指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
D．y＝2ex
课前预习
课堂互动
课堂反馈
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20
30
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】
1．在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax<xn<ax 不成立？
提示 不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时， logax<xn<ax成立．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2．能否举例说明“指数爆炸”增长的含义？ 提示 如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增 长”，其“增长量”是成倍增加的，从图像上看出，存在 x0，当x>x0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效 果．
解析 由图像知，此函数的增长速度越来越慢，因此反映 的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度． 答案 幂函数或对数型
课前预习
课堂互动
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知识点三 三种函数的增长对比 对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数 函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定 有___a_x_>_x_n>_l_o_g_a_x____．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 1．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是
________． 解析 由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长 差异可判断出y＝3x的增长速度最快． 答案 y＝3x
北师版高中数学必修第一册3.3指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
解析答案
类型二 函数增长模型的应用 例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种 方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
反思与感悟 解析答案
解析答案
12345
4.当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( B )
A.2x＞x2＞log2x
B.x2＞2x＞log2x
C.2x＞log2x＞x2
D.x2＞log2x＞2x
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，
y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，
所以x2＞2x＞log2x.
B.y＝log3x D.y＝3x
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
解析答案
2.当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( B )
y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，
只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5和y＝0.25x的 下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才 符合公司的要求.
解析答案
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12345
1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( D )
Hale Waihona Puke A.y＝3x C.y＝x3
北师大版高中数学高一3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
626
901
32
1 024
32 768
1.05×10
63.Biblioteka 6×1071.07×10
9
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 关于x呈指数函数变化的变量是________．
60 6.907
解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来 越大时，函数 y＝2ex 增长速度最快． (2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的． 从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始 变化，变量 y1，y2，y3，y4 都是越来越大，但是增长速度不 同，其中变量 y2 的增长速度最快，可知变量 y2 关于 x 呈指 数函数变化．
【预习评价】 1．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是
________． 解析 由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长 差异可判断出y＝3x的增长速度最快． 答案 y＝3x
2 ． 如 图 所 示 曲 线 反 映 的 是 ____________ 函 数 模 型 的 增 长 趋 势．
(2)构造指数函数模型 g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点坐标代入，可得aabb＋ 2＋cc＝＝81，8， ab3＋c＝30，
解得 a＝1235，b＝65，c＝－42． 则 g(x)＝1235·65x－42， 故 g(4)＝1235·654－42＝44.4，与计划误差为 1.4.由(1)(2)可得， f(x)＝x2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量 y 与年份 x 的 关系.
3．当a>1时，有下列结论： ①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快． 其中正确的结论是________． 答案 ①④
§3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
§3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．三维目标1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．新知探究提出问题①在区间，＋上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.③结合函数的图像找出其交点坐标.④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数．图1③从图像看出y＝log2x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．④不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．9162536图2容易看出：y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值2x图3一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．应用示例例1 试利用计算器来计算2500的近似值．活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算．如何计算呢？我们可以充分利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值．解：第一步，利用科学计算器算出210＝1 024＝1.024×103；第二步，再计算2100，因为2100＝(210)10＝(1.024×103)10＝1.02410×1030，所以，我们只需要用科学计算器算出1．02410≈1.267 7，则2100≈1.267 7×1030；第三步，再计算2500，因为(2100)5≈(1.267 7×1030)5，我们只需要用科学计算器算出1．267 75≈3.274 0，从而算出2500≈3.27×10150.点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字．例 2 在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．解：设N t表示t世代种群的大小，N t＋1表示t＋1世代种群的大小，则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t＋1＝R0·N t，其中R0为世代净繁殖率．如果种群的R 0速率年复一年地增长，则N 1＝R 0N 0，N 2＝R 0N 1＝R 20N 0，N 3＝R 0N 2＝R 30N 0，…N t ＝R t0N 0.R 0是种群离散增长模型的重要参数，如果R 0＞1，种群上升；R 0＝1，种群稳定；0＜R 0＜1，种群下降；R 0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．思路2例3 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元．(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元？(2)设一次订购量为x 个时，零件的实际出厂价为p 元，写出p ＝f (x )．(3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时，该工厂的利润分别为多少？(一个零件的利润＝实际出厂价－成本)解：(1)设一次订购量为a 个时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a ＝100＋60－510.02＝550个．(2)p ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0<x ≤100，62－x 50，100<x <550，其中x ∈N ＋.51，x ≥550，(3)当销售商一次订购量为x 个时，该工厂的利润为y ，则y ＝(p －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ，0<x ≤100，22x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550.其中x ∈N ＋，故当x ＝500时，y ＝6 000；当x ＝1 000时，y ＝11 000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x ，y 的等式．例4 甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：图4甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由．(3)哪一年的规模(即总产量)最大？请说明理由．活动：观察函数图像，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示：先观察图像得出相关数据，利用数据找出函数模型．解：由题意可知，甲图像经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x＋0.8，乙图像经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y乙＝－4x＋34.(1)当x＝2时，y甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y乙＝－4×2＋34＝26，y甲·y乙＝1.2×26＝31.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万只)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设当第m年时的规模总产量为n，那么n＝y甲·y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25.因此，当m＝2时，n max＝31.2，即第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只．课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．课后作业：P103习题3—6 1,2.。
【教学设计】《 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》(北师大)
《 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》本节是第三章第六节内容，专门研究指数函数、对数函数、幂函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节学习，可以引导学生积极的展开观察、思考和探究活动。
【知识与能力目标】1、由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像；2、会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。
【过程与方法目标】1、让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化；2、学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质。
【情感态度价值观目标】使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心。
【教学重点】列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢。
【教学难点】指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分[互动过程1]复习:指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质．请你画出函数的草图,并观察比较函数图像的变化。
你能判断出哪个函数的函数值随的增长速度增长的比较快吗？二、研探新知，建构概念[互动过程2]提出问题：当时，指数函数是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当时，指数函数是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当时,幂函数显然也是增函数,并且当n越大时,其函数值的增长就越快。
那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢？我们通过对三个具体函数的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢。
1．完成下表（借助科学计算器或设计程序通过计算机完成）。
2．利用上表中的数据完成下表[互动过程3]1．谈谈你对这三个函数值增长快慢的体会．结论: 在这三个函数中，指数函数增长最快，人们常称这种现象为“指数爆炸”。
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》重点难点突破
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《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》重点难点突破
1.一般地，在区间(0,)+∞上，尽管函数x y a =（1a >），log (1)a y x a =>，(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x 的增大x y a =（1a >）的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长速度会越来越慢.因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log (1,0)n x a x x a a n <<>>.
2.选取上述三个增长函数模型时，应注意：
（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型
（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
3）幂函数模型(0)n y x n =>可以描述增长幅度不同的变化，当n 值较小（1n ≤）时，增长较慢；当n 值较大（1n >）时，增长较快.。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修1第三章 指数函数与对数函数§3．6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（导学案）[学习目标]1、知识与技能会利用计算工具，比较指数函数、幂函数和对数函数的增长快慢．2、 过程与方法（1）借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系 以及变化．（2）学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质．3、情感．态度与价值观通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心．[学习重点]: 列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢[学习难点]：指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长差异．[学习过程] ：【自主学习】请同学们在同一坐标系中画出函数x 22y 2,y x ,y log x ===的图像,并观察比较函数图像的变化．你能判断出哪个函数的函数值随x 的增长速度增长的比较快吗?谈谈你的体会。
【互动探究】提出问题：当a 1>时，指数函数x y a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快．当a 1>时，指数函数a y log x =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快．当x 0,n 1>>时,幂函数n y x =显然也是增函数,并且当n 越大时,其函数值的增长就越快．那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢?我们通过对三个具体函数xy2,=100y x(x0),=>2y log x=的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢．通过上面的表格谈谈你对这三个函数值增长快慢的体会．【实践应用】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？【巩固练习】1、0.32，log0.3，20.3这三个数之间大小关系是( )20.3;A. 0.32＜20.3＜log2B. 0.32＜log0.3＜20.3;20.3＜20.3＜0.32;C. log2D. log0.3＜0.32＜20.3;22、作图像，试比较函数y=4x,y=x4, y=log4x的增长情况.【课堂小结】请同学们谈谈本节课有什么收获？。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1 <logmx 在0，2内恒成立， 1 在0，2内的图像在
只需 y＝logmx
y＝x2 的上方，于是
0<m<1，如图所示．
1 1 2 ∵x＝2时，y＝x ＝4，
1 1 1 1 ∴只要 x＝ 时，y＝logm ≥ ＝logmm4 . 2 2 4 1 1 1 4 ∴2≤m ，即16≤m.
思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗？
本节内容
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾
二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
指数函数
1.当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，并 且底数越大，其函数值的增长就越快。
y 3x
y 2x
对数函数
2.当a＞1时，对数函数y=logax是增函数， 并且当底数越小时，其函数值的增长就越 y 快。
一粒米的故事
从前，有一个国王特别喜爱一项称为“围棋”的游戏， 于是他决定奖赏围棋的发明者，满足他的一个心愿. “陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我一粒米.”发 明者说. “只是一粒米？”国王回答说. “是的，只要在棋 盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加 倍放上四粒米…以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到 放慢棋盘为止，这就是我的愿望.” 国王很高兴. “如此廉 价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我 了."国王想. 于是国王大声地说“好！把棋盘拿出来让我的 臣子们一起见证我们的协议” ……
y=log2x y=log3x y=log5x O
(1,0)
x
三 幂函数y=xn (n>0)图像及n对图像影响yy=x2 Nhomakorabeay=x3
O
1
x
幂指数 n>0时，y=xn在第一象限是增 函数，且x>1时，n越大其函数值增长就 越快.
指数函数幂函数对数函数增长的比较
可得4a＋2b＋c＝18. 解得a＝1，b＝7，c＝0， 9a＋3b＋c＝30，
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
ab＋c＝8，
将点坐标代入，可得ab2＋c＝18， ab3＋c＝30，
解得a＝1235，b＝65，c＝－42.
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速 度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速 度越来越快
C
[函数f(x)＝log
1 2
x，g(x)＝
1 2
x
与h(x)＝x
－12
在区间(0，＋∞)上的
图象如图所示．
观察图象可知，函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递 减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．
c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型
能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？
[解] 建立年产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)， (2，18)，(3，30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入，
a＋b＋c＝8，
4．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元， 且 甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、 乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函 数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润； (2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图 比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
高中数学北师大版精品教案《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【教学目标】1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。
2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。
【教学重难点】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。
重点2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。
难点【教学过程】一、基础铺垫1三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数＝a是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当a>1时，对数函数＝og a是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。
当>0，n>1时，幂函数＝n也是增函数，并且当>1时，n越大，其函数值的增长就越快。
思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数2三种函数的增长对比对数函数＝og a a>1增长最慢，幂函数＝n n>0，指数函数＝aa>1增长的快慢交替出现，当足够大时，一定有a>n>og a。
思考2：在区间0，＋∞上，当a>1，n>0时，是否总有og a1，n>0，>0时，og a g1，f2g10。
∴12时，f>g，且g在0，＋∞上是增函数。
∴f2 016>g2 016>g8>f8。
【教师小结】函数＝aa>1＝og a a>1＝n n>0性质在0，＋∞上的单调性递增递增递增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同图象的变化随的增大越来越陡随的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同（二）指数、幂、对数比较大小1常用方法单调性法、图象法，中间搭桥法、作差商法。
2当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。
3比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小。
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§３．6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【使用说明与预习指导】
1、 认真阅读课本第98--103页的内容，认真归纳出98—99页三个表的规律以及100-103页信息技
术应用部分得到的规律，规范填写预习案部分的内容，并熟记基础知识。
2、 根据预习到的知识和以前学过的知识，小组合作、讨论完成【探究案】部分的内容，由组长负责，
拿出讨论结果，准备展示、点评。
3、 及时整理展示、点评的结果（用双色笔），独立完成【检测案】部分的内容并和组员核对结果。
【学习目标】
1.通过观察和类比函数图象，体会三种函数增长的快慢。
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
3.培养学生数形结合的思想以及分析推理能力 【重点难点】
重点：认识指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸，对数增长的含义； 难点：比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
【预习案】
1、幂函数的图像和性质： 函数 性质 y x =
2
y x =
3
y x =
12
y x =
1
y x -=
定义域 值 域 单调性
奇偶性 定点坐标
幂函数的图像一定过 ，一定不过 。
2、指数函数与对数函数的图像和性质： 指数函数
对数函数
图 像
性 质
定义域： 定义域： 值 域： 值域： 定点坐标：
定点坐标：
当0x >时， ，
当0x <时， 当1>x 时， ，
当10<<x 时， 单调性：
单调性：
x y a =的图像与1
()x y a
=的图像关于
对称
log a y x =的图像与1log a
y x =的图像关
于 对称
x y a =与log a y x =互为 ，它们的图像关于 对称。
【探究案】
探究1.在左下图中画函数x
y 2=、2
x y =的图像。
x
0 1 2 3 4 5 x y 2=
3x y =
探究2.在右下图中画函数x
y 3=、3
x y =的图像。
x
0 1 2 3 4 x y 3=
3x y =
结合上图及课本98—99页、100—103页的内容可得下面的结论：
①在同一坐标系中，指数函数x a y =与幂函数a
x y =有 个交点。
②在同一坐标系中，虽然函数(1),log (1),(0)x n
a y a a y x a y x n =>=>=>都是增函数，但是
它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x 的增大，指数函数的增长速度越来越快，会
超过并远远大于幂函数的增长速度，人们常称这种增长为“指数爆炸”，而对数函数的增长速度则会
越来越慢，因此，总会存在一个0x ，使得0x x >时，log n x
a x x a <<恒成立。
同理，在同一坐标系中，虽然函数(01),log (01),(0)x n
a y a a y x a y x n =<<=<<=<都是减函数，但是它们的衰减速
度不同，而且不在同一“档次”上，随着x 的增大，指数函数的衰减速度越来越慢，会远远小于幂函数的衰减速度，而对数函数的衰减速度会越来越快，因此，总会存在一个0x ，使得0x x >时，
log n x a x x a >>恒成立。
③若1>a ，0>n 时，当x 足够大时，一定有x x a a n
x log .
探究3.已知⎩
⎨⎧≤>=020
log )(2x x x x f x ，m x g =)(，求m 为何值时，)(x f 与)(x g 的图像有一个交点
何时有两个交点?何时没有交点?
探究4.比较30
2与20
3的大小。
【检测案】
1．函数y 1＝2x 与y 2＝x 2，当x ＞0时，图象的交点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 2．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( )
A ．y ＝50(x ∈Z )
B ．y ＝1 000x
C ．y ＝0.4·2x －
1 D ．y ＝
1
100 000
·e x
3．下面对函数x x f 2
1log )(=与x
x g )2
1()(=在区间),0(+∞上的衰减情况说法正确的是（ ）
A ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越快
B ．f (x )的衰减速度越来越快，g (x )的衰减速度越来越慢
C ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越慢
D ．f (x )的衰减速度越来越快，g (x )的衰减速度越来越快
４．当2<x <4时，2x ，x 2
，log 2x ，的大小关系是( )
A ．2x >x 2>log 2x
B ．x 2>2x >log 2x
C ．2x >log 2x ＞x 2
D ．x 2>log 2x >2x
５．若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 的大小关系是________________． ６．试比较函数y ＝x 200，y ＝e x ，y ＝lg x 的增长差异．
７．函数f (x )
＝1.1x
，g (x )＝ln x ＋1，2
1)(x x h =的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，
并比较三个函数的增长差异(以1，e ，a ，b ，c ，d 为分界点)．
x。