线性回归方程及应用
18、统计
18．4 线性回归方程及应用
【知识网络】
1．能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
2．了解线性回归的方法；了解用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法；会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不要求记忆系数公式）。
【典型例题】
[例1]（1）为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都分别相等，且值为s与t，那么下列说法正确的是
（）A．直线l1和l2一定有公共点(s，t) B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．必有直线l1∥l2D．直线l1和l2必定重合
（2）工人工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为?y=50+80x，下列判断正确的是（）
A．劳动生产率为1000元时，工资为130元
B．劳动生产率提高1000元时，工资提高80元
C．劳动生产率提高1000元时，工资提高130元
D．当月工资250元时，劳动生产率为2000元
（3）下列命题：
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究。
其中正确的命题为（）
A．①③④B。②④⑤C。③④⑤D。②③⑤
（4）一家保险公司调查其总公司营业部的加班程度，收集了10周中每周加班工作时间y（小时）与签发新保单数目x的数据如下表，则用最小二乘法估计求出的线性回归方程是___________。
（5）上题中，若该公司预计下周签发新保单1000张，则需要加班的时间是。
[例2] 已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：
其中x（血球体积，ｍｍ），y（血红球数，百万）.
①画出上表的散点图；
②求出回归直线并且画出图形。
[例3]要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩（如下表）：
（2）若某学生入学数学成绩80分，试估计他高一期末数学考试成绩．
[例4]下表是采集的商品零售额（万元）与商品流通费率的一组数据：
（1 （2）商品零售额与商品流通费率具有线性相关关系吗？如果商品零售额是20万元，那么能否预测此时流通费率是多少呢？
【课内练习】
1． 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系
（
）
A ．角度和它的余弦值
B 。正方形边长和面积
C ．正ｎ边形的边数和它的内角和
D 。人的年龄和身高
2． 下列变量之间的关系是函数关系的是
（
）
A ．已知二次函数c bx ax y ++=2，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数
的判别式ac b 42-=?
B ．光照时间和果树的亩产量
C ．降雪量和交通事故发生率
D ．每亩用肥料量和粮食亩产量
3． 下列命题叙述正确的是
（
）
A ．任何两个变量都可以用一元线性回归关系进行合理的描述
B ．只能采用最小二乘法对一元线性回归模型进行参数估计
C ．对于一个样本，用最小二乘法估计得到的一元线性回归方程参数估计值是唯一的
D ．任何两个相关关系的变量经过变换后都可以化为一元线性回归关系
4． 设线性回归直线方程??y
a bx =+，现将y 的单位由cm 变为m ，x 的单位由ms 变为s ，则在新的线性回归直线方程y a
b x **=+中，
（
）
A ．0.1b b *=
B ．b b *=
C ．10b b *=
D ．100b b *=
5． 若施肥量x 与水稻产量y 的线性回归直线方程??2505y
x =+，当施肥量为80Kg 时，预计水稻产量为___________．
6． 某保险公司收集了10周中工作的加班时间y 与签订新保单数目x ，用最小二乘法求出线性回归方
程为??0.120.0036y
x =+．若公司预签订新保单1000张，估计需加班 _________小时． 7． 如果你想作一个反对抽烟的电视公益广告的播放次数与看电视的中学生戒烟率的数据散点图，作为x 轴的变量应为 。 8． 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
试求出回归直线方程
9．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间相应的一组观察值如下表：
求腐蚀深度y
10．某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示：
如果不加控制，仍按这个趋势发展下去，请预测从2000年初到2003年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共多少？
18、统计
18．4 线性回归方程及应用
A 组
1． 设有一个直线回归方程为 ??32y
x =- ，则变量x 增加一个单位时 （
）
A ．y 平均增加 2个单位
B 。y 平均增加 3 个单位
C ．y 平均减少 2 个单位
D 。y 平均减少 3个单位
2． 回归直线方程的系数a ，b 的最小二乘法估计使函数Q （a ，b ）最小，Q 函数指
（
）
A ．
2
1
()
n
i
i
i y a bx =--∑
B 。
1
n
i
i
i y a bx
=--∑
C ．i i y a bx --
D 。2()i i y a bx --
3． 对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是
（
）
A ．都可以分析出两个变量的关系
B ．都可以用一条直线近似表示两者关系来估计总体的均值
C ．都可以作出散点图
D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系
4． 某种机器购置后运营年限x 与当年增加利润y 的统计分析知具备线性相关关系，回归方种为
??10.47 1.3y
x =-，估计这种机器使用 年最合算。 5． 给出下列关系： ①正方体的体积与棱长 ②角的度数和它的正弦值
③单产为常数时，土地面积和总产量 ④日照时间与棉花亩产量 ⑤体重与身高
其中属于函数关系的有 。
6．一台机器可以按各种不同的速度运转，其生产的物Array件有一些会有问题，每小时生产有问题物件的多寡，随
机器运转的速度而变化，左面表格中的数据是几次试验
的结果.那么当速度为10（转/秒）时，是否可以预知每
小时生产有问题物件数呢？若实际生产中所允许的每小
时最大问题物件数为10，那么机器的速度不得超过多少
转/秒？
7．假设儿子身长与父亲身长适合一元线性回归模型，观察了10对英国父子身长（英寸）如下：
8．我们知道营业税税收总额y与社会消费品零售总额x有关．为能从社会消费品零售总额去预测营
业税税收总额，需要了解两者的关系．现收集如下11组全国相关数据（单位：亿元）
(1)画出营业税税收总额y 与社会消费品零售总额x 间散点图；
（2用最小二乘法求营业税税收总额y 与社会消费品零售总额x 之间线性回归直线方程． (3)试估计2005年社会消费品零售总额增长在12%~14%，营业税税收总额y 大致会增长多少？
18、统计
18．4 线性回归方程及应用
B 组
1． 回归直线方程的系数a ，b 的最小二乘法估计使函数Q （a ，b ）最小，则下列正确答案是
（ ）
A ．12
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑ B 。1
n
i
i
i Q y a bx
==
--∑
C ．a y bx =+
D 。12
21n
i i i n
i i n x y x y b n x x
==-=
-∑∑
2． 两个变量成负相关关系时，散点图的特征是 （ ）
A ．点散布特征为从左下角到右上角区域
B ．点散布在某带形区域内
C ．点散布在某圆形区域内
D ．点散布特征为从左上角到右下角区域内
3． 某考察团对全国10大声调进行职工人均平均工资x 与居民人均消费y 进行统计调查，y 与x 具有
相关关系，回归方程为??0.66 1.562y
x =+（单位：千元）。若某城市居民消费水平为7.675，估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为 （ ）
A ．66%
B 。72.3%
C 。67.3%
D 。83%
4． 下列关系中： ①吸烟有害健康 ②粮食产量与施肥量 ③乌鸦叫，没好兆 ④名师出高徒
不具有相关关系的是 。
5． 现有一个身高预测体重的回归方程；体重预测值＝4（磅/英寸） 身高-130磅.期中体重和身高分
别以磅和英寸为单位。如果将它们分别以kg 、cm 的单位（1英寸≈2．5cm ，1磅≈0．45kg ） ．回归方程应该是____________________________________．
6． 一个工厂在某年某月产品的总成本y （万元）与该月产量（万件）之间有如下数据：
(1)画出散点图；
（2）最小二乘法求月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间线性回归直线方程．
7． 试证明：①2
2
21
1
()n
n
i i i i x x x nx ==-=-∑∑；
②1
1
()()n n
i i i i i i x x y y x y nx y ==--=-∑∑。
8．下栏的表格是某省20个县城2007年的一份统计资料，其中
x表示第i个县城在2007年建成的
i
新住宅面积(单位：103m2)，
y表示第i个县城在2007年的家具销售量(万元) 。
i
若此县城在2008年预计新建成的住宅面积为350×103m2，则可以大体估计出此县城当年可销售家具多少万元？
参考答案
18．4 线性回归方程及应用
【典型例题】
[例1]（1）A ．提示：线性回归直线方程为?y
=a +bx ，而a =y bx -，即a =t -bs ，t =a +bs ．∴(s ，t )在回归直线上，即直线l 1和l 2必有公共点(s ，t )。
（2）B ．提示：回归直线斜率为80，所以x 每增加1，?y
增加80，即劳动生产率提高1千元时，工资提高80元。 （3）C ．
（4）x y
003585.01181.0?+=。提示：10
10211
1762,()129786010i i i i x x x x ====-=∑∑，4653))((,85.210
1
=--=∑=i i i y y x x y 。
（5）3.7[例2]① ②50.45)50394058354248464245(10
1
=+++++++++=x ，
37.7)72.855.620.649.990.599.650.752.930.653.6(10
1
=+++++++++=
y 12
2
1
0.13n
i i
i n
i
i x y nxy
b x
nx ==-=
=-∑∑， 1.29a y bx =-=，所以所求回归直线的方程为?0.13 1.29y
x =+ .图x
[例3]（1）从入学成绩（x ）与高一期末考试成绩（y ）两组变量的散点图看，这两组变量尚具有线性关系.
通过计算知76,70==y x ，
∑∑===-=--10
1
2
10
1
,2474)(,1894))((i i i i
x x y y x x
∑==-10
1
2
2056)
(i y y ，
所以x b y a b -==,76556.041067.22=，因此所求的线性回归方程是y
?=22.410 67＋0.765 56x ；
（2）若某学生入学数学成绩为80分，代入上式可求得，84≈y 分，即这个学生高一期末数学成绩预测值为84分．
[例4] （1）散点图如图所示． （2）散点图显示出商品流通费率和商品零售额的变化关系并不是直线型，而是一条递减的双曲线
型．两者之间不具有线性相关关系． 但经济理论和实际经验都可说明，流通费率决定于商品零售额，体现着经营的规模效益，因此可以拟合一个以商品销售额为自变量(X )，流通费
率为因变量(Y )的双曲线回归模型：X
b a Y
1
??+=，为了求模型
中的a 和b 两个参数，令
1X X
'=，是上述模型转换为线性模型：?Y a bX '=+，这样我们就可以运用线性回归的知识加以解决了．
将转化后的有关数据列表如下：
代入公式得：4.60,4377.0=-=b a ，从而线性回归方程为?0.437760.4Y
X '=-+．将1X X
'=回代得60.4?0.4377Y
X
=-+． 于是当X =20（万元）时，5823.2?=Y
（％）． 【课内练习】 1． D 。
2． A 。提示：依据函数的定义即可。
3． C 。提示：只要样本数据确定，那么所求的参数就是唯一的。 4． D 。 5． 5. 650Kg ． 6． 3.73． 7． 播放次数。
8． 表中的数据进行具体计算，列成以下表格
故可得到
257
3075.43.399,
75.430770002
≈?-=≈?-=
a b 从而得回归直线方程是25775.4?+=x y
． 9．由表中数据经计算可得510214
,1111
x y =
=
，由线性回归公式得：0.304, 5.36b a ==，故y 对x 的回归直线方程为?0.304 5.36y
x =+。
回归系数b=0.304的意义是：腐蚀时间x 每增加一个单位，深度y 平均增加0.304个单位．
10．思路一、从新发病的增长率入手
1996年到1997年新发病的增长率为 (2491-2400)/2400≈3.792％； 1997年到1998年新发病的增长率为 (2586-2491)/2491≈3.814％； 1998年到1999年新发病的增长率为 (2684-2586)/2586≈3.790％．
由此可见，新发病的增长率基本一致，取其平均数为3.799％，以此作为以后新发病增长率的预测，即2684(1+3.799％)+2684(1+3.799％)2+2684(1+3.799％)3+2684(1+3.799％)4，不难算得约等于11795（人）．
思路二、从数据处理来考察
因为2491/2400≈1.038、2586/2491≈1.038、2684/2586≈1.038，可见连续两年新发病人数的比值近似于一个常数1.038，以此作为以后的预测，即
2684(1+3.799％)+2684(1+3.799％)2+2684(1+3.799％)3+2684(1+3.799％)4≈11795（人）． 思路三、利用回归分析
x 轴上表示年份，y 轴上表示新发病的人数，将表格中的四组数据描点（图略）．观察这些点的
位置，它们的分布大致在一条直线附近，所以尝试用直线进行拟合．
设回归直线方程为bx a y
+=?，则由相关数据计算得：5.199711
==∑=n
i i x n x ，25.254011
==∑=n
i i y n y ，7.94)(1
2
21=--=
∑∑==n
i i
n
i i
i
x n x
y
x n y
x b ，186623-=-=x b y a ，
所以回归直线方程为x y
7.94186623?+-=，从而 ?+?-=7.944186623总y 11676)2003200220012000(≈+++（人），即为所求．
18、统计
18．4 线性回归方程及应用
A 组
1． C 。 2． A 。 3． C 。 4． 8。 5． ①②③。
6． 用x 表示机器速度，y 表示每小时生产有问题物件数，那么4个样本数据为：（8，5）、（12，8）、（14，9）、（16，11），则25.8,5.12==y x .于是回归直线的斜率为
7286.035
5
.251
2
2
1==
---
=∑∑==n
i i
n
i i i x
x
y x n y
x a ，8571.0-=-=x a y b ，所以所求的回归直线方程为8571.07286.0-=x y 。根据公式8571.07286.0?-=x y
，要使10≤y ，则就需要108571.07286.0≤-x ，9031.14≤x ，即机器的旋转速度不能超过9013.14转/秒. 7． 98.354646.0?+=x y
。 8． 营业税税收总额y 与社会消费品零售总额x 间散点图
(2) 利用计算器可以计算算出：
11
2101
11
1
33142.9,1883.03, 1.3390610,
768406464
i i i i
i x y x x y
=====?=∑∑
于是11
111
2
2
1
110.07658,705.0111i i
i i
i x y x y
b a y bx x
x
==-=
=---∑∑ ．
所以所求的线性回归直线方程是??705.010.07658y
x =-+。 （3）社会消费品零售总额增长在12%~14%，即社会消费品零售总额在60424~61503，估计2005年营业税税收总额大致在3992~4005亿元，增长9.5%~11.8%。
B 组
1． A 。 2． D 。 3． D 。 4． ③
5． 体重预测值＝0．72（kg/cm ） 身高－58.5kg 。 6． 画出散点图：
利用计算器，可以计算得：
12
12
2
1
1
1.5417,
2.8475,29.808,54.24
3.i i i i i x y x x y ======∑∑
于是12
112
2
2
1
12 1.215,0.97412i i
i i
i x y x y
b a y bx x
x
==-=
=--∑∑ 。
所以所求的线性回归直线方程是??0.974 1.215y
x =+。 7． ①2
2
2
2
2
2211
1
1
1
()22()n
n
n
n
n
i i
i i
i i i i i i x x x x x nx x x nx nx x nx =====-=-+=-+=-∑∑∑∑∑。
②11
1
1
()()n
n n n
i i i i i i i i i i x x y y x y x y y x nx y ====--=--+∑∑∑∑
1
1
()()n
n
i i i i i i x y x ny y nx nx y x y nx y ===--+=-∑∑。
8． 首先以横坐标表示新建成的住宅面积，纵坐标表示对应县城的家具销售量，作散点图。散点图如
下：
由于家具销售量与新住宅落成的面积间呈现出明显的线性趋势，所以我们可以用回归直线去描述它 .由已知数据可以算出：
8.160918)(12
112=-∑∑==n i i n
i i x n x ，8.173976))((11
11=-∑∑∑===n
i i n i i i n i i y x n y x ， 所以0811.1=b ，4147.218=-=x b y a ，因此4147.2180811.1?+=x y
即为所求回归直线。 故当此县城在2008年预计新建成的住宅面积为350×103m 2，则可以大体估计出此县城当年可销
售家具8.5964147.2183500811.1?=+?=y
万元。
线性回归方程的求法(需要给每个人发)
耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用 第一公式：线性回归方程为???y bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n = +++???+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n =+++???+ （3） 求变量x 的系数?b ，有两个方法 法112 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=??-+-++-?? （需理解并会代入数据） 法21 2 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?=??+++-??（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数?a ，既??a y bx =- 最后写出写出回归方程???y bx a =+。可以改写为：??y bx a =-（?y y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据： 求y 与x 的回归方程： 解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x = +++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44 y =+++= （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法
法1?b = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=??-+-+-+-??--+--+--+--==??-+-+-+-?? 法2?b =[][]11222222222212...011325374 1.5457 ...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-??+?+?+?-??==????+++-+++???? (4)求常数?a ，既525??4 1.577a y bx =-=-?= 最后写出写出回归方程525???77 y bx a x =+=+ 第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。数 据b 具有两个属性1x ，2y 。数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。解题步骤如下 第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关） 第二步：列出上述表格 第三步：计算检验的指标 2 2 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 第四步：查表得出结论 例如你计算出2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50 例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50 上述结论都是概率性总结。切记事实结论。只是大概行描述。具体发生情况要和实际联系！！ ！！
第十章 一元线性回归
第十一章 一元线性回归 一、填空题 1、对回归系数的显著性检验，通常采用的是 检验。 2、若回归方程的判定系数R 2 =0.81，则两个变量x 与y 之间的相关系数r 为_________________。 3、若变量x 与y 之间的相关系数r=0.8，则回归方程的判定系数R 2 为____________。 4、对于直线趋势方程bx a y c +=，已知∑=,0x ∑=130xy ，n=9，1692 =∑x ， a=b ，则趋势 方程中的b=______。 5、回归直线方程bx a y c +=中的参数b 是_____________。估计待定参数a 和 b 常用的方法是-_________________。 6、相关系数的取值范围_______________。 7、在回归分析中，描述因变量y 如何依赖于自变量x 和误差项的方程称为 。 8、在回归分析中，根据样本数据求出的方程称为 。 9、在回归模型εββ++=x y 10中的ε反映的是 。 10、在回归分析中，F 检验主要用来检验 。 11、说明回归方程拟合优度检验的统计量称为 。 二、单选题 1、年劳动生产率（x ：千元）和工人工资（y ：元）之间的回归方程为1070y x =+，这意味着年劳动生产率没提高1千元，工人工资平均（ ） A 、 增加70元 B 、 减少70元 C 、增加80元 D 、 减少80元 2、两变量具有线形相关，其相关系数r=-0.9，则两变量之间（ ）。 A 、强相关 B 、弱相关 C 、不相关 D 、负的弱相关关系 3、变量的线性相关关系为0，表明两变量之间（ ）。 A 、完全相关 B 、无关系 C 、不完全相关 D 、不存在线性关系 4、相关关系与函数关系之间的联系体现在（ ）。 A 、相关关系普遍存在，函数关系是相关关系的特例 B 、函数关系普遍存在，相关关系是函数关系的特例 C 、相关关系与函数关系是两种完全独立的现象 D 、相关关系与函数关系没有区别 5、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δ xy 2 =-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。 A 、显著正相关 B 、低度正相关 C 、显著负相关 D 、低度负相关 6、对某地区前5年粮食产量进行直线趋势估计为：80.5 5.5y t =+? 这5年的时间代码分别是：-2，-1，0，1，2，据此预测今年的粮食产量是（ ）。 A 、107 B 、102.5 C 、108 D 、113.5 7、两变量的线性相关关系为-1，表明两变量之间（ ）。 A 、完全相关 B 、无关系 C 、不完全相关 D 、不存在线性关系 8、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δ xy 2=-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。 A 、显著正相关 B 、低度正相关 C 、显著负相关 D 、低度负相关 9、下面的各问题中，哪一个不是回归分析要解决的问题（ ）。 A 、判断变量之间是否存在关系 B 、 判断一个变量的数值的变化对另一个变量的影响
线性回归方程分析讲课教案
线性回归方程分析
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：
又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y － )， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C 3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个 样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是 ( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间 C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D ．直线l 过点(x －，y －) 解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D 4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y －＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4 5 ＝0.5， 可求得小李这5天的平均打篮球时间x －＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^ ＝ 0.47，故回归直线方程为y ^ ＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.53 5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型 一、内容提要 本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。首先，本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。 本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的学习与掌握。同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。 本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。 本章还有三方面的内容不容忽视。其一，若干基本假设。样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。 二、典型例题分析 例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为 β+ μ β kids =educ + 1
(典型题)高考数学二轮复习-知识点总结-统计与统计案例
统计和统计案例 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率和统计交汇等. 2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题． 1． 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少． (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多． (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2． 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距× 频率 组距 ＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1； ③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线和x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差：s 2＝n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2 ]． 标准差：
s ＝ 1n [ x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]. 4． 变量的相关性和最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数． (2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝ i ＝1 n (y i －a －bx i )2 最小时，得到线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 的方法叫做最小二乘法． 5． 独立性检验 对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是： y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d n 则K 2 ＝ n ad －bc 2a ＋b c ＋ d a ＋c b ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 ( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．15 答案 C 分析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为 960 32 ＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分 成几个组，则分段间隔即为N n (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样
一元线性回归分析法
一元线性回归分析法 一元线性回归分析法是根据过去若干时期的产量和成本资料，利用最小二乘法“偏差平方和最小”的原理确定回归直线方程，从而推算出a(截距)和b(斜率)，再通过y ＝a+bx 这个数学模型来预测计划产量下的产品总成本及单位成本的方法。 方程y ＝a+bx 中，参数a 与b 的计算如下： y b x a y bx n -==-∑∑ 222 n xy x y xy x y b n x (x)x x x --==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 上式中，x 与y 分别是i x 与i y 的算术平均值，即 x =n x ∑ y =n y ∑ 为了保证预测模型的可靠性，必须对所建立的模型进行统计检验，以检查自变量与因变量之间线性关系的强弱程度。检验是通过计算方程的相关系数r 进行的。计算公式为： 22xy-x y r= (x x x)(y y y) --∑∑∑∑∑∑ 当r 的绝对值越接近于1时，表明自变量与因变量之间的线性关系越强，所建立的预测模型越可靠；当r ＝l 时，说明自变量与因变量成正相关，二者之间存在正比例关系；当r ＝—1时，说明白变量与因变量成负相关，二者之间存在反比例关系。反之，如果r 的绝对值越接近于0，情况刚好相反。 [例]以表1中的数据为例来具体说明一元线性回归分析法的运用。 表1： 根据表1计算出有关数据，如表2所示： 表2：
将表2中的有关数据代入公式计算可得： 1256750x == （件） 2256 1350y ==（元） 1750 9500613507501705006b 2=-??-?=（元/件） 100675011350a =?-=（元/件） 所建立的预测模型为： y ＝100+X 相关系数为： 9.011638 10500])1350(3059006[])750(955006[1350 750-1705006r 22==-??-???= 计算表明，相关系数r 接近于l ，说明产量与成本有较显著的线性关系，所建立的回归预测方程较为可靠。如果计划期预计产量为200件，则预计产品总成本为： y ＝100+1×200＝300(元)
线性回归方程公式证明
112233^ ^^^2 211(,),(,),(,)(,)1,2,3),()()n n i i i i i i n i i i i i i n x y x y x y x y y bx a x i n y bx a y y y a b Q y y bx a y ===+==+-=-=+-∑L L 设有对观察值,两变量符合线生回归设其回归方程为:，把自变量的某一观测值代(入入回归方程得:，此值与实际观测值存在一个差值，此差值称为剩余或误差。现要决定取何值时，才能够使剩余的平方和有最小值，即求11 2 21122 221 1111 22111:,()[()()()]()()()2()()2()()2()() ()2n n n i i i i n n i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i n i i x x y y n n Q bx a y a bx y y y b x x n a bx y y y b x x a bx y y y a bx y x x b x x y y b x x =============+-=+---+-=+-+-+--+---+-----=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑的最小值知又22 111 122211()()()()()()()()n n i i i i i n n i i i i i i n n i i i i b x x y y n a bx y y y b x x y y x y nx y b x x x n x a y bx ======--++-+----==--=-∑∑∑∑∑∑此式为关于的一元二次方程,当
线性回归方程高考题讲解
线性回归方程高考题讲解
线性回归方程高考题 1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：）
2、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若有数据知y对x呈线性相关关系.求: (1) 填出下图表并求出线性回归方程=bx+a的回归系数,; 序号x y xy x2 1 2 2.2 2 3 3.8 3 4 5.5 4 5 6.5 5 6 7.0 ∑ (2) 估计使用10年时,维修费用是多少.
3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，得到的数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线； （3）试预测加工10个零件需要多少时间？ （注：
4、某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表： 3 4 5 6 7 8 9 66 69 73 81 89 90 91 已知：． (Ⅰ)画出散点图； (1I)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程． 5、某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 (1)画出散点图： (2)求回归直线方程；
21.回归方程复习题
第二、三章 回归方程复习题 一、 单项选择题 1、将内生变量的前期值作解释变量,这样的变量称为（ D ）。 A ．虚拟变量 B. 控制变量 C ．政策变量 D. 滞后变量 2、把反映某一总体特征的同一指标的数据，按一定的时间顺序和时间间隔排列起来，这样的数据称为（ B ）。 A ．横截面数据 B. 时间序列数据 C ．修匀数据 D. 原始数据 3、在简单线性回归模型中，认为具有一定概率分布的随机数量是( A )。 A ．内生变量 B. 外生变量 C ．虚拟变量 D. 前定变量 4、回归分析中定义的( B ) 。 A ．解释变量和被解释变量都是随机变量 B ．解释变量为非随机变量，被解释变量为随机变量 C ．解释变量和被解释变量都为非随机变量 D ．解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量 5、双对数模型μββ++=X Y ln ln ln 10中，参数β1的含义是（ C ）。 A ．Y 关于X 的增长率 B. Y 关于X 的发展速度 C ．Y 关于X 的弹性 D. Y 关于X 的边际变化 6、半对数模型i i i X Y μββ++=ln 10中，参数β1的含义是（ D ）。 A ．Y 关于X 的弹性 B. X 的绝对量变动，引起Y 的绝对量变动 C ．Y 关于X 的边际变动 D. X 的相对变动，引起Y 的期望值绝对量变动 7、在一元线性回归模型中，样本回归方程可表示为：（ C ）。 A ．t t t X Y μββ++=10 B. t t t t X Y E Y μ+=)|( C ．t t X Y 10???ββ+= D. t t t X X Y E 10)|(ββ+= （其中t=1,2,…,n ） 8、设OLS 法得到的样本回归直线为i i i e X Y ++=10??ββ，以下说法不正确的是( D ) 。 A ．0=∑i e B. ),(Y X 在回归直线上 C ．Y Y =? D. 0),(≠i i e X COV 9、同一时间，不同单位相同指标组成的观测数据称为（ B ）。 A ．原始数据 B. 横截面数据 C ．时间序列数据 D. 修匀数据
(完整)高中数学知识点：线性回归方程,推荐文档
高中数学知识点：线性回归方程 1.回归直线方程 （1）回归直线：观察散点图的特征，发现各个大致分布在通过散点图中心的一条直线附近。如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。求出的回归直线方程简称回归方程。 2．回归直线方程的求法 设与n 个观测点（,i i x y ）()1,2,,i n =???最接近的直线方程为$ ,y bx a =+，其中a 、b 是待定系数. 则$,(1,2,,)i i y bx a i n =+=L .于是得到各个偏差 μ(),(1,2,,)i i i i y y y bx a i n -=-+=L . 显见，偏差$i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵 消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和. 2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=Λ 表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度. 记21()n i i i Q y bx a ==--∑. 上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值.即 1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====?---??==??--??=-??∑∑∑∑， ∑==n i i x n x 11，∑==n i i y n y 11
相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析 上述求回归直线的方法是使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。 要点诠释： 1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可.不要求掌握回归直线方程的推导过程. 2.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义.否则，求出的回归直线方程毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性. 3.求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误. 4.回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.
一元线性回归方程教案
8.5 一元线性回归案例 湘教版选修 2-3 第 8.5 节 【教学目标】 （一） 知识与技能 了解样本、样本容量、线性回归的概念，理解变量之间的相关系数的概念、 相关系数、一元线性回归直线等概念。 （二） 过程与方法 熟练利用公式求相关系数，掌握求一元线性回归直线方程 l : y = bx + a. 的方 法，加深理解线性回归模型的意义。判断变量间是否线性相关。 （三） 情感、态度与价值观 培养学生分析问题、解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力。 【教材分析】 1. 教学重点：让学生了解线性回归的基本思想和方法。 2. 教学难点：掌握建立回归模型的基本步骤。 3. 变量间的关系： 函数关系：自变量 x 确定 y 唯一确定；（确定关系） 相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的 随机性的两个变量之间的 关系称为相关关系 。 例如：在水稻产量与施肥量的关系中，施肥量是可控制变量，而水稻产量 是随机变量。因此只能说明水稻产量与施肥量是相关关系。 现实生活中相关关系大量存在，从某种意义上看，函数是一种理想的关系模型， 而相关关系式一种更为一般的情况，因此更有研究相关关系的必要了。 4. 一元线性回归分析 在具有相关关系的变量中如果因变量仅与一个变量有关，相应的统计分析成 为一元回归分析；若与因变量与多个自变量有关，称为多元线性回归分析。 5. 线性相关性检验： （相关系数检验法） 当 r >0 时，我们称其正相关； 当 r xy <0 时，我们称其负相关； 当 r xy =0 时，我们称其不相关。
教学过程教师活动学生活动 问题一：如果有两个变量X 和Y，那么这两个变量之间 有什么关系呢？答： 设计意图 引入新知 讲授新知（联系我们之前学过的知函数：涉及了两个变量，自通过对两识，哪些涉及了两个变量并变量X因变量Y，个变量之着重强调两个变量之间的随着自变量X的变化相应间关系的关系呢？）的有唯一的因变量Y与之探讨，既用身高和体重这个例子引对应复习了已出相关关系学的函数那么什么叫做相关关系函数关系知识，又呢？引出这节函数关系与相关关系之间课所要关又有什么异同点呢？相关关系注的相关那么这节课我们就一起来关系。研究一下相关关系。 在此之前，我们先一起来看 一道例题。 首先我们先一起分析一下答：通过学生表中所给数据，你能得到怎（1）随着年份的增加，船对数据的样的结论呢？只数量X也是在逐年增加观察可以 的；大概得到这是我们从表中数据直接（2）并且随着船只数量的两个变量得到的，一般情况下对于数增加，被撞死的海牛数整体间的关据的处理我们除了可以采呈现一种上升的趋势。系，但是用列表法，还可以采用图像未来更加法。那么为了更加直观的反直观便可映整体走势，下面请同学们以借助散根据表中数据在坐标系中点图来帮绘出相应各点。看看能得到助我们分什么样的结论呢？析。 （用excel绘制散点图） 我们发现绘制出的图形呈 现一个一个的散点，我们称 这样的图形为散点图。 并且从数据散点图看到y i 有随着x的增加而沿某一 i 直线增加的趋势。并且这些
线性回归方程题型
线性回归方程 1.【2014高考全国2第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表： （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()() () 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t ∧ = = -- = - ∑ ∑ ，? ?a y bt =- 2.【2016年全国3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014. （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据： 7 1 9.32i i y ==∑，7 1 40.17i i i t y ==∑ 0.55=，≈2.646. 参考公式：()() n i i t t y y r --= ∑ 回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() ()n i i i n i i t t y y b t t ==--= -∑∑ ，=.a y bt - 3.【2015全国1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
一元线性回归方程的应用
第四节一元线性回归方程的应用 回归方程最主的应用就是用它进行估计或预测。只要r2≠1，估计误差就不可避免。因而在应用回归方程时，需要对估计的误差以及与之相联系的一些问题有所了解。 一、回归方程的建立与预测（或估计） 对于一组X、Y的数据，我们可以建立回归方程，有了y对X的回归方程，也就找到了X与y之间变化的数量关系，对于任意一个X值都可估计出与之对应的y值。 一）回归方程的建立 例下面是20名工作人员的智商和某一次技术考试成绩，根据这个结果求出考试成绩对智商的回归方程。如果另有一名工作人员智商为120，则估计一下若让他也参加技术考试，将会得多少分？ 解：经检验两者具有线性关系 计算得：X与Y的均值：107 71 标准差：13.69 11.63 r=0.86 代入公式 则回归方程为： NO 智商 X 成绩 Y 估计 Y' NO 智商 X 成绩 Y 估计 Y' 1 89 55 57.86 11 84 53 54.21 2 97 74 63.7 12 121 82 81.22 3 126 87 84.87 13 97 58 63.7 4 87 60 56.4 14 101 60 66.62 5 119 71 79.7 6 15 92 6 7 60.05 6 101 54 66.62 16 110 80 73.19 7 130 90 87.79 17 128 85 86.33 8 115 73 76.84 18 111 73 73.92 9 108 67 71.73 19 99 71 65.16 10 105 70 69.54 20 120 90 80.49 二）回归方程的检验 1．方差分析法
多元线性回归模型公式().docx
二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量 y 受 k 个自变量 x 1, x 2 ,..., x k 的影响，其 n 组观测值为（ y a , x 1 a , x 2 a ,..., x ka ）， a 1,2,..., n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为： y a 0 1 x 1a 2 x 2 a ... k x ka a （） 式中： 0 , 1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。 如果 b 0 , b 1 ,..., b k 分别为 0 , 1 , 2 ..., k 的拟合值，则回归方程为 ?= b 0 b 1x 1 b 2 x 2 ... b k x k （） 式中： b 0 为常数； b 1, b 2 ,..., b k 称为偏回归系数。 偏回归系数 b i （ i 1,2,..., k ）的意义是，当其他自变量 x j （ j i ）都固定时，自变量 x i 每变 化一个单位而使因变量 y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理， i （ i 0,1,2,..., k ）的估计值 b i （ i 0,1,2,..., k ）应该使 n 2 n 2 Q y a y a y a b 0 b 1 x 1a b 2 x 2a ... b k x ka min （） a 1 a 1 有求极值的必要条件得 Q n 2 y a y a b 0 a 1 （） Q n 2 y a y a x ja 0( j 1,2,..., k) b j a 1 将方程组（）式展开整理后得：
高中数学知识点精讲精析 线性回归方程
6.4 线性回归方程 1、确定性函数关系：变量之间可以用函数表示 2、相关关系：变量之间具有一定的联系，但不能完全用函数表达 引入：某小卖部为了了解热茶销售量与气温的大致的关系，随机统计并制作了某６天卖出热茶的杯数与当天气温对照表 如果某天的气温是－5℃，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数么？考虑离差的平方和： 一般地，设有ｎ对观察数据如下： 仿照前面的方法，可得线性回归方程中系数a，b满足
由此二元一次方程组便可依次求出b 、a 的值. 相关关系 1. 散点图、正相关、负相关 2. 数据 回归直线方程： 样本相关系数： 1112211n n n i i i i i i i n n i i i i n x y x y b n x x a y bx =====????? -? ????????=???? - ?? ??? ?=-?∑∑∑∑∑)(1 21n x x x n x +++= ) (1 21n y y y n y +++= ∑=+++=n i n i x x x x 1 2 22212 ∑=+++=n i n i y y y y 12 22212 ∑=+++=n i n n i i y x y x y x y x 1 2211 ∑∑==--= n i i n i i i x n x y x n y x b 1 2 21x b y a -=a bx y +=? ∑∑∑===-?--= n i n i i i n i i i y y x x y x n y x r 1 1 2 2 1 )()(
时回归直线有意义 时回归直线无意义 .该市统计调查队随机调查10个家庭， 【解析】 ∴ 回归直线有意义 ∴ 回归直线： ∑∑∑===---= n i n i i i n i i i y n y x n x y x n y x 1 1 221) )((1||≤r 05.0||r r >05.0||r r ≤88 .3210 1 2 =∑=i i x ∑==10 1 27 .22i i y ∑==10 1 17 .27i i i y x 632.0950.005.0=>=r r 013.0-=a 833.0=b 013.0833.0-=x y
线性回归方程
线性 回归 方程 统计总课时第18课时分课题线性回归方程分课时第1 课时 教学目标了解变量之间的两种关系，了解最小平方法〔最小二乘法〕的思想，会用公式求解回归系数． 重点难点最小平方法的思想，线性回归方程的求解． 线性回归方程 某小卖部为了了解热茶销量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 气温/C ?26 18 13 10 4 -1 杯数20 24 34 38 50 64假设某天的气温是C? -5，那么你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 新课教学 1．变量之间的两类关系： 〔1〕函数关系： 〔2〕相关关系： 2．线性回归方程： 〔1〕散点图： 〔2〕最小平方法〔最小二乘法〕：〔3〕线性相关关系： 〔4〕线性回归方程、回归直线：3．公式： [来源:https://www.360docs.net/doc/9110624072.html,] 4．求线性回归方程的一般步骤： x y Ｏ
例题剖析 例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．[来源:学&科&网] 机动车辆数x/千辆95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故数y/千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 [来源:1ZXXK]
思考：如图是1991年到2000年北京地区年平均气温〔单位：C 〕与年降雨量〔单位：mm 〕的散点图，根据此图能求出它的回归直线方程吗？如果能，此时求得的回归直线方程有意义吗？ 巩固练习 1x /百万元 [来 源:Z+xx+https://www.360docs.net/doc/9110624072.html,] 2 4 5 6 8 y /百万元 30 40 60 50 70 〔1〕画出散点图； 〔2〕求线性回归方程． 课堂小结 了解变量之间的两种关系，了解最小平方法的思想，会用公式求解回归系数． x y 100 200 300 400 500 600 12.40 12.60 12.80 13.00
一元线性回归分析实验报告
. . . 一元线性回归在公司加班制度中的应用 院（系）： 专业班级： 学号姓名： 指导老师： 成绩： 完成时间：
一元线性回归在公司加班制度中的应用 一、实验目的 掌握一元线性回归分析的基本思想和操作，可以读懂分析结果，并写出回归方程，对回归方程进行方差分析、显著性检验等的各种统计检验 二、实验环境 SPSS21.0 windows10.0 三、实验题目 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查一下现状。经10周时间，收集了每周加班数据和签发的新保单数目，x为每周签发的新保单数目，y为每周加班时间（小时），数据如表所示 2.x与y之间大致呈线性关系？ 3.用最小二乘法估计求出回归方程。 4.求出回归标准误差σ∧。 5.给出0β∧与1β∧的置信度95%的区间估计。 6.计算x与y的决定系数。 7.对回归方程作方差分析。 8.作回归系数1β∧的显著性检验。 9.作回归系数的显著性检验。 10.对回归方程做残差图并作相应的分析。 x=，需要的加班时间是多少？ 11.该公司预测下一周签发新保单01000
12.给出0y的置信度为95%的精确预测区间。 E y的置信度为95%的区间估计。 13.给出()0 四、实验过程及分析 1.画散点图 如图是以每周加班时间为纵坐标，每周签发的新保单为横坐标绘制的散点图，从图中可以看出，数据均匀分布在对角线的两侧，说明x和y之间线性关系良好。 2.最小二乘估计求回归方程
用SPSS 求得回归方程的系数01,ββ分别为0.118,0.004，故我们可以写出其回归方程如下： 0.1180.004y x =+ 3.求回归标准误差σ∧ ANOVA a 模型 平方和 自由度 均方 F 显著性 1 回归 16.682 1 16.682 72.396 .000b 残差 1.843 8 .230 总计 18.525 9 a. 因变量：y b. 预测变量：(常量), x 由方差分析表可以得到回归标准误差：SSE=1.843 故回归标准误差： 2= 2SSE n σ∧-，2σ∧=0.48。 4.给出回归系数的置信度为95%的置信区间估计。
Excel关于求解一元及多元线性回归方程图解详细
Excel求解一元线性回归方程步骤(图解详细) 1．开始－程序－Microsoft Excel，启动Excel程序。 2．Excel程序启动后，屏幕显示一个空白工作簿。 3．选定单元格，在单元格输入计算数据。
4．选中输入数据，点击“图表向导”按钮。 5．弹出图表向导对话窗，点击XY散点图，选择平滑线散点图，点击下一步。 6．选择系列产生在：列，点击下一步。
7．在图表标题中输入“硝基苯标准曲线”，数值（X）轴输入“硝基苯浓度”，数值（Y）轴输入“HPLC峰面积”。此外还可以点击“坐标轴”，“网格线”，“图例”，“数据标志”下拉菜单，对其中选项进行选择。 8．点击完成后，即可得到硝基苯的标准曲线图。 9．将鼠标移至图表工作曲线上，单击鼠标右键，选择“添加趋势线”。
10．在“类型”选项中选择“线性”，“选项”中选择“显示公式”，“显示R平方值”，单击确定。 11．单击确定后即可得到附有回归方程的一元线性回归曲线。 12．至此，利用“图表向导”制作回归方程的操作步骤完毕。 利用Excel中“图表向导”制作标准曲线，使用者仅需按照向导说明填入相关信息即可完成图表的制作。方法简单，适合对Excel了解不多的人员，如果你对Excel函数有一定的了解，那么你可以利Excel函数编制程序完成回归方程的计算。 4.4.2.2通过编制Excel程序计算一元线性回归方程 1．打开一个新工作簿，以“一元线性回归方程”为文件名存盘。 2．单击插入，选择名称－定义。
3．在弹出的“定义名称”对话窗中“名称”栏输入“a”，“引用位置”栏输入“＝$E$4”，然后按“添加”按钮；再在“名称”栏输入“b”，“引用位置”栏输入“＝$E$3”，按“添加”按钮，依次输入下列容，最后单击确定。 “名称”栏输入容“引用位置”栏输入容 a =$E$4 b =$E$3 f =$G$4 n =$G$3 rf =$G$6 rxy =$E$5 x =$A$3:$A$888 y =$B$3:$B$888 aa=$G$2 yi1 =$E$12 yi2 =$E$13 4．完成命名后，在相关单元格输入下列程序容。 单元格输入容 E3 =ROUND(SLOPE(y,x),4) G3 =COUNT(x) E4 =ROUND(INTERCEPT(y,x),4) G4 =n-2 E5 =PEARSON(x,y) E6 =DEVSQ(x) G6 =SQRT(FINV(a,1,f)/(f+FINV(a,1,f ))) E7 =DEVSQ(x)*(1-rxy^2) E8 =STEYX(y,x) E9 =IF(rxy>rf,“rxy>临界值回归方程有意义”， “rxy>临界值回归方程有意义”) G10 =1-G2 E11 =CONCATENATE(“=”,a,”+”,”(“,b,”)X”) G12 =(yi1-a)/b G13 =(yi2-a)/b