第二章平面力系习题解答
理论力学 第2章力系的简化习题解答
第二章 力系的简化 习题解答2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，3F 沿BE ，4F 沿DH 。
试将此力系简化成最简形式。
解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。
将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为045cos 45cos '21=-=F F F Rx ，FF F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=，F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。
用解析式表示为： ()k j F +=F R 2'设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ，Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。
用解析式表示为：()k j M +-=Fa A 2。
因为，0'=⋅A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简化为一个力，即力系的合力。
合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为()i MF r a F R R =⨯=2''，所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。
2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。
距离c b a ,,为已知。
问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为力螺旋？解：这力系的主矢为k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为k j i a F c F b F M O 213++=。
当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。
理论力学第2章平面任意力系
例10 已知F1=150N，F2=200N ， F3=300N ， F= F´ =200N 。求力
系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的距离。
解： Fx F1cos45 F2 1 10
F3 2 437.6 N 5
y
F
1F
´
3
F2
j
F3
x15
解：（1）取AB梁为研究对象，画受力图
FAy
q
PM
FB
A
（2）列静力平衡方程
FAx
B
2a
4a
Fx 0 FAx 0
F y 0 FAy q 2a p FB 0
MA(F) 0 FB 4a M p 2a - q 2a a 0
联解上各式得
FAx 0
F y 0 : YA RB 0
MA(F) 0 :
a
C P
a B
M=Pa RB
RB a P a M 0
a
联解上各式得：
X A P
YA 2P
RB 2P
A XA
YA
18
解法二：（1）选AB为研究对象，画受力图
（2）列静力平衡方程
Fx 0 : X A P 0
C
a B
MA(F) 0:
平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系 和平面力偶系。
2
F2
F1
F2´
F1´
M2
M1
FR
MO ´
o
o
o
Mn
Fn
Fn´
平面汇交力系可合成为作用线通过n点O的一个力FR´
FR´ = F1´+ F2´+…+ Fn´ =
02平面汇交力系与平面力偶系习题
题 2-4 图
-6-
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
班级பைடு நூலகம்
学号
姓名
2-5、铰链四杆机构 CABD 的 CD 边固定，在铰链 A、B 处有力 F1、F2 作用，如图所示。 该机构在图示位置平衡，杆重略去不计。求力 F1 与 F2 的关系。
题 2-5 图
2-6 、 直 角 弯 杆 ABCD 与 直 杆 DE 及 EC 铰 接如 图 ， 作 用在 DE 杆 上力 偶 的 力 偶矩
题 2-7 图
-8-
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
班级
学号
姓名
2-1、铆接薄板在孔心 A、B 和 C 处受三力作用，如图所示。 F1 100 N ，沿铅直方向； F3 50 N ，沿水平方向，并通过 A； F2 50 N ，力的作用线也通过点 A，尺寸如图。求
此力系的合力。
题 2-1 图
2-2、物体重 P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮 B 上，绳子的另一端接在铰车 D 上，如图所示。 转动铰车，物体便能升起。设滑轮的大小、AB 与 CB 杆自重及摩擦略去不计，A、B、C 三处 均为铰链连接。当物体处于平衡状态时，试求拉杆 AB 和支杆 CB 所受的力。
M 40 kN m ,不计各杆件自重,不考虑摩擦，尺寸如图。求支座 A、B 处的约束力及 EC 杆
受力。
题 2-6 图
-7-
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
班级
学号
姓名
2-7、在图示机构中，曲柄 OA 上作用一力偶，其矩为 M；另在滑块 D 上作用水平力 F。机构 尺寸如图所示，各杆重量不计。求当机构平衡时，力 F 与力偶矩 M 的关系。
题 2-2 图
-5-
第二章习题答案
第二章力系的平衡方程及其应用练习题一、选择题1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为115.47N，则F在y轴上的投影为 1 。
① 0；② 50N；③ 70.7N；④ 86.6N；⑤ 100N。
2．已知力F的大小为F=100N，若将F沿图示x、y方向分解，则x向分力的大小为 3 N，y向分力的大小为 2 N。
① 86.6；② 70.0；③ 136.6；④ 25.9；⑤ 96.6；3．已知杆AB长2m，C是其中点。
分别受图示四个力系作用，则 3 和 4 是等效力系。
①图（a）所示的力系；②图（b）所示的力系；③图（c）所示的力系；④图（d）所示的力系。
4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为3 。
①作用在O点的一个合力；②合力偶；③作用在O点左边某点的一个合力；④作用在O点右边某点的一个合力。
5．图示三铰刚架受力F作用，则A支座反力的大小为 2 ，B支座反力的大小为2 。
① F/2；② F/2；③ F；④2F；⑤ 2F。
6．图示结构受力P作用，杆重不计，则A支座约束力的大小为 2 。
① P/2；②3/3P；③ P；④ O。
7．曲杆重不计，其上作用一力偶矩为M 的力偶，则图（a ）中B 点的反力比图（b ）中的反力 2 。
① 大；② 小 ；③ 相同。
8．平面系统受力偶矩为M=10KN.m 的力偶作用。
当力偶M 作用于AC 杆时，A 支座反力的大小为 4 ，B 支座反力的大小为 4 ；当力偶M 作用于BC 杆时，A 支座反力的大小为 2 ，B 支座反力的大小为 2 。
① 4KN ；② 5KN ； ③ 8KN ；④ 10KN 。
9．汇交于O 点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二力矩形式。
即0)(,0)(=∑=∑i B i A m m F F ，但必须 2 。
① A 、B 两点中有一点与O 点重合； ② 点O 不在A 、B 两点的连线上； ③ 点O 应在A 、B 两点的连线上；④ 不存在二力矩形式，∑X=0，∑Y=0是唯一的。
李廉锟第四版《结构力学》第2章平面体系的机动分析习题+参考答案
《结构力学》李廉锟第四版第二章平面体系的机动分析习题2-1～2-17试对图示平面体系进行机动分析题2-1题2-2题2-3题2-4题2-5题2-6题2-7题2-8题2-9（a、b处非结点）题2-10（k处非结点）题2-11题2-12题2-13题2-14题2-15（k处非结点）题2-16题2-172-18、2-19添加最少数目的链杆和支承链杆，使体系成为几何不变，而且无多余约束。
题2-18题2-19《结构力学》李廉锟第四版第二章平面体系的机动分析参考答案题2-1说明：自上往下依次拆除二元体，或者自下往上依次添加二元体，故体系为有一个多余约束的几何不变体系（多余约束：中间的横杆或者也可以看成支座上多了一根水平杆）。
题2-2说明：如图所示取刚片1和刚片2，采用二刚片规则（两刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联），为几何不变体系，而且没有多余联系。
刚片1由二元体组成，刚片2从大地向上组装二元体组成。
题2-3说明：先不考虑支座的三根链杆，考虑上部几何构造，去掉二元体简化分析，取如上图所示刚片1、刚片2和刚片3。
刚片1和刚片2通过一个实铰联结；刚片1和刚片3通过两根平行链杆联结，交于无穷远处；刚片2和刚片3通过两根平行链杆联结，交于无穷远处；三铰不共线，故上部无多余约束且几何不变。
最后上部与大地通过一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，故整个体系为无多余约束的几何不变体系。
题2-4说明：如上图所示取刚片1、刚片2和刚片3，刚片1和刚片2交于铰12O ，刚片1和刚片3交于铰13O ，刚片2和刚片3交于铰23O ，三铰不共线，故原体系为无多余约束的几何不变体系。
题2-5说明：将大地等效成一根链杆，取如图所示刚片1和刚片2，显然两刚片通过三根链杆相联，且三根链杆既不相互平行也不相交于一点，故原体系为无多余约束的几何不变体系。
题2-6说明：先拆除二元体以简化分析，可知右部分为常变部分；左部分为有一个多余约束的几何不变体系，故体系为几何常变体系。
第二章-平面力系
3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可 以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或 增加 a 值这两个方面来考虑。 其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14
箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之 相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡方程 力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投 影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过 光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角 为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化
02第二章 平面力系
d
==
F'
d1
d2
==
M
F‘2
平面力偶系的合成与平衡 (1) 平面力偶系的合成 设在刚体同一平面内有两个力偶，所示 M1=F1d1 M2=-F2d2 根据力偶的性质，将它们转移并化为相同臂长d的 力偶，如图（a)分别为 M1=F1d1=F3d M2= -F2d2= -F4 d 将作用在点A、B的力分别合成得 F=F3-F4 F'=F3'-F4' F1 F2
（2）力偶在作用面的转向。
因此，平面力偶矩是一个代数量，以M表示，即 M=±Fd=±2A△ABC 转向用正负号表示，用力矩规定。力偶矩的单位为 N•m，与力矩相同。
同平面内力偶的等效定理
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相
等，则两力偶彼此等效。
由此可得两个推论： （1）力偶可以在其作用面内任意移转，而不影响 它对于刚体的效应。因此，力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面的位置无关。 （2）只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同 时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变 力偶对刚体的作用。 这样，力偶中的力的大小和力臂长短都不是力偶的 特征量，故常用下图所示的符号表示。 F F1 F2 == F'1
F4 A
F3 (b) d
F3' B
F4' A F (c) d
F' B
d1
F'1 (a)
d2
F'2
F，F‘组成一新力偶即为合力偶 ，合力偶 的矩为
M=Fd=（F3-F4）d=F3d-F4d=M1+M2
同理，可以推得几个力偶的合成。即作用于刚体同平 面内的任意个力偶可以合成一个合力偶，合力偶矩等 于各个分力偶矩的代数和。可表示为
工程力学第二章平面力系
2.建立坐标系。
3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程 ∑Fx=0，∑Fy=0， 求解。
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 y B 0 C 600 30 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 4).列出对应的平衡方程 5).解方程
Mo = m1 + m2 +...+ mn = mo(F1) + mo(F2) +...+ mo(Fn) Mo = mo(Fi)
Fi
i 1 n
的矢量和等于零。
F 0
i 1 i
n
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 B 600 A 300 C A. Q Q
300
600 Q
解：取力系的汇交点A为研究对象
作受力图 按一定比例尺作出已知力Q 的大小和方向 根据汇交力系平衡的几何条件,该三个力所构成的力三角形必自行 封闭,故可在力Q的始端和末端画出TB和TC 按同样的比例即可量得TB和TC的大小。
解得
FCD
F cos yB F sin xB l
2-2平面任意力系 ２-２.１ 平面任意力系的简化
１.力的平移定理
作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体 的任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力 偶矩等于原来的力对此指定点的矩.
对作用于刚体上某一平面的力平移到该平面上的任意点，则附 加力偶的力偶矩只需用代数量的力偶矩表示。
力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的
投影的代数和分别等于零。 平面共点力系的平衡方程:
F
x
第二章：平面汇交力系与平面力偶系
第二章平面汇交力系与平面力偶系一、要求1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。
能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。
对合力投影定理应有清晰的理解。
3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。
5、深入理解力偶和力偶矩的概念。
明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
二、重点、难点1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。
2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。
三、学习指导平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系的矢量和，即∑==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=ni i n F F F F R 121或简化为∑=F R上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。
每一个力都有大小和方向两个要素（因为力的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。
矢量方程的解法有：几何法和解析法。
只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。
力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。
即∑R=F这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。
（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。
（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：∑=0YX；∑=0对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。
但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。
这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。
合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。
平面汇交力系
第二章 平面汇交力系一、内容提要本章讲述了研究平面汇交力系的合成和平衡条件的两种方法：几何法和解析法。
1.求平面汇交力系的合力 (1) 几何法求合力。
根据力多边形法则求合力，即力多边形缺口的封闭边代表合力的大小和方向。
F R =ΣF合力的作用线通过原力系各力的汇交点。
(2) 解析法求合力。
根据合力投影定理，利用力系中各分力在两个正交轴上的投影的代数和，来确定合力的大小和方向为()()2Y 2X 2RY 2X R F F F F F R ∑+∑=+=XY XRY tan F F F F R ∑∑==αα为合力F R 与x 轴所夹的锐角。
合力F R 的指向由ΣF Y 和ΣF X 的正负号来确定，合力的作用线通过原力系各力的汇交点。
2.平面汇交力系的平衡条件(1) 平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零，即F R =ΣF =0(2) 平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。
(3) 平衡的解析条件：平面汇交力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
即ΣF X =0 ΣF Y =0通过这两个独立的平衡方程，可求解出两个未知量。
3.力在坐标轴上的投影为F X =±F cosαF Y =±F sinα式中α为力F 与坐标轴x 所夹的锐角。
二、典型例题解析例 简易起重机如图2-1a 所示。
B 、C 为铰支座，钢丝绳的一端缠绕在卷扬机的点D 上。
杆件AB 、AC 及滑轮的自重不计，滑轮的半径也不计。
试求杆件AB 、AC 所受的力。
（空13行） 图2-1知识点：平面汇交力系的平衡条件及应用。
解 （1）取铰A 为研究对象。
杆AB 、AC 均为二力杆，可设为拉力。
由于A 处为定滑轮，故钢丝绳两端的拉力相等，都等于物体的重量W = 20kN 。
不计滑轮半径，则铰A 的受力图如图2-1b 所示。
（2）几何法求解作闭合的力多边形。
在选定比例尺后，先画已知力F T D 和W ，考虑到实际情况，F N C 应该为压力，所以应向上，且与水平成60°角。