第五章 第二讲 等差数列及其前n项和
2012届高三一轮复习 人教A版第五章第二节等差数列及其前n项和
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考点一 等差数列的基本运算
【解析】 (1)设公差为 d，则 解析】 设公差为 ， 等差数列的性质得－ 等差数列的性质得 － 3d(a4＋ a3)＝d(a4 ＋ a3)，因为 ＝ ， d≠0，所以 a4＋a3＝0，即 2a1＋5d＝0，① ≠ ， ， ＝ ， 7×6 × d＝7，即 a1＋3d＝1，② 又由 S7＝7 得 7a1＋ ＝ ， ＝ ， 2 ①②联立 联立， ＝－5， ＝ ，所以数列{a 的 ①②联立，解得 a1＝－ ，d＝2，所以数列 n}的 － ， 通项公式 an＝2n－7，前 n 项和 Sn＝n2－6n.
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等差数列创新题基本类型及求解策略专题
a n −1 2a n −1 + 1 = （1）当 n ≥ 2 时，由 ，得 解： an 1 − 2a n a n −1 − a n = 4a n −1 a n ，两边同除以 1 1 1 1 a n −1 a n ，得 − = 4 ，即 − = 4对 a n a n −1 a n a n −1 1 1 ∗ n > 1, n ∈ N 时成立，所以 { } 是以 = 5 为首项，以 d an a1
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考点二 等差数列的判定
1 ＝－2S . 当 n≥2 时，an＝－ n·Sn－1＝－ ≥ 2n(n－1) ( － ) 1 不适合上式， 又∵a1＝2，不适合上式， 1 (n＝1)， ＝ ) 2 故 an＝ 1 ≥ ) －2n(n－1)(n≥2). ( － )
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考点二 等差数列的判定 【拓展提升】1.等差数列的判定通常有两种方法 拓展提升】 等差数列的判定通常有两种方法 ： 常数)(n≥2，n∈N*)； (1)利用定义，an－an－1＝d(常数 利用定义， 利用定义 常数 ， ∈ ； － (2)利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2， 利用等差中项， 利用等差中项 ， ＋ － n∈N*)． ∈ ． 2．解选择题、填空题时，亦可用通项或前 项和 ．解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和 直接判断． 直接判断． (1)通项法：若数列 n}的通项公式为 的一次函数 通项法： 的通项公式为n的一次函数 通项法 若数列{a 的通项公式为 是等差数列． ，即an＝An＋B，则{an}是等差数列． ＋ ， 是等差数列 的前n项和 (2)前n项和法：若数列{an}的前 项和Sn是An2＋Bn 前 项和法：若数列 项和法 的前 项和 的形式(A， 是常数 是常数)， 为等差数列． 的形式 ，B是常数 ，则{an}为等差数列． 为等差数列
等差数列前n项和的性质ppt课件
解析： 方法一：设 an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1＋(n－1)e.
取 n＝1，则ab11＝TS11＝12，所以 b1＝2a1.所Βιβλιοθήκη 以Sn Tn＝
na1＋nn－ 2 1d nb1＋nn－ 2 1e
＝
a1＋n－2 1d b1＋n－2 1e
＝
a1＋n2d－d2 2a1＋n2e－2e
＝
3n2＋n 1，
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求 前110项之和．
由题目可获取以下主要信息： ①S10＝100，S100＝10；②此数列为等差数列． 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答．
[解题过程] 方法一：设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝na1＋nn－2 1d.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9 ＝________.
解析： 由等差数列的性质S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9 ＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，故填24.
答案： 24
4．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求 S13. (2)等差数列{an}的公差 d＝12，且 S100＝145， 求 a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解析： (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8. ∴S13＝13a12＋a13＝13×8＝104. (2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145， 又 d＝12，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.
an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1] ＝2n－4，
数学(理科) 第五章 第2讲 等差数列
方法二，∵S10＝10a12＋a10＝60，∴a1＋a10＝12.
由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4＝12. 又∵a7＝7，∴a4＝5.故选C.
答案：C
考点 3 等差数列前 n 项和的最值问题
例 3：(1)(2013 年新课标Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn， 已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________.
(3)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则Snn是等差数列. (4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－ S2k，S4k－S3k是等差数列. (5)等差数列的单调性：若公差 d>0，则数列单调递增；若 公差 d<0，则数列单调递减；若公差 d＝0，则数列为常数列. 7.等差数列的最值 在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
(3)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
)
A.－449
B.－489
C.－14
D.－28
解析：由2ann－＋13＝2na－n 5＋1，得2n＋an＋ 11－5＝2na－n 5＋1， 又2－a1 5＝－5， 所以数列2na－n 5是以首项为－5，公差为 1 的等差数列. 则2na－n 5＝－5＋n－1＝n－6.故 an＝(2n－5)(n－6)，n∈N*. 因为当且仅当 n＝3,4,5 时，an<0，而当 n＝6 时，a6＝0， 故 S5＝S6. 所以 Sn－Sm 的最小值为 S5－S2＝a3＋a4＋a5＝－14.
方法四，由等差数列的性质，知Snn是等差数列，∴S1100，S2200， S3300，S4400，即110，S2200，16，S4400成等差数列.∴S4400＝16＋16－2110＝15. ∴S40＝8.故选 B.
高中数学课件第五章第二节《等差数列及其前n项和》
的思想解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换 作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示 已知和未知是常用方法.
[特别警示] 因为 ＝ n＋a1－ ，故数列{ }是 等差数列.
(2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，
Sn为其前n项和，满足
，S7＝7.
则a6＝
.
解析：∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6， 则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 答案：13
5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，
则S7∶S3等于
.
解析：
＝2.
答案：2∶1
6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对 任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上. (1)求c，an； (2)若kn＝ ，求数列{kn}的前n项和Tn.
个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定 义的表达式为 an＋1－an＝d(n∈N*) .
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公 式为an＝ a1＋(n－1)d .
[思考探究1] 已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n
项an能否用am与d表示？ 提示：可以.an＝am＋(n－m)d.
C.
D.2
解析：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1， 则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－ . 答案：B
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，
则S7等于
()
A.13
B.35
第二讲：等差数列及其前n项和
第二讲：等差数列及其前n 项和知识体系：一、等差数列1、等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
定义的表达式为1,n n a a d d +-=为常数。
2、等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
3、等差数列的通项公式及其变形： 通项公式：，其中1a 是首项，d 是公差。
通项公式的变形：(),n m a a n m d n m =+-≠注意：等差数列通项公式的应用：（1）由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可知： ① 已知等差数列的首项和公差，可以求得这个数列的任何一项； ② 已知1,,,n a d n a ,这四个量中的任意三个，可以求得另一个量；（2）由等差数列通项公式变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项。
4、等差数列和一次函数的关系由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-可得1()n a dn a d =+-，如果设1,p d q a d ==-那么n a pn q =+，其中p ，q 是常数。
当p ≠0时，（n ，a ）在一次函数y=px+q 的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。
当p=0时，n a q =，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x 轴的直线（或x 轴）上的均匀排开的一群孤立的点。
等差数列的单调性：当d ＞0时，数列{}n a 为递增数列；当d ＜0时，数列{}n a 为递减数列；当d =0时，数列{}n a 为常数列； 二、等差数列的前n 和：1、等差数列的前n 项和：等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+； 等差数列前n 项和公式与函数的关系：由1(1)2n n n S na d -=+可得21()22n d dS n a n =+-，设1,22d da b a ==-，则有2n S an bn =+。
第5章第2讲 等差数列及其前n项和
第2讲等差数列及其前n项和1.等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从01第2项起，每一项与它前一项的02差都等于03同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的04公差，通常用字母d表示．数学语言表示为05a n＋1－a n＝d(n∈N*)，d 为常数．(2)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝06a＋b2.2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝01a1＋(n－1)d ，可推广为a n ＝a m ＋02 (n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝03 na 1＋n (n －1)2d (其中n ∈N *)． 3．等差数列的相关性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，01 a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则02 2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为03 md (k ，m ∈N *)．(3)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为04 n 2d .(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差为05 12d .4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，它是关于n 的二次函数，数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最01 大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最02 小值．1．概念辨析(1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的增减性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)若{a n }是等差数列，则下列数列中，也成等差数列的是( )A ．{a 2n }B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a nC ．{3a n }D ．{|a n |}答案 C解析 记等差数列－3，－1,1,3为{a n }，则易知{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{|a n |}不是等差数列，排除A ，B ，D ；对于C ，因为3a n ＋1－3a n ＝3(a n ＋1－a n )＝3d 为常数，所以{3a n }也成等差数列．(2)在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2B ．3C ．－2D ．－3答案 B解析 由题意可得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2，7a 1＋7×62d ＝56，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3.(3)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝3n －1解析 因为a n ＋1－a n ＝3，n ∈N *，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，又因为a 1＝2，所以a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(4)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180解析 由等差数列的性质可得 a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，又因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，所以5a 5＝450，a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.题型 一 等差数列基本量的运算1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A.2．(2020·碑林区期末)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a 1＝________.答案 2解析 由题可知3a 2＝12，① (a 2－d )a 2(a 2＋d )＝48，② 将①代入②得(4－d )(4＋d )＝12，解得d ＝2或d ＝－2(舍去)， 所以a 1＝a 2－d ＝4－2＝2.3．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．1．等差数列基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．如举例说明1.2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为2d )．见举例说明2.1．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.答案 4解析 由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1， 所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1， S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4.2．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2. (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解 (1)由题意，得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4，所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d <0， 由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ， 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.题型 二 等差数列的判定与证明(2019·贵州适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n .(1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解 (1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15. (2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ， 得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .条件探究1 本例中，若将条件改为“a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)”．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)， 整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.条件探究2 将本例中的条件改为“a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)”．求证：数列{b n }是等差数列．证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．判定数列{a n}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一个常数．见举例说明．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1.(3)通项公式法：数列的通项公式a n是n的一次函数．(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式S n是n的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．1．正项数列{a n}满足a1＝1，a2＝2,2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.答案19解析由2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N*，n≥2)，得数列{a2n}是等差数列，公差d＝a22－a21＝3，首项a21＝1，所以a2n＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴a n＝3n－2，∴a7＝19.2．(2019·沈阳模拟)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.(1)求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；(2)是否存在正整数n，使S n，S n＋2＋2n，S n＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－6，∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ， S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝7n －3n 2.(2)由(1)知S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6， 2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4， 若存在正整数n 使得S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列， 则－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5， ∴存在n ＝5，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列．题型 三 等差数列的性质角度1 等差数列通项性质的应用1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 2＝10，则S 15＝( ) A ．20 B ．75 C ．300 D ．150答案 D解析 解法一：设数列{a n }的公差为d ，由2a 5－a 2＝10，得2(a 1＋4d )－(a 1＋d )＝10，整理得a 1＋7d ＝10，S 15＝15a 1＋15×142d ＝15(a 1＋7d )＝15×10＝150.故选D.解法二：由题意知，a 2＋a 8＝2a 5，所以2a 5－a 2＝a 8＝10，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15×2a82＝150.故选D.2．设公差为－3的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2019＝2019，则a3＋a6＋a9＋…＋a2019＝( )A．－673 B．－1346C．673 D．1346答案 B解析解法一：设等差数列{a n}的首项为a1，则S2019＝2019a1＋1 2×2019×2018×(－3)＝2019，解得a1＝3028，所以a3＝3022，则a3＋a6＋a9＋…＋a2019＝3022×673＋12×673×672×(－9)＝－1346.故选B.解法二：S2019＝(a1＋a4＋a7＋…＋a2017)＋(a2＋a5＋a8＋…＋a2018)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)＝(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)－673×(－6)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)－673×(－3)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)＝3(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)－673×(－9)＝2019，解得a3＋a6＋a9＋…＋a2019＝－1346.故选B.角度2 等差数列前n项和性质的应用3．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2020＝________.答案 10100 解析由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 20142014－S 20082008＝6d ＝6， ∴d ＝1.故S 20202020＝S 11＋2019d ＝－2014＋2019＝5， ∴S 2020＝5×2020＝10100.4．(2019·太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .解 设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162. 又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.应用等差数列的性质解题的三个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m(或其他项)有关的条件；若求a m项，可由a m＝12(a m－n＋a m＋n)转化为求a m－n，a m＋n 或a m＋n＋a m－n的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如a n＝a m＋(n－m)d，d＝a n－a mn－m，S2n－1＝(2n－1)a n，S n＝n(a1＋a n)2＝n(a2＋a n－1)2(n，m∈N*)等．(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a 中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．如举例说明4.1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A．63 B．45C．36 D．27答案 B解析由{a n}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n＝324(n>6)，则数列{a n}的项数为________．答案18解析 由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.题型 四 等差数列前n 项和的最值问题1．(2019·西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13答案 C解析 由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以{a n }为递减数列，又S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，故选C.2．(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．答案 0 －10解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 5＝52(a 1＋a 5)＝52×2a 3＝－10，得a 3＝－2，∴d ＝a 3－a 2＝－2－(－3)＝1，∴a 1＝－3－1＝－4，∴a 5＝a 1＋4d ＝－4＋4＝0.解法一：∵a 1＝－4，d ＝1，∴S n ＝－4n ＋n (n －1)2×1＝12(n 2－9n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－818.∵n ∈N *，∴当n ＝4或5时，S n 取最小值，为S 4＝S 5＝－10.解法二：∵a 1＝－4，d ＝1，∴a n ＝－4＋(n －1)×1＝n －5.由a n ≤0得n ≤5，且n ＝5时，a 5＝0，故当n ＝4或5时，S n 取最小值，为S 4＝S 5＝5×(－4＋0)2＝－10.求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋b 2a 2－b 24a ，求“二次函数”最值．如举例说明2解法一．(2)邻项变号法①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .如举例说明2解法二．(2020·华中师范大学附中模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3·2n (n ∈N ＋)，数列{b n }为等差数列，其前n 项和为T n ，若b 2＝a 5，b 10＝S 3，则T n 取最大值时n ＝________.答案 17或18解析 由已知得b 2＝a 5＝S 5－S 4＝3×25－3×24＝48， b 10＝S 3＝3×23＝24. 设等差数列{b n }的公差为d ， 则8d ＝b 10－b 2＝－24，d ＝－3，所以b n ＝b 2＋(n －2)d ＝48－3(n －2)＝54－3n ， 所以当1≤n ≤18时，b n ≥0， 当n ≥19时，b n <0， 所以T n 取最值时n ＝17或18.组基础关1．(2019·长春模拟)等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为( )A．2 B．3C．4 D．6答案 C解析根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若a2＋a3＝10，S6＝54，则有a2＋a3＝(a1＋d)＋(a1＋2d)＝10，S6＝6a1＋15d＝54，解得d＝4，a1＝－1，故选C.2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S7＝49，则a2，a6的等差中项是( )A.492 B ．7 C ．±7 D.72答案 B解析 由已知，得S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝49，所以a 4＝7.所以a 2，a 6的等差中项为a 2＋a 62＝a 4＝7.3．(2019·湘赣十四校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝5S 2＋a 4，a 1＝1，则a 6＝( )A ．16B ．13C ．－9D ．37答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d .由S 5＝5S 2＋a 4，得5a 1＋5×(5－1)2d ＝5(2a 1＋d )＋(a 1＋3d )．将a 1＝1代入上式，得d ＝3.故a 6＝a 1＋5d ＝1＋15＝16.4．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤 答案 B解析 由题意可知，数列为等差数列，公差为d ＝17，n ＝8，S 8＝996，以第一个儿子分到的绵数a 1为首项，所以8a 1＋8×(8－1)2×17＝996，解得a 1＝65，所以第8个儿子分到的绵数a 8＝a 1＋(n －1)·d ＝65＋7×17＝184.故选B.5．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第37项为( )A ．0B ．37C ．100D ．－37答案 C解析 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，所以数列{a n ＋b n }仍然是等差数列，公差为d 1＋d 2.又d 1＋d 2＝(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{a n ＋b n }为常数列，所以a 37＋b 37＝a 1＋b 1＝100.6．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.1914 C.3929 D.43 答案 A解析 由题意得，a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.7．(2019·南昌模拟)已知等差数列{a n }的公差d <0，前n 项和为S n ，若S 5＝10a 6，则当S n 最大时，n ＝( )A ．8B ．9C ．7或8D ．8或9 答案 D解析 解法一：由S 5＝10a 6，可得5×(a 1＋a 1＋4d )2＝10(a 1＋5d )，解得a 1＝－8d ，所以S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722－2894.因为d <0，所以当n ＝8或9时，S n 最大．故选D.解法二：因为S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5×2a 32＝5a 3，所以5a 3＝10a 6，所以5(a 1＋2d )＝10(a 1＋5d )，化简可得a 1＋8d ＝0，即a 9＝0.因为d <0，所以当n ＝8或9时，S n 最大．故选D.8．(2019·沈阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2019，则m ＝________.答案 1010解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 2＝3(a 1＋d )．又S 3＝a 5，则3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2.所以a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2m －1＝2019，解得m ＝1010.9．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.答案 10解析 因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.10．(2020·揭阳摸底)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n8a n ＋1(n ∈N *)，则a n＝________，数列{a n }中最大项的值为________．答案 18n －17 17解析 由题意知a n ≠0，则由a n ＋1＝a n 8a n ＋1，得1a n ＋1＝8a n ＋1a n ＝1a n ＋8，整理得1a n ＋1－1a n＝8，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为8的等差数列，故1a n ＝1a 1＋(n －1)×8＝8n －17，所以a n ＝18n －17.当n ＝1,2时，a n <0；当n ≥3时，a n >0，且数列{a n }在n ≥3时是递减数列，故{a n }中最大项的值为a 3＝17.组 能力关1．(2019·辽宁省实验中学模拟)已知数列{a n }满足3an ＋1＝9·3an (n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝( )A ．－13B ．3C ．－3 D.13答案 C解析 由3an ＋1＝9·3an (n ∈N *)，得3an ＋1＝3an ＋2，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是等差数列，公差为2.又a 2＋a 4＋a 6＝3a 1＋9d ＝9，所以a 1＝－3.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(3a 1＋18d )＝log 1327＝－3.故选C.2．(2019·青岛二模)已知数列{a n }，{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1，b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设c n ＝abn ，则数列{c n }的前100项和等于( )A ．4950B ．5250C ．5350D ．10300 答案 C解析 由题意可知，c n ＝abn ＝a 1＋(b n －1)×1＝a 1＋[b 1＋(n －1)×1－1]×1＝a 1＋b 1＋n －1－1＝n ＋3，所以数列{c n }是以4为首项，1为公差的等差数列，其前100项和为S 100＝12×100×(4＋100＋3)＝5350.故选C.3．(2019·合肥三模)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋n }也是公差为d 的等差数列，则a n ＝________.答案 －1或12n －54解析 由题意得，S n ＝na 1＋d2n (n －1) ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .S n ＋n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2＋1n .因为数列{S n ＋n }也是公差为d 的等差数列． 所以设S n ＋n ＝dn ＋B .于是d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2＋1n ＝(dn ＋B )2(n ∈N *)．因此⎩⎪⎨⎪⎧ d2＝d 2，B 2＝0，a 1－d 2＋1＝2dB ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝0，B ＝0，a 1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝12，B ＝0，a 1＝－34，所以a n ＝－1或a n ＝12n －54.4．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)，得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)． (1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3， 又a 1＝1，∴a 2＝12. 2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. ∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， ∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1， 则当n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12， ∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32， 则当n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎨⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.6．已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)解法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 解法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2. 又a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意知，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12 ＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n2.综上，S n＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2，n 为偶数.。
高考北师大版数学(理)一轮复习课件：第五章 第二节 等差数列及其前n项和
(2)由(1)得 a1＝－4d，故 an＝(n－5)d， Sn＝n（n－2 9）d． 由 a1>0 知 d<0，故 Sn≥an 等价于 n2－11n＋10≤0，解得 1≤n≤10．所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
等差数列运算中方程思想的应用 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公 式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
等差数列的判定与证明方法 (1)定义法：对于任意自然数 n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N＋)为同一常数 ⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立⇔{an}是等差数列． (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q 为常数)对任意的正整数 n 都成立⇔{an} 是等差数列． (4)前 n 项和公式法：验证 Sn＝An2＋Bn(A，B 是常数)对任意的正整数 n 都成立⇔{an}是等差数列．
(2)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝__n_a_1_＋__n_（__n_－ 2__1_）__d__(其中 n∈N＋，a1 为首项，d 为公差，
an 为第 n 项)．
要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不 是等差数列．
等差数列的公差 d 的取值范围是( D )
A．d＞785
B．d＜235
C．785＜d＜235
D．785＜d≤235
解析：由题意可得aa190≤＞11，，即221155＋＋98dd＞≤11，，解得785＜d≤235．
第五章 第二节 等差数列及其前n项和
n
是等差数列． 证明：数列 证明：数列{bn}是等差数列． 是等差数列
证明：由已知a 证明：由已知 n＋1＝2an＋2n得 an＋1 2an＋2n an bn＋1＝ n ＝ ＝ n－1＋1＝bn＋1. ＝ 2 2n 2 又b1＝a1＝1， ， 是首项为1，公差为1的等差数列 的等差数列． 因此{b 是首项为 因此 n}是首项为 ，公差为 的等差数列．
证明： 成等比数列， 解：(1)证明：因a1，a2，a4成等比数列，故a2＝a1a4. 证明 2 是等差数列， 而{an}是等差数列，有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d.于是 是等差数列 ， 于是 (a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， ，
2 2 化简得a 即a1＋2a1d＋d2＝a1＋3a1d.化简得 1＝d. ＋ 化简得
等差数列及其前n项和 等差数列及其前 项和 1. 理解等差数列的概念． 理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． ．掌握等差数列的通项公式与前 项和公式 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关 ． 系，并能用有关知识解决相应的问题． 并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系． ．了解等差数列与一次函数的关系．
条件． 成等差数列的 充要 条件．
[究 疑 点] 究 1．已知等差数列{an}的第 项为 m，公差为 ，则其第 ．已知等差数列 的第m项为 公差为d，则其第n 的第 项为a 能否用a 表示？ 项an能否用 m与d表示？ 表示 提示： 提示：能．an＝am＋(n－m)d. － 2．等差数列前n项和公式能否看作关于 的函数，该函数 ．等差数列前 项和公式能否看作关于 的函数， 项和公式能否看作关于n的函数 是否有最值？ 是否有最值？ 提示： 是关于n的且常数项为 的二次函数， 的且常数项为0的二次函数 提示：当d≠0时，Sn是关于 的且常数项为 的二次函数， 时 是二次函数图象上的一群孤立的点， 则(n，Sn)是二次函数图象上的一群孤立的点，由此可得： ， 是二次函数图象上的一群孤立的点 由此可得： 当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值． 时 有最小值； 时 有最大值．
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第二讲 等差数列及其前n 项和知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义如果一个数列从第_2__项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，通常用字母_d __表示，定义的表达式为_a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)__.(2)等差中项如果a ，A ，b 成等差数列， 那么_A __叫做a 与b 的等差中项且_A ＝a ＋b2__.(3)通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么通项公式为a n ＝_a 1＋(n －1)d __＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (4)前n 项和公式：S n ＝_na 1＋n (n －1)2d __＝_(a 1＋a n )n2__. 知识点二 等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 1＋m 2＋…＋m k ＝n 1＋n 2＋…＋n k ，则am 1＋am 2＋…＋am k ＝an 1＋an 2＋…＋an k .特别地，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝_a p ＋a q __.(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为_kd __. (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列． (5)n 为奇数时，S n ＝na 中，S 奇＝_n ＋12__a 中，S 偶＝_n －12__a 中，∴S 奇－S 偶＝_a 中__.n 为偶数时，S 偶－S 奇＝nd2.(6)数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.重要结论1．等差数列前n 项和公式的推证方法_倒序相加法__. 2．d ＝a n －a mn －m.3．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d .若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.显然当d <0时，S n 有最大值，d >0时，S n 有最小值．4．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a －d ，a ，a ＋d ；四个数成等差数列时，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则数列{a 3n }也是等差数列．( √ ) (5)若{a n }，{b n }都是等差数列，则数列{pa n ＋qb n }也是等差数列．( √ ) [解析] (1)同一个常数．(2)因为在等差数列{a n }中，当公差d >0时，该数列是递增数列，当公差d <0时，该数列是递减数列，当公差d ＝0时，该数列是常数数列，所以命题正确．(3)常数列的前n 项和公式为一次函数．(4)因为{a n }是等差数列，公差为d ，所以a 3(n ＋1)－a 3n ＝3d (与n 值无关的常数)，所以数列{a 3n }也是等差数列． (5)设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则pa n ＋1＋qb n ＋1－(pa n ＋qb n )＝p (a n ＋1－a n )＋q (b n ＋1－b n )＝pd 1＋qd 2(与n 值无关的常数)，即数列{pa n ＋qb n }．也是等差数列．题组二 走进教材2．(必修5P 38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为_487__ [解析] 依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 3．(必修5P 46A 组T5改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝_114(75n －5n 2)__.[解析] 由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝114(75n －5n 2)．4．(必修5P 41T2改编)设a ≠b ，且数列a ，x 1，x 2，b 和a ，y 1，y 2，y 3，y 4，b 分别是等差数列，则y 4－y 3x 2－x 1＝( A )A ．35B ．45C ．34D ．53[解析] x 2－x 1＝13(b －a )，y 4－y 3＝15(b －a )，∴y 4－y 3x 2－x 1＝15(b －a )13(b －a )＝35.故选A ．题组三 走向高考5．(2020·课标Ⅱ，14,5分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝_25__. [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝－2＋d ，a 6＝－2＋5d ，因为a 2＋a 6＝2，所以－2＋d ＋(－2＋5d )＝2，解得d ＝1， 所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝－20＋45＝25.6．(2020·新高考Ⅰ，14,5分)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为_3n 2－2n __.[解析] ∵数列{2n －1}的项为1,3,5,7,9,11,13，…， 数列{3n －2}的项为1,4,7,10,13，…，∴数列{a n }是首项为1，公差为6的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×6＝6n －5， ∴数列{a n }的前n 项和S n ＝(1＋6n －5)×n2＝3n 2－2n .考点突破·互动探究考点一 等差数列的基本运算——自主练透例1 (1)(2018·北京，9)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为_a n ＝6n －3__； (2)(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝_100__； (3)(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝_4__；(4)(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( A ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n[解析] (1)本题主要考查等差数列的通项公式．设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋5d ＝6＋5d ＝36，∴d ＝6，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋6(n －1)＝6n －3.(2)解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 10＝10×1＋10×92×2＝100.解法二：由题意，得公差d ＝14(a 7－a 3)＝2，所以a 4＝a 3＋d ＝7，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 4＋a 7)＝100.(3)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4. (4)解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－4n .故选A ．解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ；a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D ，选A ．名师点拨等差数列基本量的求法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二 等差数列的判定与证明——师生共研例2 (2021·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．[解析] ∵b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝⎛⎭⎫1－14a n－1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列，又b 1＝22a 1－1＝2，∴b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴2n ＝22a n －1，解得a n ＝n ＋12n .名师点拨等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法证明，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项a n ，a n ＋1，a n ＋2使得这三项不满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2即可．各项不同号的等差数列各项的绝对值不构成等差数列，但其前n 项和可用等差数列前n 项和公式分段求解，分段的关键是找出原等差数列中变号的项．〔变式训练1〕(2021·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．[解析] (1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知{1S n }是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n＝⎩⎨⎧12(n ＝1)，－12n (n －1)(n ≥2).考点三 等差数列性质的应用——多维探究角度1 等差数列项的性质例3 (1)(2021·江西联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝6，则3a 2＋a 16的值为( D ) A ．24 B ．18 C ．16D ．12(2)(2020·吉林百校联盟联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 11＝a 9＋7，则S 25＝( D ) A ．1452B ．145C ．1752D ．175(3)(2021·江西九江一中月考)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( A )A ．1B ．－1C ．2D ．12[分析] 由于确定等差数列需两个条件，而这三个小题都只有一个条件，故可确定a 1与d 的关系式，将其整体代入即可解决问题，但更简捷的方法是直接利用等差数列性质a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔m ＋n ＝p ＋q 求解(注意项数不变，脚标和不变)．[解析] (1)由题意知3a 2＋a 16＝2(a 3＋a 8)＝12.故选D ． (2)∵2a 11＝a 9＋a 13＝a 9＋7，∴a 13＝7，∴S 25＝(a 1＋a 25)×252＝25a 13＝175.故选D ．(3)S 9S 5＝9(a 1＋a 9)5(a 1＋a 5)＝9a 55a 3，∵a 5a 3＝59，∴S 9S 5＝1.故选A ． 另解：a 5a 3＝59⇒a 1＋4d a 1＋2d ＝59⇒2a 1＝－13d ，∴S 9S 5＝9(a 1＋a 9)5(a 1＋a 5)＝9(2a 1＋8d )5(2a 1＋4d )＝9(－5d )5(－9d )＝1.名师点拨(1)等差数列中最常用的性质：①d ＝a p －a qp －q ，②am 1＋am 2＋…＋am k ＝an 1＋an 2＋…＋an k ⇔m 1＋m 2＋…＋m k ＝n 1＋n 2＋…＋n k .特别地若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又漂亮． 角度2 等差数列前n 项和性质例4 (1)(2021·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( B ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 019，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 019＝( A )A ．－2 019B ．－2 018C ．－2 017D ．－2 016[分析] 思路1：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意列方程组求得a 1、d ，进而可用等差数列前n 项和公式求S 40；思路2：设{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由题意列出方程组求得A 、B ，从而得S n ，进而得S 40；思路3：利用等差数列前n 项和性质S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，由前三项求得S 20，从而得此数列的公差，进而求得S 40－S 30，得S 40；思路4：利用⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，由S 1010、S 3030可求出公差，从而可得S 4040，进而求得S 40.[解析] (1)解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝1，30a 1＋30×292d ＝5，解得⎩⎨⎧d ＝1150，a 1＝7100，∴S 40＝7100×40＋40×392×1150＝8.故选B ．解法二：设等差数列前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧100A ＋10B ＝1，900A ＋30B ＝5，解得⎩⎨⎧A ＝1300，B ＝115.∴S n ＝n 2300＋n15，∴S 40＝8.故选B ．解法三：由等差数列的性质知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，∴S 20＝S 10＋S 303＝1＋53＝83.∴d ＝(S 20－S 10)－S 10＝23，∴S 40－5＝1＋3×23＝3，∴S 40＝8.故选B ．解法四：由等差数列的性质知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，∴S 1010，S 2020，S 3030，S 4040，即110，S 2020，16，S 4040成等差数列， ∴S 4040＝16＋16－1102＝15，∴S 40＝8.故选B ． (2)由题意知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，其公差为1，所以S 2 0192 019＝S 11＋(2 019－1)×1＝－2 019＋2 018＝－1.所以S 2 019＝－2 019.故选A ．名师点拨比较本例的四种解法可知，解法2、解法4运算简便适用所有公差d ≠0的等差数列．务必熟记：①等差数列前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·山东师大附中模拟)在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，则数列{a n }的前11项和S 11＝( C )A ．21B ．48C ．66D ．132(2)(角度2)若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足A n B n ＝2n －13n ＋1，则a 3＋a 7＋a 11b 5＋b 9的值为( C )A ．3944B ．58C ．1516D ．1322(3)(角度2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝_114__.[解析] (1)由题意知2a 9＝a 12＋6，即a 12＋a 6＝a 12＋6，∴a 6＝6，∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝66.故选C ．(2)a 3＋a 7＋a 11b 5＋b 9＝3a 72b 7＝32×13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝32×A 13B 13＝32×2×13－13×13＋1＝1516.故选C ．(3)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3.又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114.名师讲坛·素养提升与等差数列前n 项和S n 有关的最值问题例5 (1)(2021·吉林市调研)设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9(2)(2021·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( B )A ．11B ．19C ．20D ．21[分析] (1)由S 5＝S 9可求得a 1与d 的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用S n 是关于n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用S n >0⇔a 1＋a n >0求解．[解析] (1)解法一：由S 5＝S 9得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0， 即a 7＋a 8＝0，∴2a 1＋13d ＝0，又a 1>0，∴d <0. ∴a 7>0，a 8<0，∴a 1>a 2>…>a 7>0>a 8>a 9>…， ∴S n 最大时，n ＝7，故选B ．解法二：S n 是关于n 的二次函数，S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，且d <0，(n ，S n )所在抛物线开口向下 ，又S 5＝S 9，∴抛物线对称轴为n ＝7.即n ＝7时，S n 最大，故选B ．解法三：由解法一知d ＝－213a 1， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－12d n ＝－a 113n 2＋1413a 1n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， ∵a 1>0，∴－a 113<0，∴当n ＝7时，S n 最大．解法四：由解法一可知，d ＝－213a 1.∵a 1>0，∴d <0.令⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得132≤n ≤152.∵n ∈N *，∴当n ＝7时，S n 最大．(2)∵S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B ．[引申]①本例(1)中若将“S 5＝S 9”改为“S 5＝S 10”，则当S n 取最大值时n ＝_7或8__；②本例(1)中，使S n <0的n 的最小值为_15__； ③本例(2)中，使S n 取最大值时n ＝_10__.[解析] ①若S 5＝S 10，则S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 的对称轴为n ＝7.5，但n ∈N *，故使S n 最大的n 的值为7或8. ②由a 7＋a 8＝a 1＋a 14＝0知S 14＝0，又a 8<0，∴2a 8＝a 1＋a 15<0，即S 15<0，∴使S n <0的n 的最小值为15.名师点拨求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法：〔变式训练3〕(1)(2021·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( C ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9(2)(2019·北京)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝_0__，S n 的最小值为_－10__. [解析] (1)∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11， ∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0， ∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…，∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C ． (2)设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝－3，S 5＝－10，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，5a 1＋10d ＝－10， ∴可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝1，∴a 5＝a 1＋4d ＝0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12(n 2－9n )，∴当n ＝4或n ＝5时，S n 取得最小值，最小值为－10.。