人教版八年级数学同底数幂的乘法
你真行！
太棒了！
2020年3月2日1时51分
实际应用
❖ 我国陆地面积约是9.6×106 平方千米。平均每平
方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧
1.3×105 吨煤所产生的能量。求在我国领土上，
一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生 的能量。
解：(9.6 ×106) ×(1.3 ×105) =9.6 ×106 ×1.3 ×105 =9.6 ×1.3 ×106 ×105 =12.48×1011
2020年3月2日1时51分
➢3.我是法官我来判
（1）b5 ·b5= 2b5 （× ）b5 ·b5= b10
（2）b5 + b5 = b10 （× ）b5 + b5 = 2b5
（3）x5 ·x5 = x25 ( × ) x5 ·x5 = x10
（4）y5 ·y5 = 2y10 ( × ) y5 ·y5 =y10
（5）c ·c3 = c3 ( × ) c ·c3 = c4
（6）m + m3 = m4 ( × ) m + m3 = m + m3
2020年3月2日1时51分
了不起！
➢随机应变
填空： 真棒！
真不错！
（1）x5 ·（x3）=x 8 （2）a ·（ a5 ）=a6
（3）x ·x3（x3）=x7 （4）xm ·（ｘ2m）＝ｘ3m
23 ×22 =（2×2×2）×（2×2）=2×2×2×2×2 =2（ 5 ）
a3×a2 =（a a a）（a a）= a a a a a = a（ 5 ） .
3个a 2个a
5个a
2020年3月2日1时51分
➢探究在线：
请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有 什么关系？
103 ×102 = 10（ 5 ）= 10（ 3+2）；
am · an = am+n
解: (x+y)3 ·(x+y)4 =(x+y)3+4 =(x+y)7
2020年3月2日1时51分
2.填空：
（1） 8 = 2x，则 x = 3
；
23 （2） 8× 4 = 2x，则 x = 5 ；
23× 22 = 25 （3） 3×27×9 = 3x ·y3
解：（1）23×24×25=23+4+5=212
（2）y ·y2 ·y3 = y1+2+3=y6
2020年3月2日1时51分
➢ 智取百宝箱
1. 计算：（抢答） （1） 105×106 (1011 )
（2） a7 · a3 ( a10 )
（3） x5 ·x5 （ x10 ）
m个a
n个a
= aa…a （乘法结合律）
(m+n)个a
=am+n （乘方的意义）
即
am ·an = am+n (当m、n都是正整数)
真不错，你的猜想是正确的！
2020年3月2日1时51分
➢同底数幂的乘法性质：
请我你们尝可试以用直文接字利概 括用这它个进结行论计。算.
a ·a = a m n
m+n (当m、n都是正整数)
（2）x2 ·x5 = x2 + 5 = x7
（3） a.a6 =a1+6=a7 （4） (-2)6.(-2)8=(-2)6+8=(-2)14=214 （5） xm.x2m+1 =xm+m+1=x2m+1 （6） -26.(-2)8=-26.28=-26+8=-214
2020年3月2日1时51分
2.计算：
例题引领
➢am ·an = am+n (当m、n都是正整数)
am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数）
1.计算：（1）107 ×104 .（2）x2 ·x5. (3) a.a6 (4) (-2)6.(-2)8 (5) xm.x2m+1 (6) -26.(-2)8
解：（1）107 ×104 =107 + 4= 1011
=1.248×1012(吨） 答：一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.248×1012吨 煤2所020年产3月生2日的1时5能1分 量。
➢挑战平台
1.计算: （1） a (a)4 (a)3
解: 原式=（-a)1+4+3
=（-a) 8 (2) (x+y)3 ·(x+y)4 .
公式中的a可代表 一个数、字母、式 子等.
（4） b5 ·b
（ b6 ）Good!
2020年3月2日1时51分
2. 计算： （1）x10 ·x （2）10×102×104 （3)x5 ·x ·x3 （4）y4·y3·y2·y
解 ：（1）x10 ·x = x10+1= x11
（2）10×102×104 =101+2+4 =107
（3）x5 ·x ·x3 = x5+1+3 = x9 （4）y4 ·y3 ·y2 ·y= y4+3+2+1= y10
10×10×10×10×10 可以写
成什么形式?
10×10×10×10×10 105
=
.
(乘方的意义）
2020年3月2日1时51分
➢思考：
103与102 的积
❖ 式子103×102的意义是什么？ 底数相同
❖ 这个式子中的两个因式有何特点？ 请同学们先根据自己的理解，解答下列各题.
103 ×102 =（10×10×10）×（10×10） = 10（5 ）
15.1.1 同底数幂的乘法
2020年3月2日1时51分
➢提出问题，创设情景：
➢ an 表示的意义是什么？其中a、 n、an分 别叫做什么?
an
底数
指数
幂
an = a × a × a ×… a
n个a 2020年3月2日1时51
分
➢问题：
25表示什么？ 25 = 2×2×2×2×2 (.乘方的意义）
23 ×22 = 2（ 5 ） = 2（ 3+2 ）；
a3× a2 = a（ 5 ） = a（ 3+2） 。
猜想: am ·an=
? (当m、n都是正整数)
分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确.
2020年3月2日1时51分
猜想: am ·an= am+n (当m、n都是正整数)
am ·an （= aa…a）（aa…a）（乘方的意义）
3×33 × 32 = 36
2020年3月2日1时51分
整理反思
知识
我学到了 什么？
方法
同底数幂相乘， 底数不变，指数相加. am ·an = am+n (m、n正整
数)
“特殊→一般→特殊”
例子 公式 应用
快乐套餐:P148习题15.11(1).(2),2(1),8 2020年3月2日1时51分
同底数幂相乘， 底数不变，指数相加。
运算形式 （同底、乘法） 运算方法（底不变、指加法）
幂的底数必须相同，
如 43×45= 43+5 =48
相乘时指数才能相加.
a ·a ·a a= 想2一020年想如3月：2日1当时m51三分 个n或三p个以m上+同n+底（数m幂、相n乘、时p，都是是否正也整数） 具有这一性质呢？p 怎样用公式表示？
幂的运算(3大知识点7类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版)25学年八年级数学上册
专题14.1幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的乘法法则+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【要点提示】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识点2】幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【要点提示】（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式：()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识点3】积的乘方法则()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【要点提示】（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c(n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点4】注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【题型目录】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2;【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................4;【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................7;【题型4】幂的混合运算.........................................................9;【题型5】幂的运算的应用.......................................................11;【题型6】直通中考.............................................................13;【题型7】拓展与延伸...........................................................14.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算【例1】（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律①53( )222⨯=，②42( )a a a ⋅=，③( )555m n ⨯=，（2）规律( )m n a a a ⋅=（,m n 都是正整数）．即__________________________．（文字表达）（3）应用①计算31m m a a +⋅；②把(2)x y +看成一个整体，计算23(2)(2)x y x y +⋅+．【答案】（1）①8；②6；③;m n +（2）;m n +同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①41m a +；②5(2)x y +【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键；（1）（2）（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；解：（1）①853(35)2222+⨯==，②642(4+2)a a a a ⋅==，③555m n m n +⨯=，故答案为：8;6;;m n +（2）m n m n a a a +⋅=，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；故答案为：;m n +同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）①1314m m m a a a ++⋅=；②253.(2)(2)(2)x y x y x y +=+⋅+【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算3()()x y y x -⋅-=（）A ．4()x y -B ．4()x y --C ．4)y x -（D ．4()x y +【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，把()x y -看作一个整体，利用同底数幂的乘法法则即可求解．解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法法则．解：334()()()()()x y y x x y x y x y -⋅-=--⋅-=--，故选：B ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知1222162x x ⋅⋅=，则x =．【答案】4【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，将1222162x x ⋅⋅=变形为：241222x +=，从而得出2412x +=，再求出x 的值即可．解：42421622222x x x x x +⋅=⋅⋅⋅=，∵1222162x x ⋅⋅=，∴241222x +=，∴2412x +=，解得：4x =．故答案为：4．【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知23x =，求32x +的值；（2）若21464a +=，求a 的值．【答案】（1）24；（2）1a =【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键；（1）由33222x x +=⨯，再代入数据计算即可；（2）由21344a +=，再建立方程求解即可．解：（1）∵23x =，∴332238242x x +=⨯=⨯=；（2）∵21464a +=，∴21344a +=，∴213a +=，解得1a =．【变式1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知23x =，26y =，则2x y +的值是（）A ．12B ．18C ．36D ．54【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．解：由8232261x y x y +=⨯=⨯=，故选：B ．【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）已知4222112x x +-⋅=，则x 的值为．【答案】3【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键．解：∵4222112x x +-⋅=，∴()13221112x +⨯-=，故142162x +==，解得：3x =故答案为：3．【题型2】幂的乘方运算及逆运算【例3】（21-22七年级上·上海·期末）计算：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦．【答案】12x 【分析】先计算幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可．解：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦121212x x x =-++12x =．【点拨】本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟记幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的知识．【变式1】（2022·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（）A ．224325a a a +=B ．3332a a a -=C ．235a a a ⋅=D ．()325a a =【答案】C【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则逐项计算即可判断选择．解：222325a a a +=，故A 计算错误，不符合题意；3332a a a -=-，故B 计算错误，不符合题意；235a a a ⋅=，故C 计算正确，符合题意；()326a a =，故D 计算错误，不符合题意．故选C ．【点拨】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方．熟练掌握各运算法则是解题关键．【变式2】．若25 3 0x y +-=,则432⋅=x y ．【答案】8【分析】根据已知条件可得2+5=3x y ，根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．解：∵25 3 0x y +-=∴2+5=3x y ，∴432⋅=x y 2525322228x y x y +⨯===，故答案为：8．【点拨】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）（1）若23m n a a ==，，求32m n a +的值；（2）若2639273x x ⨯⨯=，求x 的值．【答案】（1）72；（2）5【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可；（2）把2639273x x ⨯⨯=变形为1232633x x ++=，得到关于x 的方程，解方程即可得到答案；熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键．解：（1）∵23m n a a ==，，∴32m na +32m na a =⋅()()32m na a =⋅3223=⨯89=⨯72=；（2）2639273x x ⨯⨯=，23263333x x=⨯⨯（）（），23263333x x ⨯=⨯，1232633x x ++=，12326x x ++=，5x =．【变式1】已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<【答案】A【分析】把a 、b 、c 三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a 、b 、c 的大小关系．解：∵a ＝（35）11＝24311，b ＝（44）11＝25611，c ＝（53）11＝12511，又∵125243256<<，∴c a b <<．故选：A ．【点拨】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同．【变式2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知433,33a b ==，则239a b ⨯=．【答案】16【分析】直接根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．解：∵433,33a b==，∴()()()()222222243933333163a b a ba b ⎛⎫⨯=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：16．【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【题型3】积的乘方运算及逆运算25．【例5】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）()34222x x x ⋅-;（2）()()23332232x y x y +-【答案】（1）6x ；（2）66x y 【分析】（1）根据同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则计算，再合并同类项即可；（2）根据积的乘方计算法则去括号，再合并同类项即可．解：（1）()34222x x x ⋅-662x x =-6x =；（2）()()23332232x y x y +-666698x y x y =-66x y =．【点拨】此题考查了整式的计算，正确掌握同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则、积的乘方计算法则、合并同类项法则是解题的关键．【变式1】（2022·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b+=+D ．235a b ab+=【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．解：A 、268a a a ⋅=，计算正确，故此选项符合题意；B 、33(2)8a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、2()22a b a b +=+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、23a b +，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式2】（20-21七年级下·江苏扬州·期末）已知am ＝10，bm ＝2，则（ab ）m ＝．【答案】20【分析】根据积的乘方计算法则解答．解：∵am ＝10，bm ＝2，∴（ab ）m ＝10220m m a b ⋅=⨯=，故答案为：20．【点拨】此题考查积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把结果相乘，熟记法则是解题的关键．【例6】（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算：(1)88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()201720180.1258⨯-．【答案】(1)1-；(2)8-.【分析】（1）原式逆用积的乘方运算法则进行计算即可；（2）先将20188-变形为201788-⨯，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可．解：（1）88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8585715()()()(4)547=-⨯⨯⨯-8855751(4)574⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦58751(4)574⎛⎫⎡⎤=-⨯⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(1)=⨯-1=-；（2）()201720180.1258⨯-()201720171888⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭()201720171888⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭20171888⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭18=-⨯8=-．【点拨】本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若n 为正整数．且24n a =，则()()223224nn a a -的值为（）A ．4B ．16C ．64D ．192【答案】D【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可．解：()()2232642444nnn na a a a -=-()()322232444444nna a =-=⨯-⨯()32444448192=⨯-=⨯=，故选D ．【点拨】此题考查了幂的有关运算，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则．同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方．【变式2】已知2232336x x x ++-⋅=，则x =．【答案】8．【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可．解：2232336x x x ++-⋅=，根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：223(23)(6)x x +-⨯=，即22666x x +-=，226x x +=-，解得，8x =故答案为：8．【点拨】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程．【题型4】幂的混合运算【例7】（21-22八年级上·全国·课后作业）计算：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ；（2）()()()22112()3------n n n nx x x x x ．【答案】（1）8425a b ；（2）31n x -．【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可；（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可．解：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ，=62484916a a b a b ⋅⋅+，=8484916a b a b +，=8425a b ；（2）()()()22112()3------n n n nx x x x x ，=()()21212()3n n n n xx x x x -----，=()2112123n n n n x x -+++--+，=313123n n x x ---+，=31n x -．【点拨】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键．【变式1】（20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列各式计算正确的是（）A ．－3xy ·（－2xy ）2＝12x 3y 3B ．4x 2·（－2x 3）2＝16x 12C ．（－a 2）·a 3＝a 6D ．2a 2b ·（－ab ）2＝2a 4b 3【答案】D【分析】根据幂的运算法则逐一计算，可得结果．解：A 、()2333212xy xy x y -⋅--=，故选项错误；B 、()22384216x x x ⋅-=，故选项错误；C 、()236a a a -⋅=-，故选项错误；D 、()224322a b ab a b ⋅-=，故选项正确；故选D ．【点拨】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2】已知2,3x x a t ==，则24x =.（用含,a t 的代数式表示）【答案】3a t解：∵2x =a ，3x =t ，∴24x =（23×3）x =23x ×3x =（2x ）3×3x =a 3t ．故答案为a 3t ．【题型5】幂的运算的应用【例8】（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为m n m n a a a += ，()()n m mn m n a a a ==，()mm m a b ab =；（m ，n 为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：(1)已知552a =，443b =，334c =，请把a ，b ，c 用“<”连接起来：；(2)若2a x =，3b x =，求32a b x +的值；(3)计算：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭．【答案】(1)a c b <<；(2)72；(3)8.【分析】（1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小；（2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解；（3）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解；本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键．（1）解：∵()11555112232a ===，()11444113381b ===，()11333114464c ==＝．又∵326481<<，∴a c b <<，故答案为：a c b <<；（2）解：32a bx +32a b x x =⋅，()()32a b x x =⋅，∵2a x =，3b x =，∴原式3223=⋅，89=⨯，72=；（3）解：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭()200210110031222⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，4001003031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，400403122⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，40040031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，40031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，402312=⨯，8=．【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）下列运算中，错误的个数是（）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ⋅＝；（3）2n n n a a a ⋅＝；（4）()448a a a --⋅＝A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果．解：（1）22242a a a a ≠＋＝，故（1）错误；（2）2356a a a a ⋅≠＝，故（2）错误；（3）22n n n n a a a a ⋅≠＝，故（3）错误；（4）()4488a a a a ---⋅≠＝，故（4）错误，综上所述，错误的个数为4个，故选：D ．【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识，解题的关键是对相应的运算法【变式2】（20-21九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，12320202021S S S S S +++++= ．【答案】202111()2-【分析】先具体计算出S 1，S 2，S 3，S 4的值，得出面积规律，表示S 2021，再设12320202021S S S S S S =+++++ ①，两边都乘以12，得到42320212022111111((()()+()222222S =++++ ②，利用①−②，求解S ，从而可得答案．解：∵42320211234202111111111,(,(),(),(242821622S S S S S ======== 设S =42320211234202111111()()((22222S S S S S +++++=+++++ ①12320202021111111222222S S S S S S ∴=+++++ 4232021202211111(()()()+()22222=++++ ②①-②得，2022111()222S ∴=-202111()2S ∴=-故答案为：202111()2-．【点拨】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考【例9】（2024·河北·中考真题）若a ，b 是正整数，且满足8282222222a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 个相加个相乘，则a 与b 的关系正确的是（）A ．38a b +=B ．38a b =C ．83a b +=D ．38a b=+【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：()8822a b ⨯=，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．解：由题意得：()8822a b ⨯=，∴38222a b ⨯=，∴38a b +=，故选：A ．【例10】（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可解：A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意；B ．12212210a a a a -÷==，故选项不符合题意；C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．【题型7】拓展延伸【例11】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223⨯，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n +，则20,5,2,mz nz ny nx a ====，即4=m n ，可确定1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，由题意可判断A 、B 选项，根据题意可得运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，故可判断C 、D 选项．解：设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n+如图：则由题意得：20,5,2,mz nz ny nx a ====，∴4mz nz=，即4=m n ，∴当2,1n y ==时， 2.5z =不是正整数，不符合题意，故舍；当1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，如图：，∴A 、“20”左边的数是248⨯=，故本选项不符合题意；B 、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴a 上面的数应为4a ，如图：∴运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，∴D 选项符合题意，当2a =时，计算的结果大于6000，故C 选项不符合题意，故选：D ．【例12】（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a ﹣1）a +2＝1，其中a 的取值可能是（）A ．﹣2B ．1或﹣2C ．0或1D ．1或﹣2或0【答案】D 【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得．解：情况一：指数为0，底数不为0即：a +2=0，2a －1≠0解得：a =－2情况二：底数为1，指数为任意值即：2a －1=1解得：a =1情况三：底数为－1，指数为偶数即：2a －1=－1，解得a =0代入a +2=2，为偶数，成立故答案为：D【点拨】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注．。
八年级数学人教版(上册)14.1.2幂的乘方
【合作探究】
1、已知44•83=2x,求x的值。
解: 44 83 (22 )4 (23 )3
28 29
217
所以x 17
2、已知 ax＝3，ay＝2，试求 a2x+3y的值
解：a2x＋3y＝a2x·a3y＝(ax)2·(ay)3＝32·23＝9×8＝72.
课堂小结
运算 种类
公式
法则 中运算
观察计算结果，你能发现什么规律？
（am）n = amn （m、n是正整数）
幂的乘方的运算性质： 幂的乘方，底数不变，
（am）n =amn （m，n都是正整指数数）相乘。
上面的规律怎么证明？
n个am
（am）n = am am
am
n个m
=am m m
=a mn
例1、计算：
（1）（103）5；（2）（a4）4；（3）（am）2；（4）（- x4）3.
(1)预习提示：预习教材96——97页的内容；
1、理解幂的乘方法则； （22）、预运习用反幂馈的：乘完方成《法四则清计导算航。》第48页 预习导航 【学习重、难点】 （重3）点预：习理思解考：幂的乘方法则。
难点：幂的乘方法则的灵活运用。
新课精讲
探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:
（1）（32）3=32 32 32 =3（ 6 ）； （2）（a2）3=a2 a2 a2 =a（ 6 ）； （3）（am）3=am am am =a（3m）（m是正整数）
计算结果 底数 指数
同底数幂 乘法
am an amn
乘法
不变
指数 相加
幂的乘方 （ a m）n a m n 乘方
不变
指数 相乘
小结测试
同底数幂的乘法说课稿ppt课件
aman ?
第二环节.探索交流，发现新知
活动1、请根据自己的理解，解答下面3个小题．
活动2、观察上题从左到右的变化，猜想：am·an=？ (m,n都是正整数)你能说明你的猜想的正确性吗？ 活动3、当三个或三个以上同底数幂相乘时也具有这一 性质吗？请你谈谈自己的看法。am·an·a p= am+n+p
2、过程与方法：经历探索同底数幂乘法运算法则的推 导过程，培养学生的观察、发现、归纳、概括的能力。
3、情感与态度：在探究同底数幂乘法运算性质的活动 时，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的观点， 能从交流中获益。
• 教学重点和难点：
• 重点：同底数幂乘法法则的运用。
• 难点：同底数幂乘法法则的推导及底数互 为相反数幂的运算。
活动归纳：
同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a·a = am+n
条件：1.乘法 2.同底数
结果：底数不变，指数相加。
设计意图：
通过几个有层次的探究活动，突出重点， 引导学生合作交流，探索发现同底数幂乘 法的运算性质。
第三环节.学以致用，深化理解。
1、计算
（1）65×66
法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a·a = am+n
条件：1.乘法 2.同底数
结果：底数不变，指数相加。
1、计算
（1）65×66
（2）x5×x4
（3）3 ²×3 ³×3 （4）y·y²·y³
2、试一试：
（1）（-2）2 × 23
( 2) -22×2³
（3）（－a）7×（－a ）6
第一环节.回顾旧知，引入课题。
• 1、让学生回顾aⁿ的意义是：aⁿ表示____个 _____相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘 方的结果叫_____； 叫做底数， 是指 数．
人教版八年级数学上册2同底数幂的乘法
（乘方的意义）
(当m、n都是正整数)
新知探究
同底数幂的乘法法则
am · an =
am+n
(m、n都是正整数).
同底数幂相乘, 底数 不变，指数 相加..
运算方法
运算形式
幂的底数必须
相同，相乘时
指数才能相加.
如 43×45= 43+5 =48
条件：①乘法
②底数相同
结果：①底数不变 ②指数相加
针对训练
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，
指数相加
同底数幂
的乘法
底数相同时
直接应用法则
注 意
先变成同底数
底数不相同时
常见变形：(-a)2=a2,
再应用法则
(-a)3=-a3
解：xa+b=xa·xb
=8×9=72；
（2）已知an-3·a2n+1=a10,求n的值;
解：n-3+2n+1=10,
n=4;
（3） 3×27×9 = 32x-4 ， 求x的值;
解：3×27×9 =3×33×32=32x-4,
2x-4=6;
x=5.
课堂小结
am·an=am+n
法 则
(m,n都是正整数）
(4)－a3·(－a)2·(－a)3.
解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4；
(2)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)7；
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3=36；
(4)－a3·(－a)2·(－a)3=a8.
课堂练习
6.（1）已知xa=8, xb=9,求xa+b的值；
人教版数学八上课件.1同底数幂的乘法
变式训练：
填空：
(1) x4· x5 = x9 (2) (-y)4 · (-y)7 =(-y)11 (3) a2m · am =a3m (4) (x-y)2 · (x-y)3 =(x-y)5
义务教育课程教科书（人教版）数学八年级上册《14.1整 式的乘法》
14.1.1 同底数幂的乘法
问题情景
一种电子计算机每秒可进行1015次运算，它 工作103秒可
进行多少次运算？
列式：1015×103
怎样计算 1015×103呢？
知识回顾
1.什么叫乘方？ 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
指数
底数 an = a·a·… ·a
试一试
抢答 （1） 76×74
（2） a7 ·a8
( 710 )
( a15 )
（3） x5 ·x3 （ x8 ）
（4） b5 ·b （ b6 ）
辨一辨
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）b5 ·b5= 2b5 （× ） （2）b5 + b5 = b10 （× ）
b5 ·b5= b10
b5 + b5 = 2b5
用括它这进个行结计论算。.
a ·a = a m n
m+n (当m、n都是正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加 。
左边：同底、乘法
右边：底数不变、指数相加
幂的底数必须相同， 相乘时指数才能相加.
如 43×45= 43+5 =48
人教版八年级数学上册第十四章 1 1.1 同底数幂的乘法
关闭
选项A和D都是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;选项B和C的左边都不
是同类项,不能合并.
关闭
D
解析 答案
知识梳理 预习自测
2.已知23×29=2n,则n的值为( ). A.12 B.18 C.27 D.36
-7-
123456
关闭
A
答案
知识梳理 预习自测
3.22 017×22 017的计算结果是( ).
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
-4-
目标导引
1.理解同底数幂的乘法法则,并会用式子表示. 2.熟练运用同底数幂的乘法运算法则进行运算,并能解决一些实际 问题.
思维导图
旧 有理数乘方的意义 同底数幂的乘法法则 新
☞
→
☜
知 有理数的乘方法则 同底数幂乘法的应用 知
-10-
123456
关闭
D
答案
知识梳理 预习自测
6.若xm=3,xn=2,则xm+n=
.
-11-
123456
xm+n=xm·xn=3×2=6.
6
关闭 关闭
解析 答案
1
2
1.同底数幂的乘法法则
【例1】 计算:
(1)a3·a2·a;
(2)(-x)2·x5;
(3)(x+y)2·(x+y)3.
分析:(1)底数均为a,指数分别为3,2,1,按照“底数不变,指数相加”
A.0
B.22 017C.24 034
D.44 034
-8-
123456
关闭
C
答案
知识梳理 预习自测
人教版数学八年级上册1.1同底数幂的乘法课件
温馨提示：
➢同底数幂相乘时，指数是相加的； ➢底数为负数时，先用同底数幂的乘法法则计 算， 最后确定结果的正负；
➢不能疏忽指数为1的情况； ➢公式中的a可为一个有理数、单项式或多项 式（整体思想）
3.活学活用
(1)已知am＝3，an＝8，求am+n 的值. (2)已知2a=3，2b=6，2c=18，试问a、 b、c 之间有怎样的关系？请说明理由.
（2）a3×a2 =（
）×（
）=
（3）5m×5n=（
）×（
）=
①上述三个乘法运算的乘数有什么共同特征?
②它们的积都是什么形式?积的各个部分与乘数有什么
关系？
③你能用符号表示你发现的规律吗？
2.同底数幂的乘法法则：
文字语言： 两个同底数幂相乘,底数_____，指数____。
符号语言：
am · an＝________（m、n都是正整数）
3.计算5a• 5b的结果是（ ）
A、25ab
B、5ab
C、5a+b
D、25a+b
4．计算下列各题
（1）xm-1 • xm+1
（2）(b+2)3 (b+2)5 (b+2) （3） (x-2y)2 (2y-x)3
（4）ａ2• ａ3• a + a6
5.如果an-2an+1=a15,则n= 8 .
6.已知：am=4， an=3.求am+n =？.
当堂小结
通过对本节课的学习，你 有哪些收获呢？
当堂检测
1.下列计算中 ① b5+b5=2b5 ②b5·b5=b10 ③y3·y4=y12 ， ④m·m3=m4 ⑤ m3·m4=2m7 ， 其中正确的个数有（ ）个。
人教版八年级上册数学课件：1.1同底数幂的乘法
应
=_(_-2_)_8 _
用
x x .x x （4） m
3m1=
=256 m3m1 =
4 m 1
三、研读课文
知识点二
同 底
练一练 1、计算 x3 x2 的结果是（ B ）
数
A. x B. x5 C. x6 D. x9
幂
的
乘 法
b b 2、计算： 5 （1）
法
（2）
1 2
1 2
2
1 2
3
（1）a4 a6 =_a_1_0__；（2）b b5 =__b_6___；
（3） b3 b2=___b_5__；（4）m m2 m3= m6 ；
（5） ( y)2 ( y)3 =____y_5_______；
（6）
1
பைடு நூலகம்
1
4
1
3
2 2 2
=
1 256
.
五、强化训练
5、计算：
（1） t t 2m1
底
数 （1）23×22= 2×2×2×2×2=2（5 ）
幂 的 乘
（2）25×22= 2（7 ） （3）a3 a2 a 5
（4）5m 5n 5mn
法 一般 地，我们有
法 am·an=a （m+n ）（m，n都是正整数）. 则 同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 .
三、研读课文
知识点二
同 例1 计算
底
（1） x 2 x 5
（2） a • a6
数 幂
x .x （3）- 2- 24 - 23 （4） m 3m1
温馨提示：a a1
的
乘 法 法
解：（1）x 2 x 5 = x25 = x7
八年级上数学人教版《同底数幂的乘法》课堂笔记
《同底数幂的乘法》课堂笔记
一、知识点梳理
1.同底数幂的乘法定义：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.定义中关键词的理解：
（1）“同底数幂”：指底数相同的幂，记作m^n(m^n=x^n,x≠0)。
（2）“底数不变”：指在同底数幂相乘时，底数a与b相等，记作a^m ×a^n=a^(m+n)。
（3）“指数相加”：指在同底数幂相乘时，指数m与n相加，记作a^(m+n)。
1.运算性质的理解与应用：
（1）当两个幂的底数相同，且它们的指数都是正整数时，它们就可以进行乘法运算。
（2）进行同底数幂的乘法运算时，直接将指数相加，底数不变。
二、例题解析
例1：计算下列各式，并说明理由。
（1）32×33；（2）33×34；（3）−23×24；（4）24×27。
解析：
（1）32×33=32+3=35；
（2）33×34=33+4=37；
（3）−23×24=−23+4=−27；
（4）24×27=24+7=211。
根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加。
即同底数幂相乘，结果等于原来的底数的指数和。
三、课堂小结
本节课我们学习了同底数幂的乘法运算。
当我们遇到两个幂的底数相同，且它们的指数都是正整数时，可以直接将指数相加，底数不变。
通过学习这个运算性质，我们可以更方便地解决一些数学问题。
例如，在计算一些数字的连乘时，我们可以通过这个性质来简化计算过程。
人教版八年级数学乘法公式
人教版八年级数学乘法公式同底数幂的乘法：1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
同底数幂的除法：1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：am-n = am÷an（a≠0）。
负指数幂：1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。
注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
整式的乘法：（一）单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。