4-三角形一边平行线判定定理

27.命题、证明及平行线的判定定理(提高)知识讲解

命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理

第三讲：三角形一边的平行线判定定理

第三讲：三角形一边的平行线判定定理 一、知识要点： 1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达： 如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ， 若① AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD EC AB AC = 中之一为已知条件，则DE ∥BC E D C B A 2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达： 若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则DE ∥BC. E D C B A E D C B A 牛刀小试： 1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。判断在下列条 件下能否推出DE ∥BC,为什么 （1） 2 3 AD DB =,AE=2，AC=3 （2） 25AD AB =,2 5 DE BC = E D C B A

（3）23AD DB =,5 3 AC CE = 2、△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出DE ∥BC 的条件是（ ） A 、 AB 3=AD 2,EC 1=AE 2 B 、AD 2=AB 3,DE 2 =BC 3 C 、AD 2=DB 3,CE 2=AE 3 D 、AD 3=AB 4,AE 3=EC 4 二、典型例题 例1、如图EF ∥BC ， 3 1 =AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥AD A D E F B C 例2、如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。 求证：CD ∥AB. 分析：判定两直线平行的方法一般有四种：（1）通过“三线八角”的相等或互补判定两直线平行；（2）通过三角形、梯形中位线定理判定两直线平行；（3）通过平行四边形的判定间接证平行；（4）通过比例线段证平行。 本题运用第（4）种方法，因为它包含了比例线段的几种基本图形。 例3、如图，已知MB ∥ND ，PA PD PB ?=2 ，求证：NB ∥MA M N O F E D C B A

相似三角形的判定教案

《相似三角形的判定》教案 课标要求 1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似； 3．了解相似三角形判定定理的证明． 教学目标 知识与技能： 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题． 过程与方法： 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法． 情感、态度与价值观： 发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系． 教学重点 掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似． 教学难点 探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题． 教学流程 一、知识迁移 类比相似多边形的相关知识回答下面的问题： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF，

∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF ==． 如何判断两个三角形相似呢？反过来 ∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF k EF === ∴△ABC∽△DEF． 师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1 k ． 追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？ 引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 二、探究归纳 （一）平行线分线段成比例 探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度， AB BC 与 DE EF 相等吗？任意平移l5． AB BC 与 DE EF 还相等吗？ 当l3//l4//l5时， 有AB DE BC EF =， BC EF AB DE =， AB DE AC DF =， BC EF AC DF =等． 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中， 当DE//BC时，有

专题5平行线与三角形

平行线与三角形复习材料 一、相关知识点复习： (一)平行线 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.判定： (1)同位角相等，两直线平行。 (2)内错角相等，两直线平行。 (3)同旁内角相等，两直线平行。 (4)垂直于同一直线的两直线平行。 3.性质： (1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 (2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (3)两直线平行，同位角相等。 (4)两直线平行，内错角相等。 (5)两直线平行，同旁内角互补。 (二)三角形 4.一般三角形的性质 (1)角与角的关系：三个内角的和等于180 ° 一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何一个和它不相邻的内角。 (2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 5.几种特殊三角形的特殊性质 (1)等腰三角形的特殊性质： ①等腰三角形的两个底角相等； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直 线是等腰三角形的对称轴。 (2)等边三角形的特殊性质： ①等边三角形每个内角都等于60 ° ②等边三角形外心、内心合一。 (3)直角三角形的特殊性质： ①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 (其逆命题也成立)； ④直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； ⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 6.三角形的面积 (1) 一般三角形：S △= -a h ( 2 h 是a边上的高 ) ⑵直角三角形：S △= 1 —a b = 1 c h (a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的咼) 2 2 ⑶等边三角形： S △: ?2 = a ( a是边长) 4 ⑷ 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。 7.相似三角形 (1)相似三角形的判别方法： ①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； ②如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 (2)相似三角形的性质： ①相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； ②相似三角形的周长比等于相似比； ③相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8.全等三角形 两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。 判定两个三角形全等的公理或定理： ①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS; ②直角三角形还有HL 二、巩固练习：

七年级下册平行线的判定定理习题精选

七年级下册第五章 相交线与平行线的判定定理及应用 1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这 种关系的两个角，互为_____________. 2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两 边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________. 3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________. 4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________. 5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个 角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关 系只有________与_________两种. 7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 8.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平 行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________.

04三角形一边平行线的判定

期中考试复习讲义(4) 三角形一边平行线的判定 一、填空题 1. 如图,在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上,已知AD=3，AB=5，AE=2，EC=3 4 ,由此判断DE 与BC 的位置关系是 ,理由是 . 2. 如图,AM∶MB=AN∶NC=1∶3，则MN∶BC= . 3.如图, △PMN 中, 点A 、B 分别在MP 和NP 的延长线上, 83==BN BP AM AP 则=A B MN 4.△ADE 中,点B 和点C 分别在AD 、AE 上,且AB=2BD ，AC=2CE ，则BC∶DE= . 5.如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于O,若BO DO CO AO =，AO=8，CO=12，BC=15，则AD= . 二、选择题 6.△ABC 中,直线DE 交AB 于D,交AC 于点E,那么能推出DE∥BC 的条件是( ) (A) ；，2123==AE EC AD AB (B) 32 32==BC DE AB AD ，; (C) ；，3232==AE CE DB AD (D) ；，3 4 34==EC AE AB AD 三、解答题 7.△ABC 中,DE∥BC， DB AD DF AF =,求证:EF∥CD.

8.如图,AC 、BD 相交于点O,且AO=2,OC=3，BO=10，OD=15，求证：∠A=∠C. 9.已知在△ABC 中,点D 、 E 、 F 分别在AB 、BC 、CA 上,且EB CE DB AD FC AF ==,CF=CE ，求证：四边形CFDE 是菱形. 10.在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上,且DE=3,BF=4.5，5 2 ==AB AE AC AD ， 求证：EF∥AC.

初数学平行线分线段成比例定理

初数学平行线分线段成比例定理

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章§5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 定理的基本图形

∵l 1∥l 2∥l 3 ∴EF BC DE AB DE AB = == 应。 ② 为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式： EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 L L L 图1-（1） C F A B E D F C 图1-（2）3 E D 12B A F 3 L C 图1-（3） 2L L 1B E A 图1-（4） F L 3 C L 2L 1B D A 3 L 2L L 1(D)(E)

(完整版)初数学平行线分线段成比例定理

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 §5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比 EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵ 32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD

例3 分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可 例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''//// 求证：C C B B A A '='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。 证明：∵A A C C ''// ∴ BA C B A A C C '='' ∵B B C C ''// ∴B B C C ='' ∴1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C ∴B B A A '+'11

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质学业分层测评1平行线等分线段定理新人教A版选修4-精品

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质学业分层测评1平行线等分线段定理新人教A 版选修4-精品 2020-12-12 【关键字】建议、提升、能力、关系、形成、解决 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如图1-1-13，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一点O，且AO＝OB，则下列结论中错误的是( ) 图1-1-13 A．AC＝BD B．AE＝ED C．OC＝OD D．OD＝OB 【解析】由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD， 由△AOC≌△BOD知AC＝BD， 但OD与OB不能确定其大小关系． 故选D. 【答案】 D 2．如图1-1-14，已知AE⊥EC，CE平分∠ACB，DE∥BC，则DE等于( ) 【导学号：07370003】 图1-1-14 A．BC－AC B．AC－BF C.1 2 (AB－AC)

D.1 2 (BC －AC ) 【解析】 由已知得CE 是线段AF 的垂直平分线． ∴AC ＝FC ，AE ＝EF . ∵DE ∥BC ， ∴DE 是△ABF 的中位线， ∴DE ＝12BF ＝1 2(BC －AC )． 【答案】 D 3．如图1-1-15所示，过梯形ABCD 的腰AD 的中点E 的直线EF 平行于底边，交BC 于F ，若AE 的长是BF 的长的2 3 ，则FC 是ED 的( ) 图1-1-15 A.2 3倍 B.32倍 C ．1倍 D.12 倍 【解析】 ∵AB ∥EF ∥DC ，且AE ＝DE ， ∴BF ＝FC .又∵AE ＝2 3BF ， ∴FC ＝32ED . 【答案】 B 4．如图1-1-16，在梯形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ∥AB ，EF ＝30 cm ，AC 交EF 于G ，若FG －EG ＝10 cm ，则AB ＝( ) 图1-1-16 A ．30 cm B ．40 cm C ．50 cm D ．60 cm 【解析】 由平行线等分线段定理及推论知，点G ，F 分别是线段AC ，BC 的中点，则

《平行线的性质定理》教案

《平行线的性质定理》教案 学习目标 1、理解和总结证明的一般步骤、格式和方法. 2、探索平行线的性质定理的证明，培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力. 3、结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论. 教学重难点 平行线的性质公理及定理. 教学过程 【温故知新】 (一)、知识链接：(两条直线平行的判定定理) 1、同位角相等，两直线平行 2、内错角相等，两直线平行 3、同旁内角互补，两直线平行 4．下列不能使两直线平行的是( ) A.内错角相等 B.同旁内角互补 C.对顶角相等 D.同位角相等 (二)、导学释疑： 证明：已知：如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b相交. 求证：∠2=∠3. 平行线的性质1定理：两直线平行，同位角相等. 【合作探究】 探究一、已知：如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b相交. 求证：∠1=∠2. 平行线的性质2定理：两直线平行，内错角相等. 探究二、两直线平行，同旁内角互补

(1)根据这一定理的文字叙述，你能作出相关图形吗？ (2)你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ (3)你能说说证明的思路吗？并试着写出证明过程. 平行线的性质3定理：两直线平行，同旁内角互补. 【做一做】 已知：如图所示，直线a∥b，a∥c，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角. 求证：b∥c. 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 【总结提升】 总结规律：根据本节课的学习，你能说说命题证明的一般步骤吗？ (1)根据题意画出图形；(若已给出图形，则可省略) (2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证； (3)经过分析，找出已知退出求证的途径，写出证明过程； (4)检查证明过程是否正确完善. 【当堂检测】 完成课本50页随堂练习.

第二讲：三角形一边的平行线性质定理解析

第二讲：三角形一边的平行线性质定理 一、知识要点： 1复习、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比， （2） （1） D C B A D C B A 如图（1）： ABD ADC S BD S DC = 如图（2）：若A D ∥BC,则 ADC ABC S AD S BC = 2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 如图（1），若D E ∥BC ，则 AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE AB AC = 1 ＝＝特殊地：EC AE DB AD ， 如图（2），若D E ∥BC ，则 AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DA EB DC = E D E （2） （1） C B A D C B A 3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则 AD DE AE AB BC AC == ; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则 AB BC AC AE DE AD == .

小试牛刀： 选择题 1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，所用的思想方法是（ ） A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立 B 、利用平行线性质 C 、利用三角形全等 D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题 1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC 2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则 AC=____________ 3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5 厘米，则AC=_______厘米。 4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________. 5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于点O ，则EO:OB=____________。 第1题 E D C B A 第4题 O D C B A O E D C B A 二、典型例题： 例1、 如图所示，D E ∥AB,EF ∥BC ，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。求BD 。 F E D C B A

平行线的判定定理和性质定理练习题

平行线的判定定理和性质定理 [一]、平行线的判定 一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线a ∥b 的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由： （1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥C F ． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C 图９ A D C B O 图５ 图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B

八年级数学上册《平行线的性质定理和判定定理》学案

八年级上册数学《平行线的性质定理和判定定理》学案学习目标： 1.进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式 2.会根据“两直线平行，同位角相等”证明平行线的其它性质定理 3.正确区别平行线的判定和性质. 重点：平行线的性质定理和判定定理的应用. 难点：推理过程的规范化表达和灵活应用． 【预习检测】 1.如图a∥b，写出相等的同位角： . 写出相等的内错角， 写出互补的同旁内角 1.如图a∥b，∠1=68°，那么∠2的度数为 . 2.如图，∠ 1和∠ 2是直线a 、b被直线c截出的内错角，且∠ 1= ∠ 2，则a与b平行吗？你能说说理由吗？ a∥b . ∵∠1=∠2 （） ∠1=∠3 ( ) ∠2=∠3 （） ∴a∥b （） 课堂学习案

一、典例导学 模仿例1、例2的证明 试一试，证明平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（简称：同旁内角互补，两条直线平行）。二、交流与发现 命题1：同位角相等，两直线平行 命题2：两直线平行，同位角相等 观察这两个命题，你有什么发现？ 两个命题中，如果第一个命题的______是第二个命题的______，而第一个命题的______又是第二个命题的______，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题称为原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 练习题：说出下列命题的逆命题，并与同学交流： ①轴对称图形是等腰三角形； ②等角的补角相等； ③直角三角形的两个锐角互余； ④正方形的4个角都是直角. 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的-------------------三、自主应用 1.已知：如图∠1=∠2，∠3=1000，求∠4的度数. 2.已知：如图a∥b，b∥c. 求证：a∥c.

专题14 平行线分线段成比例定理与三角形形的“四心”(解析版)

专题14 平行线分线段成比例定理及三角形的“四心” 一、知识点精讲 （一）平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l ，直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3 A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图，123////l l l ，有AB DE BC EF =.当然，也可以得出AB DE AC DF =.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 二、典例精析 【典例1】．如图， 123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF . 【答案】见解析

【解析】1232////,,3AB DE l l l BC EF \==Q 28312,.235235 DE DF EF DF ====++ 【典例2】在ABC V 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ， 求证：AD AE DE AB AC BC == 【答案】见解析 【解析】 证明（1） //,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠Q ADE ∴V ∽ABC V ，.AD AE DE AB AC BC ∴ == 证明（2） 如图过A 作直线//l BC ，////,l DE BC Q AD AE AB AC ∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF Y ，因而.DE BF = //,.AE BF DE EF AB AC BC BC ∴==Q .AD AE DE AB AC BC ∴== 从上例可以得出如下结论： 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【典例3】已知ABC V ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上. 【答案】见解析 【解析】

九年级数学下册 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例练习 (新版)新人教版

27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例 基础题 知识点1 相似三角形的有关概念 1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC 2．若△ABC∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为____________． 知识点2 平行线分线段成比例定理 3．(兰州中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AE EC ＝( ) A.13 B.2 5 C.23 D.35

4．如图，AB ∥CD ∥EF ，则下列结论不正确的是( ) A.AC CE ＝BD DF B.AC AE ＝BD BF C.BD CE ＝AC DF D.AE CE ＝BF DF 5．(济宁中考)如图，AB 、CD 、EF 相互平行，AF 与BE 交于G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BC CE 的值等于____________． 6．如图，EG ∥BC ，GF ∥DC ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值． 知识点3 相似三角形判定的预备定理 7．如图，若AB∥CD，则△____________∽△____________，AB ______＝BO ＝AO ． 8．(厦门中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DE BC 的长为____________．

初三数学第4讲：三角形一边的平行线判定定理

教学内容 一、知识要点： 1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达： 如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ， 若① AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD EC AB AC =中之一为已知条件，则DE ∥BC E D C B A 2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达： 若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则D E ∥BC. E D C B A E D C B A 牛刀小试：

1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。判断在下列条件下能否推出D E ∥BC,为什么？ （1） 2 3 AD DB =,AE=2，AC=3 （2） 25AD AB =,2 5DE BC = （3） 23AD DB =,5 3 AC CE = E D C B A 2、△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出D E ∥BC 的条件是（ ） A 、A B 3=AD 2,E C 1=AE 2 B 、A D 2=AB 3,D E 2 =BC 3 C 、 AD 2=DB 3,CE 2=AE 3 D 、AD 3=AB 4,AE 3 =EC 4 二、典型例题 例1、如图EF ∥BC ， 3 1 =AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥AD A D E F B C 例2、如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。

初三数学第3讲：三角形一边的平行线性质定理

教学内容 一、知识要点： 1、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比， （2） （1） D C B A D C B A 如图（1）： ABD ADC S BD S DC = 如图（2）：若A D ∥BC,则 ADC ABC S AD S BC = 2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 如图（1），若D E ∥BC ，则 AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE AB AC = 如图（2），若D E ∥BC ，则AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DA EB DC = E D E （2） （1） C B A D C B A 3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则 A D D E A E A B B C A C ==; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则 AB BC AC AE DE AD ==.

E D E （2） （1） C B A D C B A 小试牛刀： 选择题 1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，课本上所用的思想方法是（ ） A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立 B 、利用平行线性质 C 、利用三角形全等 D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题 1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC 2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则 AC=____________ 3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5 厘米，则AC=_______厘米。 4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________. 5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于点O ，则EO:OB=____________。 第1题 E D C B A 第4题 O D C B A O E D C B A

平行线的性质定理

8.4平行线的判定定理 7数导—010 授课时间：2014年3月日班级：姓名： 一、学习目标 1、掌握平行线的性质定理“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补” 2、在与前一节判定定理的联系中，体会互逆的思维过程。 3、进一步理解证明的基本步骤和书写格式。 4、发展学生的初步的演绎推理能力。 二、重难点 重点：平行线的性质定理。 难点：明确推理证明每一步的理论依据，证明格式和步骤的规范性。 三、学习过程： （探究一）两直线平行的性质定理1：两直线平行，同位角相等 结合学习目标独立思考，翻看课本48—49页了解性质定理一的证明过程，由此，我们可以得到两直线平行的第一个性质定理： （探究二）两直线平行的性质定理2：两直线平行，内错角相等 （1）你能将命题“两直线平行，内错角相等”用“如果…那么…”的形式表示出来吗？请写出来。 （2）通过（1）的表示，请找出该命题中的条件和结论。 条件： 结论： （3）通过（2）的条件和结论，你能写出已知、求证吗？并根据已知画出几何图形和完成证明过程中的填空。 已知： 求证： 证明：∵a∥b（） ∴∠3=∠2 （） ∵∠1=∠3（） ∴∠1= （） 由此，我们可以得到两条直线平行的第二个性质定理： （探究三）两直线平行的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补 独立思考，脱离课本完成下列问题： （1）、通过定理“两直线平行，内错角相等”的学习，你能结合图形直接写出命题“两直线平行，同旁内角互补”的证明过程吗？试试看。已知：如图a∥b，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的同旁内角。 求证：∠1+∠2=180° 证明： 由此，我们可以得到两条直线平行的第三个性质定理： 预习自测 1、如图a∥b，写出相等的同位角： . 写出相等的内错角：， 写出互补的同旁内角： 2、如图a∥b，∠1=68°，那么：∠2的度数为 3、如图，已知：DE∥BC，∠ABC=52°，∠BED=18° 求：∠ABE的度数 四.课堂学习 1、小组展示探究二的证明过程，进一步规范证明定理的基本步骤。 2、小组展示探究三的证明过程。你还能用其他方法求证吗？组内交流。

三角形一边平行线性质定理

个性化辅导授课案 教师： 卢天明 学生: 时间 2016年7月 日 时段 三角形一边的平行线性质定理 一、知识要点： 1、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比 （2） （1） D C B A D C B A 如图（1）： ABD ADC S BD S DC = 如图（2）：若AD ∥BC,则 ADC ABC S AD S BC = 2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 如图（1），若DE ∥BC ，则 AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE AB AC = 如图（2），若DE ∥BC ，则AB AC AE AD = 或AB AC EB DC =或EA DA EB DC = E D E （2） （1） C B A D C B A 3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则 AD DE AE AB BC AC == ; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则AB BC AC AE DE AD == .

E D E （2） （1） C B A D C B A 小试牛刀： 选择题 1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，课本上所用的思想方法是（ ） A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立 B 、利用平行线性质 C 、利用三角形全等 D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题 1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC 2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则AC=____________ 3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5厘米，则AC=_______厘米。 4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________. 5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于点O ，则EO:OB=____________。 第1题 E D C B A 第4题 O D C B A O E D C B A 二、典型例题： 例1、 如图所示，DE ∥AB,EF ∥BC ，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。求BD 。