2.5 特征值与特征向量

2.5 特征值与特征向量 课标解读 1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义． 2．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)． 3．利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα的简单表示，并能用它来解决问题.

1．特征值与特征向量的定义 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量． 2．特征多项式的定义

设A＝a bc d是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝λ－a －b－c λ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式． 3．特征值与特征向量的计算

设λ是二阶矩阵A＝a bc d的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：

第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝λ－a －b－c λ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出λ的值． 第二步：将λ的值代入二元一次方程组

 λ－ax－by＝0，－cx＋λ－dy＝0，得到一组非零解x0y0，于是非零向量x0y0即为矩阵A的属于特征

值λ的一个特征向量． 4．Anα(n∈N*)的简单表示

(1)设二阶矩阵A＝a bc d，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝

λnα(n∈N*)．

(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，α，β是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t1α＋t2β(其中t1，t2为实数)，则Anγ＝

t1λn1α＋t2λn2β(n∈N*)．

1．特征值与特征向量的几何意义如何？ 【提示】 从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量． 2．特征值与特征向量有怎样的对应关系？ 【提示】 如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了． 3．如何求矩阵A幂的作用结果？

【提示】 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果.

特征值与特征向量的计算与应用 (1)求矩阵A＝1 00 2的特征值和特征向量； (2)已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为 1－3，属于特征值3的一个特征向量为11，求矩阵A. 【思路探究】 (1)f(λ)→f(λ)＝0→特征值→特征向量 (2)利用Aα＝λα构建方程组求解．

【自主解答】 (1)矩阵A的特征多项式为： f(λ)＝λ－1 00 λ－2＝(λ－1)(λ－2)． 令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝2. 将λ1＝1代入二元一次方程组

 λ－1x＋0·y＝0，0·x＋λ－2y＝0，

解得y＝0，x可以为任何非零实数， 不妨记x＝k，k∈R，且k≠0.

于是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为10.

将λ2＝2代入二元一次方程组 λ－1x＋0·y＝0，0·x＋λ－2y＝0， 解得x＝0，y可以为任何非零实数， 不妨记y＝m，m∈R，且m≠0.

于是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量为01.

因此，矩阵A＝1 00 2的特征值为1和2，分别对应的一个特征向量是10，01. (2)设A＝a bc d 由题意知a bc d 1－3＝－1 3，a bc d11＝33，

即 a－3b＝－1，c－3d＝3，a＋b＝3，c＋d＝3.解得 a＝2，b＝1，c＝3，d＝0. ∴A＝2 13 0.

1．求矩阵A的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f(λ)，再由f(λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A所确定的二元一次方程组

 λ－ax－by＝0，－cx＋λ－dy＝0，即可求出特征向量．

2．根据矩阵A的特征值与特征向量求矩阵A的一般思路：设A＝a bc d，根据Aα＝λα构建a，b，c，d的方程求解． (1)若将本例(1)中A变为3 65 2，则其特征值与特征向量如何求？ (2)已知矩阵A有特征值λ1＝8及对应的特征向量α1＝11，并有特征值λ2＝2及对应的特征向量α2＝ 1－2，试确定矩阵A. 【解】 (1)矩阵A的特征多项式为 f(λ)＝λ－3 －6－5 λ－2. 令f(λ)＝0，即λ2－5λ－24＝0.由此得到的两个根分别为λ1＝8，λ2＝－3，即λ1＝8，λ2

＝－3为矩阵A的两个不相等的特征值．

将λ1＝8代入二元一次方程组

 λ－3x＋－6y＝0，－5x＋λ－2y＝0，①

即 5x－6y＝0，－5x＋6y＝0，得5x＝6y. 它有无穷多个非零解 x56x，其中x≠0，我们任取一个，如65，它是属于特征值λ＝8的一个特征向量． 类似地，对于λ2＝－3，代入二元一次方程组①，则有 －6x＋－6y＝0，－5x－5y＝0，

即 x＋y＝0，x＋y＝0. 它有无穷多个非零解 x－x，其中x≠0，我们任取一个，如 1－1，它是属于特征值λ＝－3的一个特征向量． (2)不妨设矩阵A＝a bc d，a，b，c，d均为实数．

由题意则有8－a －b－c 8－d11＝00

及2－a －b－c 2－d 1－2＝00，从而 8－a－b＝0，－c＋8－d＝0，2－a＋2b＝0，－c＋2d－4＝0. 解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，即矩阵A＝6 24 4. 根据A，α计算Anα(n∈N*)

给定的矩阵A＝ 1 2－1 4，B＝32. (1)求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A4B. 【思路探究】 用特征多项式求出λ，然后求出与λ对应的特征向量，再利用性质A4B＝sλ41α1＋tλ42α2求A4B. 【自主解答】 (1)设A的一个特征值为λ，由题意知：

λ－1 －2 1 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，∴λ1＝2，λ2＝3.

当λ1＝2时，由 1 2－1 4xy＝2xy，得A属于特征值2的特征向量α1＝21； 当λ2＝3时，由 1 2－1 4xy＝3xy，得A属于特征值3的特征向量α2＝11. (2)由于B＝32＝21＋11＝α1＋α2， 故A4B＝A4(α1＋α2) ＝24α1＋34α2 ＝16α1＋81α2

＝3216＋8181

＝11397.

已知矩阵A和向量α，求Anα(n∈N*)；其步骤为： (1)求出矩阵A的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α＝sα1＋tα2. (3)应用Anα＝sλn1α1＋tλn2α2表示Anα.

已知M＝1 22 1，β＝17，计算M5β. 【解】 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为 α1＝11，α2＝ 1－1.

令β＝mα1＋nα2， 所以求得m＝4，n＝－3. M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)

＝4·3511－3(－1)5 1－1＝975969.

(教材第73页习题2.5第1题)求出下列矩阵的特征值和特征向量：

(1)A＝ 1 2－1 4；

(2)B＝－1 0 0 1； (3)C＝1 00 2.

(2013·徐州模拟)已知矩阵M＝2 13 4. (1)求矩阵M的逆矩阵； (2)求矩阵M的特征值及特征向量． 【命题意图】 本题主要考查特征值与特征向量的计算． 【解】 (1)∵2×4－1×3＝5≠0， ∴M存在逆矩阵M－1，

∴M－1＝ 45 －15－35 25. (2)矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝λ－2 －1－3 λ－4＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，