用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式

用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式
斐波那契 (Fibonacci) 数列是著名的数列，有很高的实用价值。多年来，
学者们一直在探究它的通项公式的求解方法，已经涌现出了多种方法。但据笔者
们所知，这些方法大都需要比较高深的数学知识，例如组合数学的方法、概率的
方等等，让人比较难理解，不容易接受。基于此，研究给出了一种简易的初等数
学方法，先探求它们的特征多项式，然后通过求解线性方程组的思想，得出它们
的通项公式。这种方法深入浅出，有一定的实用价值。

1.斐波那契数列的由来
13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道著
名的兔子繁殖问题. 问题是这样的: 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对
小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个
月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚
出生的兔子开始，12 个月以后会有多少对兔子呢？解释说明为：一个月：只有
一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，
共有1+1=2 对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有2+1=3对兔
子.则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，
34，55，89，144，……，人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契，将这个兔
子数列称为斐波那契数列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列
称为斐波那契数列。

2.斐波那契数列的定义
定义:数列F1,F2,… ,Fn,…如果满足条件121FF,21nnnFFF(对所
有的正整数n≥ 3),则称此数列为斐波那契(Fibonacci)数列。
3.斐波那契数列的通项公式
推导方法一：利用特征方程
由通项公式F(n+2)=F(n+1)+F(n)可以得到特征方程
X2=X+1
解得

X1 = 251， X2 = 251
所以F(n)可以表示成

F(n) = a n251+b n251……………………（1）
由F(0) = 0和F(1) = 1得如下两个方程：
a + b = 0

a 251 + b 251 = 1
解得
a = 51, b = 51
带入（1）式可得


5

2512

51
nnnF
推导方法二：待定系数法
设常数ts,，使得211nFsnFtnFsnF.
则1,1stts
n≥3时，有









122343323221211FsFtFsFnFsnFtnFsnFnFsnFtnFsnFnFsnFtnFsnF





将以上n-2个式子相乘，得：


1212FsFtnFsnFn



121,1FFst

上式可化简为：11nFstnFn






ststtststststssttFststssttnFstssttnFssttnFstnFnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn



1

1
1
3
2
1
1
123221
123221
33221
221
1





1,1stts
的一解为251,251ts














nnnF25125151

推导方法三：虑由数列{F1,F2,… ,Fn,…}中相邻两项组成的数组

nnnFF,11



组成的序列...21，，.由21nnnFFF得到序列{an}的相邻两项
),(122nnnFF与),(1nnnFF

之间的关系






1212111110nnnnnn
n

FFFFFF

F

，

即21nnA,其中1110A。
序列...21，，的每一项αn- 1可以由前一项αn- 2( n≥ 3)乘矩阵A得
到,就好像是以A为公比的等比数列,与等比数列类似可以得到它的通项:

21232211....nn
nnn
n

n
AAAA

F

F






1121nnnA
F

F
。

要得到Fn,就要先算出2nA。为了算出2nA,利用矩阵相似的理论和方法,先
将A相似于尽可能简单的形状。A的特征多项式为12Af,解得特征值

为2511和25-12。分别求得特征向量111X和221X以X1, X2

为两列组成可逆方阵212111,XXP则12100PPA,
12221122120000PPPPAnnnn







，





















nnnnnnnnFF12111
2

21212
2
2

2
1

21
1

-

-
1111-1-1

0
0

11









.

从而52512511212nnFnnn
解法三可以推广到一般的情形:对任意给定的复数c1,c2,如果数列{Un}满
足条件32211nucucunnn，并且已知这个数列的前两项21,uu,求数列的通
项nu。

4.数学归纳法证明斐波那契数列
当n=0时，F（0）= 502510251 = 0，通项公式成立。
当n=1时，F（1）= 512511251 = 55 = 1，通项公式成立。
假设通项公式F（n）= 5251251nn
当n=k时F（k）= 5251251kk成立，
而且当n=k+1时F（k+1）= 512511251kk成立，
则：F（k+2）＝ F(k+1) + F(k)
＝512511251kk ＋ 5251251kk
＝512511251kk － 2512515251251kk
＝512511251kk－512512511251251kk
＝512512511251251kk
＝522512251kk
通项公式也成立。由此可以证明，对任意0n的整数，通项公式F（n）
=

5
2512
51nn
都成立。