函数新定义问题训练

函数中的定义型问题训练

一、选择题

1.定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新不动点”，如果函数g (x )＝

12

x 2

(x ∈(0，＋∞))，h (x )＝sin x ＋2cos x ，x ∈(0，π)，φ(x )＝－x

e －2x 的“新不动点”分别为α、β、γ，那么α、β、γ的大小关系是( ) A ．α<β<γ B ．α<γ<β C ．γ<α<β D ．β<α<γ

2.对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )

A ．f (x )

B ．f (x )＝x 2

C ．f (x )＝tan x

D ．f (x )＝cos(x ＋1)

3.定义两个实数间的一种新运算“*”：x *y ＝lg(10x ＋10y )，x ，y ∈R.对于任意实数a ，b ，c ，给出如下结论： ①(a *b )*c ＝a *(b *c )；②a *b ＝b *a ；③(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )． 其中正确结论的个数是( )

A ． 0

B ． 1

C ． 2

D ． 3

4.设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：

()()()()()()

k f x f x k f x k f x k ⎧≤⎪=⎨

>⎪⎩，取函数()2x f x x e -=--，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有

()()k f x f x =，则( )

A ．k 的最大值为2

B ．k 的最小值为2

C ．k 的最大值为1

D ．k 的最小值为1

5.对于区间[a ，b ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对于区间[a ，b ]中的任意实数x 均有|f (x )－g (x )|≤1，那么称函数f (x )与g (x )在区间[a ，b ]上是密切函数，[a ，b ]称为密切区间．若m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是( ) A ． [3,4] B ． [2,4] C ． [2,3] D ． [1,4] 二、填空题

6.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： (1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；

(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；

②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)3； ③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .

7.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)

①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1； ④f (x )＝x e x .

8.已知函数y ＝f (x )(x ∈R)，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝

h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．

9.给定区间D ，对于函数f (x )，g (x )及任意的x 1，x 2∈D (其中x 1>x 2)，若不等式f (x 1)－f (x 2)>g (x 1)－g (x 2)恒成立，则称函数f (x )相对于函数g (x )在区间D 上是“渐先函数”．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 相对于函数g (x )＝2x －3在区间[a ，a ＋2]上是渐先函数，则实数a 的取值范围是________．

10.函数f (x )的定义域为D ，对D 内的任意x 1、x 2，当x 1

13]，()3

2

f x x ≥恒成立，则3579f f ⎛⎫

⎛⎫

+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

的值为________． 三、解答题 11.对于定义在D 上的函数y ＝f (x )，若同时满足

(1)存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得任取x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c (c 是常数)； (2)对于D 内任意x 2，当x 2∉[a ，b ]时，总有f (x 2)>c .称f (x )为“平底型”函数．

判断f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，f 2(x )＝x ＋|x －2|是否是“平底型”函数？简要说明理由．

12.已知实数k ∈R ，且k≠0，e 为自然对数的底数，函数()1

x x ke f x e =+，g(x)＝f(x)－x.

(1) 如果函数g(x)在R 上为减函数，求k 的取值范围；

(2) 如果k ∈(0，4]，求证：方程g(x)＝0有且只有一个根x ＝x 0；且当x>x 0时，有x>f(f(x))成立；

(3) 定义：① 对于闭区间[s ，t]称差值t －s 为区间[s ，t]的长度；② 对于函数g(x)，如果对任意x 1、x 2∈[s ，t]⊆D(D 为函数g(x)的定义域)，记h ＝|g(x 2)－g(x 1)|，h 的最大值称为函数g(x)在区间[s ，t]上的“身高”．问：如果k ∈(0，4]，函数g(x)在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？ 13.设a 是实数，函数f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x －2ln x ． （1）当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；

（2）当a ＝2时，过原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，求切点的横坐标；

（3）设定义在D 上的函数y ＝g (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为l ：y ＝h (x )，当x ≠x 0时，