2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
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2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
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b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
解：当A = 90时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 3 ∴k = 2 当B = 90时， AB BC = 0，BC= AC AB = (1， k3)
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
一、复习引入
(1) a b a b co s ( 2) a a a 或 a
2
a a； a b a b .
a b a b 0; co s
我们学过两向量的和与差可以转化为它 们相应的坐标来运算,那么怎样用
试判断ABC的形状，并给出证明.
y
证明 :AB (2 1,3 2) (1,1)C(-2,5)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
B(2,3) A(1,2) 0
AB AC
三角形 ABC是直角三角形 .
Y
B
A
7 3 x1 x2 x 2 y 2 5x 2 y 0 2 或 2 3 7 10x 4 y 29 y1 y2 2 2 3 7 7 3 7 3 3 7 ( , ) ∴B点坐标 或 ( , ) ； AB = ( , ) 或 ( , ) 2 2 2 2 2016/10/11 2 2 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
.
其中 x y 0， x y 0.
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三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a (1,2 3 ), b (1,1), 求a b， a b， a与b的夹角 .
３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，
形成转化技能。
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学习
要有竹子样的坚韧的品质
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a// b x1 y2 x2 y1 0
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180）， 则 cos a b ab
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ),且a与b夹角为， (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
2
2
3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直 a b a b 0
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a b x1 x2 y1 y2 0
（2）平行 设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则
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x
四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知a 10, b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
3 4 3 4 答案：（ 1 ） b ( , )或b ( , ). 5 5 5 5 （2）（ 2， 2 2）或（ 2， 2 2）；（ 3）k 5. 2016/10/11
a b 1 3， a b
a b 2 4 2 3 2(1 3)，
1 cos , 0 180 , 60 . ab 2
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(2)已知a (2,3), b (2,4), 则（a b） （ a b） .
a和b 的坐标表示 a b呢？
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二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i是x轴上的单位向量， j 是y 轴上的单位向量，
由于 a b a b cos 所以
1 1 j j . . i i
i j j i 0 .
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例4 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使 B = 90，求点B和向量 AB 的坐标. 解：设B点坐标(x， y)， 则 OB= (x， y)， AB = (x5， y2)
OB AB 由 | OB || AB |
法一： a b (0,7), a b (4,1) （a b） （ a b） 0 4 7 (1) 7. 法二：（ a b） （ a b） a b
2 2 2 2
a b 13 20 7
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例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
(1)a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ),则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 设A（x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), 则
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AB （x1 x2 ) （y1 y2 )
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 当C = 90时， AC BC = 0，
11 3
3 13 ∴1 + k(k3) = 0 ∴k = 2 3 11 3 13 或 综上所述 k 或 2 3 2
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提高练习
1、已知OA (3,1)， OB (0,5)，且 AC // OB， BC AB ，则点C的坐标为
课件7：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
归纳点评 向量与代数中的一些问题如函数的最值问 题等，是向量作为工具的具体体现，解决此类问题应 熟练掌握向量的坐标运算法则，特别是共线、垂直、 数量积等坐标表示．
随堂练习
1．已知向量 a＝(1，m)与 b＝(n，－4)共线且 c＝(2,3)
与 b 垂直，m＋n 的值为( )
16
20
A. 3
B. 3
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)： (1)若a⊥b，求x； (2)若a∥b，求x. 解：(1)若a⊥b，则1×x＋2×(－4)＝0，∴x＝8； (2)若a∥b，则1×(－4)－2×x＝0，∴x＝－2.
高效课堂 典例精析 题型1 向量的夹角 例1 已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)， 求a·b及a与b的夹角θ的余弦值．
4．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)且λa＋b＝0(λ∈R)， 则|λ|＝________.
【解析】∵λa＋b＝0，∴b＝－λa. ∴|b|＝|－λa|＝|λ|·|a|＝|λ|＝ 5. 【答案】 5
规律总结 1．向量数量积的坐标表示 本节是在向量数量积的基础上，将数量积定义、有关 性质坐标化，可结合上一节的内容来记忆有关公式． 2．平行与垂直关系的联系与区别 对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有：
1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5,8)，则(a＋b)·b等于
()
A．－34
B．34
C．55
D．－55
【解析】a＋b＝(－3,5)，∴(a＋b)·b＝(－3,5)·(－5,8)＝15
＋40＝55.故选C.
【答案】C
2．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A
又| | =
| | =
32 + 32 = 3 2,
(-1)2 + 62 = 37,
∴cos∠BAC=
·
15
5 74
=
=
.
3
2×
37
74
||||
反思已知三角形各顶点(dǐngdiǎn)坐标求其内角时,可转化为求向量的
1 2+1 2
21+21
22 +22
直接求出cos θ 的值;
(4)在 0≤θ≤π 内,由 cos θ 的值求角 θ.
第十七页，共22页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】若向量 a=(1,2),b=(1,-1),求 2a+b 与 a-b 的夹角.
解:∵a=(1,2),b=(1,-1),∴2a+b=(3,3),
解析:∵a⊥(a-b),
∴a·(a-b)=0,
∴a2-a·b=5-(x-4)=0,解得x=9.
答案:A
反思有关向量垂直的问题,通常利用它们的数量积为0来解决.本题
(běntí)也可先求出a-b的坐标,再代入a·(a-b)=0,解得x.
第十二页，共22页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 2】 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足(a+c)
①
又 c⊥(a+b),且 a+b=(3,-1),
②
∴3x-y=0.
7
9
7
3
由 ①②,得 x=− , = − .
∴c=
高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角备课资料 新人教A版必修4
备课资料一、|a ·b |≤|a ||b |的应用若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则平面向量的数量积的性质|a ·b |≤|a ||b |的坐标表示为x 1x 2+y 1y 2≤2212122222121)(y y x x y x y x +⇔++≤(x 12+y 12)(x 22+y 22).不等式(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 12+y 12)(x 22+y 22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n ).例1 已知实数x,y 满足x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是______;(2)已知实数x,y 满足(x+2)2+y 2=1,则2x-y 的最大值是_______. 解析:(1)令m =(x,y),n =(1,1).∵|m ·n |≤|m ||n |,∴|x+y|≤222∙+y x ,即2(x 2+y 2)≥(x+y)2=16.∴x 2+y 2≥8,故x 2+y 2的最小值是8. (2)令m =(x+2,y),n =(2,-1),2x-y=t.由|m ·n |≤|m ||n |,得|2(x+2)-y|≤5|4|,55)2(22≤+=∙++t y x 即解得4554-≤≤--t .故所求的最大值是5-4.答案:(1)8 (2)5-4例2 已知a ,b ∈R ,θ∈(0,2π),试比较θθ2222sin cos b a +与(a+b)2的大小. 解:构造向量m =(θθsin ,cos b a ),n =(cos θ,sin θ),由|m ·n |≤|m ||n |得 (θθθθsin sin cos cos b a +)2≤(θθ2222sin cos b a +)(cos 2θ+sin 2θ), ∴(a+b)2≤θθsin cos 22ba +. 同类变式:已知a,b∈R ,m,n∈R ,且mn≠0,m 2n 2>a 2m 2+b 2n 2,令M=b a N n m +=+,22,比较M 、N 的大小. 解:构造向量p =(mbn a ,),q =(n,m),由|p ·q |≤|p ||q |得 (m m b n n a ⨯+⨯)2≤(θθ2222sin cos b a +)(m 2+n 2)=222222mn n b m a +(m 2+n 2)<m 2+n 2, ∴M>N.例3 设a,b∈R ,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z },B={(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m∈Z },C={(x,y)|x 2+y 2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集,讨论是否存在a 和b,使得A∩B=∅与(a,b)∈C 能同时成立.解:此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题,它满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+==+)2.(144)1(,153222b a n b na 设存在a 和b 满足①②两式,构造向量m =(a,b),n =(n,1).由|m ·n |2≤|m |2|n |2得(na+b)2≤(n 2+1)(a 2+b 2),∴(3n 2+15)2≤144(n 2+1)⇒n 4-6n 2+9≤0.解得n=±3,这与n∈Z 矛盾,故不存在a 和b 满足条件. 二、备用习题1.若a=(2,-3),b =(x,2x),且a ·b =34,则x 等于（ ） A.3 B.31 C.31- D.-32.设a =(1,2),b =(1,m),若a 与b 的夹角为钝角,则m 的取值范围是（ ） A.m>21 B.m<21 C.m>21- D.m<21- 3.若a=(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),则（ ）A.a ⊥bB.a ∥bC.(a +b )⊥(a -b )D.(a +b )∥(a -b )4.与a =(u,v)垂直的单位向量是（ ） A.(2222,v u u v u v ++-)B.(2222,v u u vu v +-+)C.(2222,vu u vu v ++)D.(2222,v u u v u v ++-)或(2222,vu uv u v +-+) 5.已知向量a =(cos23°,cos67°),b =(cos68°,cos22°),u =a +t b (t∈R ),求u 的模的最小值.6.已知a ,b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角.7.已知△A BC 的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△A BC 的面积. 参考答案:1.C2.D3.C4.D5.|a |= 23sin 23cos 67cos 23cos 2222+=+=1,同理有|b |=1. 又a ·b =cos23°cos68°+cos67°cos22° =cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=22∴|u |2=(a +t b )2=a 2+2t a ·b +t 2b 2=t 2+2t+1=(t+22)2+21≥21.当t=22-时,|u|min =22. 6.由已知(a +3b )⊥(7a -5b )⇔(a +3b ）·(7a -5b )=0⇔7a 2+16a ·b -15b 2=0. ①又(a -4b )⊥(7a -2b )⇔(a -4b )·(7a -2b )=0⇔7a 2-30a ·b +8b 2=0. ②①-②得46a ·b =23b 2,即a ·b =.2||222b b = ③ 将③代入①,可得7|a |2+8|b |2-15|b |2=0,即|a |2=|b |2,有|a |=|b |,∴若记a 与b 的夹角为θ,则cos θ=21|||2||||||2==∙b b b b a b a .又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a 与b 的夹角为60°. 7.分析:S △A BC =21|AB ||AC |sin∠B AC,而|AB |,|AC |易求,要求sin∠B AC 可先求出cos∠B AC.解:∵AB =(2,1),AC =(3,4),|AB |=2,|AC |=5, ∴cos∠B 53524032||||=⨯⨯+⨯=AC AB .∴sin∠B AC=54.∴S △A BC =21|AB |||sin∠B AC=21×2×5×54=4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化; 探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化; 大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化; 学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化; 学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化; 教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.(设计者：房增凤)。
高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角素材1 新人教A版必修4
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、|a ·b |≤|a ||b |的应用若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则平面向量的数量积的性质|a ·b |≤|a ||b |的坐标表示为x 1x 2+y 1y 2≤2212122222121)(y y x x y x y x +⇔++≤(x 12+y 12)(x 22+y 22).不等式(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 12+y 12)(x 22+y 22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n ).例1 已知实数x,y 满足x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是______;(2)已知实数x,y 满足(x+2)2+y 2=1,则2x-y 的最大值是_______. 解析:(1)令m =(x,y),n =(1,1).∵|m ·n |≤|m ||n |,∴|x+y|≤222∙+y x ,即2(x 2+y 2)≥(x+y)2=16.∴x 2+y 2≥8,故x 2+y 2的最小值是8. (2)令m =(x+2,y),n =(2,-1),2x-y=t.由|m ·n |≤|m ||n |,得|2(x+2)-y|≤5|4|,55)2(22≤+=∙++t y x 即解得4554-≤≤--t .故所求的最大值是5-4.答案:(1)8 (2)5-4例2 已知a ,b ∈R ,θ∈(0,2π),试比较θθ2222sin cos b a +与(a+b)2的大小. 解:构造向量m =(θθsin ,cos b a ),n =(cos θ,sin θ),由|m ·n |≤|m ||n |得 (θθθθsin sin cos cos b a +)2≤(θθ2222sin cos b a +)(cos 2θ+sin 2θ), ∴(a+b)2≤θθsin cos 22ba +. 同类变式:已知a,b∈R ,m,n∈R ,且mn≠0,m 2n 2>a 2m 2+b 2n 2,令M=b a N n m +=+,22,比较M 、N 的大小. 解:构造向量p =(mbn a ,),q =(n,m),由|p ·q |≤|p ||q |得 (m m b n n a ⨯+⨯)2≤(θθ2222sin cos b a +)(m 2+n 2)=222222mn n b m a +(m 2+n 2)<m 2+n 2, ∴M>N.例3 设a,b∈R ,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z },B={(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m∈Z },C={(x,y)|x 2+y 2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集,讨论是否存在a 和b,使得A∩B=∅与(a,b)∈C 能同时成立.解:此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题,它满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+==+)2.(144)1(,153222b a n b na 设存在a 和b 满足①②两式,构造向量m =(a,b),n =(n,1).由|m ·n |2≤|m |2|n |2得(na+b)2≤(n 2+1)(a 2+b 2),∴(3n 2+15)2≤144(n 2+1)⇒n 4-6n 2+9≤0.解得n=±3,这与n∈Z 矛盾,故不存在a 和b 满足条件. 二、备用习题1.若a=(2,-3),b =(x,2x),且a ·b =34,则x 等于（ ） A.3 B.31 C.31- D.-32.设a =(1,2),b =(1,m),若a 与b 的夹角为钝角,则m 的取值范围是（ ） A.m>21 B.m<21 C.m>21- D.m<21- 3.若a=(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),则（ ）A.a ⊥bB.a ∥bC.(a +b )⊥(a -b )D.(a +b )∥(a -b )4.与a =(u,v)垂直的单位向量是（ ） A.(2222,v u u v u v ++-)B.(2222,v u u vu v +-+)C.(2222,vu u vu v ++)D.(2222,v u u v u v ++-)或(2222,vu uv u v +-+) 5.已知向量a =(cos23°,cos67°),b =(cos68°,cos22°),u =a +t b (t∈R ),求u 的模的最小值.6.已知a ,b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角.7.已知△A BC 的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△A BC 的面积. 参考答案:1.C2.D3.C4.D5.|a |= 23sin 23cos 67cos 23cos 2222+=+=1,同理有|b |=1. 又a ·b =cos23°cos68°+cos67°cos22° =cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=22∴|u |2=(a +t b )2=a 2+2t a ·b +t 2b 2=t 2+2t+1=(t+22)2+21≥21.当t=22-时,|u|min =22. 6.由已知(a +3b )⊥(7a -5b )⇔(a +3b ）·(7a -5b )=0⇔7a 2+16a ·b -15b 2=0. ①又(a -4b )⊥(7a -2b )⇔(a -4b )·(7a -2b )=0⇔7a 2-30a ·b +8b 2=0. ②①-②得46a ·b =23b 2,即a ·b =.2||222b b = ③ 将③代入①,可得7|a |2+8|b |2-15|b |2=0,即|a |2=|b |2,有|a |=|b |,∴若记a 与b 的夹角为θ,则cos θ=21|||2||||||2==∙b b b b a b a .又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a 与b 的夹角为60°. 7.分析:S △A BC =21|AB ||AC |sin∠B AC,而|AB |,|AC |易求,要求sin∠B AC 可先求出cos∠B AC.解:∵AB =(2,1),AC =(3,4),|AB |=2,|AC |=5, ∴cos∠B 53524032||||=⨯⨯+⨯=AC AB .∴sin∠B AC=54.∴S △A BC =21|AB |||sin∠B AC=21×2×5×54=4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化; 探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化; 大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化; 学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化; 学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化; 教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),且满足条件(8ab)· c=30,则x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=8(1,1)-(2,5)=(8,8)-(2,5)=(6,3). ∴(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=6×3+3x=18+3x=30. ∴x=4. 答案:C
3π ������· ������ -5 2 = =- . |������||������| 5· 10 2
∵θ∈[0,π ],∴θ= 4 .
答案:(1)C (2)
3π 4
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “ ”,错误的 打“×”. (1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2).a⊥b⇔x1x 2-y1y 2=0. ( ) (2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 所成角为 θ,则 cos
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二向量垂直的问题 【例3】 (1)已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于 ( ) A.9 B.4 C.0 D.-4 (2)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别在AB,AD上,且AE=1,则当 DE⊥CF时,AF= . 解析:(1)由已知得a-b=(1-x,4). ∵a⊥(a-b),∴a· (a-b)=0. ∵a=(1,2),∴1-x+8=0,∴x=9.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二:a· (a-b)=a2-a· b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案 新人教A版必修4
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a|cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a|2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅ ； 5︒|a ⋅b| ≤ |a||b|3．练习：（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60°B.30°C.135°D.４５°（2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m=a-4b 的模为（ ） A.2 B.23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥⇔02121=+y y x x两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）cos θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o)分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x= .四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定： 设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥⇔02121=+y y x x 五、课后作业：《习案》作业二十四。
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课件新人教A版必
3.(教材二次开发:练习改编)已知向量a=(1, 3 ),b=(-2,2 3 .
643
2
【解析】选C.设a与b的夹角为θ,则cos θ= a=b
ab
因为θ∈[0,π],所以θ= .
3
(1，3)(2， 2 3)1,
24
2
4.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是
3
足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是________.
【解题策略】向量模的问题的解题策略 (1)字母表示的运算:利用公式:a·a=a2=|a|2或|a|= aa＝a2，将向量运算转化 为实数运算. (2)坐标表示的运算:若a=(x,y),则|a|= x 2 y 2 .
【补偿训练】 若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a-b|的最小值为________. 【解析】因为a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),所以a-b=(2x-1,3-x)-(1-x,2x-1) =(3x-2,4-3x), 所以|a-b|= ( 3 x － 2 ) 2 ＋ ( 4 － 3 x ) 2 ＝ 1 8 x 2 － 3 6 x ＋ 2 0 ＝ 1 8 ( x － 1 ) 2 ＋ 2 . 所以当x=1时,|a-b|取最小值为 .2 答案: 2
θ=±1,则有x1x2
+y1y2= x1 2y1 2 x2 2y2 2 ,利用此结论也可以判断两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)
是否共线.
【拓展训练】 已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求|A D |与点D的 坐标.
备选类型 函数中的向量问题(直观想象、数学运算) 【典例】求函数y=3 2x45x的最大值. 【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平 面向量的数量积公式类似,建立向量模型,尝试利用|a·b|≤|a||b|求解.
高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角目标导学 新人教A版必修4
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角问题导学一、向量数量积的坐标运算活动与探究1已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12(2)若向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝1 B ．|a |＝|b | C ．(a －b )⊥b D ．a ∥b迁移与应用若a ＝(－3,4)，b ＝(2，－1)，且(a －x b )⊥(a －b )，求x 的值．(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系． (2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充． 二、向量的模与夹角问题活动与探究2(1)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |等于( ) A ． 5 B ．10 C ．2 5 D ．10(2)已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k ＝________．迁移与应用1．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B ．π6C ．π4D ．3π42．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围．利用数量积求两向量夹角的步骤：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模．(3)由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ的值．(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ． 三、向量数量积的综合应用活动与探究3已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE u u u r ·CB u u ur 的值为________；DE u u u r·DC 的最大值为________．迁移与应用已知OP uuu r ＝(2,1)，OA u u u r ＝(1,7)，OB uuu r＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA u u u r ·CB u u u r 取到最小值时的OC u u u r；(2)根据(1)中求出的点C ，求cos∠ACB ．(1)利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量问题，进而通过向量的运算来研究几何元素间的关系．(2)已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角．此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．当堂检测1．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x 等于( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－32．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3) D ．(－6,3) 3．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )A ． 3B ．135C ．655D ．654．若a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
课件13：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1．
题型二 利用坐标解决向量的夹角问题 例2 (1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值； (2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．
跟踪练习3 已知三个点A、B、C的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、
(5－m，－3－m)，若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
[解析] 由已知，得A→B＝(3,1)，A→C＝(2－m,1－m)． ∵△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角， ∴A→B⊥A→C．∴A→B·A→C＝3(2－m)＋(1－m)＝0， 解得 m＝74．
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表： 坐标表示
模 夹角
|a|2＝__x_21_＋__y_21 _____或|a|＝___x_21＋__y_21_____
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝___x_2－__x_1__2＋___y_2－__y_1__2 _ x1x2＋y1y2
基础知识
1．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
两个向量的数量积等于
数量积 它__们__对__应__坐__标__的__乘__积__的__和______，即a·b＝
__x_1_x_2＋__y_1_y2_____
两个向量垂 直
a⊥b⇔_x_1x_2_＋__y_1y_2_＝__0______
『规律总结』 进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运 算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接 进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开， 再依据已知条件计算．
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
r
r ra
bj
这就是说，两个向量的数量 积等于它们对应坐标的乘积的和。
o
r i
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的 数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
讲授新课
2、向量的模和两点间的距离公式
讲授新课
3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直
（2）平行
讲授新课
证明u：uur
C(-2,5) y
Q在们C是uAuAu(Au平 标 直-CuBu2rBr，面出角u=uAu=5u直三Aur()Cu-三((r角角122，=点--坐形u1121u，标.,)u,，r53发(系--B-现32中2()2))△，+，==1A3我(()B-，13C3,,1=3))0
B(2,3) A(1,2)
巩固新课
rr 解：a Байду номын сангаас b = 1 + 3，
rr a b = 2 4 + 2 3 = 2(1 +
rr cosθ = ra br = 1 ,
ab 2
3)，
Q 0o θ 180o ,θ = 60o.
巩固新课
例３：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
设a =（x1, y1 ),b = (x2 , y2 ), 则a b
x1x2 + y1y2 = 0
（4）向量平行
r
r
rr
若a =（x1, y1 ),b = (x2 , y2 ), 则a//b
x1y2 - x2y1 = 0.
（5）两向量夹角公式的坐标运算
r