2020版高考数学一轮复习课后限时集训54二项式定理含解析理201906273108
a2
018( x － 2)
2
a ＋ 018 2
( 019
x－
2)
2
019( x∈ R) ，两边分别对 x 求导可得－ 2 019×2×(2 x－ 1) 2 018 ＝ a1＋ 2a2 ( x－ 2) ＋…＋ 2 018a2 018( x
10．设 ( x2－ 3x＋ 2) 5＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋…＋ a10x10，则 a1 等于 ________．
－ 240
[(
x2－
3x＋
2)
5
＝
(
x－1)
5
(
x－
2)
5
，其展开式中
x 的系数
a1＝
4
C5(
－
1)
4
×(
－
2)
5
＋
(
－
1) 5C45( － 2) 4＝－ 240.]
B 组 能力提升
35 [ x2 项的系数等于 C22＋ C23＋ C24＋C25＋ C26＝ 35.]
9
．
(1
＋
x
＋
x
2
)(1
＋ x) 5 的展开式中
x4 的系数为 ________( 用数字作答 ) ．
25 [ 当第一个因式中的项为 1 时， x4 的系数为 C45，当第一个因式中的项为 x 时， x4 的系
数为 C35，当第一个因式中的项为 x2 时，x4的系数为 C25，则展开式中 x4 的系数为 C45＋ C35＋ C25＝ 25.]
6
1 6．(2019 ·武汉模拟 ) 在 x＋x－ 1
的展开式中，含
x5 项的系数为 (
)
A． 6
B
．－ 6
C．24 D．－ 24
6
6
5
4
B
1 [ 由 x＋x－1
＝ C06
1 x＋x
－ C16
1 x＋ x
＋ C26
1 x＋ x
＋…－
C56
1 x＋x
＋ C66，可知只有－
C16
5 1 x＋ x 的展开式中含有
A． 25
B
．－ 5
C．－ 15
D．－ 25
C [(1 － x) 5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝ Cr5( － 1) r xr，当 r ＝ 4 时， C45x4×1＝ 5x4，当 r ＝3
时，－ C35x3×２x＝－ 20x4，故 x4 的系数为－ 15，故选 C.]
4．在二项式
3
x
2
－
1 2
x
n 的展开式中只有第
5 项的二项式系数最大， 则展开式中的第
4项
为( )
A． 7x6
B
19 ．－ 7x 3
35 20 C. 8 x 3
D．－
7 4
x
7
B [ 由第 5 项的二项式系数最大可知
8 1 n＝ 8 ，则 3 x2－ 2x 的展开式的通项
Tr ＋ 1 ＝
·
＝
，则展开式的第 4 项为
＝－
19 7x 3 .]
n
n
式中的二项式系数之和为 2 ，即 B＝ 2 .
∵ A＋ B＝ 72，∴４n＋2n＝ 72，解得 n＝ 3，
n
r
3
3
3
∴ x＋x ＝ x＋ x 3 的展开式的通项为 Tr ＋1＝ Cr3( x) 3－ r x ＝
3－ 3r ，令 2 ＝ 0，
得 r ＝ 1，故展开式中的常数项为 T2＝3×Ｃ13＝ 9. 故选 B.]
5．(2018 ·新余二模 ) 在二项式
n 3 x＋ x 的展开式中，各项系数之和为
数之和为 B，且 A＋ B＝ 72，则展开式中常数项的值为 ( )
A． 6
B
．9
C．12 D． 18
A，各项二项式系
B [ 在二项式
n 3 x＋ x 的展开式中，令
x＝ 1 得各项系数之和为
n
n
4 ，即 A＝ 4 ，二项展开
(1 － 2) 3
＝－ 1，故选 A.]
2．已知
(1
＋
x)
n
的展开式中第
5 项与第 7 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数
和为 ( )
A． 29
B
． 2 10
A [ 由题意得 C4n＝ C6n，由组合数性质得
C． 2 11
D． 212
n＝ 10，则奇数项的二项式系数和为
2n－1＝ 29，故
选 A.] 3．(2018 ·石家庄二模 ) 在 (1 － x) 5(2 x＋ 1) 的展开式中，含 x4 项的系数为 ( )
的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于 ( )
1
1
A. 3 B.
2
C．1
D． 2
D
[ 因为展开式中
x6 的系数为
C3 10
－
aC210＝
30，所以
a＝ 2，故选
D.]
3 ．已知
(1 － 2x) 2 019 ＝ a0 ＋ a1( x － 2) ＋ a2( x－ 2) 2 ＋…＋
a2
( 018 x － 2) 2
a ＋ 018 2
( 019 x － 2) 2
019( x∈ R) ，则 a1－ 2a2＋ 3a3－…－ 2 018 a2 018 ＋ 2 019 a2 019 ＝( )
A．－ 2 019
B．2 019
C．－ 4 034
D．0
C
[ 因为 (1 － 2x) 2 ＝ 019 a0 ＋ a1( x － 2) ＋ a2( x － 2) 2 ＋…＋
1．在 ( x－ 2) 6 展开式中，二项式系数的最大值为
a，含 x5 项的系数为
a b，则 ＝(
)
b
5
5
3
A. 3
B
．－ 3
C. 5
B [ 由条件知 a＝ C36＝ 20， b＝ C16( － 2) 1＝－ 12，
a5 ∴ b＝－ 3，故选 B.]
3 D．－ 5
10
2．若 ( x2 －a)
1 x＋ x
6
x 5，所以
1 x＋x－1
的展开式中含
x5 项的系数为－ C05C16＝－ 6，故选 B.]
7．若 (1 ＋ x＋ x2) 6＝ a0＋a1x＋ a2x2＋…＋ a12x12，则 a2＋ a4 ＋…＋ a12＝ ( )
A． 284
B
． 356
C．364 D． 378
C [ 令 x＝0，则 a0＝ 1； 令 x＝ 1，则 a0＋ a1＋a2＋…＋ a12＝ 36， ①
课后限时集训 ( 五十四 )
( 建议用时： 60 分钟 )
A 组 基础达标
一、选择题
n
1．(2019 ·中山模拟 ) 若二项式
x
2－
2 x
的展开式的二项式系数之和为
8，则该展开式每
一项的系数之和为 ( )
A．－ 1 B ． 1
C． 27
D．－ 27
A [ 依题意得 2n＝8，解得 n＝ 3. 取 x＝ 1 得，该二项展开式每一项的系数之和为
令 x＝－ 1，则 a0 － a1＋ a2－…＋ a12＝1， ②
①②两式左右分别相加， 得 2( a0＋ a2＋…＋ a12) ＝ 36＋ 1＝ 730，
所以 a0＋ a2＋…＋ a12＝ 365，
又 a0＝ 1，所以 a2＋ a4＋…＋ a12＝ 364.]
二、填空题
8．在 (1 ＋ x) ＋ (1 ＋ x) 2＋…＋ (1 ＋ x) 6 的展开式中， x2 项的系数是 ________( 用数字作答 ) ．
2020江苏高考数学一轮复习学案：第十五章 第7课 二项式定理 含解析
第7课__二项式定理____1. 理解二项定理展开式的特征和二项式定理展开式的性质．1. 阅读：选修23第30～35页．基础诊断1. ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第4项为________． 2. 在⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 5中第3项的二项式系数为________；系数为________．3. 在⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1x 3n的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于1 024，则中间项的二项式系数是________．4. 已知(1－2)7＝a 0＋a 1＋a 22＋…＋a 77，则a 1＋a 2＋…＋a 7为________．范例导航考向运用二项展开式中的通项T ＝C r an －r b r解决 例1 在⎝⎛⎭⎪⎪x －123x 10展开式中， (1) 求第4项的二项式系数及第4项的系数；(2) 求展开式中的常数项并说明它是展开式的第几项．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 3是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的前三项的系数．(1) 求m 的值；(2) 求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项．考向例2 已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式的前三项的系数成等差数列． (1) 求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中所有的有理项； (2) 求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n 展开式中系数的绝对值最大的项．设⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a>0)的展开式中3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，求展开式中第4项的系数．考向a a (2) S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数为________．9191除以100的余数是________．自测反馈1. 若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中5的系数为－80，则实数a ＝________．2. (1－2)5(2＋)展开式中含3的系数为________．3. 已知(t 2－4)10＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 20t 20，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19＝________．4. 若二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋12x 3n(n ∈N *)的展开式中含有常数项，则n 的最小值为________．1. 通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r体现了展开式中的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心．2. 二项式系数的性质，主要是“赋值法”的运用，在具体问题中求关于系数和通常转化为二项式中字母的特殊值．3. 你还有哪些体悟，写下;：第7课 二项式定理基础诊断1. －160x解析：第四项为C 36·23·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 2. 10 40 解析：由题意可知第三项为C 25(x)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2，则二项式系数为C 25＝10，系数为C 25·(－2)2＝40.3. 462 解析：奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于所有项二项式系数之和的一半，即12×2n ＝1 024，解得n ＝11，所以中间的两项是第6项、第7项，它们的二项式系数都为462.4. －2 解析：令＝0，得a 0＝1；令＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2.范例导航例1 解析：(1) 因为第4项的二项式系数为C 310＝120，又T 4＝C 310·10－32·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x 3＝－1552，所以第4项的系数为－15.(2) T r ＋1＝C r 10·10－r2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 10·30－5r 6，当30－5r 6＝0，即r ＝6时，为常数项⎝ ⎛⎭⎪⎫－126C 610＝10532，它是展开式的第7项．解析：(1) 展开式为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝1＋C 1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋…，依题意a 1＝1，a 2＝12m ，a 3＝m （m －1）8，由2a 2＝a 1＋a 3可得m ＝1(舍去)或m ＝8，即m 的值为8.(2) 由(1)可知m ＝8，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m 展开式的中间项是第5项为T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝3584.例2 解析：(1) T 1＝C 0n (x)n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x 0，第一项系数为1，T 2＝C 1n(x)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x 1，第二项系数为12n ，T 3＝C 2n(x)n －2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x 2，第三项系数为18n(n －1)，若前三项系数成等差数列，则有n ＝1＋n （n －1）8，则n ＝8，因此⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式中，有理项有T 1＝4，T 5＝358，T 9＝1256－2. (2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(－2)r·4－52r ， 再由C r 8·|(－2)r |≥C r －18·|(－2)r －1|及C r 8·|(－2)r |≥C r ＋18·|(－2)r ＋1|得5≤r ≤6. 因此系数绝对值最大的项为T 6和T 7，T 6＝－1 792－172，T 7＝1 792－11.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r＝(－a)r C r 6·6－32r. 令6－32r ＝3，则r ＝2，所以A ＝15a 2.令6－32r ＝0，则r ＝4，所以B ＝15a 4.由题意得15a 4＝4×15a 2，又a>0，所以a ＝2， 此时展开式中第4项的系数为(－2)3C 36＝－160.例3 (1) 12 解析：题中512 012数据较大，无法研究与13的整除问题，考虑到512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ，按二项式定理展开，根据题意可得(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012＋C 12 012522 011·(－1)1＋C 22 012522010·(－1)2＋…＋C 2 0112 012521(－1)2 011＋C 2 0122 012(－1)2 012＋a ，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得C 2 0122 012(－1)2 012＋a ＝1＋a 能被13整除，再由0≤a<13，可得a ＝12，故答案为12.(2) 7 解析：S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2，因此S 被9除的余数为7.91 解析：9191＝(1＋90)91＝1＋C 19190＋C 291902＋…＋C 91919091，因此，9191除以100的余数就是1＋C 191×90除以100的余数，为91.自测反馈1. －2 解析：由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(a 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝a 5－r ·C r 5·10－2r·－r 2＝a 5－r C r 510－52r.当10－52r ＝5时，r ＝2，a 3C 25＝10a 3＝－80，则a ＝－2. 2. －120 解析：(1－2)5＝C 05＋C 15(－2)1＋…＋C 55(－2)5，则(1－2)5(2＋)展开式包含3的系数为2·C 35·(－2)3＋C 25·(－2)2＝－120.3. 0 解析：因为(t 2－4)10的展开式不包含t 的奇次幂，所以a 1＝a 3＝…＝a 19＝0，则a 1＋a 3＋…＋a 19＝0.4. 5 解析：该二项式的展开式通项为T r ＋1＝C rn(32)n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·3n －r C r n 2n －2r ·1x 3r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·3n －r C rn2n －5r，展开式含有常数项，则令2n －5r ＝0，得2n ＝5r ，所以展开式含有常数项的n 的最小值是5.。
2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档：第十章 第三节 二项式定理 Word版含答案
第三节 二项式定理2019考纲考题考情1．二项式定理(a＋b)n＝C a n＋C a n－1b＋…＋C a n－k b k＋…＋C b n(n∈N*)。
0n1n k n n2．二项展开式的通项第k＋1项为：T k＋1＝C a n－k b k。
k n3．二项式系数二项展开式中各项的二项式系数为C(k＝0,1,2，…，n)。
k n4．二项式系数的性质5.二项式系数和的性质(1)(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C0n＋C＋…＋C＝2n。
1n2n n(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1。
0n2n4n1n3n5n1．二项式定理中，通项T k＋1＝C a n－k b k是展开式的第k＋1k n项，不是第k项。
2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k＋1＝C a n－k b k中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与k n k na，b有关。
(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关。
当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。
一、走进教材1．(选修2－3P 37A 组T 5(2)改编)8的展开式中常数(x ＋12x)项为( )A. B.3516358C. D ．105354解析 二项展开式的通项为T k ＋1＝C ()8－kk ＝k C k 8x(12x )(12)k 8x 4－k ，令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝4C ＝。
故选B 。
(12)48358答案 B2．(选修2－3P 35练习T 1(2)改编)化简：C ＋C ＋…＋C ＝12n 32n 2n －12n ________。
解析 因为C ＋C ＋C ＋…＋C ＝22n ，所以C ＋C 02n 12n 22n 2n 12n 32n ＋…＋C ＝(C ＋C ＋…＋C )＝22n －1。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第十章 第三节 二项式定理 Word版含答案
第三节二项式定理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)❶；(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)C r n a n－r b r是(a＋b)n的展开式中的第r项.()(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√二、选填题1.二项式(x －2)5展开式中x 的系数为( ) A.5 B.16 C.80D.－80解析：选C 由二项式定理知，其展开式中含x 的项为T 5＝C 45x (－2)4，故其系数为C 45(－2)4＝80.2.⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( ) A.－150 B.150 C.－240D.240解析：选D ⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k＝C k 6x 6－k·(－2)k ·x －k 2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240. 3.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的展开式中，x 的系数是( ) A.152 B.－152C.15D.－15解析：选B⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫x 210－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－1)r 22r －10C r 10x 5－3r 2，令5－3r 2＝12，得r ＝3，所以x 的系数是(－1)3·2－4·C 310＝－152. 4.若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x n的展开式的所有二项式系数之和为128，则n ＝________. 解析：由题意，可知2n ＝128，解得n ＝7. 答案：75.若(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝________.解析：(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6.由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7. 答案：7考点一 二项展开式中特定项或系数问题[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________.(3)(2019·甘肃检测)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. (2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. (3)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. (2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a＝25. [答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60(2)将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k. 令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项； 第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n－r的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[过关训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝∫π0 sin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240. 2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－2283.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.答案：6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[师生共研过关][典例精析](1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A.63x B.4x C.4x 6xD.4x或4x 6x (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . (2)⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ， 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可.(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[过关训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122解析：选B令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.解析：令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.答案：－3或13.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n－2n ＋C n－1n＋C n n＝121，则12n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C715(3x)7和T9＝C815(3x)8.答案：C715(3x)7和C815(3x)8考点三二项展开式的应用[师生共研过关][典例精析]设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解析]由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C02 018522 018－C12 018522 017＋…－C2 0172 018521＋1，又13整除52，所以只需13整除1＋a，又0≤a＜13，a∈Z，所以a＝12.[答案] D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[过关训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4解析：选C∵81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数为________.解析：∵1－90C110＋902C210＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910，∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1.答案：1。
新高考数学复习考点知识与题型专项训练54---二项式定理 解析版
新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题11.3 二项式定理1．（2019·山东高二期末）4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D 【解析】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r rr r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ， 所以3x 的系数为8. 故选D2.（2019·浙江高三期末）设()42801832x x a a x a x -+=+++，则7a =（ ）.A ．-4B ．-8C ．-12D ．-16【答案】C 【解析】()()()44423212x x x x -+=--，7a 是展开式中7x 的系数，∴()()()100174444124812a C C C C =⋅-⋅+⋅⋅-=-+-=-，故选C ．3．（2020·山东济南外国语学校高三月考）二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ）A ．8B ．6C ．5D ．10【答案】C 【解析】由二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式的通项1rn rr n T C x-+=得：令3n r -= ，得3r n =-，则3310r n n n n C C C -=== ，所以(1)(2)60n n n --=，解得5n =，故选C ．4.（2019·浙江高三月考）若二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ）A.1B.5C.10D.20【答案】C 【解析】对2nx ⎫⎪⎭令1x =得()123243n n +==，解得5n =.二项式52x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()515312225522rr rr rr C x xC x---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令53122r -=，解得1r =，故展开式中含x 项的系数为115210C ⋅=.故选：C.5.（2019·陕西高三月考（理））722x ⎛⎫⎝ 的展开式中，4x 项的系数为( ) A.-28 B.280 C.-560 D.560【答案】C 【解析】722x ⎛⎫- ⎝展开式的通项公式为()1014727331477C 2C 2(1)rr r r r r r r T x x x ----+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅- ⎪⎝⎭，令101443r -=，解得3r =，故所求系数为3437C 2(1)3516560⋅⋅-=-⨯=-. 故选C . .6．（2020·广东高三月考）在()62x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，34x y 的系数是（ ）A ．20B ．152C ．5-D ．252-【答案】D 【解析】()()()66622x x y x y x y y x y ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭， ()6x y +的展开式的通项是616r rr r T C xy -+=，令62r -=，则4r =，则()6x y +的展开式中24x y 的系数为4615C =，令6r 3-=，则3r =，则()6x y +的展开式中33x y 的系数为3620C =，故()62x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中34x y 的系数是251522102⨯-=-.故选：D.7.（2020·内蒙古高三其他模拟（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．5000【答案】B 【解析】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --，故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B .8.（2019·浙江温州中学高三月考）已知()()321x a x ++展开式中所有项的系数之和为4-，则a =__________，2x 项的系数为__________．【答案】2- 10 【解析】取1x =得到()()321114,2a a ++=-=-()()323221(2)(21)x x x x x -+=-++()32x -展开式中：313(2)r rr r T C x -+=-2x 项的系数为：332211333(2)1(2)2(2)110C C C ⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=故答案为2-，109．（2019·上海市奉贤中学高二期末）112除以9的余数为_______； 【答案】5 【解析】由题意得：()311322282912=⨯=-⨯()()()()3232203212222333339122929129121C C C C -⨯=⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯-112∴除以9的余数为：233925C -=本题正确结果：510.（2019·浙江师范大学附属中学高三月考）在二项式82x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是__________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】280 5 【解析】82x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式的通项8182()k kk k T C x x -+=，若为常数项则 8k k -=即4k =，448(2)280C ∴=,即常数项为280；由通项可知系数为有理项即(2)k 为有理数，即k 可取0,2,4,6,8，共有5项 所以答案分别为280,51．（2020·河北高三期中）523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．60【答案】A 【解析】因为523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第1r +项为()521031553C C 3rr r r rr r T x x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 令1034r -=，得2r ，则4x 的系数为225C 390⋅=．故选：A.2．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为（ ）A ．363C B ．463C C ．364C D ．464C【答案】A 【解析】由“杨辉三角形”可知：第一行1个数，第二行2个数，...，第n 行n 个数，所以前n 行共有：()12n n +，当63n =时，()6363120162+=， 所以第2020项是第64行的第4个数字，即为363C ， 故选：A .3．（2020·云南高三期末（理））()()5121x x -+展开式3x 的系数为（ ） A ．-10 B ．10C ．-30D ．30【答案】A 【解析】()51x +的通项公式为15rr r T x C +=，因为()()()()555121121x x x x x -+=+-+。
2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第10章第2节二项式定理含答案
第二节二项式定理[考纲传真]会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质和1．C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.2．C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项． ( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )(4)通项T k＋1＝C k n a n－k b k中的a和b不能互换．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )A．6 B．－6C．24 D．－24A [(1－2x )4展开式中第3项的二项式系数为C 24＝6.故选A.]3．(教材改编)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 3y 2的系数是( )A ．5B ．－20C ．20D ．－5A [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r(－2y )r.根据题意，得⎩⎨⎧5－r ＝3，r ＝2，解得r ＝2.所以x 3y 2的系数是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123×(－2)2＝5.故选A.] 4．(教材改编)C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 020＋C 22 020＋C 42 020＋…＋C 2 0202 020的值为( ) A ．1 B ．2C ．2 019D ．2 019×2 020B [原式＝22 01922 020－1＝22 01922 019＝1.故选A.]5．(1＋x )n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.10 [∵T 6＝C 5n x 5，又仅有第6项的系数最大，∴n ＝10.]【例1】 (1)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(2)(2018·广州二模)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6的展开式中，x 3y 3的系数是________．(用数字作答)(1)D (2)－120 [(1)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x 2项，第二个因式取1x 2项得x 2×1x 2×C 15(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C 55＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6表示6个因式x 2－2x ＋y 的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y ，其余的3个因式中有2个选x 2，剩下一个选－2x ，即可得到x 3y 3的系数．即x 3y 3的系数是C 36C 23×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.]2n (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( )A ．±2 B.12C ．－2D ．±12(2)已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________． (1)A (2)454x 2，－638，45256x－2[(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式的通项为T r＋1＝，令12－3r ＝0，得r ＝4.故C 46·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝1516，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝116，解得a ＝±2.故选A.(2)由T r ＋1＝r＝.∵第6项为常数项，∴r ＝5时有n －2r3＝0，即n ＝10.当⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z时，即r ＝2,5,8时10－2r3∈Z ，所以展开式中的有理项分别为454x 2，－638，45256x －2.]►考法1 【例2】 (1)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( )A ．50B ．70C ．90D ．120(2)(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．(1)C (2)－3或1 [(1)令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n 2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53rx 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90，故选C.(2)令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39，∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.] ►考法2 二项式系数的性质【例3】 设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [根据二项式系数的性质知，(x ＋y )2m 的二项式系数最大的项有一项，即C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m ＋1的二项式系数最大的项有两项，即C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b.又13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．]偶数项系数之和为 (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．(2)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中的二项式系数和为32，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．(1)255 (2)40 [(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k n(x 2)n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝C k n (－1)k x2n －3k， 当k ＝5时，2n －3k ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－1x n的展开式中的二项式系数和为32，所以2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n的展开式中的各项系数的和为(1＋a )(2－1)5＝2，所以a ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为C 35·(－1)3·25－3＋C 25·(－1)2·25－2＝40.]1．(2017·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35C [因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C.]2．(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20C ．30D ．60C [法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.]。
2020年高考数学一轮复习教案(全国通用版)-二项式定理
一、自我诊断 知己知彼1．在()()()()()12345x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） A.-15 B.85 C.-120 D.274 【答案】A【解析】 本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。
故含4x 的项的系数为()()()()()1234515-+-+-+-+-=- 2.()52y x x++的展开式中，25y x 的系数为（ ）A.10B.20 C ．30 D ．60 【答案】C【解析】r r r r y x x C T -++=5251)(，令r=2,则232253)(y x x C T +=，对于二项式()32x x +，由tt t t t t x C x x C T --+=⋅=633231)(，令t=1, 所以25y x 的系数为301325=C C .【易错点】通项公式易错.【方法点拨】求二项展开式特定项的系数的关键是求出满足条件的r 的值，因此应通过求出二项展开式的通项，然后根据已知条件列出方程，解出r 的值，最后代入通项中，求出特定项的系数. 3.()4x y y x -的展开式中，55y x 项的系数为________． 【答案】6【解析】由二项展开式的通项可得22244441)1()()(r r r rr rrr yxC x y y x C T +--+⋅-=-⋅-=.令⎩⎨⎧4－r 2＝32＋r2＝3解得r ＝2，所以展开式中55y x 的系数为()61242=-C .4．若512⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x a x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D【解析】令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴512⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的通项为()()r r r rrrrr x C x x C T 25555512112---+⋅⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=. 令521r -=，得2r =.令521r -=-，得3r =∴展开式的常数项为()()233223551212804040C C -⨯⋅+-⋅⋅=-=二、温故知新 夯实基础1.二项式定理公式())(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b aC a C b a nn n k k n k n n n n n nΛΛ叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，其中的系数),,1,0(n k C k n Λ=叫做二项式系数，式中的kk n k n b a C -叫做二项展开式的通项，用1+k T 表示. 2.二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=.（2）增减性与最大值：二项式系数kn C ，当21+<n k 时，二项式系数逐渐增大，当21+>n k 时，二项式系数逐渐减小.当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大.（3）各二项式系数的和：nb a )(+展开式的各个二项式系数的和等于n2，即nn n n n C C C 210=+++Λ（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即131202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ.三、典例剖析 思维拓展考点一 求展开式中的指定项例1 ()52y x x ++的展开式中，25y x 的系数为（ ）A.10B.20 C ．30 D ．60 【答案】C【解析】r r r r y x x C T -++=5251)(，令r=2,则232253)(y x x C T +=，对于二项式()32x x +，由tt t t t t x C x x C T --+=⋅=633231)(，令t=1, 所以25y x 的系数为301325=C C .【易错点】通项公式易错.【方法点拨】求二项展开式特定项的系数的关键是求出满足条件的r 的值，因此应通过求出二项展开式的通项，然后根据已知条件列出方程，解出r 的值，最后代入通项中，求出特定项的系数.例2.6221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，常数项是( ) A. 54-B. 54 C ．1516- D. 1516【答案】D【解析】 ()rr rr rr r xC x xC T 312662612121--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为161521464=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C .故选D .例3.8421⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中的有理项共有________项． 【答案】3 【解析】()4316848812121rrr r rrr xC x x CT --+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Θ，∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项．考点二 利用二项式定理求参数例1 .若521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ax 的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.【答案】-2 【解析】rrr r xaC T 2510551--+=，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以80325-=a C ，a ＝－2.例2.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24【答案】C【解析】727777112)2(---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x rr r rr r r x a C x a x C T .令2r －7＝3，则r ＝5.由8425572=⋅a C 得a ＝1.故选C.考点三 二项式系数的和或各项系数的和例1.二项式()923x y -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值之和．【答案】（1）92（2）1- （3）9512- （4）95【解析】设()992728190932ya y x a y x a x a y x ++++=-Λ.(1)二项式系数之和为9992919092=++++C C C C Λ.(2)各项系数之和为9210a a a a ++++Λ，令x ＝1，y ＝1，得()13299210-=-=++++a a a a Λ.(3)由(2)知19210-=++++a a a a Λ，①令x ＝1，y ＝－1，得992105=--+-a a a a Λ，②①＋②得215986420-=++++a a a a a ，此即为所有奇数项系数之和．(4)92109210a a a a a a a a --+-=++++ΛΛ，令x ＝1，y ＝－1，得9921092105=--+-=++++a a a a a a a a ΛΛ，此即为各项系数绝对值之和．考点四 项的系数的最值问题例1.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2323的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）322270x；（2）326405x.【解析】令x ＝1，则展开式中各项系数和为()nn2231=+.又展开式中二项式系数和为2n.∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5.（1）∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，()622332253903x x x C T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴， ()322322323542703x x x C T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由()3410525325133k k k kkk k xC x x C T +-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--151515153333k k k k k k k k C C C C ∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为()32642324554053xx x C T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.考点五 与整除有关的问题例1.设a Z ∈，且013a ≤<，若201851a +能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12【答案】D【解析】 由于51521=-，()15252521521201720182017120182018020182018+-+-=-C C C Λ，又由于13整除52，所以只需13整除1a +，013a ≤<，a Z ∈，所以12a =考点六 求近似值问题例1.求60.998的近似值，使误差小于0.001. 【答案】0.988【解析】()()()()62660.99810.002160.002150.0020.002=-=+⨯-+⨯-++-L∵()23150.0020.000060.001T =⨯-=<， 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001， ∴从第3项起，以后的项可以忽略不计， 即()()660.99810.002160.0020.988=-≈+⨯-=四、举一反三 成果巩固考点一 求展开式中的指定项1.8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式中22y x 的系数为 ( ) A. 70 B. 80 C. －1 D. －80 【答案】A【解析】因为8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式的通项公式为2832388881)1(---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r rr rrr r yx C x y y x C T令3388222r r --==，得4r =所以22y x 的系数为70)1(448=-C .2．的展开式中，的系数为__________．【答案】90【解析】把()621+-y x 看成6个相同因式12+-y x 的乘积， 6个因式中有两个因式提供2x ， 余下的4个因式有两个提供y -，其余的因式提供常数，故系数为()9011222426=⨯-C C ．填90．点睛：一般地，()s s r rn sr rn nc b aC C c b a --=++，其中rn C 表示n 个因式()c b a ++中有r n -个因式提供a ，s r C 表示余下的r 个因式()c b a ++中有s 提供c ，余下的s r -个因式()c b a ++提供b ，这样的思想方法来自二项展开式的推导过程．3.已知nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+12的展开式中各项的二项式系数之和为32.（1）求n 的值； （2）求n x x )12(+的展开式中2x 项的系数；（3）求n xx xx )12)(1(+-展开式中的常数项.【答案】（1）5；（2）80；（3）-30.【解析】（1）由题意结合二项式系数的性质可得322=n ， 解得5=n ． （2）由题意得5)12(xx +的通项公式为()23555551212rr r rr r r x C x x C T ---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 令2235=-r，解得2=r ， 所以5)12(xx +的展开式中2x 项的系数为802253=⨯C ．（3）由（2）知，5)12(xx +的展开式的通项为2355512r r rr xC T --+=，令1235-=-r，解得4=r ； 令21235=-r ，解得3=r ．故2nx x⎛ ⎝展开式中的常数项为5445335522104030C C ---=-=-考点二 利用二项式定理求参数1．若6)(xa x -的展开式中含23x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ）A.2B.-2C. 22D. -22 【答案】B【解析】二项式6)(xa x -的展开式的通项为23661)(r r rr xC a T -+-=，令23236=-r ，解得3=r ，160)(363=-∴C a ， 解得2-=a故选B.2．已知5)1)(1(xax x -+的展开式中常数项为-40，则a 的值为（ ）A. 2B. -2C. 2±D. 4【答案】C 【解析】5)1(x ax -展开式的通项公式为：r r r r r r r r x C a xax C T 2555551)1()1()(---+-=-=， 令125-=-r 可得：，结合题意可得：3=r 40)1(35353-=--C a ，即40102=a ，2±=∴a .本题选择C 选项.3.若52)12)(3(xx a x --的展开式中3x 的系数为80，则a= . 【答案】-2.【解析】二项式5)12(x x -展开式的通项为r r r r r r rr x C xx C T 25555512)1()1()2(---+-=-=， 故展开式中3x 的系数为a C a C 801202)1()(23154253+=⋅⋅-⨯-+⋅⨯，由题意得8080240=+a ， 解得2-=a ．考点三 二项式系数的和或各项系数的和 1. 已知)()1()1()1()1()21(201720172016201622102017R x x a x a x a x a a x ∈-+-++-+-+=-Λ，则=+-+-+-20172016432120172016432a a a a a a Λ .【答案】-4034. 【解析】因为)()1()1()1()1()21(201720172016201622102017R x x a x a x a x a a x ∈-+-++-+-+=-Λ，两边同时求导可得)()1(2017)1(2016)1(2)21(201722016201720152016212016R x x a x a x a a x ∈-+-++-+=-⨯-Λ，令0=x ，得40342017201643220172201720164321-=+-+-+-=⨯-a a a a a a Λ．2. 已知6)(b ax +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与-18，则6)(b ax +的展开式中所有项系数之和为______________． 【答案】10.【解析】因为6)(b ax +的展开式中4x 项的系数为135，所以1352426=b a C ；又因为6)(b ax +的展开式中5x 项的系数为-18，所以181516-=b a C ，解得3,1=-=b a ，或3,1-=-=b a ，令1=x ，可得6)(b ax +的展开式中所有项系数之和为6426=．3.若()5234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++=__________． 【解析】对等式两边求导得()42341234510232345x a a x a x a x a x -=++++， 令1x =得12345102345a a a a a =++++，故答案为10.考点四 项的系数的最值问题1．设nn n x a x a x a a x ++++=-Λ2210)12(展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ； （2）求n a a a a ++++Λ210;（3）求n n a a a a 222233221++++Λ. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1. （1）由二项式系数的对称性，101012=+n，2018=∴n . （2）2018201821020182103=+++-=++++a a a a a a a a ΛΛ.（3）12222201820183201822018120182018201833221-=++-+-=++++C C C C a a a a ΛΛ. 2．设)()1(*2210N n x a x a x a a x n n n ∈++++=+Λ，若6321=+++n a a a Λ，则展开式中系数最大的项是__________. 【答案】320x .【解析】因为)()1(*2210N n x a x a x a a x n n n ∈++++=+Λ，所以10=a ， 所以63121)11(21=-=-+=+++nn n a a a Λ，所以6=n ， 所以展开式中系数最大的项是333620x x C =.3. 求10)12(xx -的展开式中：（1）第10项 （2）常数项；（3）系数的绝对值最大的项.【答案】（1）820--x ；（2）-8064；（3）415360x -. 【解析】r r r r r r r r x C xx C T 210101010101)1(2)1()2(---+-=-=（1）10)12(xx -的展开式中第10项，即81020--=x T（2）常数项为第6项。
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：二项式定理(含解析)
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：二项式定理（含解析）一、【知识精讲】1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.【注意点】(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.，C n n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n二、【典例精练】考点一 通项公式及其应用 角度1 求二项展开式中的特定项【例1－1】 (1)(2018·信阳二模)(x 2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是( ) A.5B.－10C.－32D.－42(2)⎝⎛⎭⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________.【答案】 (1)D (2)454x 2，－638，45256x －2 【解析】 (1)由于⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r·(－2)r ＝C r 5·(－2)r·xr －52，故(x 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42. (2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x10－2k3.由题意10－2k 3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2， －638，45256x －2. 【解法小结】 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可.。
2020届高考数学理一轮考点测试：二项式定理
2m＋ 1 即得 13＝7× m＋ 1 ，解得 m＝ 6．故选 C．
10．设 a∈Z，且 0≤ a<15，若 519＋ a 能被 13 整除，则 a＝ (
)
A． 0 B ． 1 C ． 12 D ． 14
答案 D
解析 519＋ a＝ (52 － 1) 9＋ a＝ C09×529－ C19×52 8＋…＋ C89×52－ 1＋ a 被 13 整除余 a－ 1，结合选项可得
)
A．－ 20 B ．－ 4 C ． 5 D ．20
答案 A
解析
1 2
x
－
2y
5
的展开式的通项
Tr ＋1＝
Cr51 2
x5
－
r
·
(
－
2y)
r＝
Cr5·
15－ r 2
·(
－
2)
r·
x5－r
·
yr
．当
r ＝ 3 时， x2y3 的系数为
C35× 122×( － 2) 3＝－ 20．故选
A．
7．把 (1 － x) 9 的展开式按 x 的升幂排列，若第 m项的系数最大，则 m的值为 (
时，
9
51 ＋
a
能被
13 整除．
11．已知 ( x＋ 2) n 的展开式共有 5 项，则展开式中的第 4 项为 ________．( 系数部分用数字作答 )
a＝ 14
答案 32x 解析 由展开式共有 5 项可知 n＝ 4，所以展开式中的第 12． ( x2－ x＋1) 10 的展开式中 x3 的系数为 ________．
b，
若 13a＝ 7b，则 m＝ ( )
A． 8 B ． 7 C ． 6 D ． 5