22.1.1二次函数 参考解析
人教版九年级数学上册22.1.1《二次函数》说课稿
人教版九年级数学上册22.1.1《二次函数》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册22.1.1《二次函数》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的重点和难点。
这部分内容主要介绍了二次函数的定义、性质和图象。
二次函数是实际问题中常见的函数之一，对于学生来说，掌握二次函数的知识，不仅能够提高他们解决实际问题的能力，还能够为高中阶段的数学学习打下坚实的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。
然而，他们对二次函数的深入理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我们需要关注学生的认知基础，引导学生逐步理解和掌握二次函数的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解二次函数的定义，掌握二次函数的性质和图象，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生对数学的信心，培养学生积极思考、合作交流的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义、性质和图象。
2.教学难点：二次函数的性质和图象的理解与应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等，直观展示二次函数的图象和性质，帮助学生理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引导学生关注二次函数，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍二次函数的定义，引导学生观察二次函数的图象，分析二次函数的性质。
3.案例分析：通过具体的案例，让学生运用二次函数解决实际问题，巩固所学知识。
4.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的解题思路和经验，提高学生的合作交流能力。
5.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调二次函数的性质和图象的重要性。
22.1.1二次函数
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答案
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5.一台机器原价 60 万元,如果每年的折旧率为 x,两年后这台机器的价格为 y
万元,则 y 与 x 之间的函数关系式为
.
y=60(1-x)2
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答案
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6.有一矩形的长是 4 cm、宽是 3 cm,如果将其长与宽都增加 x cm,对应的面
积增加 y cm2,那么 y 与 x 之间的函数关系式为
A.1
B.-1
C.2
D.-1 或 2
关闭
根据题意,得
������2-m = 2,解方程 ������-2 ≠ 0.
m2-m=2,得
m1=2,m2=-1.又因为
m-2≠0,
故 m=2 不合题意,舍去.所以 m=-1.
关闭
B
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3.已知二次函数 y=1-3x+5x2,它的二次项系数为 a,一次项系数为 b,常数项为 c,那么 a,b,c 分别为( ) A.a=1,b=-3,c=5 B.a=5,b=-3,c=1 C.a=5,b=-3,c=1 D.a=1,b=3,c=5
C.y=(x+3)2-x2
D.y=���1���2-x
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选项 B,D 中的函数都不是整式函数,选项 C 中的函数化简后为 y=6x+9, 它们都不是二次函数;根据二次函数的定义,选项 A 中的函数是二次函关闭 A数.
解析 答案
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人教版九年级数学上册22.1.1二次函数同步测试及答案(2021新)
二次函数 22.1__二次函数的图象和性质__22．1.1 二次函数 [见B 本P12]1．下列函数是二次函数的是( C )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ．y ＝x －22．二次函数y ＝3x 2－2x －4的二次项系数与常数项的和是( B )A ．1B ．－1C ．7D ．－63．自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)中，h 与t 之间的关系是( C ) A ．正比例函数 B ．一次函数C ．二次函数D ．以上答案都不对4．已知二次函数y ＝3(x －2)2＋1，当x ＝3时，y 的值为( A )A ．4B ．－4C ．3D ．－35．如图22－1－1所示，在直径为20 cm 的圆形铁片中，挖去了四个半径都为x cm 的圆，剩余部分的面积为y cm 2，则y 与x 间的函数关系式为( C )图22－1－1A ．y ＝400π－4πx 2B ．y ＝100π－2πx 2C ．y ＝100π－4πx 2D ．y ＝200π－2πx 2【解析】 S 剩余＝S 大圆－4S 小圆＝π·⎝⎛⎭⎫2022－4πx 2＝100π－4πx 2，故选C.6．二次函数y ＝2x (x －3)的二次项系数与一次项系数的和为( D )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4【解析】 y ＝2x (x －3)＝2x 2－6x ，所以二次项系数与一次项系数的和＝2＋(－6)＝－4，故选D.7．下列函数关系式，可以看作二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)模型的是( D )A ．圆的周长与圆的半径之间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系C ．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系D ．正方体的表面积与棱长的关系【解析】 A 中，圆的周长C 与圆的半径r 是一次函数C ＝2πr ；B 中，若我国原有人口为a ，x 年后人口数为y ＝a (1＋1%)x 也不属于二次函数；C 中距离一定，速度与时间为反比例函数；只有D 中表面积S 与棱长a 的关系为S ＝6a 2，符合二次函数关系式．8．二次函数y ＝ax 2中，当x ＝－1时，y ＝8，则a ＝__8__．【解析】 将x ＝－1，y ＝8代入y ＝ax 2中，解得a ＝8. 29．如图22－1－2所示，长方体的底面是边长为x cm 的正方形，高为6 cm ，请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S ＝__24x __，长方体的体积为V ＝__6x 2__，各边长的和L ＝__8x ＋24__，在上面的三个函数中，__V ＝6x 2__是关于x 的二次函数．【解析】 长方体的侧面展开图的面积S ＝4x ×6＝24x ；长方体的体积为V ＝x 2×6＝6x 2；各边长的和L ＝4x ×2＋6×4＝8x ＋24，其中，V ＝6x 2是关于x 的二次函数． 10．若y ＝x m 是关于x 的二次函数，则(m ＋2 011)2＝__2__013__．【解析】 由y ＝x m 是关于x 的二次函数，得m ＝2，所以(m ＋2 011)2＝( 2 013)2＝2 013.11．已知函数y ＝(a ＋2)x 2＋x －3是关于x __a ≠－2__．【解析】 ∵二次函数中，二次项系数不能为0，∴a ＋2≠0，即a ≠－2.12．已知函数y ＝(k 2－4)x 2＋(k ＋2)x ＋3，(1)当k __≠±2__时，它是二次函数；(2)当k __＝2__时，它是一次函数．【解析】 根据一次函数、二次函数定义求解．(1)k 2－4≠0，即k ≠±2时，它是二次函数．(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧k 2－4＝0，k ＋2≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝±2，k ≠－2. ∴k ＝2. 13．把8米长的钢筋，焊成一个如图22－1－3所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形．请你写出钢筋所焊成框架的面积y (平方米)与半圆的半径x (米)之间的函数关系式．图22－1－3 解：半圆面积：12πx 2， 矩形面积：2x ×12×(8－2x －πx ) ＝8x －(2＋π)x 2，∴y ＝12πx 2＋8x －(2＋π)x 2， 即y ＝－⎝⎛⎭⎫12π＋2x 2＋8x . 14．若y ＝(m －1)xm 2＋1＋mx ＋3是二次函数，则m 的值是( B )A ．1B ．－1C ．±1D ．2【解析】 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝2，m －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，m ≠1，∴m ＝－1，故选B. 15．如果函数y ＝(m －3)xm 2－3m ＋2＋mx ＋1是二次函数，求m .解：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝2，m －3≠0，解得m ＝0. 16．如图22－1－4，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20 cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以2 cm/s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，求(1)重叠部分的面积y (cm 2)与时间t (s)之间的函数关系式和自变量的取值范围．(2)当t ＝1，t ＝2时，重叠部分的面积．图22－1－4解：(1)∵△ABC 是等腰直角三角形，∴重叠部分也是等腰直角三角形，又∵AN ＝2t ，∴AM ＝MN －AN ＝20－2t ，∴MH ＝AM ＝20－2t ，∴重叠部分的面积为y ＝12(20－2t )2＝2t 2－40t ＋200. 所以自变量的取值范围为0≤t ≤10.(2)当t ＝1时，y ＝162(cm 2)当t ＝2时，y ＝128(cm 2)．17．如图22－1－5，小亮家去年建了一个周长为80 m 的矩形养鱼池． (1)如果设矩形的一边长为x m ，那么另一边的长为________m ；(2)如果设矩形的面积为y m 2，那么用x 表示y 的表达式为y ＝________，化简后为y ＝________；(3)根据上面得到的表达式填写下表：x 5 10 15 20 25 30 35y(4)请指出上表中边长x 为何值时，矩形的面积y 最大．图22－1－5 【解析】 S 矩形＝长×宽，(1)另一边长为12(80－2x )＝(40－x )m. 解：(1)40－x .(2)x (40－x )，－x 2＋40x .(3)175，300，375，400，375，300，175.(4)当x ＝20时，y 最大为400 m 2.18．如图22－1－6，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ACB ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：如图，把△ABC 绕A 逆时针旋转90°到△ADE ，则BC ＝DE ，AC ＝AE .设BC ＝k ，则AC ＝AE ＝4k ，DE ＝k ，过D 作DF ⊥AC 于F ，则AF ＝DE ＝k ，CF ＝3k ，DF ＝4k ，由勾股定理得CF 2＋DF 2＝CD 2，∴(3k )2＋(4k )2＝x 2，∴x 2＝25k 2，∴k 2＝x 225. y ＝S 四边形ABCD ＝S 梯形ACDE＝12(DE ＋AC )·AE ＝12(k ＋4k )·4k ＝10k 2＝10×x 225＝25x 2，故y 与x 之间的函数关系式为y ＝25x 2.。
人教版九年级数学上册第22.1.1节《二次函数》课本+练习
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同步练习
22.1.1 二次函数
知识点：1.二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数，其中是，分别是函数表达式的，，。
2.当时，这个函数还是二次函数吗？为什么？或能为0吗？
一、选择题：
3．已知函数m是常数．
（1）若这个函数是一次函数,求的值;
（2）若这个函数是二次函数,求的值。
4.汽车在行驶中，由于惯性作用刹车后还要向前滑行一段路程才能停止，我们称这段路程为“刹车距离”。
已知某种汽车的刹车距离y(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：当司机小张以80 km/h的速度行驶时，发现前方
大约60m处有一障碍物阻塞了道路，于是小张紧急刹车，问汽车是否撞到障碍物？
1
参考答案
22.1.1 二次函数
知识点：
，自变量，二次项系数，一次项系数,常数项.
一．选择题 1.B 2.D 3. B 4. D 5. D 6. A。
22.1.1 二次函数2024-2025学年人教版数学九年级上册
于 x 的函数关系式为 y ＝－2 x 2＋24 x ＋320（0＜ x ＜ 20）
；
典例导思
（2）若 y ＝384，则每件工艺品的售价应确定为多少
元？
解：（2）由题意，得384＝－2 x 2＋24 x ＋320，
解得 x 1＝4， x 2＝8.
∴ y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝－ x 2＋16 x （0＜ x ＜
16）.
典例导思
（2）当边长为多少时，围成的养鸡场的面积为60 m2？
解：（2）由（1）知 y ＝－ x 2＋16 x .
当 y ＝60，即－ x 2＋16 x ＝60时，
解得 x 1＝6， x 2＝10.
当 x ＝6时，16－ x ＝10；当 x ＝10时，16－ x ＝6.
①若 b ＝0，则 y ＝ ax 2＋ c ；
②若 c ＝0，则 y ＝ ax 2＋ bx ；
③若 b ＝ c ＝0，则 y ＝ ax 2.
知识导航
注意：（1）关于 x 的代数式一定是整式， a ， b ， c 为
常数，且 a ≠0，当 a ＝0时， y ＝ bx ＋ c 为一次函数或常
函数.
例2 用长为32 m的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的
矩形一边长为 x m，面积为 y m2.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
解：（1）围成的矩形一边长为 x m，则邻边长为32÷2
－ x ＝（16－ x ）m.根据题意，得
y ＝ x （16－ x ）＝－ x 2＋16 x （0＜ x ＜16）.
1或－
＝
；当 y ＝2时， x 无解 .
九年级数学人教版第二十二章二次函数22.1.1二次函数定义(同步课本知识图文结合例题详解)
九年级数学第22章二次函数
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
再经过一年后的产量是_____2_0_(_1_+_x_)_(_1件+x，) 即两年后的
2
是二次函数关系.
九年级数学第22章二次函数
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长 和宽相等,高比长多0.5m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S(m2)如何表示? (2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需 要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x （2）y=5S=5×(6x2+2x)
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0____.
九年级数学第22章二次函数
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种函数？ 解析：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
函 数
关系Leabharlann 一次函数y=kx+b(k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y= k (k≠0)
x
二次函数
九年级数学第22章二次函数
问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
22.1.1二次函数
的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2、下列函数关系式中,是二次函数的是( D )
A. y = 2x B. y = mx2
C.
y
1 x2
D.
y = (a2+1)x2-ax+a （a是常数）
4、若函数 y (m 1)xm23m2 为二次
函数，求m的值。
(7) y (x 1)2 x2 不是
(8) y x2 2 不是 x
(9)y = mx2 不是
(10)y = (a2+1)x2-ax+a（a是常数）是
2、把函数 y=(5x+7)(x-3)+2x-5 化成一
般形式，并写出各项系数。
3、指出下列函数的二次项系数,一次项系数, 常数项分别是多少?
（1）自变量的最高指数是2；
（2）解析式为整式；
（3）一次项、常数项可以为0，但二次项绝对不 能为0，即a≠0
1、下列函数中,哪些是二次函数?是二次函数的
请指出各项系数。
(1) y x2 是
（2）
y 1 x 2
不是
(3) y 1 不是 x2
(4) y 4 不是 x
(5) y x(1 x) 是 （6） y 5x 1不是
6、已知函数 y (a 2 4)x2 (a 2)x 3 （1）当a为何值时，此函数是二次函数？ （2）当a为何值时，此函数是一次函数？
课后练习
1、写出下列函数的表达式,
（1）圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之 间的关系__S_=_π_r2
人教版数学九年级上册22.1.1 二次函数课件(共21张PPT)
二次 函数
注意：a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和 常数项.(自变量的最高次数是2；二次项系数a≠0)
特殊形式
y=ax2 (a ≠0)；y=ax2+bx(a ≠0)； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
方法总结 判断二次函数的方法
1.自变量的最高次数是2次； 2.二次项系数a≠0；
即y = 12x2-2x+9.
例3 在情境2中，若某年级共有4个班参加篮球比赛，那么总共要比 多少场？
解：∵比赛的场次数为m = 1 n(n - 1)， 2
即m = 1 n2 - 1 n. 22
∴代入n=4，得m =6 ∴总共要比6场
随堂练习
1.下列函数关系中，是二次函数的为（ D ） A．在弹性限度内， 弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.B．距离一定时，火车 行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之 间的关系D．圆的面积S与半径之间的关系
围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长 AB 是 x ( 单位：m )，
面积是 S ( 单位：m2 )． BC 是(45 - 3x)cm 0＜45 - 3x≤20 (1) 求 S 与 x 的函数关系式及x的取值范围； -45＜- 3x ≤ -25
S =AB ·BC
≤ x ＜ 15
解：(1) S = x(45 - 3x) = -3x2 + 45x ( ≤ x < 15 ).
解：比赛的场次数为m = 1 n(n - 1)， 2
即m = 1 n2 - 1 n. 22
情境3 悦悦通过调查发现，由于学生参加校运动会的积极性非常高，所以 今年学校增加了每个项目的参赛人数。已知今年有300名同学参赛，今年比 去年的参赛人数增加了t倍，若按照这样的增长速度，预计两年后的参赛人 数f与t之间有怎样的关系？
22.1.1二次函数y=ax2的图象和性质(教案)
3.通过对二次函数y=ax2的探究，培养直观想象和数据分析素养，提高解决实际问题的能力；
4.在小组合作与交流中，提升数学交流与团队合作能力。
数y=ax2的定义及其图象特点：重点讲解a的取值对图象的影响，包括开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下）和开口大小（|a|越大，开口越小）。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数y=ax2的基本概念。二次函数是形如y=ax2的函数，其中a为常数。它是描述抛物线形状的重要数学工具，广泛应用于物理、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析物体抛掷的轨迹，了解二次函数在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
例：针对难点内容，设计具体案例，如求解抛物线与坐标轴的交点、物体抛掷的最高点等问题，通过图形演示、公式推导和实际操作，帮助学生突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《22.1.1二次函数y=ax2的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在生活中是否见过抛物线形状的事物？”（如拱桥、抛掷物体等）这个问题与我们将要学习的二次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣，让我们一同探索二次函数的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调a的取值对图象的影响、顶点位置及性质、对称性和单调性、最值问题等。对于难点部分，我会通过举例和图形分析来帮助大家理解。
22.1 二次函数的图像和性质(第二课时)(解析版)
22.1 二次函数的图像和性质第二课时【知识梳理】知识点一 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质函数y =ax 2+bx +c （a >0）y =ax 2+bx +c （a <0）开口方向向上向下顶点坐标（2b a -，244ac b a-）（2b a -，244ac b a-）对称轴x =2ba -x =2b a-增减性x >2b a -时，y 随x 的增大而增大；x <2b a -时，y 随x 的增大而减小x >2b a -时，y 随x 的增大而减小；x <2b a -时，y 随x 的增大而增大最大（小）值当x =2b a -时，y 最小值=244ac b a- 当x =2b a -时，y 最大值= 244ac b a-知识点二 二次函数的三种解析式⑴一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）. 对称轴，顶点坐标（2b a -，244ac ba-）.⑵顶点式：y =a （x -h ）2+k （a ≠0）. 对称轴x= h ，顶点坐标（h ，k ）.⑶交点式：y =a （x -x 1）（x -x 2）. 对称轴，顶点坐标.知识点三 二次函数的平移问题解析式y =a （x +m ）2+n （a 、m 、n 都是常数，a ≠0）分情况讨论m >0，n >0m >0，n <0m <0，n >0m <0，n <0变换过程由y =ax 2向左平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向左平移|m |个单位，向下平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向下平移|n |个单位总结左加右减，上加下减a b x 2-=221x x x +=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2221221x x a x x ，【题型探究】题型一、把一般式化成顶点式1．用配方法将二次函数y =x 2﹣8x ﹣9化为y =a （x ﹣h ）2+k 的形式为（ ）A ．y =（x ﹣4）2+7B ．y =（x +4）2+7C ．y =（x ﹣4）2﹣25D ．y =（x +4）2﹣25【答案】C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．2．学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式2y ax bx c =++（a ≠0）化成2()y a x h k =-+的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式如下：两位同学做法正确的是（ ）A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都不正确【答案】C【分析】此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可．【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；故答案选：C ．【点睛】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．3．把二次函数2241y x x =-+-配方成顶点形式()22y x h k =-++，则h ，k 的值分别为（ ）A ．1h =-，1k =B ．1h =-，2k =-C ．1h =，1k =D ．1h =，3k =-【分析】利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】解：Q 二次函数()()22224122121211y x x x x x =--=--++-=--++，1h \=-，1k =，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．题型二、二次函数的平移问题4．把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()2y 211x =-++B ．()2y 211x =--+C ．()2y 211x =---D ．()2y 211x =-+-【答案】B【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．5．在平面直角坐标系中，抛物线(2)(4)y x x =+-经变换后得到抛物线(2)(4)y x x =-+，则下列变换正确的是（ ）A ．向左平移6个单位B ．向右平移6个单位C ．向左平移2个单位D ．向右平移2个单位【答案】C【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y =（x +2）（x ﹣4）=（x ﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）．y =（x ﹣2）（x +4）=（x +1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）．所以将抛物线y =（x +2）（x ﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y =（x ﹣2）（x +4），【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为（ ）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =+【答案】A【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式2C ，再因为关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数，由此可直接得出抛物线3C 的解析式．【详解】解：抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ：()()2+12+13=-+y x x ，即抛物线2C ：22y x =+;由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为：22y x =--.故选：A ．【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数．题型三、待定系数法求二次函数解析式7．已知，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10A -，，与y 轴交于点()03B -，，求该抛物线的解析式和顶点坐标．【答案】2=23y x x --；()14-，【分析】先将抛物线与坐标轴的交点代入解析式，即可求得b c ，的值，从而得出抛物线的解析式，再将其化为顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：Q 抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10A -，，与y 轴交于点()03B -，，103b c c -+=ì\í=-î，解得23b c =-ì\í=-î，\抛物线的解析式为：2=23y x x --，()222314y x x x =--=--Q ，\顶点坐标为：()14-，，故答案为：2=23y x x --；()14-，．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式和顶点坐标，根据题意将已知点代入进行求解是解本题的关键．8．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为；(2)已知二次函数的顶点在y 轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ；(3)已知二次函数的顶点在x 轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为 ；(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为 ；(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为；(6)已知二次函数图象经过点A (3，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2，则二次函数的解析式为；(7)将抛物线y ＝4x 2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为．解方程组即可得到答案；（7）根据函数图象平移的规律即可得到答案．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为y ＝2ax ，把点(2，－4)代入得，﹣4＝4a ，解得a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为y ＝2x -；故答案为：y ＝2x -（2）解：设二次函数的解析式为y ＝22ax +，把点(1，4)代入得，4＝a ＋2，解得a ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝222x +；故答案为：y ＝222x +（3）解：设二次函数的解析式为y ＝()22a x -，把点(1，－4)代入得，﹣4＝()212a -，解得a ＝﹣4，∴二次函数的解析式为y ＝()242x --,即y ＝241616x x -+-；故答案为：y ＝241616x x -+-（4）解：∵二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，∴可设二次函数的解析式为y ＝()()31a x x +-，把点(0，3)代入得，3＝()()0301a +-，解得a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为y ＝()()31x x -+-，即y ＝223x x --+；故答案为：y ＝223x x --+（5）解：设二次函数的解析式为y ＝2ax bx c ++，把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得，541a b c c a b c -+=-ìï=-íï++=î，解得234a b c =ìï=íï=-î，9．已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同，顶点在直线1x =上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为_________．【答案】226y x x =-+或224y x x =--或224y x x =-++或226y x x =-+-【分析】两个抛物线的形状相同，可知1a =±，则抛物线的解析式为2y x bx c =±++；顶点在1x =上，可以求出b 的值；又顶点到x 轴的距离是5，可以得到这个二次函数顶点纵坐标的绝对值是5，分情况讨论即可求出c 的值．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同，∴1a =±，∴抛物线解析式为2y x bx c =±++；，∵抛物线顶点在直线1x =上，∴1a =±，题型四、根据二次函数的图像判断系数符号10．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④30a c +<；⑤1c a ->．其中所有正确结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．511．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为=1x -，且过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240b ac ->；③2b a =；④420a b c -+=；其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④12．在平面直角坐标系中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②20a b -=；③930a b c ++>；④24b ac >；⑤a c b +<．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个∴2a+b＝0，故②错误；③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b+c＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，+<，∴a c b故⑤正确．综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题13．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y=-mx-m经过的象限确定m 的正负，对比后即可得出结论．【详解】解：∵y =-mx -m =-m （x +1），∴一次函数图像经过点（-1，0），故C 、D 不合题意；A 、由二次函数y =mx 2的图象开口向上，可知m ＞0，由一次函数y =-mx -m 的图象经过第一、二、三象限可知m ＜0，结论矛盾，A 选项不合题意；B 、由二次函数y =mx 2的图象开口向下，可知m ＜0，由一次函数y =-mx -m 的图象经过第一、二、三象限可知m ＜0，结论一致，B 选项符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图像找出每个选项中m 的正负是解题的关键．14．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键．15．一次函数y ＝abx +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角内坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝acx +b 的图像相比较看是否一致，即可判定．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＞0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＞0，c ＞0，故本选项不合题意；B 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则ab ＞0，由直线可知，ab ＞0，c ＞0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＞0，c ＜0，故本选项不合题意；D 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＜0，c ＜0，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．题型六、根据二次函数的对称性求值16．二次函数21(2)12y x a =--+的图象上有两点()()121,,5,y y -，则12y y -的值是（ ）A ．负数B ．零C ．正数D ．不能确定【答案】B【解析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y 1，y 2的值即可.A mB m，则b的值为____________．17．抛物线2y x bx c=++的图象上有两点(1,),(5,)18．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．【答案】－3＜x＜1【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x =﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为：﹣3＜x ＜1．【点睛】考点：二次函数的图象．题型七、利用二次函数的对称性求最短路径19．如图，在抛物线2y x =-上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2；在y 轴上有一动点C ，当BC AC +最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0.0）B ．（0，1-）C ．（0，2）D ．（0，2-）【答案】D 【详解】解：如图，点A 关于y 轴的对称点A ′的横坐标为﹣1，连接A ′B 与y 轴相交于点C ，点C 即为使AC +BC 最短的点，当x ＝﹣1时，y ＝﹣1，当x ＝2时，y ＝﹣4，所以，点A ′（﹣1，﹣1），B （2，﹣4），设直线A ′B 为y kx b =+124k b k b -+=-ì\í+=-î1k \=- 2b =-2y x \=--当x=0时，y=-2即C （0，-2）故选D【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C 的位置是解题的关键．20．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，点M 的坐标为（3，6），P 是抛物线2114y x =+上一动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．5B ．9C ．11D ．13【答案】C 【分析】如图所示过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，由抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，得到PE =PF ，则△PMF 的周长=FM +PM +PF ，则要使△PMF 周长最小，则PM +PF 最小，即PM +PE 最小，故当P 、M 、E 三点共线时，PM +PE 的值最小，最小为ME ，由此求解即可．【详解】解：如图所示过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∵抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，∴PE =PF ，∴△PMF 的周长=FM +PM +PF ，∴要使△PMF 周长最小，则PM +PF 最小，即PM +PE 最小，∴当P 、M 、E 三点共线时，PM +PE 的值最小，最小为ME ，∵M 坐标为（3，6），∴ME =6，∴PF +PM =6∵F （0，2），【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．21．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当V ACD的周长最小时，点D的坐标为．\D15 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线对称性求线段和的最小值，掌握对称性是解题的关键．题型八、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质综合问题22．如图，对称轴为直线2x =的抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(10)-，．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在抛物线的对称轴上，求AD CD +的最小值；(3)若点P 是第四象限内抛物线上一个点，求PBC S V 的最大值．（3）解：如图，∵B 点坐标为(50)，，C 点坐标为设直线BC 的解析式为y kx b =+∴505k b b +=ìí=-î，解得：15k b =ìí=-î，∴BC 的解析式为：=5y x -，()2(23．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点()2,3D --在抛物线上：(1)请直接写出A、B、C三点的坐标；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PADV周长最小，若存在，求出P点的坐标；(3)若点M是直线AC下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段AC交于点N，求线段MN的最大值．424．已知抛物线经过点()2,3-，它的对称轴为直线1x =，且函数有最小值为4-．(1)求抛物线的解析式：(2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C，在第四象限的抛物线上找一点P，使V的一半，求出此时点P的横坐标．BCPV的面积为ABC设直线BC 的解析式为303k b b +=ìí=-î，解得：b ìíî∴直线BC 的解析式为()2【随堂演练】1．平移抛物线y ＝﹣（x ﹣1）（x +3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（ ）A ．向左平移1个单位B ．向上平移3个单位C ．向右平移3个单位D ．向下平移3个单位【答案】B【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解：y ＝﹣（x ﹣1）（x +3）=-（x+1）2+4A 、向左平移1个单位后的解析式为：y ＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；B 、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；C 、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；D 、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.2．如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >；②0a b c -+<；③210ax bx c +++=有两个相等的实数根；④4a 2a b -<<-.其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④3．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y=-k x+1经过的象限，对比后即可得出结论．【详解】解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．4．如图，直线y34=-x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）A．4B．4.6C．5.2D．5.65．当x ＝x 1和x ＝ x 2（x 1≠x 2）时，二次函数y ＝3x 2﹣3x +4的函数值相等、当x ＝x 1+x 2时，函数值是_________．6．如图，函数2y ax bx c =++经过点()3,0，对称轴为直线1x =：①240b ac ->；②0abc <；③930a b c -+=；④50a b c ++=；⑤若点()11,A a y +、()22,B a y +在抛物线上，则12y y >；⑥2am bm a b +³+（m 为任意实数），其中结论正确的有______．【答案】①④⑥【分析】①根据图象与x 轴有两个交点，0D >即可判断；②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y 轴的交点即可判断；③根据图象可得对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，则另一个交点为(1,0)-，再根据抛物线增减性即可判断；④根据图象抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，可得930a b c ++=，对称轴为1x =，可得2b a =-，将24b a =-代入930a b c ++=，即可判断；⑤根据图象可得0a >，即可得出112a a <+<+，再结合对称轴为1x =，运用二次函数增减性即可判断；⑥根据1x =和x m =时的y 值，结合抛物线的对称轴和开口方向得出当1x =时，y 取最小值，可得2am bm c a b c ++³++，即可判断．【详解】解：①Q 抛物线与x 轴有两个交点，\0D >，240b ac \->，故①正确；②Q 抛物线开口向上，0a \>，Q 抛物线对称轴在y 轴右侧，b \与a 异号，即0b <，Q 抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c \<，0abc \>，故②错误；③Q 抛物线对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，\抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0)-，Q 抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x 增大而减小，\当3x =-时，0y >，930a b c \-+>，故③错误；④Q 抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，930a b c \++=，Q 抛物线对称轴为直线1x =，7．已知抛物线223y ax x =-+经过点()2,3A ．若点(),B m n 在该抛物线上，且23m -<<，则n 的取值范围为______．【答案】211n £<【分析】将点()2,3A 代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线1x =，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．【详解】解：将()2,3A 代入223y ax x =-+中得到：3443=-+a ，解得1a =，∴抛物线的对称轴为直线1x =，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当2m =-时，对应的n 最大为：=4+4+3=11n ，当1m =时，对应的n 最小为：1232=-+=n ，故n 的取值范围为：211n £<，故答案为：211n £<．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．8．把2288y x x =-+-配方成()2y a x h k =-+的形式为____________，并将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为___________．9．如图，抛物线2520533y x x =-+与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是_____．10．已知二次函数()211y a x a=--+，当122x££时，函数有最大值2a，则=a______．11．已知抛物线y =ax 2－2ax －3+2a 2 （a <0）．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的函数解析式；12．求分别满足下列条件的二次函数解析式：(1)二次函数图像经过(1,2),(0,1),(2,3)-三点．(2)二次函数图像的顶点坐标是()2,3-，并经过点()1,2．13．为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(1,1)--，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．[观察发现]请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．[思考交流]小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y 轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x 轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．[概括表达]小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数2y ax bx c =++的图象与系数a ，b ，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．【答案】[观察发现]2y x =-，图象见解析；[思考交流]∵二次函数的图象不经过第一象限，14．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．,A B Q 关于=1x -轴对称PA PB\=APD △的周长等于AD PA PD ++当,,D P B 三点共线时，APD △的周长取得最小值，最小值为由抛物线解析式223y x x =+-，令0y =，即2230x x +-=解得123,1x x =-=数图象的性质是解题的关键．，．15．如图，已知抛物线23=-与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(30)y x mx++(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；V的面积；(2)求ABC+的值最小时，求点P的坐标．(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∵点()03C ，，点()30B ，，∴033k b b =+ìí=î，解得：13k b =-ìí=î．∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，当1x =时，132y =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为：()12，．【点睛】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P 的位置是解此题的关键．【高分突破】一、单选题1．已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数22y x kx k =+-向右平移3个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--；再向上平移1个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴220(03)(03)k k =-+--+1即20310k k +-=解得：5k =-或2k =2．如果把对称轴为直线1x =的抛物线24y ax bx a =++-沿y 轴平移，使得平移后的抛物线与x 轴有且只有一个交点，那么下列平移方式正确的是（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位3．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc <；②20a b +=；③320b c -<；④2+³+（m为实数）．其中正确结论的个数是（）am bm a bA．1个B．2个C．3个D．4个本题正确的结论有：②③④，3个；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab >），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0ab <），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于()0,c ．4．在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出0a >，0b >，0c <是解题的关键．5．若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，则一次函数y ＝（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，然后根据一次函数的性质进行判断．【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，∵m +1＜0，m ﹣1＜0，∴一次函数y ＝（m +1）x +m ﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了一次函数的性质．6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>【答案】D 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A 、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；B 、根据图像开口向下，对称轴为1x =，当1x >，y 随x 的增大而减小；当1x <，y 随x 的增大而增大，故当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；当1x >，y 随x 的增大而减小，故该选项不符合题意；7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．48．点()112,P y -，()222,P y ，()334,P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．231y y y >>B ．213y y y >=C ．132y y y =>D ．123y y y =>【答案】B【分析】根据二次函数解析式得出的图象的开口向下，对称轴是直线1x =，然后根据二次函数的图象的性质进行判断即可．【详解】∵()22211y x x c x c =-++=--++，∴这个二次函数的图象开口向下，对称轴是直线1x =．∵()112,P y -关于对称轴的对称点为()14,y ，点3P 的坐标是()34,y ，∴13y y =，∵2P ，3P 都在这个二次函数的图象的对称轴的右侧，124<<，∴23y y >，∴213y y y >=，故选：B ．【点睛】本题主要考查对二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象的性质等知识点的理解和掌握，能熟练运用二次函数的图象的性质进行推理是解本题的关键．二、填空题9．已知抛物线 y= -x 2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y 的最大值是6，则 m 的值是___________．10．若抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称，则m+n ＝_____．【答案】5．【分析】根据关于y 轴对称的点的坐标规律，将解析式中的x 换成-x ，y 不变，化简即可得出答案.【详解】Q 抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称\x 2+mx+2=（-x ）2-3（-x ）+n= x 2+3x+n\m=3，n=2\m+n=3+2=5故答案为5【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于y 轴对称的点的坐标规律是解题的关键.11．如图，二次函数()2=++0y ax bx c a ¹的函数图像经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中 －1＜1x ＜0，1＜2x ＜2，下列结论：①0abc >；②20a b +<；③420a b c -+>；④当()12x m m =<<时，22am bm c <+-；⑤1b > ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．12．如图，把抛物线y=1x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点2x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．为P，它的对称轴与抛物线y=12。
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22.1二次函数的图象和性质
22.1.1二次函数
课前预习
1.一般地，形如y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0 ）的函数叫做二次函数.其中x 是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项
2.二次函数必须同时满足三个条件：
（1）函数解析式是整式；
（2）化简后自变量的最高次数是 2 ；
（3）二次项系数不等于0 ，一次项系数和常数项可以为0，当它们为0时通常省略不写.
课堂练习
知识点1 二次函数的概念
1.若y=（a-3）x2+2x-5是二次函数，则a的取值范围是a≠3 .
2.下表函数是否为二次函数？如果是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
3.已知函数y=（a-2）x2+（b+2）x-3.
（1）当a，b为何值时，这个函数是一次函数？
（2）当a为何值时，这个函数是二次函数？
解：（1）当a=2且b≠-2时，函数为一次函数；
（2）当a≠2时，函数为二次函数.
知识点2 求二次函数的解析式
4.在边长为15 cm的正方形铁片中间剪去一个边长是x cm的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（单位：cm2）与x（单位：cm）之间的函数关系为y=-x2+225（0≤x<15）.
5.国家决定对某药品价格分两次降价，若每次降价的百分率为x，该药品的原价是16元，降价后的价格为y元，则y与x 的函数关系式为（ D ）
A.y=32（1-x）
B.y=32（1+x）
C.y=16（1+x）2
D.y=16（1-x）2
【解析】原价为16，第一次降价后的价格为16（1-x），第二次降价是在第一次降价后的基础上再降价，其价格为16（1-x）（1-x）=16（1-x）2.故选D.
6.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. （1）求S关于x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长度为多少米？
解：（1）∵AB=x，3x+BC=24，
∴BC=24-3x.
∴S=AB×BC=x（24-3x）=-3x2+24x.
∴S关于x的函数关系式为S=-3x2+24x；
（2）当S=45时，-3x2+24x=45.
解得x₁=3，x₂=5.
又∵BC=24-3x≤10，即x≥14
，∴x=5.
3
答：AB的长度为5米.
课时作业
1.函数y=2x2，y=x2-2x，S=πr2的共同点是自变量的最高次数为 2 .
2.将二次函数y=2（x+2）（x-3）化成一般式为y＝2x2-2x-12 ，它的二次项系数为 2 ，一次项系数为-2 ，常数项为-12 .
3.下列函数中，是二次函数的有（ A ）
①y=-x2；②y=2
-x2；③y=3x2-（3x²+2x-1）；④y=ax2+bx+c.
x
A.①
B.①②③④
C.①②
D.①③④【解析】①符合二次函数的定义；②是分式，不符合二次函数的定义；③化简后为y=-2x+1是一次函数，不符合题意；④中a的值不确定，不能确定是否为二次函数.故选A.
4. 若函数y=(3－m)27
m
x －x+1是二次函数，则m的值为（ B ）
A.3
B.-3
C.±3
D.9
5.已知一个直角三角形两直角边的和为8，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式为（ A ）
x2+4x B.y=-x2+8x
A.y=-1
2
x2+4x D.y=x2+8x
C.y=1
2
6.二次函数y=x2+2x+3中自变量x的取值范围是（ B ）
A.x>0
B.x为一切实数
C.y>2
D.y为一切实数
7.一块矩形的草地，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若要使草地增加的面积为32 m2，长和宽都增加多少m？
解：（1）增加后的长和宽分别是（8+x）m和（6+x）m.根据题意，得
y=（8+x）（6+x）-6×8=x2+14x.
∴y关于x的函数关系式为y=x2+14x；
（2）根据题意，得x2+14x=32.
解得x₁=-16（舍去），x₂=2.
∴x=2.
答：长和宽都增加2 m.
8. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元.设矩形一边长为x米，面积为S平方米.
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24 000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
解：（1）矩形的一边为x米，由周长为16米得矩形的另一边长为（8-x）米.根据题意，得
S＝x（8-x）＝-x2＋8x，其中0＜x＜8；
（2）能.
理由如下：当设计费为24 000元时，面积为24000
2000
＝12（平方米）.
根据题意，得-x2＋8x＝12.解得x₁＝2，x₂＝6.
∴当矩形的边长为2米和6米时，设计费能达到24 000元；
（3）∵S＝-x2＋8x＝-（x-4）2＋16.
∴当x＝4米时，矩形的面积最大，最大面积为16平方米；
此时设计费最多，最多是16×2 000＝32 000元.
9. 星桥中学2018届九年级毕业生有x人.在毕业晚会上，每两人之间握手一次，x人共握手y次，则y与x之间的函数关系式为（ D ）
A.y=x2+1
B.y=x2-x
C.y=
2
2
x x
D.y=1
2
x2-1
2
x
10.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点P，Q同时沿ABC和ADC的路径向点C以1 cm/s的速度运动.设运动时间为x s，四边形PBDQ
的面积为y cm2.求y与x（0≤x≤8）之间的函数关系式.
解：当0≤x≤4时，y=S
△ABD - S
△APQ
=1
2
×4×4-1
2
×x×x=-1
2
x2+8；
当4＜x≤8时，
y=S△DCB - S△CPQ =1
2×4×4-1
2
（8-x）×（8-x）=-1
2
x2+8x-24.
综上可知：y 与x 之间的函数关系式为y=2
218(04),2
1824(48).2
x x x x x -+≤≤-+⎧⎪-⎨⎪≤⎪⎪⎩＜。