数学教案-圆周角

数学教案－圆周角
第一课时圆周角（一）
教学目标：
（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；
（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．
教学重点：圆周角的概念和圆周角定理
教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．
教学活动设计：（在教师指导下完成）
（一）圆周角的概念
1、复习提问：
（1）什么是圆心角？
答：顶点在圆心的角叫圆心角。

（2）圆心角的度数定理是什么？
答：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

（如右图） 2、引题圆周角：
如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的
角∠ACB，它就是圆周角。

（如右图）（演示图形，提出圆周角的定义）
定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫
做圆周角
3、概念辨析：
教材P93中1题：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
学生归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交。

（二）圆周角的定理
1、提出圆周角的度数问题
问题：圆周角的度数与什么有关系？
经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周角
与圆心角，猜想它们有无关系．引导学生在建立关系时
注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部．
（在教师引导下完成）
（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半。

提出必须用严格的数学方法去证明。

证明:(圆心在圆周角上)
（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：
当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论。

证明：作出过C的直径（略）
圆周角定理: 一条弧所对的
周角等于它所对圆心角的一半。

说明：这个定理的证明我们分成三种情况。

这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想。

（对A层学生渗透完全归纳法）
（三）定理的应用
1、例题: 如图 OA、OB、OC都是圆O的半径，
∠AOB=2∠BOC．
求证：∠ACB=2∠BAC
让学生自主分析、解得，教师规范推理过程．
说明：①推理要严密；②符号“”应用要严格，教师要讲清．
2、巩固练习:
（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
说明：一条弧所对的圆周角有无数多个，却这条弧
所对的圆周角的度数只有一个，但一条弦所对的圆周角
的度数只有两个．
（四）总结
知识：（1）圆周角定义及其两个特征；（2）圆周角定理的内容．
思想方法：一种方法和一种思想：
在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想．分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题
转化成一系列的简单问题或已证问题．
（五）作业教材P100中习题A组6，7，8
第二、三课时圆周角（二、三）
教学目标：
（1）掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；
（2）进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；
（3）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性．
教学重点：圆周角定理的三个推论的应用．
教学难点：三个推论的灵活应用以及辅助线的添加．
教学活动设计：
（一）创设学习情境
问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个
圆周角？它们有什么关系？
问题2：在⊙O中，若 =，能否得到∠C=∠G呢？根
据什么？反过来，若土∠C=∠G ，是否得到 =呢？
（二）分析、研究、交流、归纳
让学生分析、研究，并充分交流．
注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；
②若 =，则∠C=∠G；但反之不成立．
老师组织学生归纳：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或
等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
重视：同弧说明是“同一个圆”；等弧说明是“在同圆或等圆中”．
问题：“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得知识）
问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的
圆周角是什么样的角？
（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?
学生通过以上两个问题的解决，在教师引导下得推
论2：
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦直径．
指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆
中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握．启发学生根据推论2推出推论3：
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形．
指出：推论3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
（三）应用、反思
例1、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．
求证：AB·AC＝AE·AD．
对A层同学，让学生自主地分析问题、解决问题，
进行生生交流，师生交流；其他层次的学生在教师引导
下完成．
交流：①分析解题思路；②作辅助线的方法；③解
题推理过程（要规范）．
解（略）
教师引导学生思考：（1）此题还有其它证法吗? （2）比较以上证法的优缺点．
指出：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径上的圆周角，以便利用直径上的圆周角是直角
的性质．
变式练习1：如图，△ABC内接于⊙O，∠1=∠2．
求证：AB·AC＝AE·AD．
变式练习2：如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AE平分
∠BAC交BC于D．
求证：AB·AC＝AE·AD．
指出：这组题目比较典型，圆和相似三角形有密切
联系，证明圆中某些线段成比例，常常需要找出或通过
辅助线构造出相似三角形．
例2：如图，已知在⊙O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D；
求BC，AD和BD的长．
解：(略)
说明：充分利用直径所对的圆周角为直角，解直角
三角形．
练习：教材P96中1、2
（四）小结（指导学生共同小结）
知识：本节课主要学习了圆周角定理的三个推
论．这三个推论各具特色，作用各异，在今后的学习中
应用十分广泛，应熟练掌握．
能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技
能技巧一定要掌握．
（五）作业
教材P100．习题A组9、10、12、13、14题；另外A 层同学做P102B组3，4题．探究活动
我们已经学习了“圆周角的度数等于它所对的弧的
度数的一半”，但当角的顶点在圆外（如图①称圆外角）或在圆内（如图②称圆内角），它的度数又和什么有关呢？请探究．
提示：（1）连结BC，可得∠E=（的度数—的度数）
（2）延长AE、CE分别交圆于B、D，则∠B=的度数，
∠C=的度数，
∴∠AEC=∠B+∠C=（的度数+ 的度数）．。