梯度下降法
梯度下降法原理
梯度下降法原理
梯度下降法是一种优化算法，主要用于寻找函数的最小值。
它的基本原理是通过不断迭代更新参数，从而逐步接近函数的最小值点。
1. 初始化参数：选择一个初始点作为起始点，即确定函数的初始参数。
2. 计算梯度：在当前参数点处，计算函数的梯度。
梯度是函数在某一点的偏导数，表示函数在该点上升最快的方向。
3. 更新参数：根据梯度的信息，更新参数点。
具体更新方法有多种，最常见的是通过参数点减去学习率乘以梯度的方法进行更新。
4. 判断收敛：判断当前参数点是否满足收敛条件。
可以通过设定一个阈值，当参数的变化小于阈值时停止迭代。
5. 迭代更新：如果参数点不满足收敛条件，则返回步骤2，继续进行梯度的计算和参数的更新，直到满足收敛条件为止。
通过以上步骤，梯度下降法不断迭代更新参数，直到找到函数的最小值点。
需要注意的是，梯度下降法只能保证找到局部最小值，并不一定能找到全局最小值。
此外，学习率是一个重要的超参数，过大或过小的学习率都会影响梯度下降法的性能，因此需要合理选择学习率。
梯度下降法 工作原理
梯度下降法工作原理
梯度下降法是一种优化算法，用于寻找函数的最小值。
其工作原理如下：
1.初始化参数：选择一个起始点作为初始参数，这可以是任意值或随机选择的值。
2.计算损失函数的梯度：计算当前参数点处的损失函数的梯度。
梯度表示损失函数在每个参数维度上的变化率。
3.更新参数：使用梯度信息来更新参数，以使损失函数的值减小。
更新参数的方法是沿着梯度的反方向进行调整。
4.迭代更新：重复步骤2和3，直到满足停止准则（如达到预设的最大迭代次数或损失函数值减小到足够小的值）。
5.输出结果：最终的参数值即为使损失函数最小化的参数值。
梯度下降法通过不断地沿着梯度的反方向移动参数，逐渐找到使损失函数最小化的最优解。
在机器学习和深度学习中，梯度下降法被广泛用于训练模型和优化模型参数。
《梯度下降法》课件
随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）
总结词
计算量最小，收敛速度最快，适用于小数据集
详细描述
由于每次迭代只使用一个样本计算梯度，计算量最小，因 此随机梯度下降法的收敛速度最快。
详细描述
停止条件
迭代更新会一直进行直到满足某个停止条件，如达到预设的最大迭代次数、达到预设的精度要求或者梯度值足够 小等。
03
梯度下降法的分类
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）
总结词
计算量大，收敛速度慢，适用于大数据集
详细描述
由于每次迭代都需要使用整个数据集，计算量大，导致收 敛速度较慢。
发展方向：
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结合其他优化算法： 研究如何将梯度下降法与其他优化 算法（如牛顿法、拟牛顿法等）结合，以提高搜索效率。
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自适应学习率： 研究如何设计自适应学习率策略，以更 好地处理不同阶段的优化问题。
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挑战：
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高维优化： 在高维参数空间中，梯度下降法可能会遇到 维度诅咒问题，需要研究有效的降维或正则化策略。
利用前一次的梯度方向来指导当前步的搜索方向 ，加速收敛并减少震荡。
公式表达
v = μ * v - lr * gradient
参数解释
v是动量，μ是动量系数，lr是学习率，gradient是 当前点的梯度。
Adagrad、RMSprop和Adam优化算法
Adagrad
针对不同参数自适应调整学习率，对稀疏数据有较好 的效果。
简述梯度下降法的原理和过程
简述梯度下降法的原理和过程摘要：1.梯度下降法简介2.梯度下降法的原理3.梯度下降法的过程4.梯度下降法的应用与优化5.总结正文：梯度下降法（Gradient Descent）是一种常用的数值优化方法，广泛应用于机器学习、数学建模等领域。
本文将对梯度下降法的原理和过程进行详细阐述。
一、梯度下降法简介梯度下降法是一种迭代优化算法，通过沿着负梯度方向不断更新参数，使目标函数值逐步减小。
它在各个领域具有广泛的应用，如线性回归、非线性回归、神经网络训练等。
二、梯度下降法的原理梯度下降法的核心思想是基于目标函数的梯度信息来调整参数。
梯度是表示目标函数在某一点变化率的向量，负梯度方向表示函数值下降最快的方向。
沿着负梯度方向更新参数，可以使目标函数值不断减小。
三、梯度下降法的过程1.初始化参数：设置初始的参数值（如权重、偏置等）。
2.计算梯度：计算目标函数在当前参数下的梯度。
3.更新参数：根据学习率（一个正比例常数）和梯度信息，更新参数值。
4.判断收敛：当梯度模小于预设阈值或达到迭代次数限制时，停止迭代；否则，返回步骤2。
四、梯度下降法的应用与优化1.应用：梯度下降法可应用于各种优化问题，如线性回归、非线性回归、支持向量机、神经网络训练等。
2.优化：为提高梯度下降法的收敛速度和性能，可以采用以下方法：a.动态调整学习率：学习率过小会导致收敛速度缓慢，过大则可能导致振荡或不收敛。
动态调整学习率可以加速收敛。
b.动量法：引入动量概念，使梯度下降过程具有惯性，避免频繁调整导致的振荡。
c.批梯度下降与随机梯度下降：分别对批量数据和单条数据进行梯度计算，减少计算复杂度。
五、总结梯度下降法作为一种常用的优化方法，在机器学习、数学建模等领域具有重要地位。
梯度下降法原理
梯度下降法原理梯度下降法（Gradient Descent）是机器学习中常用的优化算法，是一种寻找极小值（局部最小值或全局最小值）的方法。
1、起源和概念梯度下降法在优化算法学科中被称为“负梯度方向”，它的出现主要是为了解决微积分的求解问题，它用于估算函数的最小或最大值。
目标函数和参数的关系是复杂的，由梯度下降法来寻找参数值，使得目标函数收敛到最优值。
2、原理介绍梯度下降法是一种逐步搜索的过程，在机器学习过程中，首先需要定义目标函数，通常把损失函数看作参数中未知量的函数。
损失函数的计算不同，依赖于输入数据和参数值，优化算法计算的过程也不同。
在优化问题中，用可微的函数对参数求偏导，根据偏导值调整参数，使迭代函数逐步收敛到全局最优解(也可能是局部最优解)，以此达到损失函数最小化的目的。
梯度下降法其实就是沿着负梯度方向搜索，不断更新参数值，朝着函数值最小的方向。
不断的更新参数值，而经过的路径就是梯度下降的路径。
为了使得损失函数最小化，梯度下降法需要一个参数η(学习速率)来控制更新的步长，一般来说，当η设置得较小时，梯度下降的收敛速度较慢，当η设置得较大时，梯度下降可能会出现收敛不足的情况。
3、特点梯度下降法具有收敛速度快、容易实现等特点，利用梯度下降法可以快速地求出函数的最小或最大值，且具有节省空间的优点。
此外，该算法也可以不断地改进和优化模型参数，使得算法获得最快的性能。
4、应用梯度下降法在机器学习中广泛应用，它可以用于优化损失函数以及估算模型参数。
在线性回归分析中，梯度下降法常用于求解线性回归模型参数；在机器学习领域，梯度下降法可以求解神经网络和深度学习模型参数等。
除此之外，梯度下降法在图像处理、字节码优化和数据挖掘等多个领域都有广泛的应用。
梯度下降优化算法
梯度下降优化算法综述,梯度下降法梯度下降法是什么？梯度下降法（英语：Gradientdescent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最陡下降法。
要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。
如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。
梯度下降一般归功于柯西，他在1847年首次提出它。
Hadamard在1907年独立提出了类似的方法。
HaskellCurry在1944年首先研究了它对非线性优化问题的收敛性，随着该方法在接下来的几十年中得到越来越多的研究和使用，通常也称为最速下降。
梯度下降适用于任意维数的空间，甚至是无限维的空间。
在后一种情况下，搜索空间通常是一个函数空间，并且计算要最小化的函数的Fréchet导数以确定下降方向。
梯度下降适用于任意数量的维度（至少是有限数量）可以看作是柯西-施瓦茨不等式的结果。
那篇文章证明了任意维度的两个向量的内（点）积的大小在它们共线时最大化。
在梯度下降的情况下，当自变量调整的向量与偏导数的梯度向量成正比时。
修改为了打破梯度下降的锯齿形模式，动量或重球方法使用动量项，类似于重球在被最小化的函数值的表面上滑动，或牛顿动力学中的质量运动在保守力场中通过粘性介质。
具有动量的梯度下降记住每次迭代时的解更新，并将下一次更新确定为梯度和前一次更新的线性组合。
对于无约束二次极小化，重球法的理论收敛速度界与最优共轭梯度法的理论收敛速度界渐近相同。
该技术用于随机梯度下降，并作为用于训练人工神经网络的反向传播算法的扩展。
梯度下降算法是指什么神经网络梯度下降法是什么?梯度下降法是一个最优化算法，通常也称为最速下降法。
最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现已不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。
最速下降法是用负梯度方向为搜索方向的，最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。
梯度下降法的原理和应用
梯度下降法的原理和应用概述梯度下降法是一种在机器学习和优化算法中常用的迭代优化方法。
它通过迭代地调整模型参数的方式来最小化损失函数。
本文将介绍梯度下降法的基本原理和应用。
原理梯度下降法的原理可以用以下步骤进行描述：1.初始化模型参数：首先，我们需要对模型的参数进行初始化。
常见的初始化方式包括随机初始化和零初始化。
2.计算损失函数的梯度：接下来，我们需要计算损失函数对于模型参数的梯度。
梯度是损失函数在每个参数上的变化率，它告诉我们应该朝着哪个方向调整参数的值以减小损失函数的值。
3.更新模型参数：根据梯度的信息，我们可以更新模型的参数。
通常，我们会采用学习率（learning rate）这个超参数来控制每次参数更新的步伐大小。
4.重复步骤2和3：持续迭代以上步骤，直到损失函数收敛或达到预设的停止条件。
应用梯度下降法可以应用于很多机器学习和优化问题中。
下面列举了几个常见的应用场景：•线性回归：梯度下降法可以用来拟合线性回归模型，通过最小化残差平方和来找到最佳的回归系数。
•逻辑回归：梯度下降法可以用来拟合逻辑回归模型，通过最小化交叉熵损失函数来找到最佳的分类边界。
•神经网络：梯度下降法是训练神经网络的关键步骤。
通过计算损失函数对于每个参数的梯度，我们可以使用梯度下降法来更新神经网络的权重和偏置。
•支持向量机：梯度下降法可以用来求解支持向量机的对偶问题，通过最小化目标函数来找到最佳的分类超平面。
•深度学习：梯度下降法是训练深度神经网络的主要优化算法。
通过反向传播算法计算网络参数的梯度，并使用梯度下降法来更新参数，可以让深度神经网络逐渐逼近最优解。
虽然梯度下降法在许多情况下都能产生良好的结果，但也存在一些问题：•学习率选择问题：学习率过大可能导致参数更新过大，无法达到最优解；学习率过小可能导致收敛速度过慢。
•局部最优问题：在目标函数存在多个局部最优解的情况下，梯度下降法可能陷入局部最优解而无法达到全局最优解。
梯度下降法例题
梯度下降法例题
【最新版】
目录
1.梯度下降法简介
2.梯度下降法的原理
3.梯度下降法的例题演示
4.梯度下降法的应用领域
正文
1.梯度下降法简介
梯度下降法是一种在数学优化问题中广泛应用的迭代算法，主要用于求解无约束的最小化问题。
通过沿着负梯度方向迭代更新参数，直至收敛到最小值。
2.梯度下降法的原理
梯度下降法的原理基于偏导数的概念。
假设我们要求解一个关于参数x 的函数 f(x) 的最小值，首先对函数 f(x) 关于 x 求偏导数，得到梯度方向。
然后沿着梯度方向更新参数 x，使得函数值逐步减小，直至收敛到最小值。
3.梯度下降法的例题演示
假设有一个简单的线性函数 y = 2x + 3，现在要求解该函数在 x=1 处的最小值。
首先，对函数 y = 2x + 3 关于 x 求偏导数，得到梯度 dy/dx = 2。
然后，选取一个初始的参数 x0=1，并沿着梯度方向更新参数 x，即 x = x - (dy/dx) * (x - x0)，迭代过程中，函数值逐步减小。
当迭代到某一步，梯度为 0 时，说明已经到达最小值，此时的 x 值
即为所求的最小值。
4.梯度下降法的应用领域
梯度下降法在许多领域都有广泛的应用，例如机器学习、深度学习、经济学、物理学等。
在这些领域中，梯度下降法被用于求解优化问题，例如参数估计、模型训练等。
总之，梯度下降法是一种求解最优化问题的有效方法，通过沿着负梯度方向迭代更新参数，可以逐步收敛到最小值。
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Q q0
*
q1
q2
q3
T
（二）参数定义、坐标系定义 如果不存在误差那么 a=Q ⊕G ⊕Q* h=Q ⊕H⊕Q* 实际上是不相等的。 H是参考坐标系下地磁场 G是参考坐标系下重力加速动 参考坐标系：X轴对应北；Y轴对应西；Z轴对应天 机体坐标系：初始与参考坐标同向 T 则： G 0 0 1
为地磁场与测量的磁场的偏差
2、由于相减的向量是单位向量，∆很小时，|∆|就相
当于角度。
ax 2(q1q3 q0 q2 ) ax 2(q q q q ) a a R * G a a 2 3 0 1 y y 2 2 2 2 a q q q q 1 2 3 az z 0
4hy H z q3 4hz H x q0 4hz H z q2
f 4ax q1 4a y q2 4az q3 4hx H x q3 4hx H z q1 4hy H x q0 q3
4hy H z q2 4hz H x q1 4hz H z q3
有了梯度，剩下的就是确定步长r 确定步长是梯度下降法的核心。步长未必是一成不变
的。
加速度计和磁力计通过梯度下降法得到姿态误差速率
，陀螺仪直接通过四元数微分方程得到姿态四元数速 率，两个加起来积分就可以得到相对精确的姿态四元 数了。以下公式就是四元数微分方程 其中w为陀螺仪的测量值。
H H X 0 HZ
T
注意：此时的测量值都是经过标准化的
（三）四元数矩阵
从机体坐标系到参考坐标系
2 2 2 q0 q12 q2 q3 R 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q1q3 q0 q2 )
2(q1q2 q0 q3 )
2 2 2 q0 q12 q2 q3
2(q1q2 q0 q3 )
2 2 2 q0 q12 q2 q3
2(q2 q3 q0 q1 )
2(q1q3 q0 q2 ) 2(q2 q3 q0 q1 ) 2 2 2 q0 q12 q2 q3
两个四元数矩阵的用法
R V B V A
f 4ax q3 4a y q0 4az q1 4hx H x q1 4hx H z q3 4hy H x q2 q1
4hy H z q0 4hz H x q3 4hz H z q1
f 4ax q0 4a y q3 4az q2 4hx H x q2 4hx H z q0 4hy H x q1 q2
一、姿态求解理论
（一）四元数基本理论
假设现在我们已经得到正确的姿态四元数Q，那么我
们可以利用四元数旋转将参考坐标系和机体坐标系下 的向量互相转换。 定义四元数Q是坐标系A（参考坐标）旋转到坐标系B （机体坐标）所得到的姿态四元数。 T Q q0 q1 q2 q3
并且定义从坐标系B到坐标系A的四元数为Q*
2(q2 q3 q0 q1 )
2(q1q3 q0 q2 ) 2(q2 q3 q0 q1 ) 2 2 2 q0 q12 q2 q3
从参考坐标系到机体坐标系
2 2 2 q0 q12 q2 q3 R* 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q1q3 q0 q2 )
3、创建梯度函数 两个误差要合并成一个函数，这里我们使用标量函数
的梯度下降法。这里用长度的平方和。
f (a、h) a h
2
2
f ( a、 h) f f ( a、 h) q q0
f q1
f q2
f q3
T
求偏导数得： f 4ax q2 4a y q1 4hx H z q2 4hy H x q3 4hy H z q1 4hz H X q2 q0
四元数微分方程
1 q t qt 1 wt 2
更新四元数
1 q t qt 1 qt 1 wt qt 1 ( qt 1 wt r ) t 2 f ( a、 h)
规范会处理
qt q qt
R * V A V B
说明：A是参考坐标系；B是机体坐标系 向量
V A、 VB
是同一个向量，但分别被定义在坐
标系A中和坐标系B中
二、梯度下降法
梯度下降法是一种求解最优值得方法，就是利用负 梯度方向来决定每次迭代的新的搜索方向，使得每次 迭代能使待优化的目标函数逐步减小。 1、 加速度计和磁力计通过梯度下降法得到姿态误差 速率，陀螺仪直接通过四元数微分方程得到姿态四元 数速率，两个加起来积分就可以得到相对精确的姿态 a 四元数了。 定义： h 为重力加速度与测量的加速度的偏差