圆中角问题
计算圆心角的公式
计算圆心角的公式
圆心角计算公式为：1、已知半径R和弧长L，圆心角θ=L/R（单位：弪，即rad）=（180°L）/
（πR）（单位：度）。
2、已知半径R和扇形面积S，圆心角θ=2S/R（单位：弪）。
3、已知半径R，弦长b，弓形高h，圆心角θ=（b²+4h²）/8h
（单位：弪）。
圆心角是指在中心为O的圆中，过弧AB两端的半径构成的∠AOB，称为弧AB所对的圆心角。
圆心角等于同一弧所对的圆周角的二倍。
圆心角的性质
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等。
等弧对等圆心角，把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。
因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧。
圆心角的度数和它们对的弧的度数相等。
《28.3 圆心角与圆周角 第一课时》优质课件
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等 .
典例精析
例2 如图所示，AB和CD是两条直径，弦CE∥AB，求证：弧AD=弧AE .
分析：要证明弧AD=弧AE，需证明
∠AOD=∠AOE，由已知CE∥
AB，所以∠AOD=∠OCE， ∠AOE=∠OEC，又因为OC=OE， 可以知道∠OCE=∠OEC . 证明：连接OE . ∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC .
探索新知
总结
在同一个圆中，弧、弦和圆心角中只要有一组量相等，就 能推出另两组量相等．线段有和差，弧也有和差．
练一练
1 如图所示，在⊙O中，AB CD ，则在①AB＝CD；②AC＝BD； ③∠AOC＝∠BOD；④ AC BD 中，正确的个数是( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
练一练
2 在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如果OM＝ON，那 么在结论：①AB＝CD；② AB CD; ③∠AOB＝∠COD中，正确 的是( D ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与 OF相等吗？为什么？
解：OE=OF，理由如下： ∵AB=CD，∴易证△ABO≌△CDO . ∴可证Rt△AOE≌Rt△COF，∴可得OE=OF .
课堂练习
⌒⌒
5 如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC= ∠AOC .
证明：如图，连接OC，OD . AD BC,即AC CD CD BD,
AC BD.AOC BOD.
在Rt△CMO和Rt△DNO中， ∴CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO =∠DNO =90°. 又∵OC=OD，∠MOC=∠NOD， ∴Rt△CMO≌Rt△DNO . ∴CM= DN .
圆周角定理及其运用
84
°，
＝ 276°。
2、如图，点A、B、C、D在⊙O上， 若优弧ABC为2600，则∠D=__ 若弧AC为100º 则∠B=__， ∠B+ ∠D=__, ∠A+ ∠C=___
A
D A D
B
C
B
∠DCE和∠A有什么关系？
CELeabharlann 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角
课堂练习
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小 有什么关系？为什么？ C
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A E
●
A E B D
C
O
B
D
C
⌒ AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小 有什么关系？
你能发现什么规律？
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一 下圆心在什么位置?
O B A
课堂练习
•2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ∠BCD=100°，求∠BOD和∠BAD的大小。
A O B C D
当堂检测
D
1.求圆中角X的度数
C O X
120°
O A
O
70° x
.
C
.
B
B C
A
B
A
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
1、x=35 ° x=120 °2、 ∠ACB=130 °
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
圆心角的计算公式
圆心角的计算公式
圆心角是数学中一个重要的概念，它是一个多边形与圆的相交部分的角，其中一段多边形的边正好在圆的弧的边上。
圆心角的计算公式是圆上的一点乘以圆的三角函数与外角的和，可以令它在计算上很有用。
圆心角的计算公式可以用大圆论来描述，该理论可以把角度a等分为n份，角度a / n表示多边形与圆的每个相关点距离。
由于多边形的边是以圆心为核心，所以使用这个公式可以计算圆心角。
圆心角的一个显著特性是它是一个开放角，即具有四个角相同的封闭角度，而圆心角则不具有封闭角度，因此不能将某个特定的圆心角作为封闭角的特殊情况。
另一个特点是圆心角的概念与这个几何形状本身的概念是相同的，无论它被投射到任何位置上，它的位置和大小都不会明显变化。
在世界范围内，圆心角的计算公式逐渐得到了广泛的应用，尤其是用于现代视觉信息技术，如计算机图形方向中某些研究和应用，如图像建模和识别技术、增强现实技术和虚拟现实技术中等。
此外，由于圆心角的计算公式具有趋近性，这也使得它在几何学、拓扑学、精确绘图等领域得到广泛的应用。
总之，圆心角的计算公式是一种非常有用的计算公式，它可以用来计算多边形和圆之间的角度，而且由于它的概念与几何形状本身的概念相同，在许多领域中得到了广泛的应用。
圆心角和圆周角的概念
圆心角和圆周角的概念
圆心角和圆周角是圆的基本概念，用来描述圆中角的大小。
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的大小可以用度数来衡量，例如
30°或60°。
圆心角所对的弧长与圆心角的度数成正比。
2.圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的大小也可以用
度数来衡量，例如30°或60°。
圆周角所对的弦长与圆周角的度数成正比。
举例来说，假设我们有一个半径为r的圆，现在想象一条直径将这个圆分成两个完全相等的部分。
沿着这条直径，我们可以找到一个顶点在圆心，两边与圆相交的角，这就是一个圆心角。
如果我们将这个圆心角的一边延长，它可以与一条弧相交，而这条弧所对的弦正好是直径。
因此，这个圆心角所对的弧长等于圆的直径，也就是2r。
而这个圆心角的度数是180°，因此它所对的弧长等于2r。
同样地，如果我们有一个顶点在圆上，两边与圆相交的角，这就是一个圆周角。
如果我们延长这个角的两条边，它们会相交于一个点，这个点到圆心的距离等于半径。
因此，这个角所对的弦长等于圆的半径，也就是r。
而这个圆周角的度数是180°，因此它所对的弦长等于r。
圆周角6个定理
圆周角6个定理
圆周角定理是指在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
该定理也称为圆周角定理或圆心角定理。
除此之外，还有以下五个圆周角定理:
1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 相等的圆周角所对的弧也相等。
3. 半圆所对的圆周角是直角。
4. 90 度的圆周角所对的弦是直径。
5. 在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
这些圆周角定理对于解决几何问题非常有用，例如可以用同弧所对的圆周角相等来证明等腰三角形的判定定理。
圆的周长与角度的关系
圆的周长与角度的关系圆是几何形体中最基础的一种，也是最常见的一种。
它由无限多个点组成，每两个点之间的距离相等，且距离相等的所有点构成的轮廓线叫做圆周。
圆周长是圆上任意两点之间的距离的总和，也称作周长。
圆的周长与角度有着密切的关系，下面将详细探讨这个问题。
圆的周长圆的周长是圆周上所有点之间的距离的总和，也称作圆周长或者周长。
如果用L表示圆的周长，r表示圆的半径，D表示圆的直径，π表示圆周率，那么圆的周长L与半径r的关系可表示为：L=2πr。
而圆的周长和直径D的关系可表示为：L=πD。
当圆周率π=3.14时，圆的周长与半径的关系可表示为：L=2×3.14×r。
例如：当半径为2cm时，圆的周长L=2×3.14×2=12.56cm。
圆的角度圆的角度是指圆心处的角度，可以用最小单位度来度量。
一个圆的角度总共是360度，因为一个圆被认为是一个完整的、闭合的形状。
每一个圆心角都可以用度数来衡量，比如0度的圆心角就不是一个圆心角，而是一个不存在的角度。
当圆心角度数是90度时，我们可以说这个角度是直角。
如果圆心角度数大于90度小于180度，那么这个角度称为锐角；如果圆心角度数大于180度小于270度，那么这个角度称为钝角。
圆面积的大小是由半径和圆周率决定的，圆周长的大小与半径的长度之间也有很明显的关系。
而圆周长还与圆心角的大小有关。
假设一个圆的半径为r，那么它所占据的圆心角的大小是A度。
在这种情况下，圆周长的大小为L，可以使用以下公式来计算：L=(2πr*A)/360。
不难发现，如果一个圆的圆心角为180度，那么即使是任意点之间的距离，总长度也是相等的。
这正是我们熟知的圆中心角所代表的意义：它是所有切割线的圆周长度之和，以圆心为起点。
所以可以说，圆心角是越大，圆周长度也会越大，这是自然的规律。
圆的旋转对称性圆心角
A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： AOB= COD ☺
A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： AOB= COD
A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： AOB= COD
A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： AOB= COD
A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： AOB= COD
A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： AOB= COD ☺
，
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
如图中所 示， NO
1 N '就是一
个圆心角。
2N
4 N'
5
3O
A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧
有什么关系？ 如图： AOB= COD ☺
A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： AOB= COD
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。 （ 该定理又称等对等定理）：参考课本P71页。
例题按课本讲述
例 如图，AC与BD为⊙O的两条互
相垂直的直径.
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
B
AB=BC=CD=DA.
A
O
D
C
例 如图，AC与BD为⊙O的两条互
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： AOB= COD A B C D o
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资料图1
资料图2
资料图3
角是几何图形中最重要的元素，是判断三角形全等、三角形相似的重要条件，而圆的旋
转不变性和对称性，又赋予了角极强的灵活性，使得角之间的相互转化成为了解题的关键要
素。
下面主要介绍圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角与内对角之间的相互转化问题。特
别指出在理解圆中角时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系；在运
用圆中角时，要关注弧的中介作用。基本图形如下：
(1)一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；
(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；
(3)直径所对的圆周角是90°；
(4)圆内接四边形外角等于内对角；
(5)圆内接四边形，一条边所对的两个圆周角相等；
(6)如图，像∠APB这样顶点在圆内，两边都与圆相交的角我们定义为圆内角，由三角
形外角的性质可以得到∠APB=∠ADB+∠CBD，即圆内角可以通过圆周角进行转换，实质上
∠APB=■(弧AB的度数+弧CD的度数)；
(7)如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边都与圆相交的角我们定义为圆外角，由三角
形外角的性质可以得到∠APB=∠ADB-∠CBD，即圆外角可以通过圆周角进行转换，实质上
∠APB=■(弧AB的度数弧-CD的度数)。
例1.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为( )
A.28° B.56° C.60° D.62°
此题为2009年天津市中考题数学选择第9题，具体解法为连结OB，△OAB为以圆心为
顶点的等腰三角形，则∠OAB=∠OBA=28°，所以∠AOB=124°，结合基本图形(1)，所以
∠C=62°。
例2.已知，O是△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A的度数。
解：分两种情况讨论：
(1)当O在△ABC内部时：
∠A=■∠BOC=■×130°=65°
(2)当O在△ABC外部时：由∠BOC=130°，得劣弧■的度数130°，则■的度数
=360°-130°=230°
∴∠A=115°
综上所述∠A=65°或115°
此题意在考查基本图形(1)及圆中一条弦所对的圆周角有两种情况，提醒同学们特别注
意由圆的特性导致的双解题型。