整数分拆中的一个计数公式
正整数拆分
【题目名称、来源】
正整数拆分（经典问题）
【问题描述】
输入自然数n，然后将n拆分为由若干个数相加的形式，参与加法运算的数可以重复。
输入：n
输出：
所有拆分方案
总的拆分数
例如：
输入：7
输出：
7=1+6
7=1+1+5
7=1+1+1+4
7=1+1+1+1+3
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1
writeln(count);
close(output);
end.
var i,j:integer;
begin
for i:=start to (m div 2) do begin
a[k]:=m-i;b[k]:=i;{记录拆分方案}
{打印}
write(n,'=');
for j:=1 to k do
write(b[j],'+');
writeln(a[k]);
count:=count+1;
7=1+1+1+1+2+2
7=1+1+2+3
7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+3+3
7=2+5
7=2+2+3
7=3+4
14
【所属专题】
递归、回溯
【适合学习阶段】
计数第01讲整数分拆
二年级A 班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////----1----计数第01讲_整数分拆(学生版)计数第01讲_整数分拆一.概念：整数分拆：把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式．二.方法：在进行整数分拆时，要按一定的顺序，做到不重复、不遗漏．将一个整数拆分成三个数相加，其实可以先固定第一个数，那剩下两个数的和也是固定的，这样问题就转化成将一个新的整数拆分成两个数相加．三.与分堆的区别整数分拆，分堆无顺序，分人有顺序．重难点：对于整数分拆问题，一定要思考全面，正确的区分分堆与分人的差别，确定正确的拆分方法。
枚举过程中注意题目地限制条件“最少”、“不超过”等．题模一：分2人----2----二年级A 班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////计数第01讲_整数分拆(学生版)例1.1.1老师把9颗糖分给丽丽和阿强，使得他俩每人都有糖，有__________种不同的分法．例1.1.2两个海盗分20枚金币．请问：如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有__________种不同的分法．题模二：分3人例1.2.14个鸡蛋分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法．例1.2.2三个同学分5个高思积分，每个同学至多分到3个高思积分，也有可能分不到，共有__________种不同的分法．例1.2.3三个海盗分18枚金币，每个海盗至少分到5枚金币，共有__________种不同的分法．题模三：分2堆例1.3.1有10个萨琪玛，把它们分成两堆，一共有__________种不同的分法．例1.3.2有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有__________种不同的分法．这两堆球的个数可能相差__________个．例1.3.3蕊蕊有20块巧克力，如果她要把这些糖果分成2堆，且每堆最少有2块巧克力，那么一共有多少种不同的分法？题模四：分3堆例1.4.19个金币分成3堆，共有__________种不同的分法．例1.4.2生物老师让大家观察蚂蚁的习性，小高在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只．这3堆蚂蚁可能各有___________只．例1.4.3把12个金币放入三个相同的袋子中，每个袋子至多放6个金币，也可能有袋子不放金币，共有__________种不同的放法．例1.4.418个苹果分成3堆，每堆至少放4个苹果，至多放9个苹果，共有__________种不同的分法．随练1.1老师给小高14个相同的练习本，如果小高把这些本子全都分给墨莫和卡莉娅，有多少种不同的分法？随练1.2三个同学分6个汉堡，每个同学至多分到4个汉堡，也有可能分不到，共有__________种不同的分法．随练1.3三个同学分4个冰激凌，每个同学至多分到2个冰激凌，也有可能分不到，共有__________种不同的分法．随练1.45个苹果分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法．随练1.5现在有7束玫瑰花，要把它们分成2堆，一共有多少种不同的分法？二年级A 班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////----3----计数第01讲_整数分拆(学生版)随练1.67个苹果分成3堆，共有__________种不同的分法．随练1.7（1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有10个．现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种不同的分法？（2）如果小明有两袋糖豆，每袋10个．要把这两袋糖豆分成3堆，每堆最少要有5个，一共有多少种不同的分法？随练1.8把14个金币放入三个相同的袋子中，每个袋子至多放7个金币，也可能有袋子不放金币，共有__________种不同的放法．作业1两个海盗分20枚金币．请问：如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有__________种不同的分法．作业26个相同的笔记本分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法．作业3把9块蛋糕分给果果、蕊蕊、莹莹三个小朋友，每位小朋友至少要有2块蛋糕，共有多少种不同的分法？作业4现在有7束百合花，要把它们放在两个不同的盒子里，每个盒子里面都要有百合花，一共有多少种不同的分法？作业58个金币分成3堆，共有__________种不同的分法．作业6把15个金币放入三个相同的袋子中，每个袋子至多放7个金币，也可能有袋子不放金币，共有__________种不同的放法．作业720个苹果分成3堆，每堆至少放5个苹果，至多放8个苹果，共有__________种不同的分法．作业8雷雷去地里挖红薯，一共挖了11个红薯，现在要把它们分成3堆，一共有多少种不同的分法？。
有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式
ｎ的有 序分拆 数又会 怎 样 呢 ？ 文 将 给 出一 些 新 的 本
结论．
面一应 自轭序拆 ： ， ） 一对 的共无分为（ （ ， ；３ ） （１ ，（２） ３） ，（ ，（２ （ ， ２ ， ８ ； （ 也 个 ； 共．
拆与无序分拆相关问题 的一个恒等式 ， 并且分别用 分析法和组合法给出证 明． 最近郭育红 和黄凤英 等［利用 Ａ ａ ａ的组合法也得到了一些关于有序 ３ ｇｒ ｌ ｗ 分拆与无序分拆 之 间 的恒 等式 ． 文在 参考 其 他相 本
关文献（ 见文献［ — ３ ） ４ １］ 的基础上， 对上述问题进行
的ｒｎ一拆（５ ． Ｆｅｓ 为 ３ ） 。ｉ 分 ： ， ｂｕ ２
定 义 ３３ 一个 ｋ一弯 （ ｋ—ｂｎ ） ［ ］ 即 ｅ ｄ 是指在第
一
பைடு நூலகம்
根据上 述两个 引理 ， 以得 到下 面的新推 论 ： 可 推论 １ 恰含最大分布量为 ， 且满足 Ｆｏｅｉｓ ｒｂｎｕ
行 和第一 列各有 ｋ个点 的一 个 向右弯 曲 的 图． 例
中 图分 类 号 ： １７ １ Ｏ ５ ． 文献 标 志 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １— ３ ５ ２ １ ）３— ３２— ５ １０ ８９ （０ ０ ０ ０ １ ０
ｄ ｉ１ ．９ ９ｊｉ ｎ １０ — ３５ ２ １ ．３ ０８ ｏ：０ ３６ ／． ｓ． ０ １ ８ ９ ．０ ０ ０ ．０ ｓ
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整数分拆中的欧拉恒等式
整数分拆中的欧拉恒等式整数分拆是一种数论问题，涉及将一个正整数拆分为若干个正整数的和的方式。
在这个问题中，欧拉恒等式是一种重要的数学关系。
本文将介绍整数分拆以及欧拉恒等式的相关内容。
首先，让我们了解一下整数分拆的概念。
整数分拆是将一个正整数拆分为一系列正整数的和。
例如，对于整数5，可以拆分为1+1+1+1+1，也可以拆分为1+1+1+2或者1+2+2等多种方式。
每种拆分方式称为该整数的一种分拆。
接下来，我们将重点介绍欧拉恒等式。
欧拉恒等式是描述整数分拆的一种重要公式，由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。
该等式的表达形式为：n=p(n)-p(n-1)+p(n-2)-p(n-3)+...其中，n表示要分拆的整数，p(n)表示n的分拆数，也就是将n拆分为若干个正整数的和的总数。
这个等式的意义在于，通过将n的分拆数与n-1、n-2等之前整数的分拆数进行交替相减，可以得到整数n的分拆数。
欧拉恒等式的证明比较复杂，涉及到数学推导和分析。
这里不再详述，感兴趣的读者可以深入研究相关的数论文献。
需要注意的是，整数分拆和欧拉恒等式是数学领域的研究课题，与实际生活中的问题密切相关。
在实际应用中，整数分拆和欧拉恒等式可以用于计算排列组合、概率统计等领域，具有广泛的应用前景。
总结一下，整数分拆是一种数论问题，涉及将一个正整数拆分为若干个正整数的和的方式。
欧拉恒等式是描述整数分拆的重要公式，通过交替相减整数的分拆数，可以得到整数的分拆数。
这个等式在数学研究和实际应用中具有重要意义。
在探索整数分拆和欧拉恒等式的过程中，我们可以深入理解数论中的一些基本概念和方法，同时也能够培养数学思维和解决问题的能力。
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
正整数分拆数的一个递推公式
正整数分拆数的一个递推公式
递推分拆数是用来描述分拆问题的数学工具。
它是一种通过定义
一组关系，计算任意正整数的解的方法。
该递推公式可以应用于任何
正整数分拆问题。
此方法将问题从寻求解决问题的解决方案，转换成
寻找一个通项公式，使得任何正整数的解可以由此公式计算得出。
在此公式中，递推分拆数被表示为f(n)，其中n表示待分解的正
整数。
基本的递推公式如下所示：
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
其中f(1) = 1是该递推公式的终止条件，指对为1的情况，应返
回1，上式中f(n)表示待分解的正整数，f(n-1)和f(2)表示分解该正整
数n得到的两个不同的正整数。
可以发现，此公式是根据此思路抽象
而成。
此外，此递推分拆数公式的优点是可以用数学归纳法来验证其性质，提高解决问题的效率。
归纳法的基本思想是将一个“概括整体”表达为由一系列关系式所组成的分解式。
基于归纳法的思想，可以证明递
推分拆数的有效性，在某些情况下可以帮助我们找出分拆数的最优解。
以上就是关于递推分拆数公式的介绍，虽然使用此公式解决问题
需要耗费时间，但它在解决比较困难的分拆问题时，仍然具有极大的
帮助。
第一周(整数的分拆)
整数的分拆1、整数的分拆其相关结论如下(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
(2)一般的，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n-r)个p。
(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r(r≤n)的形式，再把r一轮一轮的从后往前每个加1即可。
(5)若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？3、把1999分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？4、将35分拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？5、电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？6、把8个苹果分给3个小朋友有多少种不同的分法？(至少1个)。
7、一个自然数可以分拆成9个自然数之和，也可以拆成10个自然数之和，还可以拆成11个自然数之和。
这个自然数最小是几？8、自然数2000能否拆成若干个连续自然数之和？如能，有几种？课后练习：1、把1999分拆成8个自然数之和，使其乘积最大。
2、把50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是几？3、把49分拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大应该怎样分拆？4、将36分成若干个互不相等的自然数之和，且使这些数的乘积最大，求乘积？5、将2008分成若干个互不相等的自然数之和，且乘积最大？6、是否有若干个连续自然数，他们的和恰好等于64？6、把34分拆成若干个连续自然数之和有多少种分法？。
第七讲 整数的分拆
第七讲 整数的分拆1、整数的分拆：把一个整数n 表示为若干个自然数之和的形式，这通常叫整数n 的分拆。
即12m n n n n =+++ (121m n n n ≥≥≥≥ )。
对被加项和项数m 加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。
自然数的分拆是古老而又十分有趣的问题，著名的歌德巴赫猜想实际上是一个分拆问题。
其相关结论如下：(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
(2)一般的，把自然数m 分成n 个自然数的和，使其乘积最大，则先把m 进行对n 的带余除法，表示成m=np+r ，则分成r 个(p+1)，(n-r)个p 。
(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r (r≤n )的形式，再把r 一轮一轮的从后往前每个加1即可。
(5)若自然数N 有k 个大于1的奇约数，则N 共有k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
〖经典例题〗例1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？分析：要使8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两个数相等或相差1.因为2006÷8=250……6，所以2006=250×8+6，6不能单独存在，所以将6分成6个1，并从后往前加在6个自然数中，2006=250+250+251+251+251+251+251+251。
例2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？分析：因为60÷10=6，可以初步判定尽可能小的最大的质数应从能否为7考虑。
60=7×8+2+2.所以最大的数最小是7.〖方法总结〗本题用到了结论(2)，将2006写成8×p+r 的形式，然后余下6，因此有6个251和2个250.当有些特殊要求时，如例2，我们先估算出大致范围，然后再利用结论求解。
12.整数的拆分
n2 3 (7) p3 ( n) 12
课本P60-61
5
组合数学
其中， n 表示不大于n的最大整数。
k2 k (n ) 0 2 (8) pk ( n) k2 k k2 k pk n (n ) 2 2
3 组合数学
其中， n 表示不大于n的最大整数。 1. 整数的拆分 定理3-2 关于正整数n的k拆分数pk(n)，有： （1） p1(n) =1 （2） pn(n) =1 （3） pn－1(n) =1
n （4） p2 ( n) 2
(3-10) (3-11) (3-12) (3-13)
8
组合数学
本讲小结
正整数的拆分的模型是：n个相同的球放入k 个相同的盒子，每个盒子至少放1个。 关于正整数n的k拆分数pk(n)的几个公式
9
组合数学
整数的拆分
本讲内容 1. 整数拆分的概念和计算 目的要求 理解整数拆分的概念 会用计算简单的正整数的拆分数
1
组合数学
整数的拆分
定义2.6.1 设n为正整数，有k个正整数n1， n2，…，nk满足：
（1）n＝n1＋n2＋…＋nk；
（2）n1≥n2≥…≥nk≥1 ；
则称n1,n2,…,nk为正整数n的一个k拆分，其中 ni (1≤i≤k)称为该k拆分的分量。n的k拆分的 个数称为n的k拆分数。n的所有拆分（k取遍 所有可能的值）的个数称为n的拆分数。
（5）
4
pk ( n) pr ( n k ) ( n k )
r 1
组合数学
k
(3-14)
其中， n 表示不大于n的最大整数。
有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式
有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式2010年5月第33卷第3期四川师范大学(自然科学版)JournalofSichuanNormalUnivemity(NaturalScience)May,2010V o1.33.No.3有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式庞荣波(聊城大学东昌学院,山东聊城252000)摘要:自从欧拉对正整数的分拆进行正式研究后,现在该问题已成为组合数学,图论,数论研究的一个重要课题.近年来,一些国内外数学研究者对研究有序分拆与无序分拆提出了新的思路和方法.在研究正整数的无序分拆与有序分拆相关问题的基础上,利用Agarwal的组合法和Frobenius 一分拆,获得了一些无序分拆与有序分拆之间的恒等式,并给出了一些有序分拆的分拆数计算公式,此结论进一步丰富和发展了正整数分拆理论.关键词:无序分拆;有序分拆;分拆恒等式中图分类号:O157.1文献标志码:A文章编号:1001—8395(2010)03—0312—05 doi:10.3969/j.issn.1001—8395.2010.03.0081定义2003年A.K.Agarwal…发现了正整数有序分拆与无序分拆相关问题的一个恒等式,并且分别用分析法和组合法给出证明.最近郭育红和黄凤英等[3利用Agarwal的组合法也得到了一些关于有序分拆与无序分拆之间的恒等式.本文在参考其他相关文献(见文献[4—13])的基础上,对上述问题进行了研究,最后得到了一些新的分拆性质定理,较为系统地阐述了有序与无序分拆之间存在的恒等式.首先,给出一些相关的定义.定义1[1正整数n的奇一偶无序分拆是指在n的元序分拆中分部量分别以奇数和偶数交替出现,且最小分部量是奇数的无序分拆.定义2[1】一个2行非负整数矩阵f??…其中aI>a2>…>ar≥o'6,bl62…O,/>b2>…>b,≥o,且凡=r十∑口+∑b叫做正整数的Frobenius一分拆.例如,无序分拆仃=7+7+5+4+4+1对应的Fr.benius一分拆为(:53,2).定义3[3]一个k一弯(即k—bend)是指在第一行和第一列各有k个点的一个向右弯曲的图.例如,7r3:5+4+2对应的Ferrers图为:00000000OO00O0OO0OO并且给出无序分拆仃,=a1+a2+…+a,,它与一个有r个连续的弯,即a一弯,a一弯,…,a,一弯的Ferrers图一一对应.2主要结果2.1有序分拆与无序分拆的恒等式文献[2]给出了下面两个引理:引理1将正整数n分拆成分布量为偶数的有序分拆数等于恰含最大分布量为n,且满足Frob.nis一分拆f?b.z…?1(其中6是奇数,\blbz…6,,为偶数)的自共轭无序分拆数.引理2将正整数n分拆成分布量为偶数的有序分拆数等于最大分布量为2n一1,并且各分布量为看3(rood4)的奇无序分拆数.根据上述两个引理,可以得到下面的新推论:推论1恰含最大分布量为,且满足Frobenius收稿日期:2009一l2—25基金项目:国家自然科学基金(10871116)和山东省自然科学基金(Y2006A04)资助项目作者简介:庞荣波(1969一),男,讲师,主要从事分拆理论,算法优化设计的研究第3期庞荣波:有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式313一分拆f61b2…Dr1(其中6是奇数,为偶数)\b1b2…b,,的自共轭无序分拆数等于最大分布量为2n一1,并且各分布量为3(mod4)的奇无序分拆数上面引理中讨论了将正整数n分拆成分布量为偶数的有序分拆数的问题,那么对于任意正整数n的有序分拆数又会怎样呢?本文将给出一些新的结论.定理1凡的有序分拆数等于恰含最大分布量几,并且各分布量互不相同的无序分拆数.证明(组合法)设仃是一个最大分部量为n,各分部量互不相同的无序分拆.在该分拆对应的Ferrers图中作两条轴线轴,Y轴,使得这两条轴线分别在距离最下一行和最左一列一个单位处,从而得到一个坐标平面.然后在每行的最右一个点分别做Y轴的平行线,再从左向右确定这些平行线中每一条距前一条的距离(y轴也要考虑).即设从左到右这些平行线与轴的交点的横坐标分别为,:,…,(其中仃的分部数不妨设为m).由于,:一1,3一2,…,一一1都不等于零,并且=n.于是l+(2一1)+(3一2)+…+(m一m—1)就是正整数n的一个有序分拆.由于这种对应是一一的,所以定理的结论成立.例1取n=4,4的有序分拆为:4,1+3,3+1,2+2,2+1+1,1+2+l,1+1+2,1+1+1+1,共8个.恰含最大分布量为4且各分布量互不相同的无序分拆为:4,4+3,4+2,4+1,4+3+2,4+3+1,4+2+1,4+3+2+1,也共8个.定理2恰含最大分布量为n,且满足Frob.i.一分拆f?b.2…?1的自共轭无序分\blb2…b,/ 拆数等于恰含最大分布量为n,并且各分布量互不相同的无序分拆数.证明给出一个最大分布量为n,并且各分布量互不相同的无序分拆,设7r,=a,+a+…+a(其中a=凡),它与一个有r个连续的弯的Ferrers图一一对应.而这r个连续的弯的Ferrers图是自共轭的,故定理的结论成立.例2由上例知恰含最大分布量4且各分布量互不相同的无序分拆为共8个.恰含最大分布量为4,且满足Frobenius一分拆fb2…1与上\61b2…br/面一一对应的自共轭无序分拆为:(;),(33), (31),(,(22),(22(;,(;22,也共8个.推论2/1,的有序分拆数等于恰含最大分布量为凡,且满足Frobenius一分拆(:::)的自共轭无序分拆数.事实上,上面提到的文献[2]中的两个引理是定理1,2中当为偶数时的特例.作为另外的特例情况,我们来看一下对于任意奇数n分拆成分布量为奇数的无序与有序分拆情况.定理3设rl,为奇数,将n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为n,且满足ius一分拆6b,2r)(其=n-1为偶数,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆数.证明在恰含最大分部量为n,且满足Fr0beniuS一分拆2(其=n-1为偶数,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆中取出其第一行b,b,…,b,(它们是奇偶交替出现且最前一个与最后一个为偶数), 让其中每个数都加1得到b1+1,b2+1,…,b,+1(它们也是奇偶交替出现,b1+1=n),再以b+1作为Ferrers图中的第i行,然后在Ferrers图中作两条轴线轴,Y轴,使得这两条轴线分别在距离最下一行和最左一列一个单位处.然后在每行的最右一个点分别做Y轴的平行线,再从左向右确定这些平行线中每一条距前一条的距离(Y轴也要考虑).假设从左到右这些平行线与轴的交点的横坐标分别为1=b,+1,2=b1+1,…,,=bl+1,由于各分部量互不相同且奇偶交替出现,所以,:一,3一2,…,,一r-1都为奇数,并且=.于是1+(2一1)+(3一2)+…+(,一1)就是正整数n的一个有序奇分拆.由于这种对应是一一的,所以定理的结论成立.例3取n=5,5的奇有序分拆:5,1+1+3,314四川师范大学(自然科学版)33卷1+3+1,3+1+1,1+1+1+1+1,共5个.而恰含最大分部量为5,且满足Frobenius一分拆f?b,2…6r1(其中6.=4,6互不相同且奇偶,0102…or/交替出现,r为奇数)与之一一对应的自共轭无序分拆:(),f43201,也共5个.,432l0/定理4恰含最大分部量为n,且满足Frobenius一分拆(:2)(鼽n-1为b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆数等于分部量互不相同,恰含最大分部量为2n一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)的奇无序分拆数.证明给出一个分部量互不相同,恰含最大分部量为2凡一1,其他分部量一3和1(rood4)交替出现, 且最小分部量;1(rood4)的—个奇无序分拆,由结论1知:给出—个不重复的奇的无序分拆,必有一个自共轭的Ferrers图与之——对应,由于该Ferrers图中的各弯点数都是;3和1(rood4)交替出现的,故可得到一个与之一一对应的恰含最大分部量为n,且满足beni一分拆2㈡(其…?为偶数,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆.例4取n=5,由上例知恰含最大分部量为5,且满足Frobenius一分拆(:::2,===::)c其中b,=4,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆共5个.而分部量互不相同,最大分部量为9,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)与之一一对应的奇无序分拆:9,9+7+5,9+7+1,9+3+1,9+7+5+3+l,也共5个.推论3设n为奇数,将n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于各分部量互不相同,最大分部量为2一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)的奇无序分拆数.我们再看看将偶数拆分为奇数和的问题,以下的证明同前面的基本类似.定理5将偶数分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为n,且满足Frobenius一分拆f?b,2…?1(其中6.:n一1为奇数,6,0102…0r/互不相同且奇偶交替出现,r为偶数)的自共轭无序分拆数.例5取n=6,6的分部量为奇数的有序分移:1+5,5+1,3+3,1+1+l+3,1+3+1+1,1+1+3+1,3+1+1+1,1+1+1+1+1+1,共8个.而恰含最大分部量为n,且满足Frobenius一分拆(:::,2===::)(其中其中6=5互不相同且奇偶交替出现,r为偶数)与之一一对应的自共轭无序分:(三),(),(三),(44;吕),,(44l0),(22三),f54320/,也共8个.\5432l0/定理6设n为偶数,将n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为2n一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)的奇无序分拆数.例6取n=6,由上例知6的分部量为奇数的有序分拆数是8.而分部量互不相同,恰含最大分部量为11,其他分部量一3和1(rood4)交替出现,且最小分部量1(rood4)与之一一对应的奇无序分拆:11+9,11+5,11+1,1l+9+7+5,11+9+7+1,11+9+3+1,11+5+3+1,11+9+7+5+3+1,也共8个.推论4恰含最大分部量为n,且满足Fr.benius一分拆(::,2:::::)c其中6-=凡一为奇数,b互不相同且奇偶交替出现,r为偶数)的自共轭无序分拆数等于分部量互不相同,恰含最大分部量为2n一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量1(mod4)的奇无序分拆数.上面讨论了n为奇数和偶数时分拆成分部量为奇数的有序分拆数与相应的元序分拆之间的关系,那么对于任意自然数n分拆成分部量为奇数时第3期庞荣波:有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式315 又将如何?我们给出如下的定理:定理7将任意自然数/7,分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为/l,且满足Frobenius一分拆(:::2,===::)(其中bi互不相同且奇偶交替出现)的自共轭无序分拆数.定理8将任意自然数分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为的奇一偶无序分拆数.例7取n=6,已经知道6分拆成分部量为奇数的有序分拆数是8.恰含最大分部量为6的奇一偶无序分拆有:6+5,6+3,6+1,6+5+4+3,6+5+4+1,6+5+2+1,6+3+2+1,6+5+4+3+2+1.也是8个.推论5恰含最大分部量为n的奇一偶无序分拆数等于恰含最大分部量为//,,且满足Frobenius一分拆(bl:2,===(其中互不相同且奇偶交rbi替出现)的自共轭无序分拆数.下面我们在给出n分拆成恰含/77.个分布量的相关定理:定理9将/7,分拆成恰含/7/,个分布量的有序分拆数等于恰含m个分布量,各分部量互不相同且最大分布量为n的无序分拆数.例8取n=5,5的恰含3个分布量的有序分拆为:1+1+3,1+3+1,3+1+1,2+2+1,2+1+2,1+2+2,共6个.恰含3个分布量,且最大分布量为5的无序分拆为:5+4+3,5+4+2,5+3+2,5+4+1,5+3+1,5+2+1,也共6个.定理1O将n分拆成恰含m个分布量的有序分拆数等于恰含最大分布量为n,并且满足Fr.benius一分拆(6bj:2,:::::)(其中bl:n一1,r=m)的无序分拆数.例9取n=5,由上例知5的恰含3个分布量的有序分拆共6个.而恰含最大分布量为5,并且满~_Frobenius-分拆b1.20,2(其-4,分拆6,…6:)其中6=4,r=3,的无序分拆为:(:),(:),(三21),(三330),(三,(三l0),也共6个.推论6恰含最大分布量为n,并且满足Frobenius一分拆(:::,2:::::)c其中bl=n一1,r=m)的无序分拆数等于恰含m个分布量,各分部量互不相同且最大分布量为n的无序分拆数. .由此可知文献[2]中定理2.1和2.2是定理9,l0的特殊情况.2.2有序分拆计数公式文献[1]给出了正整数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数递推公式,即: 设正整数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数为0,则0的递推公式为0+2=0+1+0,其中,0:=0=1.同样利用排列组合我们可以推得下面几个有序分拆数:定理11设偶数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数为0:,则D:+:30;+:一D:,其中,De=3,D;=1.例100:=30;一O;=9—1=8,即6分拆成分部量为奇数的有序分拆有8个.同样可知D;.=30;一O;=3(3D;一0i)一D;=3(3X8—3)一8=55,即1O分拆成分部量为奇数的有序分拆有55个.定理12设将奇数/7,分拆为分部量为奇数的有序分拆数为0:,则o=3D:+:一0:,其中,O=2,O=1.侈411O;=30;一O;=3(30;一O)一O;=3(3×2—1)一2=13,即将7分拆为分部量为奇数的有序分拆有l3个:7,1+1+5,1+5+1,5+1+1,1+3+3,3+1+3,3+3+1,1+1+1+1+3,3+1+l+1+1,1+3+1+1+1,1+1+3+1+1,1+1+1+3+1,1+1+1+1+1+1+1.而O;=30;一O=3×13一(3O;一O)=39—5=34,即将9分拆为分部量为奇数的有序分拆数是34.定理13设将偶数t'2分拆为分部量为偶数的有序分拆数为,则+:=2E:,其中E;=1.316四川师范大学(自然科学版)33卷椤912=2=4=8=8,即将8多拆2,2+2+4,4+2+2,2+4+2,2+2+2+2.为分部量为偶数的有序分拆有8个:8,4+4,2+6,6+参考文献[1]AgarwalAK.AnanalogueofEuler'sidentityandnewcombinatorialpropertiesofn—colourcompositions[J].ComputationalandAppliedMathematics,2003,160:9—15.[2]郭育红.与正整数的元序分拆和有序分拆相关的一些恒等式[J].数学,2007,50(3):707—710.[3]黄凤英,柳泊廉.与有序分拆相关的一些恒等式[J].数学,2009,52(2):403—408.[4]王立欣,何文杰,于新凯,等.正整数rt的m一分拆及其应用[J].应用数学与计算数学,2000,1:31—36.[5]Gessell,StantonD.Applicationsofq—Lagrangeinversiontobasichypergcometrieseries[J].TranssAmMathSoc,1983,227(1):73—201.[6]郭育红,张先迪.整边三角形与正整数的一类分拆数[J].四川大学:自然科学版,2009,46(1):17—20.[7]陈芳,黄益如.经典Lueas—Fibonaeci数列的上,下界公式研究[J].应用数学与计算数学,2007,1:116—120.[8]庞荣波.正整数分拆中的特殊恒等式[J].山西师范大学:自然科学版,2009,32(4):15—18.[9]AlladiK.DiscreteMath,1999,196:1—11.[10]Man$ollFT,SunY.Onthenumberofcombinatorieswithoutcertainseparations[J].Euro 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PartitionIdentityandCountingFormulaebetweenPartitionsandCompositions PANGRong—bo(Collegeo,Dongchang,IockUn/vers,L/aocheng252000,Shandong)Abstract:AfterLeonhardEulerstudiedformallythepartitionofpositiveinteger,thisproblemhasalreadybecomeanimportant topicintheresearchofthecombinatorialmathematics,graphtheory,numbertheory.Recently ,somemathematicalresearcher8athome andabroadputforwardnewideasandmethodsaboutpartitionsandcompositions,onthebasis ofrelatedproblemsbetweenpartitionsandcompositionsofpositiveintegers,byusingAgarwal'ScombinatorialmethodandFroben ius—partitionstudyingsomeidentitiesbe- tweenpartitionsandcompositionsandcountingformulaeofthecompositionsaregiven.Thec onclusionenrichedandpromotedthepatti-tionofpositiveintege.Keywords:partition;compositions;partitionidentity2000MSC:05A17;11P82(编辑余毅)。
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即 Ｐ （ ） 所 以得 到 ｋ 。
（ ）＝ Ｐ （ ） ＋
， 一 （ ）一 Ｐ ） Ｐ』 ，＋ ） （ ＋ ”（ Ｐｌ １ ）： Ｐ （ ＋ 女 一Ｐ （ （ ～ ： ｋ ｒ～ ）－ ） ＝
ｋ 一１
定 理 得 证
定 理２
证 明
（＋ ） ： Ｐ（ ＝∑ ｒ） ＝
＾
引理 １Ｐ （） ＞ （ 志 ：ｋ ＝ ～ ）
３ 主要 结 果
定 义 ４ 以 Ａ 表 示 由全 体 部 分数 为 ｒ的 一 分拆 所成 之集 ， ｎ∈ Ａ。 在 分 拆 ｎ中 ， 有 等 于 １的部 分 ， 称 ｎ为 Ａ 的一 设 若 含 则
个第一类元 。
定 义 ５ Ｐ （ 矗 ｛ ＋ ）为 部 分 数 为 ｋ的 含 有 第 一 类 元 的 ＋ ｋ分 拆 。 定 理 １ 设 ｋ为 任一 正 整 数 ， Ｐ ”（ 志 可 表示 为 Ｐ （ 志 则 Ｉ ＋ ） 。 ＋ ）与 （）之 差 的形 式 ，
Ｐ （ ＋ ｋ 的计 数 公 式 。 ￡’ｎ ）
关键词 ： 整数分拆 ； 第一类元 Ｉ 部分 Ｉ 计数公式
中 图 分类 号 ： Ｏ ５． １７１
文献标识码 ： Ａ
文 章 编 号 ： １０—６９（０７一３ ０３０ ０８９５一２０）０— ７—２ ０
１ 引言
在 组 合 计 数 中 整 数 分拆 是 一 个 较 为 困难 的 问题 ， 它 却 有 着 极 为 广 泛 的应 用 价 值 ， 们 在 研 究 分 拆 计 数 问 题 时 希 望 能 够 但 我 找 到 巧 妙 的 解 法 从 而 得 到 完 美 的 解 决 。 文 就 是 在 限定 了某 种 条 件 下 给 出 了 分拆 Ｐ ”（ 志 本 ｉ ＋ ）的 定 义及 计 数 公 式 。
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第 ２ ６卷
第 ３期
《 疆 师 范大 学 学 报 》 自然 科 学 版 ） 新 （
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＸｉ ａ ｇＮｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ￣ｉｎ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ ｏ
（ ｔ ｒ ｌ ｃ ｅ ｃ ｓ Ｅ ｉｉ ｎ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ｄ ｔｏ ） Ｓ
■ Ｐ（ 志 ｋ ＋ ）＝ Ｐ ＋ 志 ＋ Ｐ （ 志 （ ） ｉ ＋ ） ’ ．
・ ［ 稿 日期 ］２ ０ — ０ —０ 收 ０７ ４ ７ ［ 者 简 介 ］沙 元 霞 （９ ０ ） 女 ， 龙 江 大庆 人 ， 读 硕 士 研 究 生 ， 要从 事 组 合 优 化 和 图 论 方 向 的 研 究 。 作 １８～ ， 黑 在 主
２ 预备 知 识
定 义 １ 设 １ ， ， 是 ｋ个 正 整 数 ， 三 ２ … 三 ＾ 如果 — １ ， … １ 三 ＝ 三 ， ＝ ＋ ２ … ＋ ＾则 分 解 式 ＝ １ ＋ ， ＋ ２ … 称 ＋ ＾ 为 的 一个 恰 有 个 部 分 的 （ 序 ） 拆 ， 无 分 或称 为 一 个 部 分 数 为 ｋ 的 一分 拆 ， （一 １ ２ … 志 称 为 该 分 拆 的 一 个 部 分 ， ，， ） 以 （ ） 表 示 部 分 数 为 ｋ的 一 分拆 的 个 数 。 定 义 ２ 设 ， 都 是 正 整 数 ， Ｐ （）表 示 无 一 部 分 大 于 ｋ的 一 分 拆 的 个 数 ， 令 Ｐ （）＝ １ ｋ 以 并 Ｏ 。 定 义 ３ 设 ， 都 是 正 整 数 ， Ｐ 。 ｋ 以 ≤ （ ）表 示 至 多 只 有 ｋ个 部 分 的 一 分 拆 的 个 数 ， 令 Ｐ 。Ｏ 并 ≤ （）＝ １
ｒ —
ｌ
由定 理 】 ．
Ｐ ＂（ ； ＋ ）一 Ｐ （ ＋ ） Ｐ （ ） 一
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∑ Ｐ（ ）
定 理 得 证
实例 ： 现 有 某 班级 要进 行 学 期排 课 ， 学 期 计 划 每 周 １ 节 课 ， 方 便 开 展 活 动 ， 求 某 些 天此 班 至 多有 一 节 课 ， 且 要 求 每 天 都 本 ２ 为 要 并 有 课 ， 若 不 考 虑 课 程 之 间 的 区 别 ， 有 多 少 种 排 课 的 方法 ？ 阅 共 解 ： 题要求将 １ 此 ２节 课 分 到 ５天 中 去 ， 某 些 天 至多 一 节 课 的 分拆 方 法 ， 当 于 求 将 １ 求 相 ２分 成 ５部 分 时 含 有 第 一 类 元 的 分 拆数。
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７ ４ 任 取 ａ∈ （ ） 由 ＋ ，
新 辅 师 范大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ） （ 十女 定 义 可知 ， ） ｎ不是 第 一 类 元 ， 将
２０ ０ ７焦
（ ＋ ） 各 部 分 均 减 去 １得 到 部 分 数 为 ｋ的 一 分 拆 ， ， ２ 的 ，
Ｖ０ ． ６ Ｎｏ ３ Ｉ２ ， ． Ｓ ｐ ２ ０ ｅ． ０ ７
２０ ０ ７年 ９月
整数分拆 中的一个计数公式
沙 元 霞
（ 庆 师 范 学 院 数 学 系 ， 龙 江 大 庆 １ ３ １） 大 黑 ６ ７２
摘 要 ： 文章给出了整数分 拆时部分数 中含有 １的分拆 Ｐ （ ＋ｋ 的定 义， ￡ ｎ ） ’ 利用分 拆 的计数公 式 以及分 拆的意 义， 出了 给
即 Ｐ ”（ 志 ｛ ＋ ）＝ Ｐ （ 志 一 Ｐ （ ） ｋ ＋ ） ｋ
证 明
（ 志 示 整 数 ＋ ｋ的 ｋ分 拆 数 。 ＋ ）表 设
ｎ （ ＋ ）一 １ ＋ ２ … ＋ ＾ １ 三 ２三＝… 三＝ ＞ Ｏ ＋ （ 三＝ 三 三 ）
将其分两部分考虑 ： （） 各部 分 ，。 … １在 ， 。中 ， 不 含 有 １ 记 作 ： （ 志 均 ， ＋ ） （ ） 各 部 分 ，。 … ｍ 中 ． 少 有 一 个 部 分 含 有 １ 记 作 ： ｊ （ 志 ２在 １， １ ＂ 至 ， Ｐ ＋ ） ’