高中文理科数学重要公式及知识点速记

高中数学公式及知识点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么

],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是

))((000x x x f y y -'=-.

4、几种常见函数的导数

①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '

-=；

⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '

=；⑧x

x 1)(ln '

= 5、导数的运算法则

（1）'

'

'

()u v u v ±=±. （2）'

'

'

()uv u v uv =+. （3）''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值

7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

8、同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=

θ

θ

cos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式

απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；

απ

π±+

2

k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。

10、和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±= .

11、二倍角公式

sin 2sin cos ααα=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan α

αα

=

-.

公式变形： ;

2

2cos 1sin ,2cos 1sin 2;2

2cos 1cos ,2cos 1cos 22222α

αααα

ααα-=-=+=

+=

12、三角函数的周期

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π

ω

=；函

数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω

=

. 13、 函数sin()y x ω?=+的周期、最值、单调区间、图象变换

14、辅助角公式

)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y 其中a

b =

?tan 15、正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===. 16、余弦定理

2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.

17、三角形面积公式

111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B =

==. 18、三角形内角和定理

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+ 19、a 与b 的数量积(或内积)

θcos ||||?=?

20、平面向量的坐标运算

(1)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--

.

(2)设=11(,)x y ,=22(,)x y ，则?=2121y y x x +.

（3）设=),(y x ，则22y x a +=

21、两向量的夹角公式

设=11(,)x y ,=22(,)x y ，且≠，则

2

2

2

22

12

12121cos y x y x y y x x b

a b a +?++=

?=

θ

22、向量的平行与垂直

b a //?a b λ= 12210x y x y ?-=.

)(≠⊥ ?0=?12120x x y y ?+=.

三、数列

23、数列的通项公式与前n 项的和的关系

11

,

1,2n n n s n a s s n -=?=?

-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 24、等差数列的通项公式

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

25、等差数列其前n 项和公式为

1()2n n n a a s +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-. 26、等比数列的通项公式

1*11()n n

n a a a q q n N q

-==

?∈； 27、等比数列前n 项的和公式为

11(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或 11

,11,1n n a a q

q q s na q -?≠?

-=??=?.

四、不等式

28、已知y x ,都是正数，则有

xy y

x ≥+2

，当y x =时等号成立。 （1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；

（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值2

4

1s .

五、解析几何

29、直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

11

2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).

(4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

30、两条直线的平行和垂直

若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212||,l l k k b b ?=≠;

②12121l l k k ⊥?=-. 31、平面两点间的距离公式

,A B

d =A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).

32、点到直线的距离

d =

(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

33、 圆的三种方程

（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(2

2

4D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ=+??

=+?

.

34、直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ;

0=???=相切r d ;

0>???<相交r d . 弦长=222d r -

其中22B

A C

Bb Aa d +++=.

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，2

22b c a =-，离心率1<=a c e ，参数方程是cos sin x a y b θθ

=??=?.

双曲线：12222=-b

y a x (a>0,b>0)，2

22b a c =-，离心率1>=a c e ，渐近线方程是x a b y ±=.

抛物线：px y 22=，焦点)0,2

(p ,准线2p

x -=。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b

y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b

y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴

上）.

37、抛物线px y 22=的焦半径公式

抛物线22(0)y px p =>焦半径2

||0p

x PF +

=.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。） 38、过抛物线焦点的弦长p x x p

x p x AB ++=+++=21212

2.

六、立体几何

39、证明直线与直线平行的方法

（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等） 40、证明直线与平面平行的方法

（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行） （2）先证面面平行

41、证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交．．．．直线分别与另一平面平行） 42、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法

（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交．．．．

直线垂直） （2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）

44、证明平面与平面垂直的方法

平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直） 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=rl π2，表面积=2

22r rl ππ+ 圆椎侧面积=rl π，表面积=2

r rl ππ+

1

3V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.

1

3

V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.

球的半径是R ，则其体积343

V R π=,其表面积2

4S R π=．

46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算

平均数:n

x x x x n ++=21 方差:])()()[(12

22212x x x x x x n s n -+-+-=

标准差:])()()[(1

22221x x x x x x n

s n -+-+-=

50、回归直线方程

y a bx =+，其中()()()11

22211

n n

i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx

====?

---?

?==?

--??

=-?∑∑∑∑. 51、独立性检验 )

)()()(()(22

d b c a d c b a bd ac n K ++++-=

52、古典概型的计算（必须要用列举法．．．、列表．．法．、树状．．图．的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏）

八、复数

53、复数的除法运算

2

2)()())(())((d c i

ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a +-++=-+-+=++. 54、复数z a bi =+的模||z =||a bi +

九、参数方程、极坐标化成直角坐标

55、???==y x θρθρsin cos ??

???≠=+=)

0(tan 2

22x x y

y x θρ