量子力学 第三章习题与解答
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第三章习题解答
3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ
αψ2
2
22)(--
=，求：
(1)势能的平均值222
1
x U μω=
； (2)动能的平均值μ
22
p T =；
(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2
222222121απ
αμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2
2
22221111221
ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122
*2ψψμμ ⎰∞∞
----=dx e dx d e x x 2
22
221
22
221)(21ααμπα ⎰∞
∞
---=dx e x x 2
2)1(22222αααμ
πα
][22
2222222⎰⎰∞∞
--∞∞---=dx e x dx e x x
ααααμ
πα
]2[23222απ
ααπαμ
πα⋅-=
μω
μαμαπαμ
πα⋅
===442222222 ω 4
1
=
或 ωωω 414121=-=
-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()
()(*ψψ 21
2
221
⎰∞
∞
---=dx e
e Px i x
απ
απ
⎰
∞
∞
---=
dx e
e
Px i x
222
1
21απ
απ
⎰
∞
∞--+-=dx e
p ip x 2222)(21 21
αααπ
απ ⎰
∞
∞
-+--
=dx e
e ip x p 2222
22)(212 21
αααπαπ πα
π
απα2
2122
p e -
=
2
2221
απ
αp e
-
=
动量几率分布函数为 2
22
1
)()(2
απ
αωp e
p c p -
==
#
3.2.氢原子处在基态0/30
1
),,(a r e a r -=πϕθψ，求：
(1)r 的平均值；
(2)势能r
e 2
-的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0
220
/230
2
0⎰⎰⎰
⎰∞
-=
=
⎰∞-=0
/233004dr a r a a r
04
03
023
2!34a a a =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
22
03020
/23
20
20
/23
2
20
2/23
2
2214 4 sin sin 1)()2(0
00a e a a e dr
r e
a e d drd r e a e d drd r e r
a e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
∞
-∞
-∞
-ππππϕθθπϕθθπ
(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰
⎰
=π
π
ϕθθϕθψω0
20
22 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2
/230
04-=
2
/230
04)(r e a r a r -=
ω 0/2030
)2
2(4)(a r re r a a dr r d --=ω
令 0321 , ,0 0)
(a r r r dr
r d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置
/222
03022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω
08)
(2
30
2
20
<-
=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
(4)22
22ˆ21ˆ∇-==μ
μ p T
⎰⎰⎰∞--∇-=ππϕθθπμ02002
/2/30
2 sin )(1200d drd r e e a T a r a r ⎰⎰⎰∞---=ππϕθθπμ02002
/22/302 sin )]([11200d drd r e dr d r dr
d r
e a a r a r ⎰
∞
----=0
/0
203
2 )2(1
(240
dr e a r r a a a r μ
2
02
20204022)442(24a a a a μμ =-= (5) τϕθψψd r r p c p
),,()()(* ⎰= ⎰⎰⎰
-∞
-=
π
π
θϕθθππ20
cos 0
2
/302
/3 sin 1
)2(1
)(0
d d e
dr r e
a
p c pr i
a r
⎰⎰
-=
-∞
-π
θθπππ0
cos 0
/2
30
2
/3)cos ( )
2(20
d e
dr e
r a
pr i
a r
⎰
∞
--=0
cos /230
2
/30)
2(2πθπππpr i
a r e ipr
dr
e r a
⎰∞---=
0/30
2
/3)()2(20dr e e re ip a pr i
pr i
a r
πππ