【优选】2020届数学中考复习讲解课件：万能解题模型(三) 几何中与中点有关的模型
2021届中考数学精品冲刺复习“中点”之六大模型
跟踪训练 5．如图，在△ABC 中，AB＝12，AC＝8，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的 取值范围是_2_＜__A_D_＜__1_0_______．
6．如图，已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，AF＝EF，求证：AC＝BE． 证明：延长 AD 至点 G，使 AD＝DG，连接 CG，BG． ∵AD 是中线，∴BD＝CD，∴四边形 ABGC 是平行四边形， ∴∠FAG＝∠BGE，AC＝BG． 又∵AF＝EF，∴∠FAG＝∠AEF＝∠BEG， ∴∠BEG＝∠BGE． ∴BE＝BG，∴AC＝BE．
AC＝8，点 D 是 AB 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 的延 7
长线于点 E，则 CE 的长为____3____． 【思路点拨】根据勾股定理易求得 AB＝10，则 BD
＝5，易证△ABC∽△EBD，则 BC∶BD＝AB∶(BC＋CE)，
从而求得 CE 的长．
跟踪训练 4．如图，在△ABC 中，AB＝AC．∠A＝120°，BC＝6 cm，AB，AC 的垂直 平分线分别为 ME 与 NF，交 BC 边于点 M，N，则 NM 的长为___2_____cm．
数，再由 G 为 EF 中点，易得∠EOD＝∠DOF．
跟踪训练 7．★如图，⊙O 中，AB 是直径，AB＝10，BC＝8，E 是BC 的中点，连接 AE 交 BC 于点 D，则 AD＝__3__5____．
四边形 EGDF 为平行四边形，则 DF＝GE．再根据中位线定理可求得 在边长为 8 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点， EF⊥AC 于点 F，G 为 EF 的中点，连接 DG，则 DG 的长为___1_9____．
2020中考数学专题训练---中点妙用(配套几何画板课件)
13．如图，在平行四边形ABCD中， NhomakorabeaE是CD的中点，点F是BC边上的点，AF＝AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为l．
（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）若AE＝BE，AB＝4，AD＝5，求l的值．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．
9．如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．
10．如图，点G是△ABC的重心，GE∥AB交BC于点E，GF∥AC交BC于点F，若△GEF的周长是2，则△ABC的周长为．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明EF是⊙O的切线；
（2）求证：∠DGB＝∠BDF；
（3）已知圆的半径R＝5，BH＝3，求GH的长．
三．解答题（共10小题）
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是；
（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的重心性质可得OC CE，根据直角三角形的性质可得CE＝AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM CE，进一步得到OM CE，即OM AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF AE，MF EF，依此得到MF AE，从而得到 的值．
2020年中考复习 动态几何三角形全等之倍长中线模型 专题讲义设计
知识精讲：题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.例题精讲：1、如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。
解：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,∵D为AC中点∴AD=DC,在△ABD和△CED中，BD=DE,∠ADB=∠CDEAD=CD∴△ABD≌△CED（SAS）∴EC=AB=10在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC10-6＜BE＜10+6∴4＜2BD＜16∴2＜BD＜82、已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜1(AB+AC)2解析：延长AM到D，使MD=AM,连CD∵AM是BC边上的中线，∴BM=CM又AM=DM,∠AMB=∠CMD∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD在△ACD中，则AD＜AC+CD即2AM＜AC+AB∴AM＜1(AB+AC)23、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA 的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.解析：延长FE,截取EH=EG,连接CH可证得：△BEG≌△CEH（SAS）∴∠BGE=∠H,BG=CH∵CF=BG,∴CH=CF,∴∠F=∠H=∠FGA∵EF∥AD∴∠F=∠CAD,∠BAD=∠FGA∴∠CAD=∠BAD∴AD平分∠BAC.4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E 、F ，求证：BE +CF ＞EF .解析：延长ED 到H ,使DE =DH ,连接CH ,FH ,∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =DC∵DE 、DF 分别为∠ADB 和∠ADC 的平分线∴∠1=∠4=12∠ADB ,∠3=∠5=12∠ADC 又∵∠1=∠2，∴∠4=∠2∴∠4+∠5=∠2+∠3=90°∴△EFD ≌△HFD （AAS ）∴EF =FH在△BDE 和△CDH 中，DE =DH∠1=∠2BD =DC∴△BDE ≌△CDH （SAS ）∴BE =CH在△CFH 中，由三角形三边关系定理得：CF +CH ＞FH∵CH=BE,FH=EH∴BE+CF＞EF.5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？解析：连接AD，作BG∥FC,与FD延长线交于G，连接EG,∵BG平行FC，∴∠FCD=∠DBG,∠CFD=∠G在△DFC和△BDG中，∠DFC=∠G∠FCD=∠DBGBD=CD∴△DFC≌△BDG(AAS)∴FC=BG,DG=DF,∠DBG=∠ACB又∵ED⊥FD,∴EF=EG∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°∴△EBG为直角三角形∴BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形.专项提升练习：1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE 交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.【解析】倍长AD至点M，得8字全等△BMD≌△CAD（AAS）∵AF=EF∴∠FAE=∠FEA，BE=BM∴AC=BM=BE2、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.【解析】倍长FD至点M得8字全等△FED≌△MCD（AAS）所以EF=CM=AC∴∠CAD=∠EFD=∠BAD∴EF∥AB3、如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，∠AFE=90°，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD.【解析】倍长AF至点M，得△ADF≌MCF（AAS），AE=EM所以AE=EM=EC+CM=EC+CD也可以倍长EF4、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.【解析】倍长CE 至点M ，连BM ，证△DCB ≌△MCB如图所示，∠BAC =∠DAE =90°，M 是BE 的中点，AB =AC ,AD =AE 求证：AM ⊥CD【解析】倍长AM 至点F ，连BF 和EFAB ACABF CADBF AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠可证△ABF ≌△CAD （SAS ）∠C +∠CAF =∠BAF +∠CAF =90°∴AM ⊥CD。
2020年九年级初中必会几何模型-三垂直模型
三垂直模型【模型概述】出现3个直角，且3个直角的顶点共线时，角的边相交会形成相似（含全等）三角形。
【基本模型】图1 图2【解读】⑴图1和图2中，三个直角顶点B，C，D共线；⑵当△ABC和△CDE三组对应边均不相等时，有△ABC∽△CDE；⑶当△ABC和△CDE任意一组对应边相等时（如AC=CE），有△ABC≌△CDE；⑷证明思路：同角的余角相等⑸解题时往往只含有两个甚至一个垂直关系，需通过作垂线构造出三垂直模型，从而构造出全等或相似三角形，利用全等和相似的性质求解角度和线段长等问题。
典型例题1-1已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E。
⑴如图1，①线段CD和BE的数量关系是②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明。
⑵如图2，结论②还成立吗？如不成立，写出并证明AD，BE，DE之间的数量关系。
【小结】典型例题1-2如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）典型例题1-3经过点A（-1,0），B（4,0），交y轴于点C。
⑴求抛物线的解析式；⑵点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
⑶将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长。
【小结】变式训练1-1如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα=( )变式训练1-2如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，(1)求C点的坐标；扩展模型：共线三等角模型：当三垂直模型中3个直角变为相等的锐角或钝角时，仍会产生全等或相似三角形。
解读：⑴图1和图2中，大小均为的三个锐角（或钝角）顶点在同一直线你上。
⑵当三组对应边均不相等时，图1中有△ABC∽△ECD，图2中有△ABC∽△CDE（注意对应关系）⑶当△ABC和△CDE的任意一组对应边相等时，有两三角形全等。
中考数学几何最值模型 专题03 辅助圆模型(学生版+解析版)
辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。
二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
2020安徽数学中考复习课件：19全等三角形(2)全等模型(共23张PPT)
模型二：对称模型
针对练习
2.如图，点E、F在BC上，AB=DC，∠B=∠C，请补充一个条 件使△ABF≌△DCE.
解析：BE=CF或BF=CE或 ∠A=∠D或∠AFC=∠DEC
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模型二：对称模型
针对练习
3.如图，E是∠AOB的平分线上点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂 足分别为C，D，连接CD交OE于点F. 求证:(1)OC=OD (2)△ECF≌△EDF
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模型三：三垂直型
基本模型
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模型三：三垂直型
典例讲评
例3 如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上， AD⊥CP交CP于点D，BE⊥CE交CP的延长线于点E，垂足 分别为D，E，已知DC=2，求BE的长.
【思维教练】已知DC的长，求BE的 长，可通过证明△CBE和△ACD全等， 根据同角的余角相等可得 ∠DAC=∠BCE，从而利用AAS可证 △CBE和△ACD全等.
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模型五：半角模型
基本模型
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模型五：半角模型
基本模型
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模型五：半角模型
典例讲评
例6 如图，已知:正方形ABCD，点E， F分别是BC，DC上的点，连接AE，AF， EF，且∠EAF=45°， 求证:BE+DF=EF
【思维教练】延长CD到点G，使 DG=BE，将BE，DF转化在一条直线 上，再证EF=GF即可
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模型四：旋转模型
基本模型
类型二 共顶点旋转模型（含手拉手模型）
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模型四：旋转模型
基本模型
类型二 共顶点旋转模型（含手拉手模型）
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模型四：旋转模型
基本模型
类型二 共顶点旋转模型（含手拉手模型）
中考数学转项复习：线段中的双(多)中点模型解读与提分练习(含答案解析)
线段的双（多）中点模型对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。
一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。
但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。
总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
(1)模型1.线段的双中点模型 (1)模型2.线段的多中点模型 (7) (11)模型1.线段的双中点模型线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。
条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：12 MN AC.证明：①当点B在线段AC上，如图1，图1③当点B 在线段CA 的延长线上图例1．（23-24七年级上·广东东莞·期末）已知：如图，点C 在线段AB 上，7cm AM =，6cm BC =，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求MN 的长．例2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是线段AC BC ，的中点．(1)若10cm 6cm AC CB ==，，求线段MN 的长；(2)若cm AC CB a +=，求线段MN 的长度．例3．（22-23七年级上·内蒙古包头·期末）如图， 已知线段10cm AB =， M 是AB 的中点， P 是线段MB 上一点，N 为PB 的中点，2cm NB =， 则线段MP = cm ．例4．（23-24七年级·山东淄博·期末）已知点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点．若线段12cm AB =，则线段BD 的长为（ ）A ．10cmB ．8cmC ．8cm 或10cmD ．2cm 或4cm例5．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C ，D 是线段AB 上两点（点D 在点C 右侧），E ，F 分别是线段AD BC ，的中点．下列结论：①12EF AB =； ②若AE BF =，则AC BD =；③2AB CD EF -=； ④AC BD EC DF -=-．其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④例6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段30AB =，延长BA 至点C ，使43CB AB =::，点D 、E 均为线段BA 延长线上两点，且3BD AE =，M 、N 分别是线段DE AB 、的中点，当点C 是线段BD 的三等分点时，MN 的长为 ．∵40CB =，∴60BD =，∵3BD AE =，∴20AE =∴DE 例7．（22-23七年级上·辽宁阜新·期末）点A 、B 在数轴上所表示的数如图所示，P 是数轴上一点：(1)将点B 在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点P ，求出A 、P 两点间的距离是多少个单位长度．(2)若点B 在数轴上移动了m 个单位长度到点P ，且A 、P 两点间的距离是4，求m 的值．(3)若点M 为AP 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长度．【答案】(1)A 、P 两点间的距离是1个单位长度(2)m 的值为2或10(3)线段MN 的长度不发生变化，3MN =【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类=-如图，当P在B的左侧时，此时MN PM=-如图，当P在A的右侧时，此时MN PN PM综上所述，点P在运动过程中，线段MN的长度不会发生变化，模型2.线段的多中点模型条件：如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段2MN a =，第1次操作：分别取线段AM 和AN 的中点1M 、1N ﹔第2次操作：分别取线段1AM 和1AN 的中点2M ，2N ﹔第3次操作：分别取线段2AM 和2AN 的中点3M ，3N ；…连续这样操作n 次，结论：112n n n M N a -æö=⋅ç÷èø．证明：∵1M 、1N 是AM 和AN 的中点，∴112AM AM =，112AN AN =，∴11111222M N AM AN MN a =-==，∵2M 、2N 是1AM 和1AN 的中点，∴2112AM AM =，2112AN AN =，∴22111111112222M N AM AN M N a =-==，∵3M ，3N 是2AM 和2AN 的中点，∴3212AM AM =，3212AN AN =，∴23322221111122242M N AM AN M N a a æö=-===⋅ç÷èø，……发现规律：112n n n M N a -æö=⋅ç÷èø，例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P 从距原点2个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到1OA 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到2OA 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A 点的距离为（ ）A ．1112B ．1212C ．11122-D ．11112-例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段16MN =，第一次操作：分别取线段AM 和AN 的中点1M ，1N ； 第二次操作：分别取线段1AM 和1AN 的中点2M ，2N ；第三次操作：分别取线段2AM 和2AN 的中点3M ，3N ，连续这样操作4 次，则44M N =．【答案】2023112-例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra 做了n 次取线段中点实验：如图，设线段01OP =，第1次，取0OP 的中点1P ；第2次，取01P P 的中点2P ；第3次，取12PP 的中点3P ，第4次，取23P P 的中点4P ；…(1)请完成下列表格数据．(2)小明对线段4OP 的表达式进行了如下化简：因为4234111112222OP =-+-+，所以4234231111111221212222222OP æö=-+-+=-+-+ç÷èø，两式相加，得441322OP =+，所以4421332OP =+´．请你参考小明的化简方法，化简5OP 的表达式．(3)类比猜想：1n n P P -=_____，n OP =_____，随着取中点次数n 的不断增大，n OP 的长最终接近的值是____．A．12BC=B．4AB= A．7B．14综上所述：线段MN的长度为5 cm．故选：1A．510+B．510+C．510-D．510-【答案】26532=-=-=，MN BM BN=+=+=，故答案为：8或538MN BM BN【答案】3设AB x =，，则1,3AC x =2,3CB x =AD DB ==111223913332AC AB ==´=1313MN DN DM=-()1MN MC CN=+()1AC DN DC =+-MN MC CN=+1【答案】1【分析】先由线段 中点定义得出1PD AD=，Q，8 AB=12AC=，12Q，8 AB=AC=，【答案】①②③∵AD BM =，∴AM BD =∴AD MD BD =+【答案】9cmAD =20．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，已知点B C 、在线段AD 上，且AB CD =．(1)比较线段的大小；AC ______（填“＞”“＝”或“＜”）(2)如果18,12,AD BC M ==是AB 的中点，N 是CD 的中点，求线段MN 的长度．(3)在（2）中，如果,AD a BC b ==，其他条件不变，那么MN =_____．（用含,a b 的式子表示）段AE 的中点．(1)如图1，若线段15AB =， 4.5CE =，求线段DE 的长；(2)如图2，若15AB =，2AD BE =，求线段CE 的长．【答案】(1)6DE =；(2) 4.5CE =．【分析】本题考查线段中点有关的计算．22．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，点C 是线段AB 上的一点，其中8AB =，:1:3AC BC =，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 上一点．(1)若N 为线段BC 的中点，求MN 的长度；(2)若N 为线段BC 的一个三等分点，求MN 的长度．(2)【拓展与延伸】。
2022年中考数学几何模型之单中点与双中点模型(讲+练)(解析版)
专题02 单中点与双中点模型有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。
模型一、双中点-中位线模型如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，例.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD△AB，垂足为D，点E为BC的中，则AE的长为（）点，AE与CD交于点F，若DF3A B．C D．【答案】C【详解】解：连接DE，如图所示：在Rt△ABC 中，△ACB =90°，AC=BC ， △CD △AB ，△AD=BD ，即点D 为AB 的中点．△E 为BC 的中点，△DE 是△ABC 的中位线，△DE △AC ，DE =12AC ，△△DEF △△CAF ，△DF ：CF=DE ：AC =1：2，△DF=13，△AC=BC ，△AC 2+BC 2=2AC 2=AB 2=8．△AC=BC=2．△CE=1．在直角△ACE 中，由勾股定理知：AE故选：C ．【变式训练1】如图，在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ．求证：MQ ＝QN ．【答案】见解析【详解】证明：连接BG 和CE 交于O ，∵四边形ABDE 和四边形ACFG 是正方形，∴AB ＝AE ，AC ＝AG ，∠EAB ＝∠GAC ， ∴∠EAB +∠EAG ＝∠GAC +∠EAG ，∴∠GAB ＝∠EAC ， 在△BAG 和△EAC 中，，∴△BAG ≌△EAC （SAS ），∴BG ＝CE ．∵BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ，∴MQ ＝CE ，QN ＝BG ， ∵BG ＝CE ，∴QN ＝MQ ．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，OAB 的顶点B 在x 轴正半轴上，顶点A 和边AB 的中点C 均在函数()20=>y x x的图象上，则OAB 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B【详解】如图，过点A 、点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，则//AD CE ，∴CE BE BCAD BD BA==，△C 是AB 边的中点，∴12CE BE BC AD BD BA ===， 设CE x =，则2AD x =，△顶点A 和边AB 的中点C 均在函数()20=>y x x 的图象上，C ∴的横坐标为2x，A 的横坐标为1x， 1OD x∴=，2OE x =，1DE OE OD x ∴=-=，1BE DE x ∴==，3OB OE BE x ∴=+=，1132322OAB S OB AD x x∆∴==⨯⨯=．故选：B ．【变式训练3】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，AC ＝1，D 是AB 的中点，E 是BC 上一点，若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长为 .【答案】【详解】如图，过点A 作AM ∥DE 交BC 的延长线于点M ，过点C 作CN ⊥AM ，垂足为N .∵D 是AB 的中点，∴E 为BM 的中点，即BE ＝EM ，又∵DE 平分△ABC 的周长，∴AC +CE ＝BE ，∴MC +CE ＝AC +CE ，∴MC ＝AC ， ∵CN ⊥AM ，∠ACB ＝60°，∴∠CAN ＝60°，在Rt △CAN 中，AN ＝AC ·sin60º＝，∴AM ＝2AN＝，∴DE＝.模型二、 单中点-倍长中线模型例.如图，CE 、CB 分别是ABC 与ADC 的中线，且∠=∠ACB ABC ，AC AB =．求证：2CD CE =．【答案】见解析【详解】证明：如图，过点B 作//BF AC 交CE 的延长线于点F ．△CE 是ABC 的中线，//BF AC ，△AE BE =，A ABF ∠=∠，ACE F ∠=∠， 在ACE 和BFE △中，△,,,A ABF ACE F AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACE BFE ≌（AAS ），△CE EF =，AC BF =，△2CF CE =，又△AC AB =，CB 是ADC 的中线，△AC AB BD BF ===，△DBC A ACB ABF ABC ∠=∠+∠=∠+∠，△∠=∠ACB ABC ，△DBC FBC ∠=∠，在DBC △和FBC 中，△,,,DB FB DBC FBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△DBC FBC ≌（SAS ）， △2DC CF CE ==．【变式训练1】已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______； ②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析 【详解】（1）①△90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒，△EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠ △90EAC BAE ∠+∠=︒，△ACD BAE ∠=∠又△AEC B BAE ∠=∠+∠，△EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠ △45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒，故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，△点D 为AB 的中点，△BD AD =，又△ADG BDE ∠=∠，△ADG △BDE ，△DGA DEB ∠=∠，△//AG BC ，△GAE AEC ∠=∠， 又△2AE DE =，△AE EG =，△DGA GAE ∠=∠，△DEB AEC ∠=∠． （2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，△AD BD =，ADF BDH ∠=∠，△HDB △FDA △，△BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒， △BF AC =．△Rt HBF △△Rt FAC △，△2CF HF DF ==．【变式训练2】如图①，点O 为线段MN 的中点，PQ 与MN 相交于点O ，且PM ∥NQ ，可证△PMO ≌△QNO ．根据上述结论完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE ＝∠EAF ，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．【答案】见解析【详解】（1）AB＝AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G点，根据图①得△ABE≌△GCE，∴AB＝CG，又AB∥DC，∴∠BAE＝∠G而∠BAE＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴AF＝GF，∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF；（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，根据CF∥AB得△ABE∽△GCE，∴AB：CG＝BE：CE，而BE：EC＝1：2，AB＝4，∴CG＝8，又AB∥FC，∴∠BAE＝∠G，而∠BAE＝∠EDF，∴∠G＝∠EDF，∴DF＝GF，而CF＝2，∴DF＝CG﹣CF＝8﹣2＝6．【变式训练3】如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．【答案】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝3，∴DE＝，故答案为．模型二、单中点-“三线合一”模型如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.例.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF ⊥FD.【答案】见解析【解析】如图，连接CF.∵AC ＝CE ，F 为AE 的中点，∴CF ⊥AE ，∴∠AFD ＋∠DFC ＝90º， ∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ，AB ⊥CE ，∠ABC ＝∠BAD ＝90º， 在Rt △ABE 中，∵F 为AE 的中点，∴BF ＝AF ，∴∠FBA ＝∠FAB ， ∴∠FAB ＋∠BAD ＝∠FBA ＋∠ABC ，即∠FBC ＝∠FAD ， 又∵AD ＝BC ，FA ＝FB ，∴△FBC ≌△FAD ，∴∠AFD ＝∠BFC ， ∴∠BFD ＝∠BFC ＋∠DFC ＝∠AFD ＋∠DFC ＝90º，∴BF ⊥FD .【变式训练1】如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ） A .B .C .D .【答案】C【解析】如图，连接AM .∵AB ＝AC ，M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ， ∵AC ＝5，CM ＝BC ＝3，∴AM ＝4，∴在Rt △AMC 中，AM CM ＝AC MN ，即4×3＝5MN ，解得MN .【变式训练2】半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB 折叠，使折叠后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，求图中阴影部分面积？【答案】【解析】如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB.由题意可得OM⊥AB，且OC＝MC＝，在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，，∴∠AOC＝60º，AB＝2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120º，则，.课后训练1. 如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故选：B．2.的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（）A. B. 5C. D.【答案】D【解析】如图，连接OA、OC，OC交AB于点D.∵点C是的中点，∴OC⊥AB且平分AB，即AD＝AB，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，在Rt△AOD中，，∴AD＝AO·＝，∴AB＝2AD.3.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．【答案】【解答】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．∴在Rt △PHG 中，PG ＝＝＝．故答案是：． 4．如图，已知△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE 交BC 于点G ，若DG=GE ，说明：△ABC 为等腰三角形．【答案】见解析．【详解】解：如图，过D 作DF△AC 交BC 于F ，△DF△AC ，△△DFC=△FCE ，△△DGF=△CGE ，DG=GE ，△△DFG△△ECG （AAS ），△DF=CE ，△BD=CE ，△BD=DF ，△△B=△DFB ，△DF△AC ，△△DFB=△ACB ，△△B=△ACB ，△AB=AC ，△△ABC 为等腰三角形．5．如图所示，已知在ABC 中，D 是AB 的中点，DC AC ⊥，4cos 5DCB ∠=，求sin A ．【详解】如图所示，作//DE AC 交B C 于点E ，得90CDE ACD ∠=∠=︒，△ 4cos 5CD DCB CE =∠=，设4CD x =，则5CE x =，△3DE x =，由中位线定理得AC ＝6x ，在Rt ACD △中，AD =，△sinCD A AD ===； 6.如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 的形状.【答案】四边形PQMN 为菱形【解析】如图，连接AC 、BD .∵△ADE 和△BCE 都是等边三角形，∴∠AEC ＝120º，∠BED ＝120º，∴∠AEC ＝∠BED ， 又∵EA ＝ED ，EC ＝EB ，∴△AEC ≌△DEB ，∴AC ＝BD ，又∵P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴PNBD ，QM BD ，∴PN QM ，∴四边形PQMN 是平行四边形，又∵PN ＝，MN AC ，∴MN ＝PN ，∴四边形PQMN 是菱形.7.如图，在△ABC 中，BC ＝22，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别是BC 、DE 的中点，若ED ＝10，求FG 的长.【解析】如图，连接EH 、DH .由题意可得EH 、DH 分别为Rt △BEC 、Rt △BDC 斜边上的中线，∴DH ＝EH ＝BC ＝11，∵点G 为ED 的中点，∴DG ＝EG ＝5，又∵HG ⊥DE ，∴在Rt △HGD 中，HG . 8．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【详解】（1）①△90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒△EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠△90EAC BAE ∠+∠=︒，△ACD BAE ∠=∠又△AEC B BAE ∠=∠+∠，△EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠△45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，△点D 为AB 的中点，△BD AD =，又△ADG BDE ∠=∠，△ADG △BDE ，△DGA DEB ∠=∠，△//AG BC ，△GAE AEC ∠=∠，又△2AE DE =，△AE EG =，△DGA GAE ∠=∠，△DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，△AD BD =，ADF BDH ∠=∠，△HDB △FDA △， △BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒， △BF AC =．△Rt HBF △△Rt FAC △， △2CF HF DF ==．。
突破初中数学十二大几何模型之一中点模型
中考数学几何模型1：中点模型名师点睛直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？ 1. 直角三角形斜边中线定理：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB ===。
2. 三线合一：在ABC ∆中:（1）AC BC =；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD BD =，（4）CD AB ⊥.“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。
3. 中线倍长(倍长中线)：如图（左图），在ABC ∆中，D 为BC 中点，延长AD 到E 使DE AD =，联结BE ，则有：ADC ∆≌EDB ∆。
4.倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED≌∆CFD。
作用：转移线段和角。
5. 中位线定理：如图，在ABC∆中，若AD BD=，AE CE=，则//DE BC且12DE BC=。
典题探究例题1. 如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．变式训练>>>EDAB C1. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为斜边向外侧构造等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点．求证：DM＝ME，DM⊥ME．例题2. 如图，在△ABC的两边AB、AC向外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN．变式训练>>>1. 如图，在△ACE 中，点B 是AC 的中点，点D 是CE 的中点，点M 是AE 的中点，四边形BCGF 和四边形CDHN 都是正方形．求证：△FMH 是等腰直角三角形．2. 如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，BA ，CD 的延长线分别交EF 的延长线G ，H 。
2020年中考数学培优专题讲义第3讲几何模型之双子型
:•△ABCs/\AMN, • AB =AM • . AC AN ' 又NM4C, /CAN= /MAN- /MAC, ：.ZBAM= /CAN, ：.ABAMs^CAN, ：./ABC= ZACN.
5.解：(1)是，理由如下： 如图，由旋转知，/ABE=CBG, 在正方形,488, BG在中， AB=BC, BE=BG, /ADC= /BCD= /BAD= /ABC=90、, ；・44BE冬 ACBG, ：./BAE=/BCG, 记，山与3c的交点为点P, •/ NAPB= /CPH, ZJ5C+ NA1£+ NAPB=180° ABCG+ ZCPJ7= 180° , :• /AHC= NABC=90’ ,
BC=BD :♦△OBg&lBD (SAS). ②不变. 理由：,:△OBC/QIBD, ：.ZBAD=ZBOC=6Q0 , 又•••/。18=60° , ，NOJE=1800 - ZOAB - ZA1D=6OC , :.RfAOEA 中，AE=2O」=2, J OE=近 •••点七的位置不会发生变化，E的坐标为E(0，V3).
D
解：以H为旋转中心，把4c逆时针旋转120° ,得到△E1D,连接作.4PL5E于P, 则 NA4E=120°，AB=AE， ，/ABE= NAEB=30° , :・BP=AB・cos/ABP=3, NAEB=90” , :・BE=2BP=6,
在 RfABED 中.^=7eD2+BE2=10,
故答案为：10.
RA BA-1 ：.-=~ZABC+ Z.IBCi = ZAiBCi + ZABC1,
BC BC j
，N皿li = NCBCi，
r. AJAKZXCBCi.