随机梯度下降法概述
softmax regression 随机梯度下降数学推导过程
softmax regression 随机梯度下降数学推导过程1. 引言1.1 概述本文主要介绍softmax regression算法中的随机梯度下降法的数学推导过程。
经典的softmax regression是一种用于多类别分类问题的线性模型，它通过将原始输入映射为各个类别的概率分布来进行分类。
其中随机梯度下降法是优化该模型参数的常用方法之一。
1.2 文章结构本文总共分为5个部分：引言、softmax regression 的基本原理、随机梯度下降法的数学推导过程、实验结果与分析以及结论与展望。
在引言部分，我们将对文章进行一个整体的介绍，并简要说明各个部分内容；在softmax regression 的基本原理部分，我们将对softmax regression模型进行介绍，并推导出其目标函数；在随机梯度下降法的数学推导过程部分，我们将详细讲解梯度下降算法和随机梯度下降算法，并给出其数学推导过程；在实验结果与分析部分，我们将介绍相关的数据集和预处理流程，并描述模型训练与调参过程，最后给出实验结果的详细分析和可视化展示；最后，在结论与展望部分，我们将总结全文内容，并给出未来研究的拓展方向。
1.3 目的本文的主要目的是通过对softmax regression算法中随机梯度下降法的数学推导过程进行详细解释，帮助读者全面理解该优化方法在这一分类问题中的应用。
通过具体的实验结果与分析，我们将验证并评估随机梯度下降法在softmax regression模型中的性能表现。
同时，我们也希望为该领域进一步研究提供一些新的思路和拓展方向。
2. softmax regression 的基本原理2.1 模型介绍softmax regression，也称为多类别逻辑回归或最大熵模型，是一种用于处理多类别分类问题的机器学习算法。
它是逻辑回归的一般化形式，通过将线性模型的输出转化为对应类别的概率来进行分类。
2.2 目标函数及其推导在softmax regression中，我们希望找到一个函数，将输入数据的特征与各个类别之间建立起关联，并预测每个类别的概率。
随机梯度下降法
随机梯度下降法 在求解机器学习算法的模型参数，即⽆约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent）是最常采⽤的⽅法之⼀，另⼀种常⽤的⽅法是最⼩⼆乘法。
这⾥就对梯度下降法做⼀个完整的总结。
1. 梯度 在微积分⾥⾯，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。
⽐如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。
对于在点(x0,y0)的具体梯度向量就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T.或者▽f(x0,y0)，如果是3个参数的向量梯度，就是(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)T,以此类推。
那么这个梯度向量求出来有什么意义呢？他的意义从⼏何意义上讲，就是函数变化增加最快的地⽅。
具体来说，对于函数f(x,y),在点(x0,y0)，沿着梯度向量的⽅向就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的⽅向是f(x,y)增加最快的地⽅。
或者说，沿着梯度向量的⽅向，更加容易找到函数的最⼤值。
反过来说，沿着梯度向量相反的⽅向，也就是 -(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的⽅向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最⼩值。
2. 梯度下降与梯度上升 在机器学习算法中，在最⼩化损失函数时，可以通过梯度下降法来⼀步步的迭代求解，得到最⼩化的损失函数，和模型参数值。
反过来，如果我们需要求解损失函数的最⼤值，这时就需要⽤梯度上升法来迭代了。
梯度下降法和梯度上升法是可以互相转化的。
⽐如我们需要求解损失函数f(θ)的最⼩值，这时我们需要⽤梯度下降法来迭代求解。
但是实际上，我们可以反过来求解损失函数 -f(θ)的最⼤值，这时梯度上升法就派上⽤场了。
下⾯来详细总结下梯度下降法。
3. 梯度下降法算法详解3.1 梯度下降的直观解释 ⾸先来看看梯度下降的⼀个直观的解释。
⽐如我们在⼀座⼤⼭上的某处位置，由于我们不知道怎么下⼭，于是决定⾛⼀步算⼀步，也就是在每⾛到⼀个位置的时候，求解当前位置的梯度，沿着梯度的负⽅向，也就是当前最陡峭的位置向下⾛⼀步，然后继续求解当前位置梯度，向这⼀步所在位置沿着最陡峭最易下⼭的位置⾛⼀步。
《统计学习方法》梯度下降的两种应用场景
《统计学习⽅法》梯度下降的两种应⽤场景这⼏天在看《统计学习⽅法》这本书，发现梯度下降法在感知机等机器学习算法中有很重要的应⽤，所以就特别查了些资料。
⼀.介绍梯度下降法（gradient descent）是求解⽆约束最优化问题的⼀种常⽤⽅法，有实现简单的优点。
梯度下降法是迭代算法，每⼀步需要求解⽬标函数的梯度向量。
⼆.应⽤场景1.给定许多组数据（x i, y i），x i （向量）为输⼊，y i为输出。
设计⼀个线性函数y=h（x）去拟合这些数据。
2.感知机：感知机（perceptron）为⼆类分类的线性分类模型。
输⼊为实例的特征向量，输出为实例的类别，取+1 和 -1 ⼆值。
下⾯分别对这两种应⽤场景进⾏分析。
1.对于第⼀种场景:既然是线性函数，在此不妨设为 h(x) = w0*x0 + w1*x1。
此时我们遇到的问题就是如何确定w0和w1这两个参数，即w=（w0，w1）这个向量。
既然是拟合，则拟合效果可以⽤平⽅损失函数：E(w)=∑ [ h(x)- y ] ^2 / 2 来衡量。
其中w是权重⼆维向量，x是输⼊⼆维向量，x和y都是训练集的数据，即已知。
⾄于后⾯除于2只是为了之后的推导过程中对E求导时候可以消除系数，暂时可以不管。
因此该问题变成了求E(w)最⼩值的⽆约束最优化问题2.对于第⼆种场景:假设输⼊空间(特征向量)为x，输出空间为y = {+1, -1},由输⼊空间到输出空间的如下函数f(x) = sign(w · x + b) w∈R n其中 w 叫做权值或者权值向量, b叫做偏振。
w · x 表⽰向量w和x的点积感知机sign(w · x + b)的损失函数为 L(w, b) = -∑y i(w · x i + b) x ∈M, M为误分类点集合。
因此该问题变成了求L(w, b)最⼩值的⽆约束最优化问题三.梯度下降⽅法梯度其实就是⾼数求导⽅法，对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）1. 对于第⼀种场景对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）梯度为最陡峭上升的⽅向，对应的梯度下降的训练法则为： w=w-η▽E(w) 这⾥的η代表学习速率，决定梯度下降搜索中的步长。
梯度下降法 最小误差-概述说明以及解释
梯度下降法最小误差-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:梯度下降法是一种优化算法，用于最小化目标函数或误差函数的方法。
通过不断沿着负梯度方向更新参数，使得目标函数值逐渐趋于最小值。
在机器学习领域，梯度下降法被广泛应用于训练模型，如线性回归、逻辑回归和神经网络等。
梯度下降法的核心思想是通过计算目标函数关于参数的梯度，找到目标函数下降最快的方向，并沿着该方向更新参数。
这种迭代更新的过程可以使得模型在训练集上逐渐逼近最优解，从而达到最小化误差的目的。
本文将深入探讨梯度下降法的基本原理、在机器学习中的应用以及其优缺点，希望读者能对梯度下降法有一个更深入的理解，并在实践中灵活运用这一强大的优化算法。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍梯度下降法的基本原理，包括梯度的概念、损失函数、学习率等相关概念，以帮助读者了解梯度下降法的工作原理。
接着，将探讨梯度下降法在机器学习中的应用，包括线性回归、逻辑回归、神经网络等常见的机器学习算法中如何使用梯度下降法来优化模型参数，提高模型性能。
在讨论梯度下降法的优缺点时，将对其在优化过程中可能遇到的问题进行分析，如局部最优解、学习率调整等，以及与其他优化算法的比较，帮助读者更全面地了解梯度下降法的优势和局限性。
最后，通过总结梯度下降法的重要性、展望未来的发展以及得出结论，将帮助读者形成对梯度下降法的综合认识，促进其在实际应用中的运用和优化。
1.3 目的梯度下降法作为一种常用的优化算法，在机器学习和深度学习领域得到广泛的应用。
本文的目的是通过深入探讨梯度下降法的基本原理、在机器学习中的具体应用以及其优缺点，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的算法。
同时，通过总结梯度下降法的重要性，展望其在未来的发展趋势，我们希望读者可以更好地应用梯度下降法解决实际问题，并为未来的研究和发展提供一定的参考和启发。
最终，我们将在结论部分对本文所述内容进行总结和反思，为读者留下深刻印象。
2.正文2.1 梯度下降法的基本原理梯度下降法是一种常用的优化算法，主要用于求解损失函数的最小值。
从SGD到Adam——常见优化算法总结
从SGD到Adam——常见优化算法总结1 概览虽然梯度下降优化算法越来越受欢迎，但通常作为⿊盒优化器使⽤，因此很难对其优点和缺点的进⾏实际的解释。
本⽂旨在让读者对不同的算法有直观的认识，以帮助读者使⽤这些算法。
在本综述中，我们介绍梯度下降的不同变形形式，总结这些算法⾯临的挑战，介绍最常⽤的优化算法，回顾并⾏和分布式架构，以及调研⽤于优化梯度下降的其他的策略。
2 Gradient descent 变体有3种基于梯度下降的⽅法，主要区别是我们在计算⽬标函数（ objective function）梯度时所使⽤的的数据量。
2.1 Batch gradient descent 批梯度下降法计算公式如下：其中η表⽰学习率。
该⽅法在⼀次参数更新时，需要计算整个数据集的参数。
优点：可以保证在convex error surfaces 条件下取得全局最⼩值，在non-convex surfaces条件下取得局部极⼩值。
缺点：由于要计算整个数据集的梯度，因此计算⽐较慢，当数据量很⼤时，可能会造成内存不⾜。
另外，该⽅法也⽆法在线（online）更新模型。
计算的伪代码如下：for i in range ( nb_epochs ):params_grad = evaluate_gradient ( loss_function , data , params )params = params - learning_rate * params_grad其中，params和params_grad均是向量（vector）。
2.2 Stochastic gradient descent（SGD）随机梯度下降计算公式如下：随机梯度下降法每次更新参数时，只计算⼀个训练样本(x(i), y(i))的梯度。
优点：计算速度快，可以⽤于在线更新模型。
缺点：由于每次只根据⼀个样本进⾏计算梯度，因此最终⽬标函数收敛时曲线波动可能会⽐较⼤。
由于SGD的波动性，⼀⽅⾯，波动性使得SGD可以跳到新的和潜在更好的局部最优。
随机梯度下降的基本原理
随机梯度下降的基本原理随机梯度下降的基本原理什么是随机梯度下降？•随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，简称SGD）是一种常用的优化算法。
•在机器学习和深度学习中，SGD被广泛应用于模型训练过程中的参数优化。
•SGD通过迭代的方式，逐步调整模型的参数，使得模型在训练数据上的损失逐渐减小，从而达到优化模型的目的。
基本原理1.初始化模型参数：–首先，需要随机初始化模型的参数。
这些参数将被逐步调整以最小化损失函数。
2.选择一个样本：–从训练集中随机选择一个样本作为本次迭代的输入。
3.计算梯度：–对选择的样本计算损失函数的梯度。
–梯度表示损失函数在当前参数下的下降方向。
4.更新模型参数：–根据计算得到的梯度，更新模型的参数。
–参数的更新方向与梯度的方向相反，以使得损失函数逐渐减小。
–参数更新的步长称为学习率，它决定了参数每次更新的幅度。
5.重复上述步骤：–重复2-4步，直到达到预定的停止条件。
–常见的停止条件有达到一定迭代次数、损失函数的变化小于某个阈值等。
随机梯度下降的特点•快速更新参数：–与传统的梯度下降算法不同，SGD每次只使用一个样本进行参数更新。
–这使得SGD在处理大规模数据集时更加高效。
•容易产生噪声：–由于每次采样的样本不同，SGD更新参数的方向可能存在一定的随机性。
–这导致SGD的参数更新可能带来一定的噪声，可能会影响到模型的收敛性和性能。
•可能陷入局部极小值：–由于使用随机梯度，SGD的更新方向可能不一定是全局最优的。
–这使得SGD容易陷入局部极小值，而无法达到全局最优解。
•可以使用学习率衰减：–为了更好地控制参数更新的幅度，可以使用学习率衰减的策略。
–学习率衰减可以使得模型在训练初期更快地收敛，在后期可以更加稳定地优化模型。
结语随机梯度下降是一种常用的优化算法，广泛应用于机器学习和深度学习领域。
通过使用随机梯度逐步调整模型的参数，我们可以有效地优化模型并提高其在训练数据上的性能。
随机梯度下降算法的优化与改进
随机梯度下降算法的优化与改进随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，简称SGD）算法是一种常用的优化算法，用于求解机器学习中的模型参数。
它通过迭代的方式不断更新模型参数，以最小化损失函数。
然而，传统的SGD 算法存在一些问题，如收敛速度慢、易陷入局部最优等。
为了解决这些问题，研究者们提出了许多改进和优化的方法。
一、学习率调整方法学习率是SGD算法中一个重要的超参数，它决定了每次迭代中参数更新的幅度。
传统的SGD算法中学习率是固定不变的，在训练过程中容易导致收敛速度过慢或者无法收敛。
为了解决这个问题，研究者们提出了多种学习率调整方法。
1.1 学习率衰减学习率衰减是指在训练过程中逐渐减小学习率。
常用的衰减方式有指数衰减、多项式衰减等。
指数衰减方式通过设置一个衰减因子，在每个迭代步骤中将当前学习率与衰减因子相乘，从而降低学习率的值。
多项式衰减方式则通过设置一个衰减指数，将学习率按照指数衰减的方式递减。
学习率衰减可以在训练初期较大的学习率有助于快速收敛，而在训练后期逐渐降低学习率可以提高模型的精度。
1.2 自适应学习率算法自适应学习率算法是指根据模型参数的梯度信息自动调整学习率的算法。
常用的自适应学习率算法有Adagrad、RMSprop、Adam等。
Adagrad算法根据参数梯度平方和来调整每个参数的学习率，从而使得梯度较大的参数具有较小的更新幅度，梯度较小的参数具有较大的更新幅度。
RMSprop算法则是在Adagrad算法基础上对梯度平方和进行指数加权平均来调整每个参数的学习率。
Adam算法则是结合了动量项和自适应调整因子来更新模型参数。
二、批量大小选择批量大小是指每次迭代中用于计算梯度和更新模型参数所使用样本数量。
传统的SGD算法中，批量大小通常为1，即每次迭代只使用一个样本。
然而，这种方式容易导致模型参数的更新幅度过大或者过小，从而影响模型的收敛速度和精度。
为了解决这个问题，研究者们提出了一些批量大小选择的方法。
梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程
梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程⼀、总结⼀句话总结：> 梯度通俗理解：我们对⼀个多元函数求偏导,会得到多个偏导函数.这些导函数组成的向量,就是梯度.1、利⽤梯度下降法求解梯度的过程？> 1、随机⼀个初始值,在多元线性回归中,我们随机⼀组w,带⼊到损失函数中,得到⼀个初始点.> 2、让这个点按照负梯度的⽅向运动,就是我们前边讲的θ(k)=θ(k-1)-α*g ,梯度的计算如上⽂所述.> 3、迭代第⼆步,当迭代此处达到某⼀个数,或者上⼀步和这⼀步的结果误差⼩于某个数,就认为是最优解了,停⽌迭代.迭代次数和最⼩误差值都是可以设置的.⼆、梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程上⼀章中有提到利⽤解析解求解多元线性回归,虽然看起来很⽅便,但是在解析解求解的过程中会涉及到矩阵求逆的步骤.随着维度的增多,矩阵求逆的代价会越来越⼤(时间/空间),⽽且有些矩阵没有逆矩阵,这个时候就需要⽤近似矩阵,影响精度.所以本章我们⼀起来学习求解多元线性回归最常⽤的,也是后边可能会讲的深度学习最常⽤的求解办法:梯度下降与随机梯度下降.其实随机梯度下降才是咱们最常⽤的求解办法,但是不知道梯度下降,理解随机梯度下降就有些直接盖⼆楼的感觉了(我的意思是空中楼阁).那什么是梯度下降呢?从字⾯意思上,我们就可以get到他最重要的点--梯度.所以⾸先我们来看梯度的概念.(事先声明,好多概念纯粹为了⽅便理解)什么是梯度:1-先看官⽅解释:梯度的本意是⼀个向量（⽮量），表⽰某⼀函数在该点处的⽅向导数沿着该⽅向取得最⼤值，即函数在该点处沿着该⽅向（此梯度的⽅向）变化最快，变化率最⼤（为该梯度的模）。
2-通俗理解:我们对⼀个多元函数求偏导,会得到多个偏导函数.这些导函数组成的向量,就是梯度.这⾥需要开拓⼀下你聪明的头脑.⼀元函数的梯度是什么?思考⼀下.它的梯度可以理解为就是它的导数.我们求解⼀元函数的时候有⼀种办法是对函数求导得到导函数,令导函数为零得到这个函数的解析解.那我们可不可以理解为求解⼀元函数时利⽤让⼀元函数的梯度变为0的时候,梯度所在的位置就是函数的最优解呢? (稍稍有点偷天换⽇,但是在⼀元函数中梯度和导数并⽆区别,这块⼀定要理解)梯度中元素(导函数)的个数的个数同未知数的个数是对应,每⼀个未知数都可以像求解⼀元⼀次函数⼀样,通过它所对应的梯度求得最优解.其实求解多元函数和⼀元函数的道理是⼀样的,只不过函数是⼀元的时候,梯度中只有⼀个导函数,函数时多元的时候,梯度中有多个导函数.当我们把梯度中的所有偏导函数都变为0的时候,就可以找到每个未知数的对应解?(事实证明是这样的)附上⼀张梯度的图假设这个曲⾯是⼀个多元函数,我们可以把这个曲⾯看成是由⽆数条曲线组成,每条曲线代表了多元函数的⼀个维度,当所有维度都下降到梯度为0的点,是不是这个点就是多元函数的解的那个点呢?什么是梯度下降:1-还是按照惯例,先看官⽅解释.梯度下降是迭代法的⼀种,可以⽤于求解最⼩⼆乘问题(线性和⾮线性都可以)。
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本节开始介绍第一个机器学习模型：线性回归模型（Linear Regression Model)。
线性回归的目的是预测连续变量的值，比如股票走势，房屋的价格预测。
从某种程度上说，线性回归模型，就是函数拟合。
而线性回归，针对线性模型拟合，是回归模型当中最简单一种。
形式化描述回归模型：对于给定的训练样本集包含N个训练样本{x(i)} 相应的目标值
{t(i)}}(i=1,2,....N)，我们的目的是给定一个新样本x 预测其值t，注意与分类问题不同是{t(i)}属于连续变量。
最简单的线性回归模型：
(1)
其中，x={x1,x2,x3,...x D}，D个特征项，w={w1,w2,w3...w D}，被称为参数或者权重。
线性回归模型的关系是求出w。
上面的公式可以简化为：
(2)
其中Φj(x)被成为集函数，令Φ0(x)=1，则上式又可以写成：
(3)
集函数的一般有多项式集函数，比如Gaussian集函数，Sigmoidal集函数。
为方便出公式推导，我们假设：
最简单的集函数形式：Φj(x) = xj
为了求出模型参数（一旦w 求出，模型就被确定），我们首先需要定义出错误函数或者（error function)或者又被成为损失函数（cost function)，优化损失函数的过程便是模型求解的过程。
我们定义线性回归模型的损失函数：
(4)
优化当前函数有很多方便，包括随机梯度下降算法（gradient descent algorithm）算法步骤如下：
1)随机起始参数W;
2)按照梯度反方向更新参数W直到函数收敛。
算法公式表示：
(5)
其中，η表示学习速率(learning rate)。
倒三角表示对损失函数求导，得到导数方向。
对公式(4)求导后：
(6)
公式（5）更新方法又被称为批梯度下降算法(batch gradient descent algorithm），每更新一次W需要遍历所有的训练样本，当样本量很大是，将会是非常耗时的。
另一种更新方法，随机梯度下降的算法，每次碰到一个样本，即对W进行更新：
(7)
随机梯度算法速度要远于批更新，但可能会得到局部最优解。
需要注意的是，在随机梯度下降方法中，并不是每一次更新都判断算法何时收敛，而是在m次的更新后再做判断（往往m<样本数量）。