代数系统的同态
5.3 代数系统的同态与同构
授课时间十一周第 2 次课更广泛的同态映射定义定义设V1=<S1,∘, ∙ >和V2=<S2,*, ◊>是代数系统，其中∘和*是二元运算. f: S1→S2, 且∀x,y∈S1f (x ∘y) = f(x) *f(y) , f (x ∙ y) = f(x) ◊f(y)则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态.设V1=<S1, ∘,∙, ∆>和V2=<S2,*, ◊, ∇>是代数系统，其中∘和*是二元运算. ∆ 和∇是一元运算，f: S1→S2, 且∀x,y∈S1f (x∘y)=f(x)*f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x)则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态.例V1=<Z,+>，V2=<Zn,⊕ >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n则f 是V1到V2 的同态.∀x, y∈Z有f(x+y) = (x+y)mod n= (x)mod n ⊕ (y)mod n= f(x) ⊕ f(y)例V1=<R,+>，V2=<R＋, ∙ >f ：R → R＋, f(x)=ex例题例1 V=<R*,⋅>, 判断下面的哪些函数是V 的自同态？(1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2(4) f(x)=1/x (5) f(x)= -x (6) f(x)=x+1解(2) , (5), (6) 不是自同态.(1) 是同态，f(x⋅y) = |x⋅y| = |x| ⋅|y| = f(x) ⋅f(y)(3) 是同态，f(x⋅y) = (x⋅y)2 = x2 ⋅y2 = f(x) ⋅f(y)(4) 是同态，f(x⋅y) = 1/(x⋅y) =1/x ⋅1/y = f(x) ⋅f(y)特殊同态映射的分类f 为V1=<S1,∘>到V2=<S2,*>的同态，则1. < f (S1),*>是V1在f下的同态像，2.同态映射f如果是单射，则称为单同态；3.如果f是满射，则称为满同态，记作V1~V2；4. 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1 同构于V2，记作V1≅V2 .5. 对于代数系统V，它到自身的同态称为自同态.类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.同态映射的实例例2 设V=<Z,+>，∀a∈Z，令fa：Z→Z，fa(x)=ax那么fa是V的自同态.因为∀x,y∈Z，有fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y)当a = 0 时称f0为零同态；当a=±1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa 都是单自同态.例3 设V1=<Q,+>, V2= <Q*,⋅>，其中Q*= Q-{0}，令f ：Q→Q*, f(x)=ex那么f 是V1到V2的同态映射，因为∀x, y∈Q有f(x+y) = ex+y = ex⋅ey = f(x) ⋅ f(y).不难看出f 是单同态.例4 V1=<Z,+>，V2=<Zn,⊕ >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n则f 是V1到V2 的满同态. ∀x, y∈Z有f(x+y) = (x+y)mod n= (x)mod n ⊕ (y)mod n= f(x) ⊕ f(y)同态映射的实例（续）例5 设V=<Zn,⊕>，可以证明恰有n 个G 的自同态，fp：Zn→Zn,fp (x) = (px)mod n，p = 0,1, … , n-1例如n = 6, 那么f0为零同态,同态像是<{ 0, ⊕} > ；f1与f5为同构；f2 与f4的同态像是<{ 0, 2, 4 }, ⊕ > ；f3 的同态像是<{ 0, 3, ⊕} > .定义：设V1=<S1,∘,k1>和V2=<S2,*,k2 >是代数系统，其中∘和*是二元运算. k1是S1的代数常数，k2是S2的代数常数，f: S1→S2, 如果满足（1）∀x,y∈S1, f (x∘y) = f(x) *f( y),（2）f(k1)＝k2则称f 为V1到V2 的同态例V1=<Z,+,0>，V2=<Zn,⊕,0 >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n∀x, y∈Z有f(x+y) = (x+y)mod n= (x)mod n ⊕ (y)mod n= f(x) ⊕ f(y)同时，f(0)= 0同态映射保持运算的算律设V1,V2是代数系统. o,∗是V1上的二元运算，o’,∗’是V2上对应的二元运算，如果f：V1→V2是同态，那么(1)若o运算是可交换的（可结合、幂等的），则o’运算也是可交换的（可结合、幂等的）.(2) 若o运算对∗运算是可分配的，则o’运算对∗’运算也是可分配的；若o 和∗运算是可吸收的，则o’和∗’运算也是可吸收的。
同构及同态在代数中的应用论文
同构及同态在代数中的应用论文同构及同态在代数中的应用摘要：在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合，而在近世代数中同态与同构又是其一等重要的概念，在近世代数中有重要的作用。
在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，本文给出了同态成为同构的条件，论述了同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性。
关键词：同态；同构；群；环1 代数系统的同态与同构1.1同态映射及同态的定义一个A到A的映射φ，叫做一个对于代数运算和来说的，A到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a和b是A的哪两个元，只要→→，b ba a就有a b a b→定义1：假如对于代数运算和来说，就有一个A到A的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，A与A同态。
定义2: 我们说，一个A与A间的一一映射φ是一个对于代数运算与来说的，A与A间的同构映射（简称同构），假如在φ之下，不管a，b是A的哪两个元，只要→a a→，b b就有a b a b→1.2同态与同构的联系1）从定义上看2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构关于代数系统的同态有以下定理：定理1 :假定，对于代数运算和来说，A与A同态。
那么，（1）若适合结合律，也适合结合律；（2）若适合交换律，也适合交换律。
定理2:假定，?，⊕都是集合A 的代数运算，?，⊕都是集合A 的代数运算，并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算?，?来说同态，对于代数运算⊕，⊕来说也同态。
那么，（1）若?，⊕适合第一分配律，?，⊕也适合第一分配律；(2)若?，⊕适合第二分配律，?，⊕也适合第二分配律。
2群的同态与同构2.1群的同态与同构定义定义3：给定群(),G 和群(),G ?称集G 到集G 的一个映射φ：G G →是群G 到群G 的一个同态映射（简称同态），如果对任意a ，b ∈G ，有()()()a b a b φφφ=? 当φ是单（满）射时，称φ为单（满）同态；当φ是一一映射时，称φ为G 与G 间的同构映射（简称同构，记为G G ?）；当φ是群G 到群G 得一个同态时，令ker φ={x G ∈|()x e φ'=，e '是G 的单位元}，称之为φ的核。
近世代数课件--1.5 同态(8-9)
• 例3 2 : a 1 ( a 是 A 的任一元) • 固然是一个 A 到 A 的映射,但不是同态映 射.因为,对于任意 A 的 a 和 b 来说,
a 1, b 1
a b 1 ( 1) ( 1)
进一步的定义
• 定义2 • (1)单同态:
( a b ) ( a ) ( b )
• 换一种表示，假定在 之下的像，
x x
• 上面的等式即:
a b a b
5.2 同态映射与性质
定义与例子
• 定义1 一个 A 到 A 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, a , b A,都有:
由于是同态满射我们在里至少找得出三个元这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性定理2假定都是集合的代数运算都是集合的代数运算并且存在一个对于代数运算来说同态对于代数运算来说也同态
§5 同态与同构（8－9节）
• • • • • 5.1 最初的思想 5.2 同态映射与性质 5.3 同态的代数系统 5.4 可单向传递的性质 5.5 同构的代数系统及其意义
x y z x y z
A 抽象地来看， 与A 这两个代数系统，没有任何区别（只 有命名上的不同而已）.
• 作业: • P23: 1 • P26:1,3
• 定义 A 和 A 是两个代数系统,如果存在 一个 A 到 A 的同态满射 f ,就称 A 和 A 同 态. • 记号: A A • 性质1 （1）反身性: A A （2）传递性: 注: 对称性不成立
5.4 可单向传递的性质
• 定理1 假定,对于代数运算 和 来说, A 到 A 同态.那么, （1）若 适合结合律, 也适合结合律； （2）若 适合交换律, 也适合交换律.
代数系统间的同构与同态
例3 < I, ＋,×> 和< 2X,∩,∪>是两个同类型的代数系统，因为 这两个代数系统都具有两个运算，且＋和∩都是二元运算， ×和∪也都是二元运算。
定义2 设< X，f >和< Y，g >是两个代数系统，f 和 g 分别是 X 和 Y 上的 n 元运算。若存在一个函数 h：X→Y，使得 ( x1,x2,…,x n ) X n ，有 h (f(x1,x2,…,x n ))=g(h(x1),h(x2),…,h(x n)) ①
则称函数 h 对 f 和 g 保持运算，同时称①式为同态公式。
❖ h对 f 和 g保持运算的含义是指在 h 的作用下，元素运算结 果的象等于元素象的运算结果。
❖ 当 h 对 f 和 g 保持运算时，也称 h 满足同态公式。
2.2 代数系统间的同构关系
定义3 设 A= < X,f1,f2,···,fm > 和 B= < Y,g1,g2, ···,g m > 是两个 同类型的代数系统。若存在一双射函数 h：X→Y，对于A 和B 中的每一对相应的运算fi和gi(i=1,2,…,m)满足同态公式， 则称 h 是从 A 到 B 的同构函数，同时称 A 和 B 同构。
定理1 代数系统间的同构关系R是X上的等价关系, 其中 X=｛A | A是代数系统}。 由等价关系的定义知要证R是 1）自反的； 2定义4 设A1= < X,f1,f2,···,fm> 和A2= < Y,g1,g2, ···,gm> 是两个同 类型的代数系统。若存在函数h：XY，对A1 和A2 中每一对 相应的运算满足同态公式，则称 h 是从 A1到 A2的同态函数， 并称< h(X),g1,g2, ···,gm> 是A1的同态象。
400浅谈代数系统上的同态与同构
400浅谈代数系统上的同态与同构何东东(陕西理工学院数学与计算机科学学院数教专业11级1班，陕西 汉中 723000)指导教师:郑红梅[摘要] 同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.[关键词] 半群;群;环;格;同态;同构1 预备知识同态、同构是代数学中的重要概念,它们是研究群、环等代数系统的重要手段.同态是保持代数系统结构的映射,同态是同构的推广.同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.下面首先对同态与同构的相关概念进行简单介绍.定义1.1]1[设集合A 到A 各有代数运算 和 ,且ϕ是A 到A 的一个映射.如果ϕ保持运算，即对A 中任意元素a ,b ,在ϕ之下由a a →,b b →总可得b a b a →,亦即b a b a =或)()()(b a b a ϕϕϕ =,则称ϕ为代数系统A 到A 的一个同态映射,若ϕ又是满射,则称ϕ为同态满射.如果A 到A 存在同态满射,则简称A 与A 同态,记为A A ~.定义 1.2]1[设ϕ是A 到A 的一个(关于代数运算 及 )同态满射.如果ϕ又是单射(即ϕ是双射),则称ϕ是A 到A 的一个同构映射.如果A 到A 存在同构映射,就说A 与A 同构,记为A A ≅.否则,即若A 到A 不存在任何同构映射,则称A 与A 不同构.A 到自身的同态映射,称为A 的自同态映射,简称A 的自同态.同样,A 到自身的同构映射,叫做A 的自同构映射,简称A 的自同构.定义1.3]2[设(S ,≤)是序列集,S T ⊆.如果存在S u ∈,使得)(T t u t ∈∀≤,则称u 为T 的一个上界.如果T 的一个上界u 具有如下的性质:对于T 的任一上界u ',都有u u '≤,则称u 为T 的一个最小上界,记为lub T .如果存在S l ∈使得)(T t T l ∈∀≤,则称l 为T 的一个下界.如果T 的一个下界l 具有以下性质：对于T 的任一个下界l ',都有l l ≤',则称l 为T 的一个最大下界,记为glb T .S 的上界和下界(如果存在,显然唯一)分别称为幺元和零元,记为1和0.由偏序的反对称性可知:偏序集中任意指定的两个元素的最小上界和最大下界有唯一性(如果它们存在).设），（≤L 是一个偏序集,如果L 中的任意两个元素都有最小上界和最大下界,则称），（≤L 是一个格.只含有有限多个元素的格称为有限格,否则称为无限格.定义 1.4]2[设R 是幺环,M 是一个交换群,如果映射(称R 在M 上的作用)M M R →⨯,ax x a ),(.满足下列条件:(1);,,,)(M y x R a ay ax y x a ∈∈∀+=+(2);,,,)(M x R b a bx ax x b a ∈∈∀+=+(3);,,),()(M x R b a bx a x ab ∈∈∀=(4),,1M x x x ∈∀=则称M 为环R 上的一个左模,或左R 模.如果将(3)改为;,,),()(R b a M x ax b x ab ∈∈∀=其余条件不变,则称M 为环R 上的一个右模,或右R 模.理论上讲,右模和左模没有本质的区别.如果M 为环R 上的一个右模,令R '为R 的反同构的环,则M 构成R '上的左模,当然,若R 是交换环,则R 上的左模和右模没有区别.定理1.1]3[设代数系统),( A 和)( ，A 同态，则（1）若 适合结合律, 也适合结合律;（2）若 适合交换律, 也适合交换律.定理 1.2]3[设⊗,⊕为集合A 的代数运算,⊗,⊕为集合A 的代数运算,且存在A 到A 的满射φ,使得A 与A 对于代数运算⊗,⊗来说同态,对于代数运算⊕,⊕来说也同态,那么（1）若⊗,⊕适合第一分配律,⊗,⊕也适合左分配律;（2）若⊗,⊕适合右分配律,⊗,⊕也适合右分配律. 2 主要内容下面将分别讨论群,环,格,模上同态同构在其中的应用以及比较它们在同态同构中的不同.2.1 群同态与同构定义2.1.1]4[设G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算,如果满足以下条件:(1)结合律成立,即对G 中任意元素c b a ,,都有)()(c b a c b a =;(2)G 中有元素e ,叫做G 的左单位元,它对G 中每一个元素a 都有a a e = ;(3)对G 中每一个元素a ,在G 中都有元素1-a ,叫做a 的左逆元,使e a a =- 1;则称G 对代数运算 为一个群.定义 2.1.2]4[设G 和1G 是群,映射1:G G →ϕ称为由G 到1G 的群同态,如果ϕ保持群运算,即∀G b a ∈,,都有)()()(b a ab ϕϕϕ=.如果ϕ为单(满)射,则称ϕ为单(满)同态.定义 2.1.3]4[既单又满的同态称为同构.如果存在由G 到1G 的一个同构,则称G 同构于1G ,也说G 和1G 是同构的,记为1G G ≅.群G 到自身的同态及同构具有重要的意义,称之为群G 的自同态和自同构.)(End G 表示G 的全体自同态构成的集合,)(Aut G 表示G 的全体自同构构成的集合.对于映射的乘法,)(End G 构成一个有幺元的半群,而)(Aut G 构成一个群,称为G 的自同构群.定义2.1.4]4[像通常的映射一样,)(G ϕ称为ϕ的像,记为ϕim .又将1e 的原像称为ϕ的核,记为ϕker ,即})(|{ker 1e a G a =∈=ϕϕ.定理2.1.1]4[设1:G G →ϕ是群同态.则ϕϕim G ≅ker /.证明 记H =ϕker ,定义映射,im /:ϕψ→H G ).(a aH ϕ验证ψ是良定义的,即)(aH ψ与陪集代表a 的选取无关.如果bH aH =,即aH b ∈,则存在H h ∈使得ah b =.故)()()()()()()(aH a h a ah b bH ψϕϕϕϕϕψ=====,即ψ良定义.下面证明ψ是群同构，也就是证明ψ是单射,并且ψ也是满射. )()()()()()()))(((bH aH b a ab abH bH aH ψψϕϕϕψψ====,所以ψ是群同态.又设1)(e aH =ψ(1G 的幺元),即1)(e a =ϕ,故H a ∈,即)/(的幺元H G H aH =,所以ψ是单射.最后设ϕim g ∈,则存在G a ∈使得g a =)(ϕ.于是g a aH ==)()(ϕψ,这说明ψ必是满射.所以ψ同构.定理 2.1.2]3[设G 是一个群,G 是一个代数运算(也称为乘法)的集合.如果G G ~,那么G 也是一个群. 证明 因为G G ~,G 是群,其乘法满足结合律,故由定理1.1得,G 的乘法也满足结合律.设e 是群G 的单位元,a 是G 的任一元素,又设ϕ是G 到G 的满同态,且在ϕ之下e e →，a a → 于是a a e =,但是a ea =,故a a e = ,即e 是G 的单位元.又设1-a →1-a,则a a a a 11--→.但是e a a =-1,故e a a =-1,即1-a 是a 的逆元.因此,G 也是一个群. 本定理的意义在于,要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群时,可找到一个已知群,并通过同态来实现.定理 2.1.3]4[设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射(不一定是满射),则群G 的单位元的像是群G 的单位元,G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元,即11--=a a 或11)()(--=a a ϕϕ.应该注意,如果集合G 与G 各有一个代数运算,且G G ~,则当G 为群时,G 却不一定是群.例 1 令G ={全体正负奇数},代数运算为数的普通乘法;又}1,1{-=G 关于数的普通乘法作成群,令ϕ:正奇数1→,负奇数-1→.则易知ϕ是G 到G 的一个同态满射,故G G ~.G 是群,但G 却不是群.当然,若G 与G 为各有一个代数运算的代数系统,且G G ≅,则当G 与G 中有一个是群时,另一个必然是群.例2 设G 是一个群,N 是G 的正规子群.令G a aN a f ∈∀=,)(.显然f 是群G 到商群N G 的满同态,这个满同态称为群G 到商群N G 的自然同态.定理2.1.4]4[设是G 到G 的同态映射(不一定是满映射),则1）当G H ≤时,有G H ≤)(ϕ且H ～)(H ϕ;2）当G H ≤时,有ϕG H ≤)(-1ϕ,且在ϕ之下诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.证明 1）任取a ,b ）（H ϕ∈且在ϕ之下令a a →,b b →.其中H b a ∈,.由于G H ≤,故H ab ∈,且b a ab →. 从而)(H b a ϕ∈,即）（H ϕ对G 的乘法封闭,且 )(~H H ϕ.但H 是子群,从而)(H ϕ也是群且是G 的子群.2）当G H ≤时,由于)(-1H ϕ显然非空,任取)(,1H b a -∈ϕ,且在ϕ之下令a a →,b b →则11--→b a ab ,其中,H b a ∈，.而G H ≤,故H b a ∈-1,从而1-b a )(-1H ϕ→,即G H ≤)(-1ϕ且显然ϕ诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.定理2.1.5]3[群G 到群G 的同态映射ϕ是单射的充要条件,群G 的单位元e 的逆象只有e .证明 必要性显然,下证充分性.设ϕ是群G 到群G 的任一同态映射,且在ϕ之下e 的逆象只有e .又设在ϕ之下a a →,b b →,当b a ≠时,必有b a ≠:又若b a =,则由于e b a ab =→--11,故b a e ab ==-,1,矛盾.因此,ϕ是单射.定理 2.1.6]3[设f 是群G 到G '的一个满同态.若N 是G 的正规子群,则)(N f 是G '的正规子群.证明 设N 是G 的正规子群,可得,)(N f 是G '的子群.对于任意的)(N f n ∈'和任意的G a '∈',去N n ∈和G a ∈,使得n n f '=)(,a a f '=)(. 于是,有 )()())()(()()(111N f ana f a f n f a f a n a ∈=='''---,所以)(N f 是G '的正规子群.性质1]4[任何群G 与自身同构;证明 首先,对于任何群G ,单位变换G I 就是G 到自身的一个同构,因此G G ≅.所以性质成立.性质2]4[若群1G 与群2G 同构,则群2G 与群1G 同构;证明 1G 和2G 是两个群,并且1G 2G ≅,我们有b a b a f f ''=''-))((1,b a b f f a f f b fa f f ''=''=''----))(())(())()((1111,从而)()()(111b f a f b a f''=''---.因此1-f 是群2G 到群1G 的同构,从而12G G ≅,所以性质成立. 性质3]4[若群1G 与群2G 同构,群2G 与群3G 同构,则群1G 与群3G 同构;证明 假设1G ,2G 和3G 都是群,并且21G G ≅,32G G ≅,不妨设f 是群1G 到2G 的同构,g 是群2G 到3G 的同构.容易验证,gf 是群1G 到3G 的同构,因此31G G ≅,所以性质成立.定理2.1.7]2[设G 是一个群,N 是G 的正规子群.（1） 若H 是G 的子群,则 N HN N H H )()(≅ .（2） 若H 是G 的正规子群且H N ⊆,则H G N H H G ≅)()(.推论2.1.8]4[设1:G G →ϕ是群同态,则ϕϕim G ≅ker /. 定理2.1.9]4[(Cayley 定理)任何一个群都与某个变换群同构.证明 设G 是群.对与每一个G a ∈,定义G 的变换a σ如下： G x ax x a ∈∀=,)(σ.显而易见,a σ是G 的一一变换. 令{}G a G a ∈='σ.下面我们来阐明G '是G 上的一个变换群. 事实上,显然,我们有G I e G '∈=σ.此外对于任意的a σ,G b '∈σ,我们有)())((x abx x ab b a σσσ==,)())((11x I x x aa x G a a ===--σσ, )())((11x I x ax a x G a a ===--σσ,G x ∈∀,从而,G ab b a '∈=σσσ,G a a a a I ==--σσσσ11,所以,G '是G 上的一个变换群.现在考察由下式定义的G 到G '的映射fa a f σ=)(,G a ∈∀.显而易见,f 是满射.对于任意的G b a ∈,我们有b a b f a f σσ=⇒=)()( b a e e b a =⇒=⇒)()(σσ.因此f 是单射,从而,f 是双射.此外,我们有)()()(b f a f ab f b a ab ===σσσ,G b a ∈∀,.所以f 是G 到G '的同构,从而G G '≅.推论2.1.10]4[任何一个有限群都与某个置换群同构.2.2 环同态与同构由于环是有加,乘两种运算的代数系统,因此,定义同态映射时必须同时保持加,乘的同态性.定义2.2.1]5[设R 是一个环,S 是有加法和乘法的两种运算的代数系统,称R 到S 中的一个映射σ是环R 到S 中的一个同态映射,如果 )()()(b a b a σσσ+=+,)()()(b a ab σσσ=.若R 到R '上有一个同态映射,则称R 到R '同态,记为R ～R '.定义 2.2.2]5[如果σ是环R 到R '的一个同态映射,并且σ又是双射时,则称σ为环R 到R '的一个同构映射,当R 与R '之间存在同构映射时,称环R 与R '同构,记为R R ≅,特别的,当R R =时,称σ为环的一个自同构.定理2.2.1]5[设R 是一个环，S 是一个有加法和乘法的运算系统,若σ是R 到S 中的同态映射,则)(R R σ='也是一个环;)0(σ为R '的零元0';)()(a a σσ-=-;若R 有幺元而R '不止有一个元素,则R '有幺元且,σ（1）就是R '的壹1'；若R a ∈可逆,则)(a σ在R '中可逆而且)(1-a σ就是1)(-a σ.设σ是R 到R '上的同态映射,R '的零0'的逆映像)0(1'-σ叫σ的核. 定理2.2.2]5[(环同态基本定理)设R 和R 是两个环,且R R ~.则1）这个同态的核N ,即零元的全体逆像,是R 的一个理想;2）R N R ≅/证明 设ϕ是环R 到环R 的一个同态满射.1)易知,核N 首先是环R 的一个子加群;其次,设R r N a ∈∈,,则r r a →→,0.于是在ϕ之下有00,00=→=→r ar r ra ,故N ar ra ∈,,即N 是R 的理想.2)令)(:a N a ϕσ→+,则由群同态基本定理知,作为加群,σ是N R /到R 的一个同构映射.又由于N ab N b N a +=++))((,而)()()(b a ab ϕϕϕ=,因此σ是N R /到环R 的一个同构映射,从而R N R ≅/.此定理表明,在同构意义下,每个环能而且只能与商环同态.推论2.2.3]6[设1:R R →ϕ是环同态,则1ker /R R ≅ϕ.定理 2.2.4]6[同态映射σ的核N 是R 的理想,设a '是R '的任意元素,则a '的逆映像})({)(1a a R a a '=∈='-σσ是N 的一个剩余类. 证明 因为σ是R 的加法群到R '的加法群上面的一个同态映射,所以σ的核)0(1'=-σN 是R的一个子群,且a '的逆映象)(1a '-σ是模N 的一个剩余类.现在再证N 做成理想.即证：若N a ∈，R x ∈,则N ax ∈,N xa ∈,事实上,0)()()('==x a ax σσσ,故N ax ∈,同样可证N xa ∈.对于R 的任意理想N ,是否有一个环R '而且有R 到R '的一个同态映射σ使N 刚好就是σ的核呢?答案也是肯定的.由群中已证的结果,模N 的所有剩余类按照剩余类的加法作成一个加法群,就是R 对于N 的商群N R ,规定N a a +=)(σ,即N a a +→:σ这样规定的σ便是群R 到群N R 上的一个同态映射,其核为N .规定剩余类的乘法,以使σ成为环R 到系统N R 上的同态映射.设A ,B 是N 的两个剩余类,任取A a ∈，B b ∈,规定包含ab 的剩余类N ab C +=为A 与B 的积,而AB C =,))((N b N a N ab ++=+.若另取A a ∈',B b ∈',则包含a 'b '的剩余类和包含ab 的剩余类是一样的,可见上面的乘法规定由A ，B 完全确定,与b a ,的选择无关.由σ的定义,N a a +=)(σ,N b b +=)(σ,N ab ab +=)(σ.但由上面的剩余类乘法的定义,))((N b N a N ab ++=+,故)()()(b a ab σσσ=.所以,σ是环R 到运算系统N R 上的一个同态映射.因此,N R 是一个环,于是有：定理 2.2.5]7[按照上述剩余类的加法和乘法,R 对于理想N 的所有剩余类的集合N R 是一个环,规定N a a +=)(σ,则σ是R 到N R 上的一个同态映射,其核为N .N R 叫做R 对于N 的剩余环,前面定理所说的加法和乘法的同态性,其实是说剩余环N R 中的加法和乘法运算可由剩余类中的任意元素来确定,剩余类的运算与其中元素的特殊选择无关.剩余环N R 有了这加法和乘法两种运算,就与环R 同态.定理 2.2.6]7[(第一同构定理)设R 是环,是R 的理想,则在自然同态I R R /:→π,I r r + .下,(1)R 的包含I 的子环与I R /的子环一一对应.(2)在此对应下,理想对应理想.(3)若J 是R 的理想且I J ⊇,则)/)(/(/I J I R J R ≅.定理 2.2.7]7[(第二同构定理)设R 是环,I 是R 的理想,S 是R 的子环,则(1)I S ⋂是S 的理想.(2))(/)(I S S I S I ⋂≅+.定理 2.2.8]8[若σ是环R 到R '上的一个同态映射,其核为N ,则R '与N R 同构：R '≅N R . 证明 设a '是R '的任意元素,则)(-1a 'σ是N 的一个剩余类A .规定R '的a '和这个N R 的A 对应.这样,我们规定了R '到N R 上的一个一对一映射τ,τ：N R R /→',a ' A .下面证明τ是同构,即证明：若R b a '∈'',,则)()()(b a b a '+'='+'τττ,)()()(b a b a ''=''τττ.事实上,若A a =')(σ,B b =')(τ,即N a A a +=='-)(1τ,N b B b +=='-)(1σ,其中,A a ∈B b ∈,则因b a b a '+'=+)(σ,b a ab ''=)(σ,故N b a b a ++='+'-)(1σ,N ab b a +=''-)(1σ,B A b a +='+'-)(1σ,AB b a =''-)(1σ.于是)()()(b a B A b a '+'=+=''ττσ,)()()(b a AB b a ''==''τττ.故τ是R '到N R 上的一个同构对应.定理 2.2.9]8[设环R 同态于R '：R R '~于是R 与N 间的子环与R '的子环一一对应,大环对应大环,小环对应小环,理想对应理想.2.3 其他代数系统上的同态与同构定义 2.3.1]9[(模同态与同构)设M 和T 都是R 模,T M →:ϕ是映射.如果ϕ满足下述两个条件:(1)M y x y x y x ∈∀+=+,),()()(ϕϕϕ.(2)M x R a x a ax ∈∈∀=,),()(ϕϕ.则称ϕ为M 到T 的一个R 模同态.如果ϕ又是单(满)射,则称ϕ为R 模的单(满)同态.定义 2.3.2]9[如果,ϕ既单又满,则称ϕ为模同构.此时,也称为M 和T 是同构的,记作T M ≅,由M 到T 的所有R 模同态构成的集合记为),(Hom T M R ;如果M T =,记),(Hom T M R 为)(End M R ,其元素称为M 的自同态.定义 2.3.3]10[(格同态与同构)设21:L L f →,1,L y x ∈∀有)()()(y f x f y x f ∧=∧，)()()(y f x f y x f ∨=∨则称f 为1L 到2L 的同态.如果f 是双射的,就称f 是1L <，1∨，>∧1到>∧∨<222,,L 的格同构,也称格>≤<11,L 和>≤<22,L 同构. 定理2.3.4]9[(同态基本定理)设T M →:ϕ是模同态.ϕϕim ker /→M ,)(x x ϕ是模同构,其中ϕker +=x x 是x 所代表的陪集.定理2.3.5]9[(第一同构定理)设N 为M 的子模,N M M /:→π是典范同态,则在π下的包含N 的子模与N M /一一对应,对于M 的包含N 的子模H ,有同构 )//()/(/N H N M H M →,)/()(N H x H x ++π .定理2.3.6]9[(第二同构定理)设H 和N 为M 的子模,则有同构)(/)(N H H N N H ⋂→+,)()(N H h N n h ⋂+++ ),(N n H h ∈∈∀.可以想象:环上的模的性质依赖与环的性质.环的性质越丰富,其上的模的结构就越简单.定理2.3.7]10[f 是格1L 到2L 的同态,则1,L b a ∈,)()(b f a f b a ≤⇒≤.证明 b a ≤)()()()()()()(b f a f a f b f a f a f b a f a b a ≤⇒=∧⇒=∧⇒=∧⇒.注意 )()(b f a f ≤不一定推出b a ≤.定理3.2.8]10[f 为双射.f 为格1L 到2L 的同构当且仅当)()(,,1b f a f b a L b a ≤⇔≤∈∀. 证明 必要性:)()(b f a f b a ≤⇒≤显然成立,若)()(b f a f ≤成立,则)()()(a f b f a f =∧,因为f 是同构,有)()(a f b a f =∧,由单射性a b a =∧,所以b a ≤.充分性:只须证明f 是同态映射,即：)()()(b a f b f a f ∧=∧,)()()(b a f b f a f ∨=∨.b a b b a a ∨≤∨≤,)()(),()(a f b f b a f a f ≤∨≤⇒)()()(b a f b f a f ∨≤∨⇒,2)()(L b f a f ∈∨))()()((1b f a f d f L d ∨=∈∃⇒,d b d a d f b f d f a f ≤≤⇒≤≤,)()(),()()()()(b f a f b a f d b a ∨≤∨⇒≤∨⇒)()()(b a f b f a f ∨=∨∴同理)()()(b a f b f a f ∧=∧.3 小结同态只保持两个代数系统的部分性质,而同构却能使两个代数系统的结构完全相同.但同态关系比同构易建立.虽然同态比起同构有其不足，但它的确是比同构应用更广泛也更灵活的一种研究代数系统的有效方法.在我们学习的过程中应该加强它们之间的联系与区别，这对于技术人员,工程人员,高等理工科院校本科生,研究生是必不可少的基础数学知识,有着重要的学习意义以及应用价值.参考文献[1].杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社.2011.21-107.[2].赵春来,徐明曜.抽象代数Ⅰ[M].北京:北京大学出版社.2008.143-153.[3].张禾瑞.近世代数基础（修订本)[M].高等教育出版社.1978.31-48.[4] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.[5].杨子胥.近世代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003.81-105.[6].张禾瑞,郝炳新.近世代数基础[M].高等教育出版社.1988.30-42.[7].刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社.1999.45-52.[8] 杨树生.代数系统的同态与同构[J].内蒙古民族大学学报,2004,6(19):1-2.[9] J.M.Howie:An Introduction to semigroup theory[M].London:Published for the London Mathematical Society by Academic prees Inc,1975.1-156.[10] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.A Tentative Discussion on the Homomorphism and Isomorphism of the Algebraic SystemDongdong He(Grade11,Class1, Major in Mathematics Education Speciality, School of Mathematics and ComputerScience, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor: Hongmei ZhengAbstract : One of the most important and elementary concept in algebra is homomorphism and isomorphism.The application of the homomorphism and isomorphism on several algebraic systems is summarized in this paper,which shows the importance on the algebra.Key words: Semigroup; Group; Ring; Lattic; Homomorphism; Isomorphism。
4.2 代数系统的同构与同态
4
第四章 例 设V1=<S1,o>,V2=<S2,*>,其中S1={a,b,c,d}, S2={0,1,2,3},二 元运算o和*的运算表如下
o a b c d a a b c d b c d d d d d * 0 1 2 3 0 0 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 3 0 1 2 3
2
第四章 定义3 设h是V1=<S1,o>,V2=<S2,*>的同态，如果 h是满射的,单射的，双射的，则称h是V1到V2的满同 态，单同态，同构. 例 设V=<Z,+>,给定a∈Z,令 h:Z →Z, h(x)=ax, 任意x∈Z 则h是否是V到自身的同态?如果是，称为自同态.
3
二.同态，同构定理
b c b d d c d d
定义同态h:S1→S2,且 h(a)=0,h(b)=1,h(c)=0,h(d)=1 则h是满，单，双同态？V1在h下的同态像为？ 非单非满同态，<{0,1},*>
5
第四章
作业： P129 1(6,8) P130 7,12,15
6
第四章
定理1 设V1=<S1,f1,f2,..,fm>和V2=<S2,g1,g2,..,gm>是两个同 类型的代数系统，h是从V1到V2的同态函数，那么V1的同态 像<h(S1),g1,g2,..,gm>是V2的子代数系统. 定理2 设V1=<S1,o>和V2=<S2,*>是两个代数系统，o和*是二 元运算，h是从V1到V2的满同态函数，那么 (1) e, θ，x-1分别是o的单位元，零元和x的逆元，则 h(e), h(θ)，h(x-1)分别是关于*的单位元，零元和h(x)的逆元.
64 代数结构的同态与同构
定理6.4.3 设 f 为从 ( A , o, ) 到 ( A ,∗, ⊗) 的一个同 定理 1 2 构, 则 ( A , o, ) 满足关于运算 o (或 ) 的交换 或 1 律、结合律以及 对 o (或 o 对 ) 的分配律等 或 运算性质的充要条件是 ( A ,∗, ⊗)满足关于运算 ∗ 2 (或 ⊗) 相对应的性质。 相对应的性质。 或 定理6.4.2 设 f 为从 ( A , o, ) 到 ( A ,∗, ⊗) 的一个同 定理 1 2 构, 则 ( A , o, )有特异元的充要条件是 ( A ,∗, ⊗) 1 2 有相应的特异元， 有相应的特异元，且
例. 代数 代数(A, ◦), 其中 A={a, b, c}, 运算◦由右表给出, 为单位元 为单位元; 运算◦由右表给出 c为单位元 但 (B, ◦)其中 B={a, b}, a为单位元。 为单位元。 其中 为单位元
定义6.4.3 设 f 为从 1, ◦)到(A2, *)的一个同态，如 为从(A 的一个同态， 定义 到 的一个同态 单射(满射 双射)， 满射， 果是 f 单射 满射，双射 ，则称 f 为从 (A1, ◦) 到 (A2, *) 的单同态 满同态，同构 。 的单同态(满同态 同构) 满同态， 是同构时， 当 f 是同构时，也称 (A1, ◦)与 (A2, *)是同构的， 与 是同构的， 并记作： 并记作：(A1, ◦) ≅(A2, *) 。
定义6.4.2 设(A1,◦,⊙)和 (A2,*,⊗) 是二个代数 定义 ◦⊙ 和 *⊗ 结构，若存在映射f 结构，若存在映射 : A1→A2，满足
f ( x o y) = f ( x)∗ f ( y) 和 f ( x y) = f ( x) ⊗ f ( y),
Ch 15.3 代数系统的同态与同构 15.4 同余关系与商代数 (1)
9
同态像是映到代数系统的子代数
定理15.7 设V1 =< A,o1 ,o2 ,...,or > 与V2 =< B,o1',o2 ',...,or '>是同 定理 是同 类型的代数系统， 类型的代数系统，oi与oi′是ki 元运算 (i=1,2,…,r), 是 元运算, f : A→B是V1到V2的同态，则f(A)关于 2的运算构成代数系统， 的同态， 关于V 是 关于 的运算构成代数系统， 且是V 的子代数， 下的同态像 同态像. 且是 2的子代数，称f(A)为V1在f 下的同态像 为 f(A)是 的非空子集.证明 证明f(A) 中的所有运算封闭. 证 f(A)是B 的非空子集.证明f(A) 对V2中的所有运算封闭. (1) 若V2有0元运算 则V1存在 元运算 f(a)=a′. 即a′∈f(A). 元运算a′, 存在0元运算 元运算a, 元运算 ∈ (2) 任意 2中非 元运算 k元运算 ∀ y1, y2, …, yk∈ f(A)， 任意V 中非0元运算 元运算o′( 元运算 元运算), ， 存在x 存在 1, x2,…, xk ∈ A, 令 f(xi) = yi, i=1,2,…,k, 则 o'(y1, y2,..., yk ) = o‘( f (x1), f (x2),..., f (xk ))= f (o(x1, x2,..., xk )) ∈ f(A) .
第三编 代数结构
6
同态映射的实例
(1) V = <Z,+>, fc:Z→Z, fc(x) = cx, c为给定整数 为给定整数 c = 0, 零同态 (∀ x∈A, f (x)=0 ) ∈ c = ±1，自同构 其它 单自同态 ，自同构; 其它c, (2) V = <Z6,⊕>, fp:Z6→Z6, fp(x) = (px) mod 6, p = 0,1, …, 5, ⊕ p = 0, f0 零同态 p = 1, f1 恒等映射，自同构 零同态; 恒等映射， p = 2, f2 = {<0,0>,<1,2>,<2,4>,<3,0>,<4,2>,<5,4>}, p = 3, f3 = {<0,0>,<1,3>,<2,0>,<3,3>,<4,0>,<5,3>} p = 4, f4 = {<0,0>,<1,4>,<2,2>,<3,0>,<4,4>,<5,2>} p = 5, f5 = {<0,0>,<1,5>,<2,4>,<3,3>,<4,2>,<5,1>}自同构 自同构 (3) 推广到 V = <Zn,⊕>, fp(x) = (px) mod n, p = 0,1, …,n-1, ⊕ fp(x⊕y) = (p(x⊕y)) mod n ⊕ ⊕ = (px) mod n ⊕ (py) mod n = fp(x)⊕fp(y) ⊕
第3节 半群与幺半群的同态与同构.
近世代数
半群的同构与同态
定理3(半群的Cayley定理) 任意一个半群都同构于某 个变换半群。(成立吗?) 定理4 设(A,∘)是一个半群，(B,)是一个代数系。 如果存在一个从A到B的满射f，使得x, y A 有 f(x∘y) = f(x) f(y), 则( B,)是一个半群. 定理5 设f是半群(S1,∘)到半群( S2,)的同态， g是半群 (S2, )到半群( S3, )的同态，则f与g的合成gf是(S1, ∘) 到( S3, )的同态.
11/22
近世代数 设(A,∘)和(B,)是两个半群，f 是A到B的同态. 则可由 f确定A上的一个等价关系Ef： x, yA xEf y(或(x,y)Ef) f(x)=f(y) 下面利用A上的运算“∘”定义A/Ef上的一个代数运算 “▪”： [x], [y]A/Ef ，[x]▪[y]=[x∘y] 为了证明“▪”是二元代数运算，有两种途径： (1)证明a[x], b[y]，总有[a∘b]=[x∘y]，即[x]▪[y]与 [x], [y]的表示方式无关(实质上就是证明映射的“单 值性”). 12/22 (2)证明Ef是同余关系(随后给出定义及结论).
4/22
近世代数
实例
(3) 设(Z,+)，其中Z为整数集，+为普通加法. aZ， 令 fa : ZZ，fa(x)=ax， 那么 fa 是Z的自同态. 当a=0时称 f0 为零同态； 当a=1时，称 fa 为自同构； 除此之外其他的 fa 都是单自同态.
5/22
近世代数
满同态映射保持运算的规律
定理1 设V1,V2是代数系统. o,∗是V1上的二元运算， o’,∗’是V2上的二元运算. 如果 f：V1V2是满同态， 则 (1)若运算o满足交换律(结合律)，则运算o’也满足 交换律(结合律). (2) 若运算o对运算∗满足分配律，则运算o’对运算∗’ 也满足分配律.
离散数学 ch5.3同态与同构
下面看看同构的两个代数系统运算表的相同性：
+4
0 1
2
3
S R A L
0 1 2 3
0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2
S S R R R A A A L L L S
A L S R
L S R A
+4
f N4 X 0 S 1 R 2 A 3 L
f是双射
下面是含有两个运算的代数系统的同构的性质的保持问 题。
定义：令(X,+,×）和（Y, ,）是含有两个运算的代数 系统，其中+、×、 、都是二元运算，如果存在双射 f:XY, 使得对任何x1 , x2∈X，满足 f(x1+x2) = f(x1) f(x2)。 (注意：+与对应) f(x1×x2) = f(x1) f(x2)。 (注意：×与对应) 则称这两个代数系统同构。 6. (保持分配律)如果运算+对×可分配, 则对也可分配。 证明：任取y1 ,y2 , y3 ∈Y 因 f :XY是满射,x1 ,x2 , x3∈X, 使得 y1=f(x1) , y2=f(x2) , y3=f(x3) y1 ( y2 y3 )=f(x1)(f(x2)f(x3)) = f(x1) f(x2×x3) = f(x1+(x2×x3)) = f((x1+ x2)×(x1+ x3)) (因+对×可分配) = f(x1+x2) f(x1+x3) = (f(x1)f(x2)) (f(x1)f(x3)) = (y1y2) (y1y3) 所以对 也可分配。
例2：设有两个代数（{0，1}， ∨ ）,（{a,b}, ） 其运算表如下： 表1 代数系统 表2 代数系统
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代数系统的同态
在数学中，代数系统是研究代数结构的一个分支，它包括了代数运算和相应的集合。
同态是代数系统中的一个重要概念，它描述了两个代数结构之间的映射关系。
本文将介绍代数系统的同态以及其在数学中的应用。
我们来了解一下代数系统。
代数系统是由一个非空集合和在该集合上定义的一个或多个运算组成。
常见的代数系统包括群、环、域等。
群是代数系统中最简单的一种结构，它是一个集合，其中定义了一个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
环是一个集合，其中定义了两个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元和分配律的条件。
域是一个集合，其中定义了两个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元、逆元和分配律的条件。
接下来，我们来了解同态的概念。
同态是两个代数系统之间的映射，它保持代数运算的结构。
具体地说，设有两个代数系统A和B，它们的运算分别为*和∘。
如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素a和b，有f(a * b) = f(a) ∘ f(b)，那么我们称f是一个从A到B的同态。
换句话说，同态将A中的运算映射到B中的运算，且保持运算结构不变。
同态在数学中有着广泛的应用。
首先，同态可以帮助我们研究不同代数系统之间的关系。
通过同态，我们可以将一个复杂的代数系统
映射到一个简单的代数系统中，从而简化问题的研究。
例如，我们可以将一个环映射到一个域中，这样我们就可以利用域的性质来研究环的性质。
同态可以用于证明代数系统之间的性质。
通过同态，我们可以将一个代数系统的性质转化为另一个代数系统的性质，从而简化证明过程。
例如，我们可以通过同态将一个群的性质转化为一个矩阵代数的性质，这样就可以利用矩阵的性质来证明群的性质。
同态还可以用于构造新的代数系统。
通过同态，我们可以将一个代数系统映射到另一个代数系统中，从而构造出新的代数系统。
例如，我们可以通过同态将一个环映射到一个域中，从而构造出一个新的域。
同态还可以用于解决实际问题。
通过同态，我们可以将一个实际问题映射到一个代数问题中，从而利用代数的方法来解决实际问题。
例如，通过将一个电路网络映射到一个代数系统中，我们可以利用代数的方法来分析电路的性质。
总结起来，代数系统的同态是代数结构中的一个重要概念，它描述了两个代数系统之间的映射关系。
同态在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们研究代数系统之间的关系、证明代数系统的性质、构造新的代数系统以及解决实际问题。
通过研究和应用同态，我们可以深入理解代数系统的结构和性质，推动数学的发展和应用。