通信原理--第8章 伪随机序列与扩频通信

a3
a2
a1
a0
{ak }
问题：如何由本原多项式获得线性反馈移位寄存器？
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a3 1 1
a2 0 1
a1 0 0
a0 0 0
1
1 0 1 0 1 1 0 0 1
1
1 1 0 1 0 1 1 0 0
1
1 1 1 0 1 0 1 1 0
0
1 1 1 1 0 1 0 1 1
说明移位寄存器 的任何一级输出 的序列一样, 只 存在超前与滞后 的差别
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例如上述由f ( x) x 4 x 1构成的m序列 产生器的输出为
{a0 } 000 01011001 1111
1 2 345 6 7 8
因n 4, 故它共有2 3 8个游程 : 长度为 的游程为: 8 / 21 4 1 长度为2的游程为: 8 / 2 2 2 长度为3的游程为: 8 / 2 3 1 长度为4的游程为: 8 (4 2 1) 1 一般情况, 长度为i的游程个数为: 2 n 1 / 2 i , 其中1 i n 1
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(2) 当j 0时, A, B实际上是两个序列异或的结果, 由m序列运算的封闭性, 知异或后的序列仍然 m序列, 再由m序列的均衡性, 知 : A B 序列中0的总数 序列中1的总数 (2 n 1 1) 2 n 1 1 A B 1 故有 : R ( j ) p p 综上所述有 : 1 R( j ) 1 / p j 0时 j 0时
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§8.2.4 自相关特性
m序列有良好自相关特性设m序列中, . 设长为p (即周期为p )( p 2 n 1)的序列, 记为 : a1 , a 2 , a3 , , a p 1 , a p , a1 , a 2 , a3 , 经过j次移位后的m序列可表为: a j 1 , a j 2 , a j 3 , , a j p 1 , a j p 将以上两序列对应项在一个同期内相乘后再相加, 利用其总和
p 1 2n 1 1 周期p 2 1恒为奇数, 在一个周期中1的个数为 , 2 n 1为偶数. 2 2 p 1 2n 1 1 而0的个数为 2 n 1 1为奇数. 2 2 如 : p 15, 则有8个1,7个0.
n
当p足够大时, 在一个周期中1与0出现的次数基本相等 , .
7
用同样的方法可证明 x x 1除不尽 :
3 2
x i 1 (i 6,5,4,3) 由此可知, f ( x) x x 1是一个本原多项式 .
3 2
同样可证明 f ( x) x 3 x 2 1的逆多项式 , f ( x) x x 1(如何得来是一个复杂的 问题)
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《通信原理》课程
禹思敏
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第8章
伪随机序列与扩频通信
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三种序列及其性质： 确定序列：可预先确定并可重复实现的序列。
随机序列：既不预先确定又不重复实现的序列。是
非周期序列，或者说其周期为无穷大。
伪随机序列：是一种貌视随机序列的确定序列，m 序
列是一种伪随机序列，它是一种周期长
度为 p 的序列，周期越长，其性质越接
1、线性反馈移位寄存器的递推关系式
由图知：移位寄存器左端第一级的输入可表为：
an c1an 1 c2 an 2 cn 1a1 cn a0 ci an i
i 1
n
若经k次移位, 则第一级的输入为 an k ci an k i
i 1 n
上式称为递推关系式 .
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a3
0 1 0 0 1 1 0
a2
0 0 1 0 0 1 1
a1
0 0 0 1 0 0 1
a0
1 0 0 0 1 0 0
a3
1 0 0 1 1 0 1
a2
0 1 0 0 1 1 0
a1
0 0 1 0 0 1 1
a0
0 0 0 1 0 0 1
说明移位 寄存器的 任何一级 输出的序 列一样, 只存在超 前与滞后 的差别
5
2、线性反馈移位寄存器的特征多项式
用多项式f(x)描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态：
f ( x) c0 c1 x c2 x cn x ci x i
2 n i 0 n
上式称特征多项式或特征方程。在上式中，由于c0=cn=1，故特 征多项式f(x)是一个常数为1的n次多项式：
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一个周期
§8.2.3 移位相加特性
两个不完全相同m序列模 2相加后所得的序 列仍然是某个移位后的m序列。也就是说，m序 列对模2加具有封闭性。
设有两个原序列为m p 和mr , 将这两个序列作 按位异或运算, 得 : md m p mr 则md 仍然为某个移位后的m序列.
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例如：上述例2中： … a0=0001001101011110001001101011110001001101011…
§8.2.2 游程特性 游程：连1码（或连0码）称为一个游程，连1码（或连0 码）的个数称为游程长度。游程个数或长度的计算为：
若特征多项式为: f ( x) x n cn 1 x n 1 c1 x 1 则游程的个数 2 n 1 ,因此, 它由特征多项式的最高 次幂n决定
近随机序列。 本章分析伪随机序列的产生及在扩频通信中的应用。
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§8.1 m序列的产生
§8.1.1 线性反馈移位寄存器 m序列：由带线性反馈的移位寄存器产生的周期最长的一种二进 制序列。线性反馈移位寄存器的（外环式）结构如下图所示。
an , an k
c0 1
c1
c2
c3
cn 1
cn 1
a a
i 1 i
p
j i
a1a j 1 a 2 a j 2 a p a j p
来衡量一个m序列与它的j次移位序列之间的相关程度, 称m序 列的自相关函数, 记为 : R ( j ) ai a j i
i 1 p
A B p
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其中 : A [ai ai j 0]的总数 B [ai ai j 1]的总数 (1) 当j 0时, ai ai j ai ai 0, 则有 : A [ai ai j 0]的总数 p B [ai ai j 1]的总数 0 A B p 故有 : R(0) 1 p p
g ( npTC ) n


2 R1 ( ) pTC
1 p 2 TC 2n TC p Sa 2 pT n C 1 p 2n 2 TC 2 2 Sa p pTC 2 n
一个周期 一个周期
a1=0010011010111100010011010111100010011010111… a0与a1异或后，得： ad=0011010111100010011010111100…
ad为a0延时4位后的序列,为a1延时3位后的序列，等等。
因此异或后的序列仍然是m序列，只是移位不同而已。
R( )
1
1/ p
pTc
Tc
0
周期为pTC 周期为pTC

其相关函数可表为: p 1 1 pT , TC C R ( ) (式中p伪随机序列的周期 TC为码元宽度) , 1 p
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§8.2.5 PN码功率谱。 （1）为了求 PN码的功率谱，需要对相关 函数进行分解，分解的结果如下图所示：
f ( x) x n cn1x n1 c1x 1
式中n称为移位寄存器的级数。 可以证明，一个n 级线性反馈移位寄存器能产生m序列的充要条 件是其特征多项式为一个n次本原多项式。它满足下列条件：
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(1) f ( x)是一个不能再分解因式 的多项式(既约多项式) (2) f ( x)可整除( x p 1), p 2 n 1 (3) f ( x)除不尽x q 1, q p 例题1 : 特征方程f ( x) 1 x 2 x 3 , n 3, 2 n 1 7 x 4 x3 x 2 1 x3 x 2 1 x7 1 x7 x6 x4 x6 x4 1 x6 x5 x3 x5 x 4 x3 1 x5 x 4 x 2 x3 x 2 1 x3 x 2 1 0 能除尽
p 2 n 1为其周期. 例 : 3级移位寄存器的 2 1 7 p
3
4级移位寄存器的 2 4 1 15 p 5级移位寄存器的 2 1 31 p
5
等等.
9Hale Waihona Puke 2.举例说明: 思路 : 利用本原多项式 可构造一个线性反馈移 , 位寄存器. 例题1 : 利用f ( x) x 4 x 1构造一个线性反馈移位 寄存器, 试求其输 出序列,已知初始状态为 1000 . 解 : p 2 4 1 15
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R( )
1
1/ p
pTc
Tc
0
周期为pTC 周期为pTC

1
1 p
R1 ( )
pTC
0 TC
pTC
R2 ( )

1/ p
原相关函数R ( )可分解为 : R ( ) R1 ( ) R2 ( ), 如上图所示.

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注意到R1(τ)为周期函数，其数学表达式为：
R1 ( )
n 0
a
a
j n i
1 n 1
a