10-6高斯公式
10-6高斯公式与散度 (1)
v v v v u dS [ ( u ) ( u ) ( u )]dxdydz , x x y y z z n u v u v u v uvdxdydz ( )dxdydz x x y y z z
Dxy
sin( xy )dxdy
======0
奇偶对称
I
0
0
184 I1 I 2 35
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例3：计算曲面积分
其中, r
2 2 2 2 : x y z R 取外侧 . x y z ,
2 2 2
解: 不能直接用高斯公式
第六节 高斯公式与散度
一、高斯公式
第十章
二、曲面积分与 曲面无关的条件
三、通量与散度
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一、高 斯 公 式
说明：
若 可表成：
( x , y ) | z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ), ( x , y ) Dxy
则称 是 xy 型空间区域；
r
在椭球面内作辅助小球面
x2 y2 z2
z
1 : x 2 y 2 z 2 2
1
y
x
0
高斯公式
1
3
3 d x d y d z
1
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例3**：计算曲面积分
其中 r
x2 y2 z2 ,
: 任意不经过原点的封闭 曲面， 取外侧 .
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10-6第六节 高斯公式与散度
-3-
Dxy
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
∂R 所以 ∫∫∫ ∂z dxd ydz = ∫∫ Rdxd y Σ Ω 若 Ω 是 其它类型区域 , 则可引进辅助面 相应的区域, 将其分割成若干个 相应的区域 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 正反两侧面积分正负抵消 故上式仍成立 . 类似可证 ∂Q ∂P ∫∫∫ ∂x dxd ydz= ∫∫ Pd ydz ∫∫∫ ∂y dxd ydz= ∫∫Qdzdx Ω Σ Ω Σ
三式相加, 公式： 三式相加 即得所证 Gauss 公式： ∂P ∂Q ∂R ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz Ω = ∫∫ Pd ydz +Qdzd x + Rd xdy
Σ
-4-
第六节
高斯公式与散度
第六节
高斯公式与散度
例1 计算曲面积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
( x 2 − yz )dydz + ( y 2 − xz )dzdx + ( z 2 − xy )dxdy ∫∫
表面外侧。 其中 Σ 长方体 Ω : 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c 表面外侧。
Σ
P = x − yz , Q = y − xz , R = z 2 − xy ,
Σ
- 10 -
第六节
高斯公式与散度
∂v ∂v ∂v 证:令 P = u , Q= u , R= u , 由高斯公式得 = = ∂x ∂y ∂z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
第六节
高斯公式与散度
∂2v ∂2v ∂2v 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
高等数学B：10_6-7旋度与斯托克斯公式
§10.6 旋度与斯托克斯公式10.6.1环量与环量面密度河流中有没有旋涡，大气中有没有气旋，这是很重要的问题。
因此在向量场中，要考虑这种旋转性质。
这种旋转性质是由于速度不均匀产生的。
比如一块木板飘在河面，由于流速不均匀就会旋转。
这种旋转性质不是由一点或几点上的速度决定的，而是由整个一圈上速度的总和决定的，确切地说是由环量决定的。
一、环量定义设有向量场)},,(),,,(),,,({z y x R z y x Q z y x P A =，称的沿有向闭曲线C A 曲线积分⎰⎰++=⋅=ΓCCRdz Qdy Pdx ds A为的沿有向闭曲线向量场 C A 环量。
下面以平面流速场来说明环量与旋转性质的关系。
设流速场v的流线如图分布，可明显看到有旋涡。
取封闭的流线作为积分曲线C ，因流线上每一点的流速都在该点的切线上，即v 与ds 同向，所以ds v ⋅总是正的，因而0 >⋅=Γ⎰Cds A，这表明环量不为零反映了C 所包围的区域内有旋。
向量场A 沿有向闭曲线C 的环量表示了C 所包围的区域内的“平均”旋转情况，但它不能表示向量场A在一点处的旋转情况。
二、环量面密度定义中的一点为向量场设 A M ，n M处取一个方向在点，∆∑ 作一小曲面过点M ，使其在 n M的法向量为点。
小曲面的S ∆面积记为，其边界为分段l ∆光滑曲线，n l与∆的关系按右手法则确定，向量场与正向的环量沿 ∆Γ∆l A 曲面面积S ∆之比⎰∆⋅∆=∆∆Γl ds A SS 1称为向量场n l M A 绕向量沿曲线在点∆的平均环量面密度。
y21=+y x如果不论曲面∆∑的形状如何，∆∑ 只要曲面无限收缩M 于点，而在点n M的法向量保持不变时，平均环量面密度的极限存在，则称此极限为向量场沿在点 M A 的向量 n 环量面密度，记为A rot n ，即⎰∆→∆∑⋅∆=l M nds A SA rot1lim . （1） 10.6.2旋度定义中的一点为向量场设 A M 。
数值积分的matlab实现
实验10 数值积分实验目的：1．了解数值积分的基本原理； 2．熟练掌握数值积分的MATLAB 实现； 3．会用数值积分方法解决一些实际问题。
实验内容：积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。
同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。
此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所以仍然得不到积分的精确值，如不定积分⎰10 d sin x x x。
这时我们一般考虑用数值方法计算其近似值，称为数值积分。
10.1 数值微分简介设函数()y f x =在*x 可导，则其导数为hx f h x f x f h )()(lim )(**0*-+='→ （10.1）如果函数()y f x =以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得其近似值hx f h x f x f )()()(***-+≈' （10.2）表 10-1一般的，步长h 越小，所得结果越精确。
（10.2）式右端项的分子称为函数()y f x =在*x 的差分，分母称为自变量在*x 的差分，所以右端项又称为差商。
数值微分即用差商近似代替微商。
常用的差商公式为：000()()()2f x h f x h f x h +--'≈（10.3）hy y y x f 243)(2100-+-≈' （10.4）hy y y x f nn n n 234)(12+-≈'-- （10.5）其误差均为2()O h ，称为统称三点公式。
10.2 数值微分的MATLAB 实现MATLAB 提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为： dx=diff(x) 其中x 是n 维数组，dx 为1n -维数组[]21321,,,n x x x x x x ---,这样基于两点的数值导数可通过指令diff(x)/h 实现。
《高等数学》第十章 第六节 高斯公式 通量与散度
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立,假设存在 M 0 G, 使
P x
Q y
R z
M 0
0
23
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域
d xd yd z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
24
(M0 ) G,使在 (M 0 )上, P Q R 0 x y z
设 (M 0 )的边界为 取外侧, 则由高斯公式得
P d y d z Q d z d x R d x d y
(M0)
P Q R x y z
0
d
01dr
03r(r
sin
z) dz
9
2
.
)
(
1y
利 用 柱 面 坐 标 得
5
使用Guass公式时应注意:
1. P, Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧.
6
例 2 利用高斯公式计算曲面积分
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS ,
:
00
r
2，
h,
r z h.
202
d
h
0
dr
h
r
(r
cos
r
sin
z)
r
dz
高斯数学1十到100的公式
高斯数学1十到100的公式
随着社会环境和科技水平的提高，人们对高等教育的重视程度也越来越高，对
传播和学习知识的要求也越来越高，而高斯数学也便成为现代高等教育当中的一门基础课程。
本文就以数学用语论证高斯数学十到一百的公式内容。
首先需要明确的是，高斯数学的理论体系是一套以正态分布为基础的概率论，
十到一百这段范围上主要运用的就是中心极限定理。
即数据可分布在某一固定值附近，近似到一种正态分布，独立事件重复次数越多，它们达到越接近它仍有一定范围发生变化，围绕那个平均值方差越小，可以作出规律，可以使用相关数学算法模型，比如概率论、数理统计、这些可以用于高斯数学的范围值的求取。
其次，十到一百的范围，可以假设它们构成一个完整的正态分布图，并可运用
它的公式。
高斯数学的公式本质上是一个事件的正态分布的概率论的应用，即可以计算概率密度函数：P=e（-1/2u^2/σ^2）[μ ,σ]，μ表示均值，σ表示标准差，u表示实际值和均值之差。
最后，根据十到一百具体的数字，可以运用不等式、非等式以及运算符号等综
合公式，得出每个数字对应的概率。
例如，假设标准差σ=10，如果实际价值u为90，则可以求出该实际价值下的概率密度函数为p=e（-1/2(90-100)^2/10^2），
即p=0.1839394。
由此，即可知晓数字90这个特定值在十到一百范围内的出现概率，从而了解到它所属的正态分布图。
综上所述，高斯数学对于十到一百这个范围内值的准确度较高，数学公式是十
到一百正态分布图的基石，具有很强的精确性，可以求出正态分布图上特定值的概率密度函数，而这也正是高等教育所强调的以精确概念描述现实环境的重要性。
大学物理学30第十章10-4 电容 10-5 静电场的能量 能量密度 10-6 静电的应用
解 设球形电极 A 和 B 各有 + Q 和 – Q 的电荷，
忽略电极间的静电感应导致的电荷重新分布，且把
球形电极表面上的电荷视为集中于球心. 则可得： 电极A表面的电势为
第十章 静电场中的导体与电介质
1 Q Q UA ( ) 4π 0 r d r
广东海洋大学理学院教学课件 电极A表面的电势为
广东海洋大学理学院教学课件
物理学教程 （第二版）
大学物理学电子教案
静电场中的电容 能量
10-4 电容 电容器 10-5 静电场的能量 能量密度 10-6 静电的应用
第十章 静电场中的导体与电介质
广东海洋大学理学院教学课件
物理学教程 （第二版）
复
习
10-1 静电场中的导体
• 静电感应 静电平衡条件 • 静电平衡时的电荷分布 • 静电屏蔽
击穿场强 可得 U 2 E ( 1 b b
++ ++
r
d
---
B
Eb Es ，此时 Ub U AB
r
1 1 1 ) ( 2 ) 84.7kV 2 d r r (d r )
第十章 静电场中的导体与电介质
广东海洋大学理学院教学课件 二 １ 电容器的串联和并联 电容器的并联 ＋
物理学教程 （第二版）
l
l RB
-+ -+ -+ -+
Q 1 （ 2） E 2 π 0 r r 2 π 0 r l r
（ 3） U
RA
RB
R
RB
A
dr Q RB ln 2π 0 r r 2π 0 r l RA
第十章 静电场中的导体与电介质
大学经典课件之高等数学——10-6高斯公式与散度
其中 Σ 是以原点为中心，边长为 体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R
卫星导航定位算法_常用参数和公式
《卫星导航定位算法与程序设计》课程常用参数和常用公式一览编制人：刘晖更新时间：2010年10月29日1、常用参考框架的几何和物理参数1.1 ITRFyy 主要的大地测量常数长半轴a=6.3781366×106m；地球引力常数（含大气层）GM=3.986004418×1014 m3/s2；地球动力因子J2=1.0826359×10-3；地球自转角速度ω=7.292115×10-5 rad/s。
扁率1/f =298.25642；椭球正常重力位U0=6.26368560×107 m2/s2；γ=9.7803278 m/s2；赤道正常重力e光速c=2.99792458×108 m/s。
1.2 GTRF主要的大地测量常数长半轴a=6.37813655×106 m；地球引力常数GM=3.986004415×1014 m3/s2；地球动力因子J2=1.0826267×10-3；扁率1/f =298.25769。
1.3 WGS84（Gwwww）主要的大地测量常数长半轴a=6.3781370×106 m；地球引力常数（含大气层）GM=3.986004418×1014 m3/s2；地球自转角速度ω=7.292115×10-5 rad/s。
扁率1/f =298.257223563；椭球正常重力位U0=62636860.8497 m2/s2；γ=9.7803267714m/s2；赤道正常重力e短半轴b=6356752.3142m；引力位二阶谐系数2,0C=-484.16685×10-6；第一偏心率平方2e=0.00669437999013；e'=0.006739496742227。
第二偏心率平方21.4 PZ90 主要的大地测量常数长半轴a=6.378136×106m；地球引力常数GM=3.9860044×1014 m3/s2；fM=3.5×108 m3/s2；地球大气引力常数a地球自转角速度ω=7.292115×10-5 rad/s。
10-6高斯公式
=
∫∫{R( x, y, z2( x, y)] - R( x, y, z1( x, y)]}dxdy
Dxy
故
∫∫∫
Ω
∂R dv = ∂z
∂Ω
∫∫+Rdxdy
∫∫∫
Ω
∂R dv ∂z
YZ XZ 若Ω同时为 − 型区域和 − 型区域,
下两式也成立
三式相加可得
高斯公式
∫∫∫
Ω
∂P ∂Q ∂R + dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy + ∂x ∂y ∂z ∂Ω+
Σ
Ω
∂P ∂Q ∂R ( + + ) dv ∂x ∂y ∂z
3° °
由高斯公式可得空间立体的体积: 由高斯公式可得空间立体的体积
1 = 3
∂Ω
∫∫+xdydz + ydzdx + zdxdy
例1 计算曲面积分
(§5，例4) § ， 方法2 方法 解 (方法 )
= 3a3 .
3 3 3 例 2 计算曲面积分 I = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy, Σ
∑
=
− ∫∫ = 1 πh4 - πh4 = − 1 πh4. ∫∫ 2 2 ∑+∑ 1 ∑ 1
(方法 方法2) 方法
z
h
∑
y
π 4 =− h . 2
o x
例 4-1 设Σ是光滑的闭曲面，V是Σ所围的立体 是光滑的闭曲面， 是 所围的立体 所围的立体Ω 是光滑的闭曲面 的体积. 的矢径， 的体积 r 是点 ( x, y, z ) 的矢径， =| r | . r
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d x d y d z
应用: 计算曲面积分 (非闭曲面13 1(1)(3)(5)
思考与练习1
所围立体,
3 3 3
为
判断下列演算是否正确?
(1)
r 3 d y d z r 3 d z d x r 3 d x d y
1 R
3
x
y
z
x d y d z y d z d x z dx d y
v x
v y
v z
v v v cos cos cos d S u x y z
移项即得所证公式
(Gauss 公式)
( P cos Q cos R cos ) dS
证明略 利用高斯公式，将第二类曲面积分转化为三重积分
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例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
1
3 dv V 3
3、设函数
2 2 2
在闭区域 上具有一阶和
Pu
Qu
v x v y v
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
v v v u 2 2 2 d x d y d z x y z
v v v u cos cos cos d S Ru y z x z u v u v u v d x d y d z x x y y z z
2、设 是一光滑闭曲面, 所围立体 的体 积为V, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 的夹角, 试证
证: 设 的单位外法向量为 则
0 0 n r cos 0 0 n r
x r
cos
y r
cos
z r
cos
1
r cos d S 3
第六节 高斯公式
Green 公式 一、高斯公式
推广
第十章
Gauss 公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x Rdx d y
其中 是整个 边界面的外侧. 分析: 高斯公式
P x
Q y
R z
d x d ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
证:令 P u
v x
, Qu
v y
, Ru
v z
,
由高斯公式得
2v 2v 2v 2 2 2 x y z
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
2 2 2
1 h h
o x
y
1 : z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧 记 , 1所围区域为, 则
I (
2
1 1
3
(r sin z )r dr d d z
o 1 x
y
0
2
d rd r ( r sin z ) d z
0 0
1
3
9 2
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2. 利用Gauss 公式计算积分
在 1 上 , 0
2
2 2
)( x cos y cos z cos ) d S
h d xd y
Dx y 2
2 ( x y z ) d x d y d z
I 2 ( x y z ) d xdydz
I
( x z x) d y d z x yz d z d x x z d x d y.
3
2
2 2
解: 作取下侧的辅助面
1 : z 1 ( x, y ) D x y : x y 1
2 2
z
2
1
I
1
1
用柱坐标
用极坐标
2
1
o
x
Dxy
2 2 2 3( x y z ) d v 3
3
3
3
1 R
3 3
3
R
d v 4 R
2
(2)
x r
dy d z
y r
3 3
dzdx
3
z
3 3
d xd y
x r 3
x
y r
r 3 y
3
z r
z
3 3
dv
h d xd y
Dx y
2
利用重心公式, 注意 x y 0
2 z d x d ydz h
z
4
1 h h
o x
y
2 z z d z h
2
0
h
4
h 2
1
4
*例3.
设 为曲面 z 2 x 2 y 2 , 1 z 2 取上侧, 求
0
2
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
1 y
d
0
1
dr
2 0
cos d
2
13 12
内容小结
高斯公式及其应用
公式:
P d y d z Q d z d x R d x d y
P x
Q y
R z