大学高等数学5.7 反常积分详解
第4节 反常积分
当 p 1 时,
a
1 dx p x
a
1 dx ln x a , x
, p 1 , 1 x 1 p 1 p a a x p dx , p 1. 1 p a p1 a 1 p 因此当p 1时, 广义积分收敛 , 其值为 , p1 当p 1时广义积分发散 .
a
a
dx a2 x2
0 0
x a π lim arcsin lim arcsin 0 . 0 a 0 0 a 2
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高等数学
●
戴本忠
22
dx 例 8 讨论广义积分 2 的收敛性. 1 x 1 被积函数 f ( x ) 2 在积分区间 [1,1] 上除 解 x 1 x 0 处外连续, 且 lim 2 . x 0 x 0 dx 1 0 1 由于 2 [ ]1 lim ( ) 1 , 1 x x 0 x x 0 dx 1 dx 即反常积分 2 发散 , 所以反常积分 2 发散 . 1 x 1 x 如果疏忽了x 0是被积函数的瑕点, 就会得到 注意：
34
高等数学
●
戴本忠
16
二、无界函数广义积分的概念及计算
定义 设函数 f ( x )在区间 (a , b] 上连续, 在点a的 右邻域内无界 .取 0, 如果极限 lim 作 f ( x )dx .
a b b
0 a
f ( x )dx存在,
则称此极限为函数 f ( x )在区间(a , b]上的广义积分 , 记
lim arctan x lim arctan x
x x
高等数学5-4反常积分
电磁学
在电磁学中，反常积分用于计算电磁波的传播 和散射特性。
热力学
在热力学中，反常积分用于计算热传导、热辐射和热对流等过程的热能分布。
在概率论中的应用
随机过程
在随机过程中，反常积分用于计算随机事件 的概率分布和概率密度函数。
统计推断
在统计推断中，反常积分用于计算样本数据 的统计特征和参数估计。
贝叶斯推断
05
反常积分的注意事项
计算过程中的常见错误
1 2 3
积分区间选择不当
在计算反常积分时，选择正确的积分区间至关重 要。如果积分区间选择不当，可能会导致计算结 果不准确或错误。
积分上限或下限错误
在计算反常积分时，需要注意积分上限或下限的 取值。如果取值错误，会导致计算结果偏离正确 值。
积分函数处理不当
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比较法
通过比较两个反常积分的敛散性来判断其敛散性。如果两个反 常积分具有相同的敛散性，则可以判断它们的敛散性。
如何处理无界函数和瑕点
无界函数的处理
在处理无界函数时，需要将其限制在 有界区间内进行积分。这样可以避免 无界函数对积分结果的影响。
瑕点的处理
在处理瑕点时，需要将其排除在积分 区间外。这样可以避免瑕点对积分结 果的影响。
Байду номын сангаас
反常积分的可加性
定义
如果两个反常积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 和 $int_{c}^{d}f(x)dx$ 的极限都存在， 且 $lim_{x to a+}(F(x)-F(a))=lim_{x to c+}(F(x)-F(c))$，则称反常积分具 有可加性。
应用
在处理反常积分时，可加性可以帮助 我们简化计算，将复杂的积分拆分成 几个简单的积分进行处理。
反常积分解析
sin xdx 0
被积函数具有无穷间断点的反常积分。
1 1 x dx ln x
1
1 1
0.
无穷限的反常积分
定义 1 设函数 f ( x ) 在区间[a , ) 上连续，取
t
f ( x )dx 存在，则称此极 t a ，如果极限 tlim a
限为函数 f ( x ) 在无穷区间 [a , ) 上的反常积 分，记作 a f ( x )dx .
1 Q lim , x 1 0 x ln x x 1 为被积函数的无穷间断点. 2 2 d (ln x ) dx 2 ln(ln x ) 1 x ln x 1 ln x 1 ln(ln 2) lim ln(ln x ) .
x 1 0
2
习
1
dx . x ln x
故原反常积分发散.
例6
讨论反常积分
e 1 e
1 解 由于被积函数 在1点无意义， x ln x e 1 e 1 1 1 1 dx 1 dx dx 1 x ln x x ln x x ln x e e 1 1 1 e 1 e 1 d ln x d ln x ln ln x 1 ln ln x 1 1 ln x e ln x e 1 1 Q lim ln ln x ,故而积分1 dx发散。 x 1 e x ln x 综上,原积分发散。
1 k
被积函数具有无穷间断点的反常积分
定义2 设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续, 而 lim f ( x ) , 如果极限 lim f ( x )dx
x a u a u b
存在, 则称此极限值为f ( x )在区间(a , b] 上 的反常积分。
7反常积分——反常积分的概念和计算
7反常积分——反常积分的概念和计算反常积分是微积分中的一个重要概念，是对一些函数在一些区间上的积分进行无穷求和的过程。
与定积分不同，反常积分是对未能被定积分求解的函数进行求解的方法，常见于一些函数在一些点上无界或不连续。
本文将详细介绍反常积分的概念和计算方法。
一、反常积分的概念反常积分是对一些在一些点不连续或无界的函数进行积分求解的方法。
在实际应用中，我们常遇到一些函数在一些点附近出现无穷大的情况，或者在其中一点上不连续的情况，这时就需要用到反常积分进行求解。
具体来说，反常积分可以分为以下两种情况：1.类型一：函数在积分区间其中一点附近无界的情况。
设函数f(x)在区间(a,b]上有定义，且x=b是f(x)的发散点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = lim┬(t→b)〖∫[a,t] f(x)dx〗即求解函数在区间[a,t]上的定积分，然后将t无限趋近于b来求解该反常积分。
2.类型二：函数在积分区间其中一点不连续的情况。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且x=c是f(x)的不连续点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = ∫[a,c) f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx即将不连续点c拆分成两个积分区间，在每个区间上分别求解定积分，然后求和。
需要注意的是，反常积分只在函数在一些点附近出现无界或不连续时才有意义。
如果函数在积分区间上连续且有界，那么反常积分与定积分是等价的。
二、反常积分的计算方法对于类型一的反常积分，我们可以通过以下几种方法进行计算：1.无界函数的积分计算当函数f(x)在x=b附近无界时，我们可以通过计算一个足够大的正数M，使得对于任意t>b有，f(x)，<M。
然后计算定积分∫[a,t] f(x)dx，再令t无限趋近于b，即可求得反常积分的值。
2.函数在无穷远点（正无穷和负无穷）处的积分计算如果函数在正无穷远点处无界且不连续，可以将反常积分转化为辐角积分的形式。
第四节 反常积分
f ( x )dx 都收敛，则称
+∞
上述两反常积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的反常积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim f ( x )dx + lim ∫0 ∫ a a → −∞ b→ +∞
高等数学
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1 1 1 Q e ⋅ x = 1− s ⋅ x < 1− s , x e x 而 1 − s < 1, 根据比较审敛法 2, I1 收敛 .
−x s −1 s +1 x ( 2) Q lim x 2 ⋅ ( e − x x s −1 ) = lim x = 0, x → +∞ x → +∞ e
+∞
f ( x )dx .
b b→ +∞
∫a
+∞
f ( x )dx = lim ∫a f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
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类似地，设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ , b] 上连续，取
a < b ，如果极限 lim
b
f ( x )dx 存在，则称此极 ∫ a a → −∞
b
限 为函数 f ( x ) 在 无穷区间 ( −∞ , b] 上 的反 常积 分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx
b
= lim
f ( x )dx ∫ a a → −∞
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
高等数学第五章第五节反常积分的审敛法函数课件.ppt
只有各项都收敛时,
才可保证给定的积分收敛 .
3. 函数的定义及性质 .
思考与练习
P263 题1 (1), (2), (6), (7)
P264 题5 (1), (2)
作业 P263 1 (3), (4), (5), (8) 2 ; 3
由定义
例如
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 ,
有
有
利用
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
定理7. (极限审敛法2)
则有:
1) 当
2) 当
例5. 判别反常积分
解:
利用洛必达法则得
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
例6. 判定椭圆积分
散性 .
解:
由于
的敛
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
类似定理5, 有下列结论:
例7. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
称为绝对收敛 .
故对充分小
从而
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
则反常积分
三、 函数
1. 定义
下面证明这个特殊函数在
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1.
若ห้องสมุดไป่ตู้数
证:
根据极限收敛准则知
存在 ,
定理2 . (比较审敛原理)
且对充
, 则
证: 不失一般性 ,
因此
单调递增有上界函数 ,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
反常积分柯西收敛准则
反常积分柯西收敛准则引言：在数学中，积分是一种重要的概念，用于求解曲线下面的面积或者描述变化率。
而对于一些特殊的函数，它们的积分可能会呈现出一些特殊的性质，其中之一就是反常积分。
本文将介绍反常积分以及柯西收敛准则。
一、反常积分的概念反常积分是指在定义域内某些点上函数不满足积分条件的情况下，对函数进行积分的过程。
一般来说，反常积分可以分为两类：无界函数的反常积分和间断函数的反常积分。
1. 无界函数的反常积分无界函数的反常积分是指在积分区间上函数在某些点上趋于无穷大或者趋于负无穷大的情况下，对函数进行积分。
例如，函数f(x) = 1/x在区间(0, 1]上的积分就是一个无界函数的反常积分。
在这种情况下，我们需要通过极限的方法来求解积分值。
2. 间断函数的反常积分间断函数的反常积分是指在积分区间上函数存在间断点的情况下，对函数进行积分。
例如，函数f(x) = 1/x在区间[0, 1]上的积分就是一个间断函数的反常积分。
在这种情况下，我们需要将积分区间分成多个子区间，分别对每个子区间上的函数进行积分，然后将结果求和得到最终的积分值。
二、柯西收敛准则柯西收敛准则是判断反常积分是否收敛的一种方法。
它的核心思想是通过比较函数的积分与极限的大小关系来判断反常积分的收敛性。
柯西收敛准则的数学表达式如下：对于函数f(x)，如果存在正数M和c，使得当a>b>c时，有|∫(b,a)f(x)dx|<M成立，那么反常积分∫f(x)dx在区间(b,+∞)上收敛。
柯西收敛准则的意义在于，它提供了一种判断反常积分收敛的有效方法。
通过比较函数的积分与极限的大小关系，我们可以判断反常积分是否收敛，从而避免了对函数进行积分的繁琐计算。
三、举例说明为了更好地理解反常积分柯西收敛准则的应用，我们来举一个例子。
例：计算反常积分∫(1,∞)1/x^2dx的收敛性。
解：首先，我们需要根据柯西收敛准则的定义来判断反常积分的收敛性。
高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
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b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-
a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法