线性代数知识点典型题
一、方程组1、设方程组⎩⎨⎧=+=+02022121kx x x x 有非零解，则k=（ ）A. 2B. 0C. 1D. 42、若方程组⎩⎨⎧=-=+0x kx 0x x 2121有非零解，则k=（ ）A. -1B. 0C.1D.23、设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解为（ ） A ．()T1,1,1 B ．()T0,0,0 C ．()T a a a 131211,, D ．T )0,1,0(4、设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=（ ） 5、如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ）A. -2B. -1C. 1D. 26、设A 为5阶方阵，若秩（A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 7、设A 为4×5的矩阵，且秩（A ）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是（ ）8、设A 为5阶的矩阵，且秩（A ）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是（ ） 9、齐次线性方程组⎩⎨⎧=+--=-++032054354325431x x x x x x x x 的解空间的维数是___________.10、线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++4284103520z y x z y x z y x 的解为（ ）A ．x =2,y =0,z =-2B ．x =-2,y =2,z =0C ．x =0,y =2,z =-2D ．x =1,y =0,z =-1 11、设非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-64202101012001，则该方程组的通解为（ ） 12、设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解B. η+（1α-2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α-2α是Ax=b 的解13、方程组0x x x 321=-+的通解是___________.14、设四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩为3, 已经它的三个解向量为,,,321ηηη 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0864,2143321ηηη，则该方程组的通解为（ ）15、求下列方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧=--+=---=--+.0895,4433,13432143214321x x x x x x x x x x x x16、求线性方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=--+-=-+++576533553232313454321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x17、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=+++=-+++=++++833453622632315432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解.18、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0553204420432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.19、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+ax x x x x x x x 3213213152231２ （1）求当a 为何值时，方程组无解、有解.（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.20、设3元线性方程组1231231232124551x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩λλ，（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示） 二、行列式按行（列）展开性质1、设D=3465312186427931-， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ,则44434241793A A A A +++-=（ ）A. 0B. 3C. 2D. 42、设D =34653021864212963， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ,则44424132A A A ++=（ ）A. 0B. 3C. 2D. 4 3、设D=3465312186427931-， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ,则4443424132A A A A +++=（ ）A. 0B. 3C. 2D. 44、设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求（1）14131211A A A A +++； （2）41312111M M M M +++ 5、设D=2211765144334321， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ，试求44434241A A A A ++与.6、已知4阶行列式D 中第1行的元素分别为1，2，0，-1，第3行的元素的余子式依次为5，x ，17，1，则x=__________.三、向量1、设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A ．31αB ．51αC ．91αD ．251α2、已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=（ ）3、设α与β的内积（α，β）=2，‖β‖=2，则内积（2α+β，-β）=___________. 四、秩1、设A 为n 阶非零矩阵，且=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)(,),,,(2121A r b b b a a a A n n则 （ ）A ．nB ．1C ．2D ．n-12、已知向量)8,7,6,5(,)7,6,5,4(,)6,5,4,3(,),5,4,3,2(4321====αααα，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-23、向量1α=（1，0，-2），2α=（3，0，7），3α=（2，0，6）. 则321,,ααα的秩为（ ）4、设矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k k k k111111111111, 若==k A r 则,1)(（ ）5、已知向量组123(1,2,1),(2,0,),(0,4,5)t =-==-ααα的秩为2，则数t =（ ）6、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=555533331111A 的秩= __________. 7、求向量组TTT )2,5,4,0(,)0,3,0,2(,)1,1,2,1(321--==-=ααα，T)1,7,2,3(4--=α的秩与一个极大线性无关组.8、求向量组α1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，α2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531，α3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛626，α4=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-542的秩与一个极大线性无关组.9、求向量组α1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3412，α2=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6611，α3=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---9221，α4=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-7211的秩与一个极大线性无关组，并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示。
10、求向量组TTTT)0,10,3,1(,)11,3,2,3(,)4,2,1,1(,)2,4,1,1()4321=--=--==αααα的一个极大线性无关组与秩.五、特征值与特征向量1、设3阶方阵A 的特征多项式为2(2)(3)E A -=++λλλ，则A =（ ）A. -18B. -6C. 6D. 182、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43、设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（ ）A ．41 B ．21 C ．2 D ．44、设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛00101010，则A 的特征值为（ ）A ．1，1，0B ．-1，1，1C ．1，1，1D ．1，-1，-15、设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E |=0，则A 必有一个特征值为（ ）6、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．47、已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x 01010101的一个特征值为0，则x= （ ） 8、已知3阶方阵A 的特征值为1，-3，9，则=A 31 （ ）9、已知3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则=+-A A 7523A （ ）10、设矩阵21100413a A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭有一个特征值2λ=，对应的特征向量为122x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则数a =（ ） 11、已知3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则12-A 的特征值为 （ ） 12、已知3阶矩阵A 的3个特征值为1，2，-1，则|A *|= __________.六、二次型1、设二次型22212312323(,,)2332f x x x x x x ax x =+++正定，则数a 的取值应满足（ ）A. a ＞9B. 3≤a ≤9C.-3＜a ＜3D. a ≤-32、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-300021011a 为正定矩阵，则a 的取值范围是.（ ） 3、已知二次型3231212322213216422),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=λ是正定的，则λ的取值范围是_____.4、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t 0002101为正定矩阵，则t 取值为（ ） 5、设有二次型,x x x )x ,x ,x (f 232221321+-=则)x ,x ,x (f 321（ ） A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定6、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=401061112A ，则二次型Ax x f T =是（ ） A. 正定 B. 负定 C. 半正定 D. 不定7、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=600031012A ，则二次型Ax x f T =是（ ） A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定8、二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4)=x 21+x 22+x 23+x 24+2x 3x 4的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49、二次型2332223121213214222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=的秩为（ ）10、二次型23223121213216224),,(x x x x x x x x x x f +-+-=的秩为（ ）11、二次型2332223121214222x x x x x x x x x +++++的标准形为（ ） 12、二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=的标准形为 .13、二次型x x x f T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=987654321)(的矩阵为（ ） A. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321 B. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛975753531C. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---987654321D. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛23114、二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛104012421B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010421 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102011211D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12021101115、矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121对应的二次型),,(321x x x f = （ ）七、方阵的行列式1、设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 2、设A 、B 为同阶方阵，下列等式中正确的是（ ）A. AB=BAB. ()111---+=+B A B AC. B A B A +=+D. ()T T TB A B A +=+3、设A 为3阶方阵，且已知|-2A |=2，则|A |=（ ）A ．-1B ．-41 C ．41D ．14、设A 为三阶矩阵，且|A |=2，则|（A *）-1|=（ ）A.41 B. 1 C.2 D. 45、设A 为n 阶正交矩阵，则行列式|A 2|=（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．26、设A 是4阶方阵，且|A |＝-2，则|*A |＝（ ）八、向量组的线性相关性1、设β可由向量α1 =（1，0，0）α 2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只能是（ ） A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0, -1, 0）2、若向量组α1，α2线性相关，则 （ ） A. α1＝ｋα2或α2＝ｋα1 B. α1,α2中必有一个零向量C. α1,α2都是零向量D. 必有α1=α23、如果向量α=（1，5，-1，y ）和β=（x ，-10，2，1）线性相关，则y=（ ）4、已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（x ，1，y ）线性相关，则y=（ ）5、若向量),5,2()3,,1(21y x =-=αα与线性相关，则x = .6、设r r αααβααβα+++=+== 212121,,,1β且向量组r ααα,,,21 线性无关， 证明：向量组β1，…，r β线性无关.7、设向量组α1，α2线性无关，证明向量组β1=α1+α2，β2=α1-α2也线性无关九、向量的正交1、下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ ）A. 1α=（1，1，1）B. 2α=（-1，1，1）C. 3α=（1，-1，1）D. 4α=（0，1，1） A ．23-B ．32-C ．32 D ．232、已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y ）正交，则y=（ ）十、矩阵的乘法 1、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--632111112111X , 则X=( ).A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3102B. ()211-C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31231D. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2312、设矩阵A ＝（1，2），B ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，C ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321，则下列矩阵运算有意义的是（ ） A ．ACB B ．ABC C ．BAC D ．CBA3、已知矩阵A =⎪⎭⎫⎝⎛-1011，B =⎪⎭⎫⎝⎛1101，则AB -BA =（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛--1201B ．⎪⎭⎫⎝⎛-1011C ．⎪⎭⎫⎝⎛1001D ．⎪⎭⎫⎝⎛00004、三阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-300450971，则A *A =（ ） 5、设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-321022001，则A *A =（ ） 5、设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333022001，则A *A =_____________. 十一、矩阵的相似1、若A 与B 相似，则（ ）A. A=BB. A ，B 有相同的特征向量C. A -λE =B -λED. |A |=|B | 2、设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（ ）A ．121 B ．71 C ．7 D ．123、设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为1，2，3. 则|B -1|=（ ）A ．121 B ．61 C ．6 D ．34、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----020212022，求可逆矩阵P 及对角矩阵∧，使得P -1AP =∧. 5、设有对称矩阵,310130004⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 试求出可逆矩阵P , 使AP P 1-为对角阵. 6、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022210201，求可逆矩阵P 及对角矩阵∧，使得P -1AP =∧. 7、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---124022011，（1）求可逆矩阵P 及对角矩阵∧，使得P -1AP =∧；（2）求10A8、设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2001,,1141P ，求5A 9、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---124022011（1）求可逆矩阵P 及对角矩阵∧，使得P -1AP =∧；（2）求3A 十二、矩阵的相等 1、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛+d ba 04=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-32cb a ，则（ ） A ．a=3,b=-1,c=1,d=3 B ．a=-1,b=3,c=1,d=3 C ．a=3,b=-1,c=0,d=3 D ．a=-1,b=3,c=0,d=3十三、矩阵的逆阵 1、矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3310 B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3130 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13110D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-013112、设A =⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤70050000300001, 则A -1= （ ） 3、设A =⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤80060000400002, 则A -1= （ ）4、设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤500020003，则1-A =（ ）5设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2500380000120025A , 则1-A =（ ）6、设A =⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤005300002000010, 则A -1= ________ ___.7、设A 是n 阶方阵，且022=--E A A ，证明A 及A +2E 都可逆8、设方阵B 满足B B =2，B E A +=，证明：A 可逆，并求1-A9、设A ，B 为n 阶方阵，且满足,421E A A B -=- 其中E 为n 阶单位矩阵，证明：B -2E 为可逆矩阵，并求()12--E B10、设A 是n 阶方阵，且（A +E ）2=0，证明A 可逆 十四、初等矩阵的作用1、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101010001,10000101021P P ， 则必有（ ）A ．B P AP =21于 B ．B P AP =12C ．B A P P =21D ．B A P P =122、99001010100⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543432321100010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=（ ）3、109001010100120010003001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= .十五、行列式的计算1、设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） 2、4500000200100-=（ ）3、200920082007200620052004200320022001=（ ） 4．行列式=--2222510211（ ）5、行列式600300301398200199204100103=__________.6、已知,1211123111211)(x x xx x f -=则3x 的系数=____________.7、计算行列式.0112012120112110-----=D 8、计算行列式.5021011321014321---=D 9、计算行列式.2111121111211112 10、计算行列式6741212060311512-----11、.排列36715284的逆序数为（ ）十六、解矩阵方程1、解矩阵方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X 2、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A , B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3512, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130231C (1) 求()T CB ;(2) 求矩阵X , 使满足AXB =C . 3、已知A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141，B =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1102，C =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1013，矩阵X 满足AXB =C ，求解X .4、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , B A E AB +=+2, 求B . 5、已知A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3421，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2512，X 满足AX +B =C ，求X。
线性代数知识重难点和常考题型汇总
②、
a11 a21
a12
a22
a1 n a2 n
x1
x2
b1
b2
Ax
b
（向量方程，
A为mn
矩阵， m
个方程， n 个未知数）
am1
am 2
amn xm
bm
⑦、 r( AB) min(r( A), r(B)) ；（※）⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB 0 ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结论）； 3
Ⅱ、 r( A) r(B) n ⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则 r( AB) r( A) r(B) n ；
③、 a1
a2
an
x1
x2
（全部按列分块，其中
b1 b2
）；
xn
bn
④、 a1 x1 a2 x2 an xn （线性表出）
⑤、有解的充要条件： r( A) r( A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；
3，代数余子式和余子式的关系：
M ij (1)i j Aij
Aij (1)i j M ij
4，设 n 行列式 D ：
n ( n 1)
线性代数知识点全面总结基本功课
*
教书育人
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
A + B = B + A ; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (－A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。
的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解
*
教书育人
4、齐次线性方程组的克拉默法则。
若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为 零。
*
教书育人
三、重要公式
*
教书育人
*
教书育人
*
教书育人
四、典型例题
1、3～4阶的行列式
2、简单的n阶行列式
3、用公式
*
教书育人
可逆矩阵与初等变换
概念
求法
证法
如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵.
用定义
用伴随矩阵
分块对角矩阵
|A| ≠ 0 , A可逆 .
|A| = 0 , A不可逆 .
AB = E , A与B互逆.
反证法.
*
教书育人
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。
概念
特殊矩阵
m×n个数aij (i = 1,2,…,m ; j =1,2,…,n)
构成的数表
单位矩阵: 主对角线元素都是1,其余元素都是零的 n 阶方阵 E
线性代数典型例题样例
内容：
错误地推出 .
相关例题一
题目一：设 ， ， 为同阶非奇异矩阵，试证：
（1） 为非奇异矩阵；
（2） 也是非奇异矩阵，并求其逆阵.
解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.
解答：（1）
因
故 即 为非奇异矩阵.
（2）因
由已知条件， 得
0
故 即 为非奇异矩阵，且
相关例题二
题目二：设 ， ， 均为正交矩阵，试证：
ML32006
题目：设 、 、 都可逆，证明 可逆，且
涉及的知识点
知识点一：
矩阵的逆
知识点二：
矩阵的运算
解题方法
需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.
内容：如能证明第一个等式成立 即 ,因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证 .
下面给出四种证法.
1. 定义法.
2. 用定义直接验证，运算过程不同.
3. 定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形.
解题过程
（详细过程）
第一种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第二种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第三种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第四种证法
第一步：将 恒等变形，得到
或
对上两式分别求逆，即
需要配音或重点提示的文字：无
学生常犯的错误ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解题思路：利用正交阵的定义证.
解答：因为 均为正交矩阵，所以
， 成立.
从而
方法总结
需要配音或重点提示的文字：无
内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形.
《线性代数》知识点 归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式.............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线.................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式.............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质.......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式.............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素.............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵...................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则...................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式.............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵.................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块.............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换...................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价.................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵.................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵.......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题...................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵.................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形：...................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩：.............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论................................................................................................................................ - 10 -22、线性方程组概念.................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念........................................................................................................ - 11 -25、线性方程组的向量形式........................................................................................................................................ - 12 -26、线性相关与线性无关的概念.......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题 ...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念.......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题 .......................................................... - 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理........................................................................................................ - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩............................................................................................................................ - 12 -33、线性方程组解的结构............................................................................................................................................ - 13 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数复习题
线性代数复习题一、选择题1. 设A为2×2矩阵，B为2×3矩阵，C为3×2矩阵，则下列哪个运算不合法？a) A + Bb) A - Bc) A × Cd) B × C2. 设A、B均为n阶可逆矩阵，下列哪个等式一定成立？a) (A · B)^-1 = B^-1 · A^ -1b) (A + B)^-1 = A^-1 + B^-1c) (A^T)^-1 = (A^-1)^Td) (AB)^-1 = A^-1 · B^-13. 若A为n阶反对称矩阵，则下列哪个结论一定成立？a) A主对角线元素全为零b) A的行列式一定为零c) A的特征值一定为零或纯虚数d) A的秩一定为n4. 设A为n阶矩阵，rank(A) = n，则下列哪个结论一定成立？a) A是可逆矩阵b) A的列空间维数为nc) A的零空间维数为nd) A的特征值都为非零数二、填空题1. 若A为对称矩阵，则A的主对角线元素为_______。
2. 若A为n阶矩阵，行列式为det(A) = 5，则A的逆矩阵的行列式为_______。
3. 若A为n阶矩阵，A的核空间的维数为2，则A的秩为_______。
4. 若A为n阶矩阵，行列式为det(A) = 0，则A一定________。
三、计算题1. 已知矩阵A = [4 3; 2 1]，求A的逆矩阵。
2. 已知矩阵A = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0]，求A的转置矩阵。
3. 已知矩阵A = [1 -2 3; 4 0 -1; 2 1 3]，求A的行列式和秩。
4. 已知矩阵A = [1 2 -1; 3 0 2; -2 1 4]，求A的特征值和特征向量。
四、应用题1. 某公司有5个部门，每个部门的工作效率可以用一个代号表示。
现有一矩阵A = [1 3 4 5 2; 2 5 1 3 4; 4 2 3 1 5; 5 4 2 3 1; 3 1 5 4 2] 表示各部门之间的协作效率。
线性代数第一章典型习题
0
0 0 x an
(x ai )( x aj )
i 1 j 1
i n
j n
3. 行列式按某一行(列)展开(降阶法)： 例 3：计算 n 阶行列式
2 2 3 D
1 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 n 1 2 2 2 2 2 n
2 2 1 1 3
3 2 2 1 1
4 1 4 2 5
5 1 5 27 2 0
求 A41+ A42+ A43 ;
A44+ A45
解：由条件得 A 41 + A42 + A43 +2( A44 + A45 ) 27
2( A 41 + A42 + A43 ) + A44 + A45 0 解得 A41+ A42+ A43= -9 , A44+ A45=18
以下用归纳法：
，结论成立； 当 n=1 时， D1 假设对 k<n 的自然数成立，则
Dn ( ) Dn Dn 1 2
n n n 1 n 1 n 1 n 1 ( )
x a1 D a1 a1
x a i x a i D x a i
i 1 i 1 i n i 1 i n i n
a1 a2 x a2 a2 x a2
a3
an an an x
解：将各列加到第一列得
a1 x a2 a2 a3 a2 a2 x x an an an
7.加边法(升阶法)： 例 7：证明
1 a1 1 Dn 1 1