围是很多学生较难掌握的内容.笔者通过多年的教学经验认为,
要解决此类问题,最重要的便是充分挖掘题中所隐含的条件,构造出解决此类问题的不等式.
一、利用直线与双曲线的位置关系
【例1】给出条件:已知双曲线x2a-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个点P和Q,要求解出双曲线离心率的取值范围.
解析:把双曲线方程和直线方程联立消去x,得(1-a2)y2-2y+1-a2=0,1-a2≠0
时,直线与双曲线有两个不同的交点,则Δ>0,Δ=4-4(1-a2)2=4a2(2-a2)>0,即a232
,即e>62且e≠2.
二、利用点和双曲线的位置关系
点评:在解决这一题时,可以先解出双曲线上其中一点的坐标,然后再利用相关性质“若点P在双曲线x2a2-y2b2=1
的左支上,则x≤-a;若点P在双曲线x2a2-y2b2=1的右支上,则x≥a”.
求双曲线离心率的取值区间时要根据题设的条件找到合适的切入点,因题制宜发现题中隐藏的不等关系,创建含有离心率的不等式是解决这类问题的重要之处.
(责任编辑金铃)。

离心率的五种求法

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出,a c ,求解e 已知标准方程或,a c 易求时,可利用离心率公式c e a=来求解。

例1. 过双曲线C :)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是( )A. 10B. 5C.310D. 25分析:这里的1,a c ==2b ,即可利用定义求解。

解:易知A (-1,0),则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--,又|AB|=|BC|,可解得9b 2=,则10c =故有10ace ==,从而选A 。

二、变用公式)c e a =双曲线,)c e a ==椭圆,整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =,则双曲线的离心率为( ) A.35 B. 34C.45D.23 分析:本题已知b a=34,不能直接求出a 、c ,可用整体代入套用公式。

解:因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =,所以 43b a =,则53c e a ===,从而选A 。

1.设双曲线(a >0,b >0)的渐近线与抛物线21y x =+相切,则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解:由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得,因渐近线与抛物线相切,所以,即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若12AB BC =uur uu u r,则双曲线的离心率是 ( )A .B .C .D . 答案:C【解析】对于,则直线方程为,直线与两渐近线的交点为B ,C ,,,222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ,即224b a =,e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为( ) A . B . C . D .【解析】因为,再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式,解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。

圆锥曲线专题[求离心率的值、离心率的取值范围]

圆锥曲线专题[求离心率的值、离心率的取值范围]

圆锥曲线专题 求离心率的值师生互动环节讲课内容:历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。

策略一:根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中,如果能求出c a 、的值,可以直接代公式求离心率;如果不能得到ca 、的值,也可以通过整体法求离心率:椭圆中221ab ac e -==;双曲线中221a b a c e +==.所以只要求出ab值即可求离心率. 例1.(2010年全国卷2)己知斜率为1的直线l 与双曲线C :()2222100x y a b a b-=>,>相交于D B 、两点,且BD 的中点为)3,1(M ,求曲线C 的离心率.解析:如图,设),(),(2211y x D y x B 、,则1221221=-b y a x ① 1222222=-by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③又因为)3,1(M 为BD 的中点,则6,22121=+=+y y x x ,且21x x ≠,代入③得13222121==--=a b x x y y k BD,解得322=ab ,所以231122=+=+=a b e .方法点拨:此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系,解得22ab 的值,从而整体代入求出离心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程,根据韦达定理可得),(21b a x x ϕ=+,2),(=b a ϕ或者),(21b a y y ω=+,6),(=b a ω从而解出22a b 的值,最后求得离心率.【同类题型强化训练】1.(呼市二中模拟)已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ,则双曲线的离心率为( ). 313.A 213.B 315.C 210.D 2.(衡水中学模拟)已知中心在原点,焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于B A 、两点,AB 恰是该圆的直径,且直线AB 的斜率21-=k ,求椭圆的离心率.3.(母题)已知双曲线)0(1:22>=-m y m x C ,双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21,求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】1.答案:由双曲线焦点在x 上,则渐近线方程0=±ay bx ,又题设条件中的渐近线方程为032=±y x ,比较可得32=a b ,则313941122=+=+=a b e .2.答案:设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ,),(),,(2211y x B y x A ,则1221221=+b y a x ① 1222222=+by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③因为AB 恰是该圆的直径,故AB 的中点为圆心)1,2(,且21x x ≠则2,42121=+=+y y x x ,代入③式整理得2221212ab x x y y k -=--=直线AB 的斜率21-=k ,所以21222-=-=a b k ,解得4122=a b所以离心率23411122=-=-==a b a c e .3.答案:曲线C 的渐近线方程分别为0:1=+y m x l 和0:2=-y m x l ,设),(00y x P ,则 点),(00y x P 到直线1l 的距离m y m x d ++=1001,点),(00y x P 到直线2l 的距离my m x d +-=1002,mmy x my m x y m x d d +-=+-⋅+=⋅11220000021因为),(00y x P 在曲线C 上,所以m my x =-2020,故21121=+=⋅m m d d ,解得1=m 所以2=e .策略二:构造c a ,的关系式求离心率根据题设条件,借助c b a ,,之间的关系,沟通c a 、的关系(特别是齐次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解方程得出离心率e .例 2.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点,以线段21F F 为边作正三角形21F MF ,若边1MF 的中点P 在双曲线上,求双曲线的离心率.解析:如图1,1MF 的中点为P ,则点P 的横坐标为2c-.由c F F PF ==21121, 焦半径公式a ex PF p --=1有a ca c c --⨯-=)2(,即02222=--ac a c 有0222=--e e解得31+=e ,或31-=e (舍去).方法点拨:此题根据条件构造关于c a ,的齐次式,通过齐次式结合离心率的定义ace =整理成关于e 的一元方程,从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证,取符合离心率的范围的结果:),1(),1,0(+∞∈∈双曲线椭圆e e . 【同类题型强化训练】1.(2011新课标)已知直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A 、B 两点,||AB 为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( ).A 2.B 3.C 2 .D 32.(2008浙江)若双曲线12222=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是( ).A 3 .B 5 .C 3 .D 5 【同类题型强化训练答案】1.答案:依据题意a aa c AB 22222=-=,解得2=e .2.答案:依据题意2:3)(:)(22=-+c a c c a c ,整理得223a c =,所以3==ace .策略三:根据圆锥曲线的统一定义求离心率(第二定义)由圆锥曲线的第二定义,知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比,适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题,即e dMF =.例3.(2010年辽宁卷)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ,过点F 的直线与椭圆C相交于B A ,两点,直线l 的倾斜角为︒60,2AF FB =,求椭圆C 的离心率.解法一:作椭圆的左准线B A '',过A 作B A ''的垂线,垂足为A ';过B 作B B '的垂线,垂足为B '.过B 作A A '的垂线,垂足为M .如图2.由图,由椭圆的第二定义,则e A A AF ='e AF A A ='⇒,e B B BF ='e BFB B ='⇒ 12::==''e BF e AF B B A A B B A A '='⇒2 且A A BM '⊥,所以M 是A A '的中点又因为直线l 的倾斜角为︒60,即︒=∠=∠60AFx BAM , 所以在BAM Rt ∆中,A A AM AB '==2,故3232=⋅='=AB AB A A AF e . 解法二:设1122(,),(,)A x y B x y ,由题意知10y <,20y >.直线l 的方程为 3()y x c =-,其中22c a b =-联立22223(),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)2330a b y b cy b ++-=解得221222223(2)3(2),33b c a b c a y y a b a b -+--==++因为2AF FB =,所以122y y -=.即 2222223(2)3(2)233b c a b c a a b a b +--=⋅++得离心率 23c e a ==. 方法点拨:该题对于课标地区选择第二种代数法处理,对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区,两种方法都可以给学生讲讲。

离心率的五种求法

离心率的五种求法

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出a 、c ,求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时,可利用率心率公式ace =来解决。

例1:已知双曲线1222=-y ax (0>a )的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合,则该双曲线的离心率为( )A.23 B. 23 C. 26 D. 332解:抛物线x y 62-=的准线是23=x ,即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ,则02322=--c c ,解得2=c ,3=a ,332==a c e ,故选D变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为()0,11F 、()0,32F ,则其离心率为( )A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解:由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ,∴1=c ,又∵椭圆过原点,∴1=-c a ,3=+c a ,∴2=a ,1=c ,所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( )A.23 B. 26 C. 23 D 2 解:由题设2=a ,62=c ,则3=c ,23==a c e ,因此选C 变式练习3:点P (-3,1)在椭圆12222=+by a x (0>>b a )的左准线上,过点P 且方向为()5,2-=a 的光线,经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )A33 B 31 C 22D 21 解:由题意知,入射光线为()3251+-=-x y ,关于2-=y 的反射光线(对称关系)为0525=+-y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ,1=c ,则33==a c e ,故选A二、构造a 、c 的齐次式,解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。

圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)

圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)

分析:在椭圆内的所有焦点三角形,当顶点 P 与短轴重合时,此时面积最大 Smax b
解析:注意,凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时,这两点的位置是对
的,本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的,因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时,面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题

12:已知双曲线 x2 a2

y2 b2
1的右焦点为
F,若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析:过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个,取决于这条直线和右渐

2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径,因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了,解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
(2)焦点三角形顶角的取值范围:当 P 点处于 B 位置时,顶角最大,例:

10:设
P
是椭圆
x2 a2

y2 b2
1上一点,且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似,求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等 关系,且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式,至于如何建立不等关系,可总结为四
种思考方向:
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手,以椭圆为例:
(1)焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题

7:椭圆
x2 a2

圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法

圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法

圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法
一、利用曲线的范围,建立不等关系
例1.设椭圆的左右焦点分别为、,如果椭圆上存在点P,使,求离心率e的取值范围。

解:设因为,所以
将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得
二、利用曲线的几何性质数形结合,构造不等关系
例2.直线L过双曲线的右焦点,斜率k=2。

若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,求双曲线离心率的取值范围。

解:如图1,若,则L与双曲线只有一个交点;若,则L与双曲线的两交点均
在右支上,
例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。

若△ABF2是锐角三角形,求双曲线的离心率的取值范围。

解:如图2,因为△ABF2是等腰三角形,所以只要∠AF2B是锐角即可,即∠AF2F1<45°。


三、利用定义及圆锥曲线共同的性质,寻求不等关系
例4.已知双曲线的左右焦点分别为、,点P在双曲线的右支上,且,求此双曲线的离心率e的取值范围。

解:因为P在右支上,所以
又得
所以又
所以
例5.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2,P是双曲线右支上一点,P到右准线的距离为d,若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列,求双曲线的离心率的取值范围。

解:由题意得因为,所以,从而
,。

又因为P在右支上,所以。

四、利用判断式确定不等关系
例6.例1的解法一:
解:由椭圆定义知
例7.设双曲线与直线相交于不同的点A、B。

求双曲线的离心率e的取值范围。

解:。

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圆锥曲线中离心率取值范围的求解
范围问题是数学中的一大类问题,在高考试题中占有很大的比重,圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点,其求解策略的关键是建立目标的不等式,建立不等式的方法一般有:利用曲线定义,曲线的几何性质,题设指定条件等.
策略一:利用曲线的定义
例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32
a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,)+∞ C.(1,5) D.(5,)+∞
【解析】B 22033352022
a ex a e a a a e e c -=⨯->+⇒-->, 2e ∴>或13
e <-(舍去),(2,)e ∴∈+∞. 例2双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B.)+∞ C.1]+ D.1,)++∞
【解析】C 222
000(1)(1),a a a ex a x e x a a e a c c c
-=+⇒-=+⇒+≥-
2111121011a e e e e c e
∴-≤+=+⇒--≤⇒≤≤+
而双曲线的离心率1e >,1],e ∴∈故选C.
【点评】例1、例2均是利用第二定义及焦半径公式列出方程.例1根据题设列出不等式;例
2是根据0x 的范围将等式转化为不等式,从而求解.这种利用、x y 的范围将等式转化为不等式求参数范围的方法是解析几何常用的方法.
策略二:利用曲线的几何性质
例已知12、F F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率
的取值范围是( )
A.(0,1) B.1(0,]2
C. D. 【解析】C 由题,M 的轨迹为以焦距为直径的圆,由M 总在椭圆内部,知:
2222212c b c b a c e <⇒<=-⇒<,又(0,1)e ∈,所以e ∈故选C. 【点评】利用圆的几何性质判定轨迹为圆,再利用椭圆和圆的几何性质解题.
一般地,c b <时M 点总在椭圆内部;a c b >>时M 点有4个在椭圆上;c b =时M 有2个在椭圆上,就是椭圆短轴的两个端点.
例4已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2] B.(1,2) C.[2,)+∞ D.(2,)+∞
【解析】如图1l 与2l 分别为与双曲线22
221x y a b
-=的渐近线平行的两条直线,直线l 为过F 且倾斜角为60的直线,
要使l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则应使
tan 603b a
≥=
.2e ∴=≥. 【点评】此处利用双曲线几何性质,用所给定直线和渐近线的
关系确定渐近线斜率范围,从而求出离心率范围.
策略三:利用题设指定条件 例5椭圆22
221x y a b
+=的焦点为12,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为,M N .若 122MN F F ≤,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.1(0,]2
B. C.1[,1)2
D. 【解析】D 因为两准线距离为22a c ,又因为122F F c =,所以有2
24a c c
≤,即222a c ≤,
1e ≤<. 【点评】本题主要考查准线方程及椭圆离心率的求法,而限制条件即是题目中的
122MN F F ≤,故利用题设得到与离心率相关的不等式即可.
例6设12、F F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点,若在其右准线上存在点P ,使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D. 【解析】D 设若P 为右准线与x 轴的交点,可知22a c c c -=,即21
3
e =, 又P 在右准线上可知22a c c c -≥,所以离心率的取值范围为. 【点评】题设条件为几何特殊关系时应注意如何转化几何关系为代数关系,特别是和离心率
相关的关系.
例7已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c
∠=∠,则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【解析】212211sin sin PF PF F PF F PF ∠=∠(由正弦定理得),211PF a PF c e ∴==,21e PF PF ∴=. 又122(1)PF PF a e -=>,2(1)2e PF a ∴-=,221
a PF e ∴=-, 由双曲线性质知2PF c a >-,21a c a e ∴>--,即211
e e
>--,得2210e e --<,
又1e >
,得1)e ∴∈.
【点评】此处的题设条件较前两例复杂,但注意到正弦之比可以转化为边之比,故可进而转
化为和离心率相关的不等式.
策略四:利用三角函数有界性
例8双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点,且122PF PF =,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,3]
C.(3,)+∞ D.[3,)+∞
【解析】B设2PF m =,12(0)F PF θθπ∠=<≤,
当P 点在右顶点处θπ=

22c e a ===.11,(1,3]e θ-≤<∴∈. 【点评】根据第一定义结合余弦定理将离心率转化为角的函数,再利用三角函数求最值.
策略五:利用三角形三边关系
例8也可用三角形的三边关系求解,但注意取等条件. 如图,在12PF F 中
12121212,PF PF F F PF PF F F -<+≥
(后者在P 与1A 重合时取等), 又1222PF PF m m m a -=-==,
则22a c <且362m a c =≥,(1,3]e ∴∈.
【点评】和焦点三角形相关的问题可以考虑用三角形三边关系来建立不等式.
策略六:利用二次函数的性质 例9设1a >,则双曲线22
22
1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是( )
A.2)
B. C.(2,5)
D.
【解析】B
e == 11,01a a
>∴<<
e << 【点评】当所求离心率转化为某参数的二次函数(或类二次函数)时,可以利用二次函数的
性质确定离心率的范围。

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