合作联盟博弈课件
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博弈论PPT课件
有i si 0, i si 1 si Si
这就是混合策略。
混合策略的纳什均衡定义
如果对于博弈中所有的游戏者i，对于所有的 σi∈Mi，都有ui﹙σ*﹚≥ui﹙σi，σ-i*﹚，则称 σ*就是一个混合策略的纳什均。
如何求混合策略的纳什均衡
猜硬币的博弈中 解：设猜方猜正方的概率为p，猜反方的概率则为1－
无名氏（大众）定理
无名氏定理：在无穷次重复的由n个游戏者参与的 博弈里，如果在每一次重复中博弈的行动集是有限 的，则在满足下列三个条件时，在任何有限次重复 中所观察到的任何行动组合都是某个子博弈完美均 衡的惟一结果：
条件1：贴现因子接近于1； 条件2：在每一次重复中，博弈结束的概率或等于0，或 为非常小的一个正值； 条件3：严格占优于一次性博弈中的最小最大收益组合的 那个收益组合集是n维的。
博弈方
博弈方：独立决策、独立承担博弈结果的个人 或组织
博弈规则面前博弈方之间平等，不因博弈方之 间权利、地位的差异而改变
博弈方数量对博弈结果和分析有影响 根据博弈方数量分单人博弈、两人博弈、多人
博弈等。最常见的是两人博弈，单人博弈是退 化的博弈
策略
策略：博弈中各博弈方的选择内容 策略有定性定量、简单复杂之分 不同博弈方之间不仅可选策略不同，而且可
游戏和经济等决策竞争较量的共同特征：规 则、结果、策略选择，策略和利益相互依存， 策略的关键作用
游戏——下棋、猜大小 经济——寡头产量决策、市场阻入、投标拍卖 政治、军事——美国和伊朗、以色列和巴勒斯 坦、中国和日本等等。
博弈的基本要素
博弈的参加者(Player)——博弈方 各博弈方的策略(Strategies)或行动(Actions) 博弈的次序(Order) 博弈方的收益(Payoffs) （或称支付，或得益）
这就是混合策略。
混合策略的纳什均衡定义
如果对于博弈中所有的游戏者i，对于所有的 σi∈Mi，都有ui﹙σ*﹚≥ui﹙σi，σ-i*﹚，则称 σ*就是一个混合策略的纳什均。
如何求混合策略的纳什均衡
猜硬币的博弈中 解：设猜方猜正方的概率为p，猜反方的概率则为1－
无名氏（大众）定理
无名氏定理：在无穷次重复的由n个游戏者参与的 博弈里，如果在每一次重复中博弈的行动集是有限 的，则在满足下列三个条件时，在任何有限次重复 中所观察到的任何行动组合都是某个子博弈完美均 衡的惟一结果：
条件1：贴现因子接近于1； 条件2：在每一次重复中，博弈结束的概率或等于0，或 为非常小的一个正值； 条件3：严格占优于一次性博弈中的最小最大收益组合的 那个收益组合集是n维的。
博弈方
博弈方：独立决策、独立承担博弈结果的个人 或组织
博弈规则面前博弈方之间平等，不因博弈方之 间权利、地位的差异而改变
博弈方数量对博弈结果和分析有影响 根据博弈方数量分单人博弈、两人博弈、多人
博弈等。最常见的是两人博弈，单人博弈是退 化的博弈
策略
策略：博弈中各博弈方的选择内容 策略有定性定量、简单复杂之分 不同博弈方之间不仅可选策略不同，而且可
游戏和经济等决策竞争较量的共同特征：规 则、结果、策略选择，策略和利益相互依存， 策略的关键作用
游戏——下棋、猜大小 经济——寡头产量决策、市场阻入、投标拍卖 政治、军事——美国和伊朗、以色列和巴勒斯 坦、中国和日本等等。
博弈的基本要素
博弈的参加者(Player)——博弈方 各博弈方的策略(Strategies)或行动(Actions) 博弈的次序(Order) 博弈方的收益(Payoffs) （或称支付，或得益）
合作博弈与讨价还价ppt课件
核的特征
定理1：I人合作博弈 ，（V）中的核由所有满 下足 条以
件的I维向量 x(x1,x2,,xI )组成：
（1）对任S意， xi V(S); iS (2)xi V() i
• 定理2：本质的常和合作博弈的核是空的。
•垃圾博弈：在一区域中住着7户居民，每户居 民每天产生一袋垃圾，这些垃圾只能扔在这一 区域的某一户人家领地（区域中没有空地）。
• 记Vn(n=0,1, …,7)表示任意n个局中人组成的 特征函数值，在合作博弈条件下，有：
V0=V()=0
V1=-6
V2=-5 V3=-4， V4=-3， V6=-1， V7=-7
V5=-2
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
（3）联盟能保证自己得到的效用，它是联盟外收益的 最悲观的评价。对应的合作博弈均衡集合是合作博弈 的核心。
• 在优超这一思路下，合作博弈的解概念还包括：稳定 集、谈判集、核心、核仁等
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
合作博弈存在的基本条件
• 合作博弈存在的两个基本条件： （1）对联盟来说，整体收益大于其每个成员单
独经营时的收益之和； （2）对联盟内部而言，应有着具有帕累托改进
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
博弈论与竞争策略ppt课件
下图博弈中，厂商A和厂商B都选择做广告的博均衡解就
是纳什均衡。
厂 商B
做广告
不做广告
厂商A
做广告 10，5
15，0
不做广告 6，8
20，2
修改过的广告博弈矩阵
每一个上策均衡一定是纳什均衡，但并非每一个纳什均
衡都是上策均衡。上策均衡是纳什均衡的特例。
3.存在多个纳什均衡的博弈
下图博弈有两个纳什均衡，即（进入，允许）和
沃尔马成功的关键在于其市场进入与市场扩张策略。在 60年代，人们通常都认为折扣店只能在10万或以上人口的城 市中才能成功经营，但山姆·华尔顿不同意这种看法并决定 在美国西南部的小镇上开店，到1970年已经有30家沃尔马店 开设在阿肯色、密苏里和俄克拉荷马的小镇上。一个10万人 口以下的小镇所具有的市场容量并不太大，但却足够容纳下 一个大型折扣店，并能让它获得一定的利润。
（二）博弈的基本要素
1.参与者，或称博弈方：可以是一个、二个或多个；可 以是个人、厂商，也可以是国家 。
2.策略：是指博弈中的任一参加者针对其他参加者的可 能的行为所采取的行为原则和应对办法。
3.得益：是指博弈参与者所获得的收益或效用，在囚徒 困境中。
4.均衡：是指博弈的所有参与者从自我利益最大化出发 选择的策略所组成的策略集。
二、博弈的基本分类
（一）合作博弈和非合作博弈 1.合作博弈：如果各博弈方能达成某种有约束力的契约
或协议（包括默契）以使他们选择共同的或联合的策略。 2.非合作博弈：反之，就属于非合作博弈。
二、博弈的基本分类 （一）合作博弈和非合作博弈
1.合作博弈：如果各博弈方能达成某种有约束力的契 约或协议（包括默契）以使他们选择共同的或联合的策略。 2.非合作博弈：反之，就属于非合作博弈。
第五章-合作博弈
称这组合理分配为博弈的核，并用C(V)表示，记
为
C(V )
X
R
n
n
xi
V(N)
xi V (S)
S
N
i 1
is
25
2、核（The Core ）
定义:设 X 是联盟博弈<N,V>的一个合理分配,若 存在一联盟S，使得
V (S) xi
iS
则称联盟S瓦解分配 X。
所以,核是不会被任何联盟瓦解的合理分配的集 合。
S=,V()=0。
（2）超可加性
若一个多人博弈的特征函数具有下列性质,即
对任意结盟S,T N,S∩T= ,满足
V(S∪T)≥V(S)+V(T).
称这个多人博弈具有超可加性。
如果特征函数不满足超可加性,博弈中的结盟是 不稳定的。
6
例1 :（爵士乐队博弈,A Jazz Band Gounce）
一位歌手（S）,一位钢琴家（P）和一位鼓手 （D）组成一个小乐队在俱乐部同台演出能得到 演出费1000元，若歌手和钢琴家一起演出能得 800元。而只有钢琴家和鼓手一起演出能得到 650元，钢琴独奏表演能得300元，钢琴家没有 其它收入。然而，歌手和鼓手在地铁中表演能挣
14
1、合理分配（Imputation）
作为一个博弈的解X,即在博弈中对N个局中人得失的合理 分配，至少应满足两个条件:
（1） xi V ({i}) n
（2） xi V ( N )
i N（个人合理性）
i N（集体合理性）
条件（i11）称为：“个人合理性”（Individual Rationality），
1
所以有(1,1,0)或(1,0,1) Z成立。
合作博弈
一、合作博弈的概念及其表示
定义6.1.1 在 n 人博弈中，参与人集用N {1, 2 , , n}
N 的任意子集 S 称为一个联盟（coalition）。
表示，
S 是一个联盟， v ( S )是指 S 和 定义6.1.2 给定一个 n人博弈， v(S) 称为联盟 N S {i | i N,i S} 的两组博弈中S 的最大效用， S 的特征函数（characteristic function）。
n
二、分配
所谓分配就是博弈的一个n 维向量集合，之所以是 n 维向 量，是由于每个参与人都要得到相应的分配。 n 维的分配 向量称为博弈的“解”，各种方法即各种解概念代表着分 配的不同观点。 定义6.2.1 对于合作博弈( N , v), N 1, 2,, n ，对每个参与 人 i N ，给予一个实值参数 xi ，形成 n 维向量 x ( x1 , , xn ) n 且其满足：
u v ( N )
存在无限个正向量 u (u1 , u2 , , un ) ，满足 u u1 u2 ,, un 。 用 E(v) 表示一个博弈 ( N , v ) 的所有分配方案组成的集合。
v (i) 0
n i 1
显然如下的 x ( x1 , , xn ) 都是分配，其中 xi v i ui ,1 i n 。
例6.1 设有一个3人合作对策，每个参与人各有两个纯策略A 和B。当三人不合作时，其支付见下表。假设采用最稳妥 策略，即最坏情况下选择最好，求合作博弈的支付函数
超可加性表示两个不相交的联盟分别行动，其分别单干的结 果不如组成一个联盟的联合而共同行动，这是大联盟形成的 动因。特征函数只有满足超加性，才有形成新联盟的必要性 。否则，如果一个合作博弈的特征函数不满足超可加性，那 么，其成员没有动机形成联盟，已经形成的联盟将面临解散 的威胁。
《博弈论初步》课件
THANKS
感谢观看
02
纳什均衡是一种非合作博弈均衡 ，其中每个参与者都认为当前策 略是最好的，不会受到其他参与 者的欺骗或影响。
纳什均衡的求解方法
迭代法
通过不断迭代每个参与者的策略，逐步逼近纳什均衡。这 种方法适用于较简单的博弈模型，但对于复杂的博弈模型 可能收敛速度较慢。
线性规划法
将纳什均衡问题转化为线性规划问题，通过求解线性规划 来找到纳什均衡。这种方法适用于具有线性特征的博弈模 型，但计算复杂度较高。
价格战与非价格战
博弈论分析了价格战和非价格战的利弊，为企业制定营销策略提供 博弈论可以用来分析选民的投票行为和政治立场，预测选举结果。
02
候选人策略
博弈论为候选人提供了制定最优竞选策略的方法，帮助他们在选举中获
胜。
03
政治联盟与利益交换
博弈论中的合作博弈理论可以用来分析政治联盟的形成和利益交换机制
特征值法
利用特征值和特征向量的性质来求解纳什均衡。这种方法 适用于具有矩阵特征的博弈模型，但需要一定的数学基础 。
纳什均衡的应用实例
1 2
价格竞争
在寡头市场中，企业之间通过价格策略进行竞争 ，最终形成价格均衡，即纳什均衡。
劳资谈判
劳资双方在谈判中会提出自己的工资要求，最终 达成工资协议，这也是一种纳什均衡。
博弈类型
合作博弈
定义
01
参与者通过合作达成共赢的博弈。
特点
02
存在合作协议，强调集体行动和收益分配。
应用场景
03
国际关系、商业合作、团队协作等。
非合作博弈
定义
应用场景
参与者追求各自利益最大化的博弈。
市场竞争、个人决策、资源分配等。
合作博弈——精选推荐
第五章 合作博弈1. 设三人联盟博弈的特征函数v 的值是：v({i})=0,i=1,2,3;v({1,2})=2/3,v({1,3})=7/12,v({2,3}) =1/2, v({1,2,3})=1。
求出该联盟博弈的核心，并用图形表示出来。
解：博弈G 的核心C(v)。
博弈G 的转归集I[N,v]为:123123123[,]{(,,)0,0,0,1}I N v x x x x x x x x x x ==≥≥≥++=若],[),,(321v N I x x x x ∈=，则)(v C x ∈的充分条件为：x 1≥0; x 2≥0; x 3≥0;x 1+x 2≥2/3; x 1+x 3≥7/12; x 2+x 3≥1/2; x 1+x 2+x 3=1由后面几个不等式得到x 1≤1/2 ;x 2 ≤5/12, x 3≤1/3.该联盟博弈的核心C(v)={(x 1,x 2,x 3)| 0≤x 1≤1/2,0≤x 2 ≤5/12,0≤x 3≤1/3,x 1+x 2+x 3=1}核心C(v)是图中阴影区域（含边界）。
2. 假设有一3人合作博弈，其特征函数为：v({1, 2, 3})=200,v({1,2})=150,v({1,3})=110, v({2,3})=20,v({1})=100,v({2})=10,v({3})=0。
计算该合作博弈的Shapley 值，核心，最小ε-核心，稳定集，内核和核仁。
1、Shapley 值φ1(v)＝1/3（100-0）＋1/6（150－10）＋1/6（110-0）＋1/3（200-20）＝135 φ2(v)＝1/3（10-0）＋1/6（150－100）＋1/6（20-0）＋1/3（200-110）＝45 φ3(v)＝1/3（0-0）＋1/6（20－10）＋1/6（110-100）＋1/3（200-150）＝20 所以该博弈的Shapley 值φ(v)＝（135，45，20） 2、博弈G 的核心C(v)。
第5章 合作博弈09
熊、狼、狐狸合作博弈的稳定集
• 在该简单博弈中，有三种稳定集： {(x,y,0)|x,y≥0,x+y=1} {(x,0,z)|x,z≥0,x+z=1} {(0,y,z)|y,z≥0,y+z=1} • 该稳定集中不包含平均分配。 • 接下来将考察公平如何进入合作解概念。
（四）核仁
• 核仁具有如下意义的性质：1）每个博弈有且 仅有一个核仁；2）如果核存在的话，则核仁 是它的一部分。 • 对于I人合作博弈（ζ，V），S为一个联盟， x=(x1,x2, …, xI) 为一个收益向量（不一定为一 个分配），记x(S)=∑i∈Sxi，则称e(S,x)=V(S)-x(S) 为S关于x的剩余。 • 若x为一个分配，则剩余e(S,x)反映了联盟对于 分配的不满意程度。
博弈论建模过程
• 经济现象：通过假设条件抽象出经济问题 • 构建模型：经济变量，效用函数 • 模型求解：一阶条件法、逆向归纳法、拉 格朗日函数法等 • 模型扩展：放松假设条件 • 解释现象：
合作博弈引言：
熊、狼、狐狸瓜分猎物
• 熊、狼、狐狸一起抓到了一只兔子，协商如何分配。 • 狐狸对熊说：平分只能各得1/3，我们联合起来平分 如何？熊要答应，狼急了。 • 狐狸对狼说：我和熊联合起来你什么也得不到，不如 我和你合作，但你只得1/4如何？狼很感激地点头。 • 熊琢磨过来，对狼说：别听那个两面三刀的，和我合 作，我给你1/3。 • 狼正得意，没想到狐狸和熊又开始嘀咕起来，大有把 自己晾在一边之势，狼连忙钻过去继续讨价还价。 • 三个家伙继续这样协商下去，结果呢？
优超的分析方法
• 在优超定义中，最关键的是联盟能提供给成员的效用 分配，主要分析方法有三种： （1）联盟中各成员在联盟外成员策略固定时能获得的 效用水平：联盟内的局中人将联盟外局中人所采取的 策略视为既定的，即不期望任何报复性反应。 （2）联盟不能被阻止得到的效用：即不管联盟外成员 如何行动，联盟总可以达成的效用水平。由此得到的 合作博弈均衡集合称为合作博弈的β核心。 （3）联盟能保证自己得到的效用，它是联盟外收益的 最悲观的评价。对应的合作博弈均衡集合是合作博弈 的α核心。 • 在优超这一思路下，合作博弈的解概念还包括：稳定 集、谈判集、核心、核仁等
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上述分析表明，通过一个有约束力的协议，原来不能实现 的合作方案现在可以实现。这就是合作博弈与非合作博弈的区 别。二者的主要区别在于人们的行为相互作用时,当事人是否达 成一个具有约束力的协议。如果有,就是合作博弈；反之,则是 非合作博弈。
合作博弈的概念及其表示
合作博弈，非合作博弈的对称，一种博弈类 型。参与者能够联合达成一个具有约束力且可强 制执行的协议的博弈类型。合作博弈强调的是集 体理性,强调效率、公正、公平。
博弈论
主讲人：
合作博弈
（ COOPERATIVE GAMES)
合作博弈
COOPERATIVE GAMES
熊、狼、狐狸一起抓了一只兔子，民主协商如何分 配。狐狸对熊说：平均分只能各得1/3，这样吧，我 们俩联合起来，平分如何？熊要答应，狼急了，于 是狐狸对狼说：怎么样，我和熊联合起来可以让你 什么也得不到，我可以和你合作，不过我要3/4。狼 感激的点头，熊琢磨过味来，对狼说：别听那个两 面三刀的，和我合作，我给你1/3。狐狸见势不妙， 对狼说：别，我给你2/3，我只要1/3。狼成了抢手 货，正得意，没留神狐狸和熊又开始嘀咕起来，有 再次把自己晾在一边的不妙趋势，连忙钻去继续讨 价还价。结果呢？
如果在实际博弈问题中，具有有力的保障使局中 人能够进行协商、谈判，联合选择行动，共同分 享利益，我们就面对一个合作博弈问题。本章通 过合作博弈模型的介绍，讨论在合作博弈中，局 中人如何进行协商谈判、结成联盟及分享利益。
1、联盟博弈
2、联盟博弈的分配
3、核和稳定集
4、沙普利值
导论
先回忆一下囚徒困境的例子：
坦白 抵抗
坦白 抵抗
-8，-8 0，-10 -10，0 -1，-1
在囚徒困境中，还有另外一个策略组合<抵抗，抵抗>，该 组合为参与人带来的支付是<-1,-1>。由<-8,-8>到<-1,-1>， 每个参与人的支付都增加了，即得到一个帕累托改进。
导论
<抵抗，抵抗>构不成一个均衡是基于参与人的个人理性。在参 与人选择抵抗的情况下，每个参与人都有动机偏离这个组合， 通过投机行为谋取超额收益1。如果两个参与人在博弈之前， 签署了一个协议：两个人都承诺选择抵抗，为保证承诺的实现， 参与人双方向第三方支付价值大于1的保证金；如果谁违背了 这个协议，则放弃保证金。有了这样一个协议，<抵抗，抵抗> 就称为一个均衡，每个人的收益都得到改善。
人 i N，给予一个实值参数xi ，形成 n 维向量x (x1,, xn )
且其满足：
n
xi v(i),L xi v(N ) i 1
则称 x 是联盟 S 的一个分配方案。
分配
分配的定义中，xi v(i) 是基于个人理性，合作中的
收益不能小于非合作中的收益，反映了参与人的参与约束。
如果 xi v(i) ，那么，参与人i 是不可能参加联盟的。 n xi v(N ) 是基于集体理性，每个参与人的分配之和不 i 1
定义5 在一个 n 人合作博弈 (N, v) 中，全体优分配方案
形成的集合称为博弈的核心(core)，记为 C(v)。显然 有 C(v) E(v) 。
核心
说明：
1.核心 C(v) 是 E(v)中的一个闭凸集。
2.若 C(v) ，则将 C(v) 中的向量 x 作为分配， x 既满
足个人理性，又满足集体理性。 3.用核心作为博弈的解，其最大缺陷是 C(v) 可能是空集。
记Vn(n=0,1, …,7)表示任意n个局中人组成的特征 函数值，在合作博弈条件下，有：
V0=V()=0 V1=-6 V2=-5 V3=-4， V4=-3， V6=-1， V7=-7
V5=-2
合作博弈的概念及其表示
例：设有一个3人合作对策，每个参与人各有两个纯策略。 当三人不合作时，其支付见下表。假设采用最稳妥策略， 即最坏情况下选择最好，求合作博弈的支付函数
义在 2N 上的实值映射。 在很多情况下，一个联盟能获得的支付依赖于其他参与人所采取的行 动。v(S) 有时被解释为联盟 S 独立于联盟 N S 的行动可保证的最 大支付 。
合作博弈的概念及其表示
合作对策的分类主要是根据特征函数的性质。下面根据特 征函数的性质介绍几类特殊的合作对策。
如果v(S) 仅与 S 的个数有关，则 (N, v) 称作对称博弈。
中的每个参与人的收益都得到改善，S 创造的剩余v(S)又
足以满足他们在 x 中的分配。
分配中的优超
在优超关系中，联盟 S 的特征： 1.单人联盟不可能有优超关系。 2.全联盟 N 上也不可能有优超关系。 因此，如果在 S上有优超关系，则 2 S n 1 。 3.优超关系是集合E(v) 上的序关系，这种序关系一般情况下
L
R
-1，2
5，5
0，10
0，10
最小最大值法：联盟外局 中人将采取行动使该联盟 的总和收益最小（极度悲 观），联盟选择策略－－ 最大化这些最小值。
V()=0 V(1)=0 V(2)=5 V(1,2)=10
例：垃圾博弈－－分析博弈局势
在一区域中住着7户居民，每户居民每天产生一袋 垃圾，这些垃圾只能扔在这一区域的某一户人家 领地（区域中没有空地）。
不具有传递性和反身性。 4.对于相同的联盟 S ，优超关系具有传递性，
即 x f S y ， y f S z ，则有 x f S z 。 5.对于不同的联盟 S ，优超关系不具有传递性。
核心
尽管可行分配集合 E(v) 中有无限个分配，但实际上， 有许多分配是不会被执行的，或者不可能被参与人所接受 的 。很显然，联盟的每一个成员都不偏好于劣分配方案， 因此，真实可行的分配方案应该剔除劣分配方案。
合作博弈最重要的两个概念是联盟和分配。 每个参与者从联盟中分配的收益正好是各种联盟 形式的最大总收益,每个参与者从联盟中分配到的 收益不小于单独经营所得收益。
合作博弈的概念及其表示
合作博弈的结果必须是一个帕累托改进，博弈双方 的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另 一方的利益不受损害。
合作博弈采取的是一种合作的方式，合作之所以能 够增进双方的利益，就是因为合作博弈能够产生一种合 作剩余。至于合作剩余在博弈各方之间如何分配，取决 于博弈各方的力量对比和制度设计。
能超过集体剩余 v(N ) 。另外若 v(N ) 没有全部被分配，显
然 x 不是一个帕累托最优的分配方案，不会参与人所接
受。
分配
在前面的例子分配中，分配显然不是一个，而是无限个， 无限个分配形成一个分配集合。 对于实质博弈，其分配总是有无限个。 例如，对于实质博弈(N, v) ，由于
n
u v(N) v(i) 0 i 1
方案x 和 y 满足
（i） xi yi ，i S ；
（ii） xi v(S ) 。
iS
则称分配方案
x
在
S 上优超于 y
，或称分配方案 y 在S
上劣于 x ，记为 x S y 。
如果分配方案 x 在 S 上优超于 y ，则联盟 S 会拒绝分
配方案 y ， y 方案得不到切实执行。因为从 y 到 x ，S
核心
定理 1 分配方案 x (x1,, xn ) 在核心 C(v)中的充要条件是：
（i） xi v(S) ， S N ， iS
n
(ii) xi v(N ) 。
证明
i 1
如果
x E(v)
，
x 满足（i）、(ii)，则
x 不可能被优超，
即 x C(v) 。
反证法，设存在 S ，使 y f S x 。根据优超的定义，有:
有 v(N ) ? v(N) max2,0, 4, 2, 2,1,。3, 2 4
至此特征函数的值已全部求出。
量集合，之所以 n 是维向 量，是由于每个参与人都要得到相应的分配。n 维的分配 向量称为博弈的“解”。
定义3 对于合作博弈 (N,v), N 1,2,L , n，对每个参与
S 与 N S 进行如下矩阵对策：
合作博弈的概念及其表示
上述矩阵对策没有纯策略，
S
的混合策略是
3 4
,
1 4
，N
的混合策略是
1 4
,
0,
0,
3 4
。S
的均衡值是
1 4
。故 v(2)
S
1 4
。
同理，可以求出 v(1) 1,v(3) 1 。
当 S ＝2，S 有3个，以S 1,2为例。
当 S 1, 2，则 N S 3。S 的策略集合(A, A),(A,B),(B, A),(B,B),
上式说明，特征函数只有满足超加性，才有形成新联盟 的必要性。否则，如果一个合作博弈的特征函数不满足 超可加性，那么，其成员没有动机形成联盟，已经形成 的联盟将面临解散的威胁。
例： 局中人1（卖主）要把一件物品卖掉，局中人2和3（买主）分别出 价9元和10元。如果局中人1将物品卖给局中人2的要价是 x 元，则局中
v({1,2,3})=10，v() 显然满足超可加性，于是我们建立了联盟博弈 N,v 。
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特征函数过程实际就是一个建
立合作博弈模型的过程。有的问题，特征函数可以容易地得到，有的问 题需要仔细分析，甚至需要一些专业知识。
由策略型博弈导出特征函数型博弈
局中人 U
1
D
局中人2
，则 (N,v)称作凸博弈。
合作博弈的概念及其表示
v 之所以称为特征函数，是因为这个合作博弈的性质基本 由 v 决定。由此可见 v 对合作博弈的重要性。 定理 设 v 是参与人集合上 N 的特征函数，则有如下的超 可加性：对于联盟 S1 和 S2 ，如果 S1 S2 ，则
v(S1 S2 ) v(S1) v(S2 )
合作博弈的概念及其表示
合作博弈，非合作博弈的对称，一种博弈类 型。参与者能够联合达成一个具有约束力且可强 制执行的协议的博弈类型。合作博弈强调的是集 体理性,强调效率、公正、公平。
博弈论
主讲人：
合作博弈
（ COOPERATIVE GAMES)
合作博弈
COOPERATIVE GAMES
熊、狼、狐狸一起抓了一只兔子，民主协商如何分 配。狐狸对熊说：平均分只能各得1/3，这样吧，我 们俩联合起来，平分如何？熊要答应，狼急了，于 是狐狸对狼说：怎么样，我和熊联合起来可以让你 什么也得不到，我可以和你合作，不过我要3/4。狼 感激的点头，熊琢磨过味来，对狼说：别听那个两 面三刀的，和我合作，我给你1/3。狐狸见势不妙， 对狼说：别，我给你2/3，我只要1/3。狼成了抢手 货，正得意，没留神狐狸和熊又开始嘀咕起来，有 再次把自己晾在一边的不妙趋势，连忙钻去继续讨 价还价。结果呢？
如果在实际博弈问题中，具有有力的保障使局中 人能够进行协商、谈判，联合选择行动，共同分 享利益，我们就面对一个合作博弈问题。本章通 过合作博弈模型的介绍，讨论在合作博弈中，局 中人如何进行协商谈判、结成联盟及分享利益。
1、联盟博弈
2、联盟博弈的分配
3、核和稳定集
4、沙普利值
导论
先回忆一下囚徒困境的例子：
坦白 抵抗
坦白 抵抗
-8，-8 0，-10 -10，0 -1，-1
在囚徒困境中，还有另外一个策略组合<抵抗，抵抗>，该 组合为参与人带来的支付是<-1,-1>。由<-8,-8>到<-1,-1>， 每个参与人的支付都增加了，即得到一个帕累托改进。
导论
<抵抗，抵抗>构不成一个均衡是基于参与人的个人理性。在参 与人选择抵抗的情况下，每个参与人都有动机偏离这个组合， 通过投机行为谋取超额收益1。如果两个参与人在博弈之前， 签署了一个协议：两个人都承诺选择抵抗，为保证承诺的实现， 参与人双方向第三方支付价值大于1的保证金；如果谁违背了 这个协议，则放弃保证金。有了这样一个协议，<抵抗，抵抗> 就称为一个均衡，每个人的收益都得到改善。
人 i N，给予一个实值参数xi ，形成 n 维向量x (x1,, xn )
且其满足：
n
xi v(i),L xi v(N ) i 1
则称 x 是联盟 S 的一个分配方案。
分配
分配的定义中，xi v(i) 是基于个人理性，合作中的
收益不能小于非合作中的收益，反映了参与人的参与约束。
如果 xi v(i) ，那么，参与人i 是不可能参加联盟的。 n xi v(N ) 是基于集体理性，每个参与人的分配之和不 i 1
定义5 在一个 n 人合作博弈 (N, v) 中，全体优分配方案
形成的集合称为博弈的核心(core)，记为 C(v)。显然 有 C(v) E(v) 。
核心
说明：
1.核心 C(v) 是 E(v)中的一个闭凸集。
2.若 C(v) ，则将 C(v) 中的向量 x 作为分配， x 既满
足个人理性，又满足集体理性。 3.用核心作为博弈的解，其最大缺陷是 C(v) 可能是空集。
记Vn(n=0,1, …,7)表示任意n个局中人组成的特征 函数值，在合作博弈条件下，有：
V0=V()=0 V1=-6 V2=-5 V3=-4， V4=-3， V6=-1， V7=-7
V5=-2
合作博弈的概念及其表示
例：设有一个3人合作对策，每个参与人各有两个纯策略。 当三人不合作时，其支付见下表。假设采用最稳妥策略， 即最坏情况下选择最好，求合作博弈的支付函数
义在 2N 上的实值映射。 在很多情况下，一个联盟能获得的支付依赖于其他参与人所采取的行 动。v(S) 有时被解释为联盟 S 独立于联盟 N S 的行动可保证的最 大支付 。
合作博弈的概念及其表示
合作对策的分类主要是根据特征函数的性质。下面根据特 征函数的性质介绍几类特殊的合作对策。
如果v(S) 仅与 S 的个数有关，则 (N, v) 称作对称博弈。
中的每个参与人的收益都得到改善，S 创造的剩余v(S)又
足以满足他们在 x 中的分配。
分配中的优超
在优超关系中，联盟 S 的特征： 1.单人联盟不可能有优超关系。 2.全联盟 N 上也不可能有优超关系。 因此，如果在 S上有优超关系，则 2 S n 1 。 3.优超关系是集合E(v) 上的序关系，这种序关系一般情况下
L
R
-1，2
5，5
0，10
0，10
最小最大值法：联盟外局 中人将采取行动使该联盟 的总和收益最小（极度悲 观），联盟选择策略－－ 最大化这些最小值。
V()=0 V(1)=0 V(2)=5 V(1,2)=10
例：垃圾博弈－－分析博弈局势
在一区域中住着7户居民，每户居民每天产生一袋 垃圾，这些垃圾只能扔在这一区域的某一户人家 领地（区域中没有空地）。
不具有传递性和反身性。 4.对于相同的联盟 S ，优超关系具有传递性，
即 x f S y ， y f S z ，则有 x f S z 。 5.对于不同的联盟 S ，优超关系不具有传递性。
核心
尽管可行分配集合 E(v) 中有无限个分配，但实际上， 有许多分配是不会被执行的，或者不可能被参与人所接受 的 。很显然，联盟的每一个成员都不偏好于劣分配方案， 因此，真实可行的分配方案应该剔除劣分配方案。
合作博弈最重要的两个概念是联盟和分配。 每个参与者从联盟中分配的收益正好是各种联盟 形式的最大总收益,每个参与者从联盟中分配到的 收益不小于单独经营所得收益。
合作博弈的概念及其表示
合作博弈的结果必须是一个帕累托改进，博弈双方 的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另 一方的利益不受损害。
合作博弈采取的是一种合作的方式，合作之所以能 够增进双方的利益，就是因为合作博弈能够产生一种合 作剩余。至于合作剩余在博弈各方之间如何分配，取决 于博弈各方的力量对比和制度设计。
能超过集体剩余 v(N ) 。另外若 v(N ) 没有全部被分配，显
然 x 不是一个帕累托最优的分配方案，不会参与人所接
受。
分配
在前面的例子分配中，分配显然不是一个，而是无限个， 无限个分配形成一个分配集合。 对于实质博弈，其分配总是有无限个。 例如，对于实质博弈(N, v) ，由于
n
u v(N) v(i) 0 i 1
方案x 和 y 满足
（i） xi yi ，i S ；
（ii） xi v(S ) 。
iS
则称分配方案
x
在
S 上优超于 y
，或称分配方案 y 在S
上劣于 x ，记为 x S y 。
如果分配方案 x 在 S 上优超于 y ，则联盟 S 会拒绝分
配方案 y ， y 方案得不到切实执行。因为从 y 到 x ，S
核心
定理 1 分配方案 x (x1,, xn ) 在核心 C(v)中的充要条件是：
（i） xi v(S) ， S N ， iS
n
(ii) xi v(N ) 。
证明
i 1
如果
x E(v)
，
x 满足（i）、(ii)，则
x 不可能被优超，
即 x C(v) 。
反证法，设存在 S ，使 y f S x 。根据优超的定义，有:
有 v(N ) ? v(N) max2,0, 4, 2, 2,1,。3, 2 4
至此特征函数的值已全部求出。
量集合，之所以 n 是维向 量，是由于每个参与人都要得到相应的分配。n 维的分配 向量称为博弈的“解”。
定义3 对于合作博弈 (N,v), N 1,2,L , n，对每个参与
S 与 N S 进行如下矩阵对策：
合作博弈的概念及其表示
上述矩阵对策没有纯策略，
S
的混合策略是
3 4
,
1 4
，N
的混合策略是
1 4
,
0,
0,
3 4
。S
的均衡值是
1 4
。故 v(2)
S
1 4
。
同理，可以求出 v(1) 1,v(3) 1 。
当 S ＝2，S 有3个，以S 1,2为例。
当 S 1, 2，则 N S 3。S 的策略集合(A, A),(A,B),(B, A),(B,B),
上式说明，特征函数只有满足超加性，才有形成新联盟 的必要性。否则，如果一个合作博弈的特征函数不满足 超可加性，那么，其成员没有动机形成联盟，已经形成 的联盟将面临解散的威胁。
例： 局中人1（卖主）要把一件物品卖掉，局中人2和3（买主）分别出 价9元和10元。如果局中人1将物品卖给局中人2的要价是 x 元，则局中
v({1,2,3})=10，v() 显然满足超可加性，于是我们建立了联盟博弈 N,v 。
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特征函数过程实际就是一个建
立合作博弈模型的过程。有的问题，特征函数可以容易地得到，有的问 题需要仔细分析，甚至需要一些专业知识。
由策略型博弈导出特征函数型博弈
局中人 U
1
D
局中人2
，则 (N,v)称作凸博弈。
合作博弈的概念及其表示
v 之所以称为特征函数，是因为这个合作博弈的性质基本 由 v 决定。由此可见 v 对合作博弈的重要性。 定理 设 v 是参与人集合上 N 的特征函数，则有如下的超 可加性：对于联盟 S1 和 S2 ，如果 S1 S2 ，则
v(S1 S2 ) v(S1) v(S2 )