函数的极大值和极小值
高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
3.5 函数的极值与最大值最小值
因为在1的左右邻域内f (x)0
所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值
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铃
例4已知f(x)x3+ax2bx在x=1处有极值-12,试确定常系数a与b 解 因为f(x)x3+ax2bx,所以 f (x)3x2+2ax+b 因为f(1)=-12为极值点,所以,令f (1)0
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三、数学建模——最优化问题
1.数学建模 数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表 刻画客观事物的本质的属性、结构与联系。创建一个 数学模型的全过程称为数学建模。为解决一个实际问 题，建立数学模型是一种有效的重要方法．
2.最优化模型 给定一个函数(称为目标函数)，寻找自变量的一个取值使得 对于定义域中所有的情况中，目标函数取得最小值或者最大 值．
f (x)
f(x)
↗
不可导
极大值0
↘
0
极小值
1 2
↗
(4)函数f(x)在区间( 0)和(1 )单调增加, 在区间 (0 1)单调减少. 在点x0处有极大值0，在点x1处有极小值-1/2
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定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么 >>>证明 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值
M
注意：极值在哪些点处取得？
m
驻点 + 奇点
x1 x2
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x3 x4 x5
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最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
函数的极值与最大、最小值
例如
x =1 为极大值点 ,
f (1)=2是极大值;
x =2 为极小值点 ,
f (1)=2是极小值.
例如
x =0为极小值点 ,
f (0)=0是极小值.
注意:
函数的极值是函数的局部性质.
x1 , x4 , x6 为极小值点,
x2 , x5 为极大值点,
二、最大与最小值问题
第十节 函数的极值与最大、最小值
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一、函数的极值及其求法
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一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义
设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) ,
若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有
练习题答案
第二充分条件;
(注意使用条件)
注意最值与极值的区别.
最值是整体概念而极值是局部概念.
实际问题求最值的步骤.
利用最大、小值证明不等式
则:
1
且
2
当 n 为偶数时,x = x0 为极值点 , 且
3
x = x0 为极小值点 ;
4
= x0 为极大值点 .
5
当 n 为奇数时,
6
= x0 不是极值点 .
7
但点 (x0 , f (x0 ) ) 是曲线 y=f(x)的拐点 .
最大值, 最小值的特殊情形:
1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
3)对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
例3 三角形 ABC 的底为 a , 高为 h ,求内接
5.3.2函数的极值与最大(小)值课件(人教版)
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值
0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1
所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1
所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结 求函数在某区间上的最大（小）值，
4.3.2函数的极大值和极小值
6
6
即y=f′(x)关于直线x=- a 对称.
6
从而由题设条件知- a =- 1 ,即a=3.
62
又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0,
得b=-12.
②由①知f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令f′(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1. 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+
(2a-b)x+b-c的零点,且f′(x)与g(x)符号相同.
又因为a>0,所以-3<x<0时, g(x)>0,即f′(x)>0, 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0, 所以f(x)的单调增区间是(-3,0), 单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
2.(2017·全国卷Ⅱ)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1
的极值点,则f(x)的极小值为 ( )
A.-1
B.-2e-3 C.5e-3
D.1
【解析】选A.由题可得f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1,因为f′(-2)=0,所以a= -1,f(x)=(x2-x-1)ex-1,故f′(x)=(x2+x-2)ex-1,令 f′(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和 (1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x) 的极小值=f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.
函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
函数的极值
3 的极值． 自我挑战 求函数 f(x)＝x＋3lnx 的极值． ＝ 练习一 3 的定义域为(0，＋ ， ，＋∞ 解：函数 f(x)＝ ＋ 3lnx 的定义域为 ，＋∞ )， ＝ x ( － ) 3 3 3( x－ 1) f′(x)＝－ 2 ＋ ＝ ′ ＝－ ， 2 x x x 令 f′ (x)＝0 得 x＝ 1. ′ ＝ ＝ 的符号、 的单调性和 根据 x＝1 列表分析 f′(x)的符号、f(x)的单调性和 ＝ ′ 的符号 极值点： 极值点：
2．极小值点与极小值 ． 如果x＝ 是函数 是函数y＝ 在某个开区间(u， 上的 如果 ＝ c是函数 ＝ f(x)在某个开区间 ， v)上的 在某个开区间 最小值点，即不等式f(c)≤ 对一切x∈ ， 成 最小值点，即不等式 ≤f(x)对一切 ∈(u，v)成 对一切 就说函数f(x)在x＝c处取到极小值 处取到_________f(c)，并 立，就说函数 在 ＝ 处取到 ， 的一个极小值点， 称 c为 f(x)的一个极小值点， f(c)为f(x)的一个极小 为 的一个极小值点 为 的一个极小 值． 极大值 和 极小值 统称极值 极大值点 _________和________统称极值，____________和 统称极值， 和 极小值点 ____________统称极值点． 统称极值点． 统称极值点
【点评】 点评】 (1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而 函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而 言， 在函数的定义域区间内可能有多个极大值或 极小值，且极大值不一定比极小值大。 极小值，且极大值不一定比极小值大。 (2)连续函数的某点是极值点的充分条件是在这点 连续函数的某点是极值点的充分条件是在这点 两侧的导数异号． 两侧的导数异号 ． 可导函数的某点是极值点的必 要条件是在这点的导数为0. 要条件是在这点的导数为
函数极大值与极小值的判定与求解
函数极大值与极小值的判定与求解函数在数学中起着重要的作用，通过函数可以描述数学模型、分析现象并解决问题。
函数的极值是函数曲线中的最高点或最低点，是函数中的重要特征。
本文将讨论如何判定与求解函数的极大值与极小值。
一、理论基础在讨论函数的极大值和极小值之前，我们需要了解一些相关的概念和理论基础。
1.1 导数导数是函数的重要工具，它描述了函数在某一点附近的变化率。
函数的导数可以用来判断函数的增减性，即函数在某一区间上是递增还是递减的。
1.2 临界点函数的临界点是指函数导数等于零或导数不存在的点。
在临界点处，函数可能取得极值。
1.3 拐点拐点是函数曲线在该点处凹凸性发生变化的点。
拐点处的函数可能存在极大值或极小值。
二、函数极值的判定要判定一个函数 f(x) 在某一点 x0 处存在极大值或极小值，我们可以利用函数的导数和二阶导数来进行判定。
2.1 利用一阶导数当函数 f(x) 在一个区间上单调递增时，该区间上的最大值一定位于区间的右端点；当函数 f(x) 在一个区间上单调递减时，该区间上的最大值一定位于区间的左端点。
因此，我们可以通过求解 f'(x) = 0 的临界点来确定函数的极值点。
2.2 利用二阶导数若函数 f(x) 在临界点 x0 处的二阶导数 f''(x0) 大于零，则 f(x) 在 x0处取得极小值；若 f''(x0) 小于零，则 f(x) 在 x0 处取得极大值。
这是由于 f''(x) 描述了函数凹凸性变化的规律。
三、函数极值的求解在判定函数的极值后，我们可以通过求解极值点的横坐标来确定函数的极值。
3.1 集中式求解对于一些简单的函数，可以通过求导数并解方程的方式求得临界点，再通过代入法判断极值。
这种方法适用于函数简单且解析解容易求得的情况。
例如，对于函数 f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x + 3，可以求得其导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 4。
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4.3.2函数的极大值和极小值
1．下列关于函数的极值的说法正确的是
() A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
答案 D
解析由极值的概念可知只有D正确．
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函
数f(x)
() A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
答案 C
解析在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6
C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6
答案 D
解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
因为f (x )既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0，
解得a ＞6或a ＜－3.
4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．
答案 9
解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a 18
＝1，所以a ＝9.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.。