05-5对定轴的角动量守恒

m0
v0
子弹射入细杆后，子弹随细杆一起绕轴O转动 转动。 子弹射入细杆后，子弹随细杆一起绕轴 转动。 在整个过程中只有保守内力做功， 在整个过程中只有保守内力做功 ， 因此系统的机 械能守恒。 械能守恒。 选取细杆处在竖直位置时子弹的位置为重力 势能零点， 势能零点，系统的始末态的机械能分别为
1 l 2 E0 = Jω + mg (a − ) 2 2 l E = m0 ga(1 − cosθ ) + mg (a − cosθ ) 2 由机械能守恒有 E0 = E
解：
ω0
A 角动量守恒 l 1 2 1 2 2 Ml ω0 = ( Ml + ml )ω 3 3 机械能守恒 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ⋅ Ml ω0 = ⋅ Ml ω + mv 2 3 2 3 2
m M
v
θ
ω0
vτ
A
m M l
θ
v
M ω= ω0 M + 3m
lω0 v= M( 2M + 3m) M + 3m Ml vτ = ωl = ω0 M + 3m
a
θ
m0
v0
L0 = m0 v0 a
L = Jω
子弹射入杆后系统对转轴O的转动惯量 子弹射入杆后系统对转轴 的转动惯量
1 2 J = ml + m0 a 2 3 1 2 L = Jω = ( ml + m0 a 2 )ω 3
O a
θ
角动量守恒：L0=L 角动量守恒： 1 2 ( ml + m0 a 2 )ω = m0 v0 a 3
5.5 对定轴的角动量守恒
5.5.1 刚体的角动量
一、 刚体对定点的角动量 L Z Li mi Ri O
质点m 质点 i的动量 Pi = mi vi = mi ω × Ri = mi ω × ri mi对O点的角动量 点的角动量 Li = Ri × Pi 刚体对O点的角动量： 刚体对 点的角动量： 点的角动量 L = ∑ Ri × Pi 一般情况下角动量L的方向与角速度ω方向 并不一致。 并不一致。
可变， 乘积不变 (2）J 可变，Jω乘积不变 减小时， 增加； 增加时 减小。 当 J减小时， ω 增加 ； 当 J增加时 ， ω 减小 。 减小时 增加 例如跳水、芭蕾舞、茹可夫斯基凳等。 例如跳水、芭蕾舞、茹可夫斯基凳等。 演示实验： 演示实验：茹可夫斯基凳 (3）物体组的角动量守恒 演示实验： 演示实验：直升机
解得
1 1 − cosθ v0 = (ml + 2m0 a)(ml 2 + 3m0 a 2 ) g m0 a 3
例题3 质量为m的小圆环套在一长为 ， 例题3 质量为 的小圆环套在一长为 l，质量为 M的光滑均匀杆AB上，杆可以绕过其A端的固定轴 杆可以绕过其A 的光滑均匀杆 在水平面上自由旋转。 在水平面上自由旋转。 开始时杆旋转的角速度为 ω0 ， 而小环位于 A 点处 。 试求小环脱离杆时的速 而小环位于A 点处。 表示） 度（方向用与杆的夹角 θ 表示）
思考题
一个学生手持一绕竖直轴转动的车轮，站在一个可以 一个学生手持一绕竖直轴转动的车轮， 自由转动的静止平台上。如果她将车轮上下颠倒， 自由转动的静止平台上。如果她将车轮上下颠倒，将会出 现什么情况？ 现什么情况？
例题1 如图所示，一质量为 的子弹以水平速 例题1、如图所示，一质量为m的子弹以水平速 度射入一静止悬于顶端长棒的下端， 度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速 度损失3/4 3/4。 度损失3/4。求子弹穿出后棒的角速度ω。已知 棒长为l 质量为M 棒长为 ，质量为 。 代表棒对子弹的阻力, 解:以f 代表棒对子弹的阻力,对子弹 3 f d t = m ( v − v 0 ) = − mv 0 M ∫ 4 子弹对棒的反作用力 f′ 对棒的冲 量矩 v0
ω
二、 刚体对定轴的角动量
Z L Lz ri Li
Liz = Li cos θ = mi Ri vi cos θ
= mi ri vi
Liz = mi ri ω
2
θ
O
θ
Ri
mi
Lz = Σ( mi ri ω ) = (Σmi ri 2 )ω
2
LZ = Jω
ω
5.5.2 定轴转动刚体的角动量定理 刚体绕固定轴 的角动量为 刚体绕固定轴Z的角动量为 绕固定轴
vτ M θ = arcsin = arcsin v M (2M + 3m)
小 结 1、定轴转动刚体的角动量定理 、
∫M
0
t
Z
dt = Jω − Jω 0
2、角动量守恒定律 、
当MZ = 0时择题：6, 8 填空题： 填空题：4 计算题： ， 计算题：6，10
5.5.2 角动量守恒定律 当MZ = 0时
LZ = Jω = 常量
角动量守恒定律： 当作用在刚体（ 或几个刚体 角动量守恒定律 ： 当作用在刚体 （ 组成的系统） 组成的系统 ） 上的外力对固定转轴的合力矩为 零时， 这刚体（ 或几个刚体组成的系统） 零时 ， 这刚体 （ 或几个刚体组成的系统 ） 对该 轴的角动量守恒。 轴的角动量守恒。 角动量守恒的三种情况： 角动量守恒的三种情况： 不变， (1) J不变，角速度ω的大小和方向均不变 不变 演示：地球自转角速度的大小方向均不变 演示：
Lz = Jω
刚体定轴转动定律
dω d ( Jω ) dLZ M Z = Jβ = J = = dt dt dt
∫M
0
t
Z
dt = ∫ dLZ = LZ − LZ 0 = Jω − Jω 0
L0
L
作用于固定轴的外力矩在某段时间内的累积 效果，称为冲量矩 冲量矩。 效果，称为冲量矩。 刚体受到的冲量矩等于刚体角动量的增量。 刚体受到的冲量矩等于刚体角动量的增量。
l
∫
f ′ ld t = l ∫ f ′ d t = J ω
1 2 J = Ml 3
m v
f′=−f
9mv0 ω= 4Ml
例题2 一长为l、质量为m的均质细杆 的均质细杆， 例题 一长为 、质量为 的均质细杆，可绕光滑轴 O在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为 0的 在铅直面内摆动。 在铅直面内摆动 当杆静止时，一颗质量为m 子弹水平射入与轴相距为a处的杆内 并留在杆中， 处的杆内， 子弹水平射入与轴相距为 处的杆内，并留在杆中， 求子弹的初速率v 使杆能偏转到角度θ。求子弹的初速率 0。 子弹射入细杆的过程时间极短 极短， 解 ： 子弹射入细杆的过程时间 极短 ， O 可以认为细杆仍处于竖直位置。 可以认为细杆仍处于竖直位置。 考虑子弹和细杆所组成的系 系统的外力为子弹、 统 ， 系统的外力为子弹 、 细杆所 受重力及轴的支撑力， 受重力及轴的支撑力 ， 但这些力 对转轴O均无力矩 均无力矩， 对转轴 均无力矩 ， 故系统的角 动量守恒。 子弹射入细杆前后， 动量守恒 。 子弹射入细杆前后 ， 系统的角动量分别为