离散数学答案(尹宝林版)第四章
《离散数学》课件_第4章
图4.1.1
函数区别于一般二元关系的两个特征如下： (1) 函数f的定义域 dom f=X。 (2) 对于每一个x∈X， 在Y中有且仅有唯一的一个元素y， 满足〈x, y〉∈f， 即对y1, y2∈Y，
函数f下的映像记为f(x1, x2, …, xn)。
4.1.2 递归定义的函数
当函数的前域是用归纳定义的集合时， 可以采用递归 定义(recursive definitions)的方法定义函数。 递归定义的规 则是: 用已经得到的元素函数值和给定的函数来计算新元素 的函数值。
4.2 特 殊 函 数 类
X上的n次置换常写成
P
f
x1 (x1 )
x2 ... f (x2 ) ...
f
xn (xn
)
的形式。
*4.3 鸽 巢 原 理
定理4.3.1 如果让m只鸽子飞入n(n＜m)个鸽巢内， 那 么至少有一个鸽巢飞入两只或更多的鸽子。
证明 假设没有一个鸽巢中飞入两只或更多的鸽子， 那 么每个鸽巢中至多飞入一只鸽子， 因此鸽子总数至多为n只， 这与鸽子总数m大于n矛盾。 因此， 至少有一个鸽巢中飞入 两只或更多的鸽子。
充分性。 若f是满射函数， 假设f不是单射函数， 则存 在a, b∈X， a≠b且f(a)=f(b)。 所以有|X|＞|f(X)|， 而|X|=|Y|， 因此有|Y|＞|f(X)|。 因为|Y|是有限的， 故f(X) ⊂ Y。 这与f是 满射函数矛盾。
定义4.2.2 对于函数f: X→Y， 若存在元素c∈Y， 对于任 意x∈X都有f(x)=c， 则称f为常函数(constant function)。
自考离散数学第4章
例：设集合A={a,b,c,d},在A上定义两个运算*和
，如表所示： 解：b,d是A中关于*运算的左幺元，而a是A中关于运算的右幺元。
a d a a a b a b b b c b c c c d c d c d a b c
* a b c d
a a b c
b b a d
c d c a
定义4.3.7 设<G,*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a
例：设A={a,b,c,d}，*为A上的二元运算，
* a b c d
a a b c d
b b d a a
c c a b c
d d c b d
可以看出a为单位元。由a*a=a,b*c=a,c*b=a,d*b=a, 故a有逆元a；b有左逆元c，d；c有左逆元b；b有右逆元c；c有右逆元b；d有
定义4.3.2 设<G,*> 为一个群，如果G是有限集合，则称<G,*> 是有限群。G中
元素的个数通常称为有限群的阶数，记为|G|。
定义4.3.3 若群G中，只含有一个元素，即G={e},|G|=1,则称G为平凡群。 例：设G={e,a,b,c},运算*如表所示：
* e a b c
e e a b c
4.2 半群与独异点
4.3 群与子群
定义4.3.1 设<G,*>为一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，
① 如果*是封闭的； ② 运算*是可结合的； ③ 存在幺元e； ④ 对于每一个元素x G，存在它的逆元x-1； 则称<G,*>是一个群。
4.3 群与子群
4.3 群与子群
4.1 代数系统
离散数学答案版(全)
1.2.4
0 0 1 1 条件联结词→
P
0 1 0 1
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1） P↑P ﹁（P∧P） ﹁P； （2） （P↑Q）↑（P↑Q） ﹁（P↑Q） P∧Q； （3） （P↑P）↑（Q↑Q） ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1）P↓P ﹁（P∨Q） ﹁P； （2） （P↓Q）↓（P↓Q） ﹁（P↓Q） P∨Q； （3） （P↓P）↓（Q↓Q） ﹁P↓﹁Q ﹁（﹁P∨﹁Q） P∧Q。
石材加工 红提采摘 2 金刚石磨头
1.5
对偶与范式
1.5.1 对偶 定义 在仅含有联结词 Ø、∧、∨的命题公式 A 中，将联结词∧换成∨，将 ∨换成∧，如果 A 中含有特殊变元 0 或 1，就将 0 换成 1，1 换成 0，所得的命题 公式 A*称为 A 的对偶式。 例：公式（ P∨Q）∧（P∨ Q） 的对偶式为： （ P∧Q）∨（P∧ Q） 定理 设 A 和 A*互为对偶式，P1，P2，…，Pn 是出现在 A 和 A*中的所有原子
P
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
离散数学答案版(全)
1.2.4
0 0 1 11
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1） P↑P ﹁（P∧P） ﹁P； （2） （P↑Q）↑（P↑Q） ﹁（P↑Q） P∧Q； （3） （P↑P）↑（Q↑Q） ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
定义设pq是两个命题公式复合命题pq称为命题pq的条件否定当且仅当p的真值为1q的真值为0时pq的真值为1否则pq的真值为0172最小联结词组定义设s是一些联结词组成的非空集合如果任何的命题公式都可以用仅包含s中的联结词的公式表示则称s是联结词的全功能集
第一章
命题逻辑
内容： 命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵 式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。 教学目的： 1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。 4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5．熟练掌握形式演绎的方法。
式中每一个析取项都是 P1，P2，…，Pn 的一个极大项，则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常，主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项， 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
1.6
公式的蕴涵
离散数学形考任务4各章综合练习答案
离散数学形成性考核作业4离散数学综合练习书面作业要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word文档．3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、公式翻译题1．请将语句“小王去上课，小李也去上课．”翻译成命题公式．答：设P :小王去上课。
Q :小李去上课。
则命题公式P ∧Q2．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．答：设P:他去旅游。
Q:他有时间。
则命题公式P→Q3．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．答：设A(x):x是人B(x):去工作则谓词公式∃x(A(x) ∧ B(x))4．请将语句“所有人都努力学习．”翻译成谓词公式．ο οο ο a b c d ο ο ο g e f h ο 答：设A(x):x 是人B(x):努力学习则谓词公式∀x(A(x) ∧B(x))二、计算题1．设A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算（1）(A -B )； （2）(A ∩B )； （3）A ×B ．解:(1)A -B ={{1},{2}}(2)A ∩B ={1,2}(3)A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1, {1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2, {1,2}>}2．设A ={1，2，3，4，5}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤4}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，试求R ，S ，R •S ，S •R ，R -1，S -1，r (S )，s (R )．解:R ={<1,1>,<1,2>,<1,3><2,1><2,2><3,1>}S =空集R •S =空集S •R =空集R -1={<1,1>,<2,1><3,1><1,2><2,2><1,3>}S -1=空集r (S )={<1,1><2,2><3,3><4,4><5,5>}s (R )={<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><3,1>}3．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．(1) 写出关系R 的表示式； (2) 画出关系R 的哈斯图；答： (1)R={<1,1><1,2><1,3><1,4><1,5><1,6><1,7><1,8><2,2><2,4><2,6><2,8><3,3><3,6><4,4><4,8><5,5><6,6><7,7><8,8>}(2)R 的哈斯图为(3)集合B 没有最大元,最小元是24．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．解：(1)(2) 邻接矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110010110110110110000100 (3) v 1结点度数为1，v 2结点度数为2，v 3结点度数为3，v 4结点度数为2，v 5结点度数为2(4) 补图图形为ο ο ο ο v 1 ο v 5v 2 v 3 v 4 ο ο ο ο v 1 οv 5 v 2 v 3 v 45．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．解：（1）G的图形如下：（2）写出G的邻接矩阵（3）G权最小的生成树及其权值6．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=1317． 求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式． 答：P →Q ∨R ⌝ P ∨Q ∨R析取范式、合取范式、主合取范式都为⌝ P ∨Q ∨R主析取范式为（⌝ P ∧⌝ Q ∧⌝ R ）∨（⌝ P ∧⌝ Q ∧ R ）∨（⌝ P ∧Q ∧⌝ R ）∨ （⌝ P ∧ Q ∧ R ）∨（P ∧⌝ Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧⌝ R ）∨（ P ∧Q ∧ R ）8．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元． 答： （1） 量词 x 的辖域为量词 z 的辖域为Q(y,x,z) 3 5 2 5171731136量词 y 的辖域为R(y,z)（2）P(x,y)中的x 是约束变元，y 是自由变元Q(y,x,z)中的x 和z 是约束变元，y 是自由变元 R(y,z)中的z 是自由变元，y 是约束变元9．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式(∀y )(∃x )P (x ,y )消去量词后的等值式； 答：(∀y )(∃x )P (x ,y ) = ∃xP(x, a1) ∧∃ xP(x, a2)=( P(a1, a1) ∨P(a2, a1)) ∧( P(a1, a2) ∨ P(a1, a2))三、证明题1．对任意三个集合A , B 和C ，试证明：若A ⨯B = A ⨯C ，且A ≠∅，则B = C ．答：(1)对于任意<a,b>∈A×B,其中a ∈A,b ∈B,因为A×B= A×C,必有<a,b>∈A×C,其中b ∈C 因此B ⊆C(2)同理,对于任意<a,c>∈A×C,其中,a ∈A,c ∈C,因为A×B= A×C必有<a,c>∈A×B,其中c ∈B,因此C ⊆B有(1)(2)得B=C2．试证明：若R 与S 是集合A 上的自反关系，则R ∩S 也是集合A 上的自反关系．答：若R 与S 是集合A 上的自反关系,则任意x ∈A,<x,x>∈R,<x,x>∈S, 从而<x,x>∈R∩S,注意x 是A 的任意元素,所以R∩S 也是集合A 上的自反关系.3．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k 条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2k 条边到图G 才能使其成为欧拉图．4．试证明 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝ (P ∨⌝Q )等价．证明：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q(⌝P ∨ (Q ∨⌝R )) ∧⌝P ∧Q(⌝P ∨ Q ∨⌝R ) ∧⌝P ∧Q(⌝P ∧⌝P ∧ Q) ∨( Q ∧⌝P ∧Q) ∨(⌝R ∧⌝P ∧Q)(⌝P ∧Q) ∨(⌝P ∧Q) ∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )⌝P ∧Q (吸收律) ⌝ (P ∨⌝Q ) （摩根律）5．试证明：⌝(A ∧⌝B )∧(⌝B ∨C )∧⌝C ⇒⌝A ．证明：⌝(A ∧⌝B )∧(⌝B ∨C )∧⌝C ⇒⌝A(⌝A ∨B )∧(⌝B ∨C )∧⌝C(⌝A ∨B )∧（(⌝B ∧⌝C)∨（C ∧⌝C )）(⌝A ∨B )∧（(⌝B ∧⌝C)∨0）(⌝A ∨B )∧(⌝B ∧⌝C)（⌝A ∧（⌝B ∧⌝C) ）∨（B ∧（⌝B ∧⌝C ））(⌝A ∧⌝B ∧⌝C) ∨0⌝A ∧⌝B ∧⌝C ⌝ （A ∨B ∨C ）故由左边不可推出右边 ┐A。
自考2324离散数学第四章课后答案
自考2324离散数学课后答案4.1习题参考答案--------------------------------------------------------------------------------1、在自然数集N中，下列哪种运算是可结合的( )。
a)、a*b=a-b b) a*b=max(a,b)c)、a*b=a+2b d) a*b=|a-b|根据结合律的定义在自然数集N中任取a,b,c 三数，察看(a。
b)。
c=a。
(b。
c) 是否成立？可以发现只有b、c 满足结合律。
晓津观点：b)满足结合律，分析如下：a) 若有a,b,c∈N，则(a*b)*c =(a-b)-ca*(b*c) =a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。
b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。
a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。
此运算是可结合的。
c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。
d)运用同样的分析可知其不是可结合的。
--------------------------------------------------------------------------------2、设集合A={1，2，3，4，...，10},下面定义的哪种运算，关于集合A是不封闭的?a) x*y=max(x,y)b) x*y=min(x,y);c) x*y=GCD(x,y),即x,y最大公约数；d) x*y=LCM(x,y) 即x,y最小公倍数；d)是不封闭的。
--------------------------------------------------------------------------------3、设S是非空有限集，代数系统<(s),∪,∩>中，(s)上，对∪的幺元为___φ___，零元为___S____，(s)上对∩的幺元为___S_____零元___φ____。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学第四章
易证代数系统< B,+, 。 >满足<I,＋, · >的六条性质（讨论） 我们把满足上述六条性质的代数系统称为整环。即：
定义2: 设J是一个非空集合,+和 · 是J上的两个二元运算,如 果+和 · 满足 （1）交换律: 任意i, j∈I 有 i+ j= j + i ; i · j= j · i 。
二元运算+: 二元运算 I2→I
+(8,-7)=1 通常的加法 通常的加法. 乘法是整数集I上的二元运算 但除法不是I上 上的二元运算,但除法不是 注: 加. 减. 乘法是整数集 上的二元运算 但除法不是 上 的二元运算, 的二元运算 因为
a ∉A= I p
当 ≠1 p 时
乘法是自然集N上的二元运算 减法则不是. 上的二元运算,减法则不是 加. 乘法是自然集 上的二元运算 减法则不是 集合的交,并是全集 上的二元运算,也是 任一集合上的幂 集合的交 并是全集U上的二元运算 也是 并是全集 上的二元运算 集 上的二元运算,补是这些集合上的二元运算 上的二元运算 补是这些集合上的二元运算. 补是这些集合上的二元运算 二 .运算的表示 运算的表示
一般用符号 ~ 、* 、 算和二元运算. 算和二元运算
o
、+ 、— 、∪、∩等表示一元运 等表示一元运
一元运算一般将它的运算符号放在a 的左边或上方， 一元运算一般将它的运算符号放在 i∈A的左边或上方， 的左边或上方 以表示再此种运算下的象。 以表示再此种运算下的象。 而二元运算一般将它的运算符号放在a 之间， 而二元运算一般将它的运算符号放在 i与aj ∈A之间， 之间 以表示再此种运算下（ 的象。 以表示再此种运算下（ai ，aj）的象。如f （ai ，aj）写成 ai f aj 或ai*aj .
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离散数学答案(尹宝林版)第四章
1. 关系
在离散数学中，关系是研究对象之间的某种联系或关联性
质的数学概念。
本章主要介绍了关系的基本定义、性质和运算。
1.1 关系的定义
关系可以用一个有序对的集合表示，其中每个有序对表示
一对对象之间的关系。
关系可以用集合论的符号进行表示。
关系可以是从一个集合到另一个集合的映射，也可以是集
合中元素之间的某种特定关联性质。
1.2 关系的性质
本章介绍了关系的一些基本性质，包括自反性、对称性、
反对称性和传递性。
•自反性：如果关系中的每个元素都和自身有关系，
则称该关系具有自反性。
•对称性：如果关系中的每个元素对都是成对出现的，则称该关系具有对称性。
•反对称性：如果关系中的每个元素对要么不存在关系，要么只有一个关系，且当存在关系时，它们不对称，
则称该关系具有反对称性。
•传递性：如果关系中的每个元素对都是成对出现的，并且如果 (a, b) 和 (b, c) 属于关系，则 (a, c) 也属于关系。
1.3 关系的运算
本章介绍了关系的运算，包括并、交、补、复合和幂运算。
•并运算：对于两个关系 R 和 S，它们的并运算 R ∪ S 定义为包含所有存在于 R 或 S 中的元素对的关系。
•交运算：对于两个关系 R 和 S，它们的交运算R ∩ S 定义为包含所有同时存在于 R 和 S 中的元素对的关系。
•补运算：对于关系 R，它的补运算R’ 定义为不包含在 R 中的所有元素对的关系。
•复合运算：对于两个关系 R 和 S，它们的复合运算
R ∘ S 定义为对 R 中的每个元素 a，找到与 a 相关联的元素
对 (a, b)，然后找到与 b 相关联的元素对 (b, c)，最终得到
元素对 (a, c) 的关系。
•幂运算：对于关系 R，它的幂运算 R^n 定义为 R 的复合运算 n 次。
2. 关系的应用
关系在离散数学中有着广泛的应用，特别是在逻辑学、图论和计算机科学中。
2.1 逻辑学中的关系
逻辑学是研究命题逻辑、谓词逻辑和推理的学科。
关系在逻辑学中扮演着重要的角色，可以用来表示逻辑命题之间的关系，如等价关系和蕴含关系。
2.2 图论中的关系
图论是研究图及其性质的学科，图由节点和边构成。
在图论中，关系可以用来表示节点之间的连接关系，如有向图中的箭头表示节点之间的有向关系，无向图中的边表示节点之间的无向关系。
2.3 计算机科学中的关系
在计算机科学中，关系被广泛应用于数据库和离散数学中
的算法设计等领域。
关系数据库使用关系模型来组织和管理数据，其中关系用于表示表之间的关联性质。
3. 总结
第四章主要介绍了关系的基本定义、性质和运算。
关系是
离散数学中研究对象之间联系的数学概念，具有自反性、对称性、反对称性和传递性等性质。
关系的运算包括并、交、补、复合和幂运算，这些运算在离散数学的应用中起着重要的作用。
关系在逻辑学、图论和计算机科学中都有广泛的应用，特别是在数据库管理和算法设计等领域。
希望这章的内容能够帮助大家更好地理解和应用离散数学
中的关系概念。