GCTS共振柱理论

GCTS 共振柱设备J.M. PadillaGCTS, 6103 South Maple Avenue, Tempe, AZ 85283, USA介绍动态土的性质是分析与设计受如地震震动、机器振动以及交通荷载等动荷载影响的建筑物的重要参数，上述每一因素使土与建筑物系统承受不同的振幅与频率并且需要在大的加载振幅和频率范围内土的动力学性质。

土的力学性质由有效应力、孔隙比、含水率以及一些其它因素如应变水平以及应力或者应变路径决定。

所有这些因素无论在静荷载还是动荷载情况下都是相当重要的，但与静力学行为不同，这些都不是考虑动荷载行为的特征因素。

加载的速率和重复性是区分动力学与静力学问题的特征。

对于地震荷载，考虑土与结构物设计范围加载的速度与加载的周期从0.1到3.0秒以及10到100次循环。

铁路和公路下地基土通常大约以0.1到1.0秒的速度加载，但有很多次循环。

打桩和机械基础可以从0.1到0.01秒的很快速度加载。

爆破可使用冲击或者以高达0.001秒的速度瞬时加载。

图1 不同室内试验与现场试验的典型应变水平许多技术已经应用于试验室去研究土的动力学性质，如动三轴试验，单剪试验和超声波速率试验。

每一种试验都被设计成尽可能与土实际边界条件相配，如应力路径，荷载振幅，以及荷载周期。

当测量土在自然状态时性质，在小应变范围内现场试验测量土的动态模量相对有限。

而且，现场试验不能有效获得任意应变振幅时材料阻尼。

共振柱方法共振柱试验普遍用于测量动态土从低应变到中等应变的性质。

共振柱试验是通过振动处于某种自然态实心或者空心土圆柱实现。

波的传播速度是由共振频率决定。

早在20世纪30年代，共振柱试验已用于研究土与岩石的动力学行为。

全世界，已设计出许多不同类型的共振柱设备。

到目前为止，共振柱试验系统需要很高专业水平使用者去操作复杂的电子设备去完成这项试验。

现代化的共振柱设备已经发展成简单仪器，通过先进的传感器以及计算机化的电子设备自动化地完成这项试验。

当然，与其它任何试验设备一样，恰当的试样安装技术以及传感器量程的选择是获得正确结果的关键。

在GCTS共振柱设备中，通过电子加载系统或者马达，谐波扭转激励作用于试样顶部。

一种具有恒定振幅扭转谐波荷载以一定频率范围施加，从而测量到频率曲线。

剪切波动速率可以通过测量第一模式共振频率计算出。

材料阻尼既可以通过移走强迫振动力后自振衰减获得，也可以采用粘性阻尼频率反应曲线宽度来得到。

每次试验增大扭转谐波荷载振幅获得不同应变范围的剪切模量和阻尼参数。

图2 GCTS共振柱压力室与早期产品相比，GCTS共振柱设备具有以下优点。

具有全自动操作系统，不仅操作简单，而且在某一频率时能够减少总的循环次数，及时发现峰值响应从而避免样本早期衰退。

GCTS共振柱系统还引入浮动推进系统，考虑无束缚的试样固结。

试样顶部固定水平偏转仪防止试验过程中试样偏转，确保更高的成功率。

理论背景共振柱方法是以一维振动方程为基础，由于非线性振动及其复杂，该振动方程源自线弹性振动理论。

实际上，这是限制共振柱在低应变和中等应变试验的原因之一，即使设备能测量更大范围应变。

GCTS 共振柱设备是一套固定-自由系统，土圆柱底部被固定，而顶部可以自由转动。

关于这套仪器，土样先被固结，再将外部循环扭转荷载施加到土样顶部，荷载频率逐渐改变直到最大应变振幅被测得。

在应变振幅处于最大值时最低频率是土样和操作系统的基频。

基频是土的强度、土的几何形状以及共振柱设备特征的函数。

材料阻尼由自由振动衰退和半功率频带宽度方法获得。

图3 理想化固定－自由共振柱试样剪切模量如图3所示理想化的固定－自由共振柱试样，其Kelvin-Voigt 土模型的运动控制方程描述如下。

首先，扭矩T 施加于一个弹性土圆柱，将产生扭弯的角位移增量dθ，随着试样长度的增加量－dz ，将产生一个扭矩T ，则：dzd GJ T θ= （1） 式中，T 为扭矩，G 为土的剪切模量，J 为横断面面积的极惯性矩。

如图4所示，土单元两面分别有扭矩T 以及T+dz zT ∂∂。

利用式（1），我们可以得到：dz zGJ dz z T 22∂∂=∂∂θ （2）图4 不同土单元根据牛顿第二定律，净扭矩等于质量极惯性矩与角加速度乘积：2222zJdz z I dz z T ∂∂=∂∂=∂∂θρθ （3） 式中，I 为质量惯性矩＝Jdz ρ。

由式（1）取代zT ∂∂以及利用剪切波动速率、剪切模量和质量密度，我们可以得到扭转后弹性柱的波动方程： 222221tVs z ∂∂=∂∂θθ （4） 式（4）的通解可以通过分离变量法求得：t i e z Vs B z Vs A t z ωωωθ⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=cos sin ),( （5） 式中，ω为自然周频率，A 和B 为常数，依赖于土圆柱的边界条件。

GCTS 共振柱系统边界条件为1.固定端角位移为0；2.自由端扭矩等于转动系统的惯性扭矩，但方向相反；由第一边界条件，我们可以得到B ＝0，取代θ = 0 ， z = 0。

通解关于时间的二阶导数为：[]t i t i e Vs z A t e Vs z A t ωωωωωθ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂=∂∂sin )/sin(22222 （6） 由第二边界条件，土圆柱自由端扭矩为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==220dt d I T h z θ （7） 式中，I 0为转动系统的质量惯性扭矩，h 为试样高度。

将式（6）带入（7）取代22dtd θ， t i h ze Vsh A I T ωωω)sin(20== （8）联立式（1）与（8），可得t i e Vsh A I z GJ ωωωθ)sin(20=∂∂ @ z ＝h （9） 将z ＝h 时θ的导数带入式（5）得： t i h z e h Vs Vs A z ωωωθ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=cos （10） 将式（10）带入（9）)sin()cos(20Vsh I Vs z Vs GJ ωωωω= （11） 再次利用2Vs G ρ=，则式（11）为)sin()cos(20Vsh I Vs h VsJ ωωωωρ= （12） 由于Jh I ρ=，则式（12）)sin()cos(20Vsh I Vs h Vs h I ωωωω= （13） 化简式（13）得)tan(0Vsh Vs h I I ωω= （14） 式中，I 为质量惯性扭矩，I 0为传动系统包顶盖的质量惯性扭矩。

只要剪切波动速率Vs 确定，则剪切模量G 可以算出：2.Vs G ρ= （15）GCTS 软件利用式（14）与（15）来减少共振柱试验的参数。

剪切应变如图5所示，对实心圆形共振柱试样从试样中心线到试外围边缘施加从0到最大值的扭矩，其剪应变γ：hr r max )(θγ=（16） 式中，r 为土样圆柱轴的径向距离，θmax 为最大扭矩角，h 为试样高度。

因为沿着径向剪应变不均匀，用等效剪应变γ代替平均剪应变。

图 5. 土样剪切应变不管试样的类型，实心的或者空心的，与剪切模量有关的剪应变振幅单一或者唯一参数是必要的，按照惯例，对于半径为ri 的实心试样，req 假定为2/3r 0，对于内径为r i 、外径为r 0，则req ＝(r i + r o )/2。

Chen 与 Stokoe 发现实心土样的参数r eq 从0.001%峰值应变时0.82r 0变化到00.1％峰值应变时0.79 r 0。

在GCTS 共振柱设备中，试样顶部扭转角度θmax 可以由安装在试样顶部的加速仪测量。

2224f x xx πω -=-= （17）式中，ω为周频率，f 为线频率。

计算小的角度，扭曲顶部标度盘角度可以通过传感器位置除于传感器的半径得到，sensor r x=max θ （18）h r eq maxθγ= （19）粘滞阻尼正确定义材料阻尼很困难，但是普遍惯例按照等效粘性阻尼比来表述真实材料阻尼，自由振动是关于单自由度粘性阻尼系统的响应，可以表示为0=++kx x c xm （20） 式中，x为加速度，x 为周速率，x 为位移，c 为粘性阻尼系数，k 为弹性常数。

考虑以下关系：c c c D =，km c c 2=，mk n =2ω （21） 式中，D 为粘性阻尼比，c c 为临界阻尼系数，ωn 为固有频率。

通过以上关系代入式（20），022=++x x D x n n ωω （22）式（22）有3个通解，取决于单自由度系统是否不完全衰减、临界衰减、过度衰减。

在共振柱试验中土样自激振动通常会表现出一种不完全衰减行为，此时通解为：)sin()sin()(Vs ht Ce t x n d Dt n ωϕωω+=- （23）图 6. 自激振动衰退 式中，C 是常数，ωd 为衰减共振频率，21D n d -=ωω （24）如图6所示，任意两个峰值点的比率可以给出：2112)(1D D t t D n n e e x x n n n ---+==+πω （25）式中，tn+1 = tn + 2π/ ωd 。

对数衰减δ由自然对数方程获得：2112ln D D x x n n -==+πδ （26）阻尼比率可以计算：2224δπδ+=D （27）GCTS 共振柱软件记录整个循环中至少15％强迫振动试验得到的最大剪应变振幅的自由振动数据。

这套程序计算出每次循环规范化衰减振幅的自然对数利用线性最小二乘方拟合曲线测定对数衰减量。

转动系统标定GCTS 共振柱系统的标定通过一个金属样本取代真实土样完成的。

假定金属试样阻尼为0或者就近0，具有恒定的抗扭刚度k 。

因此，由牛顿第二定律，质量惯性力拒I 与固有或者共振频率ω有以下关系：2ωkI = （28）即使标准试样的抗扭刚度k 可以通过施加恒定的扭矩以及测量角位移来确定，但通常不这样做。

没有得到抗扭刚度k 、质量惯性力拒I ，式（28）就不可能解决。

完成2次金属标准试样共振试验步骤可以得到质量惯性力拒I0,其中一个试样是金属标定样，另外一个试样有附加物。

以恒力振幅进行频率扫描去确定每一结构的共振频率。

在传感器的测量范围内选择强迫振幅去激励标定试样，但提供足够的信号去精确测定反馈信息。

对于第一次没有附加物的标定杆，式（29）的解变为：210ωkI I cal =+ （29）式中，I0为在实际试验中转动系统与其它使用的固定设备质量惯性矩。

Ical 为标定试样的质量惯性矩，ω1为无附加物标定试样的共振频率。

对于第二次带有附加物的标定试样，其方程为220ωkI I I mass cal =++ （30）式中，Imass 为附加物的质量惯性矩, ω2为有附加物标定试样的共振频率。

现在，求解式（14）得到转动系统质量惯性矩和Vs ，联合式（29）和（30）得：222121220)(ωωωω--+=cal mass cal I I I I （31）紧记对于GCTS 共振柱系统，在标定过程中试样帽不使用。