2012届安徽省师大附中高三第三次模拟考试(数学理)

安师大附中2012届高三第三次模拟考试数学试卷（理）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知2{|log 1}A x x =>，函数1()f x =的定义域为B 则A B = ( )A ．φB ．(,3)-∞C ．(2,3)D ．(2,)+∞2.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于( )A 21+B 21-C 223+D 223-3.设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题：①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b . 其中正确命题是( )A. ④B. ③C. ①③D. ②④4.一个几何体的三视图如图1所示，已知这个几何体的体积为h =( )5.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如上图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生人数为b ，则a 、b 的值分别为（ ）A. 0.27，78B. 0.27，83C. 2.7，78D. 2.7，836.阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ）A ．0B ．2C ．2-7. 函数x x x f 21log2cos3)(-=π的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8.已知10||),6,2(),3,1(=--==c b a ，若5)(=⋅+c b a ，则c a 与的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1509.已知()f x =a tan 2x -b sin x +4(其中a 、b 为常数且a b ≠0),如果(3)5f =,则f (2010π-3)的值为 ( ) A.-3 B. -5 C. 3 D.510.设直线kx-y+1=0被圆O ：224x y +=所截弦的中点的轨迹为C,则曲线C 与直线x+y-1=0的位置关系为：( ) A. 相交 B.相切 C. 相离 D.不确定11.直线l 过抛物线px y 22=）（0>p 的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是A 、x y 122=B 、x y 82=C 、x y 62=D 、x y 42=12．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

则56()()f a f a +=（ ）A ．3-B ．2-C ．3D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．13．若不等式|2||3|x x a -++<的解集为∅，则a 的取值范围为 ．14． 6)(a x +的展开式中x 2项的系数为60，则实数a=15．若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 相交于P 、Q 两点，且点P 、Q 关于直线0=+y x 对称，则不等式组1000kx y kx m y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积为________.16．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1 的9个小正方形（如下图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a)，→n ＝(cosA ，－cosC)，且→m ⊥→n ． (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋π6)取最大值时，求角B 的大小.18. （本小题满分12分）定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且()0,2x ∈时，3()91xx f x =+。

⑴求()f x 在[]2,2-上的解析式；⑵判断()f x 在()0,2上的单调性，并给予证明；⑶当λ为何值时，关于方程()f x λ=在[]2,2-上有实数解？19．（本小题满分12分）如图，已知AB ⊥平面A C D ，D E ⊥平面A C D ，△A C D 为等边三角形，2AD D E AB ==，F 为C D 的中点.(1) 求证：//A F 平面BC E ； (2) 求证：平面B C E ⊥平面C D E ； (3) 求直线BF 和平面BC E 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）()22ln ,f x x x =- （1）求()f x 的最小值；(2)若()f x ≥212tx x-在(]0,1x ∈内恒成立，求t 的取值范围ABCDEF21．（满分12分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的+∈N n ，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比)(m f q =，数列{}n b 满足),2(),(,2111+-∈≥==N n n b f b a b n n ，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．22（本小题满分12分）.已知圆222:O x y b +=与直线):2l y x =-相切。

（1）求以圆O 与y 轴的交点为顶点，直线在x 轴上的截距为半长轴长的椭圆C 方程; （2）已知点A )23,1(，若直线与椭圆C 有两个不同的交点E,F ，且直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数;问直线的斜率是否为定值？若是求出这个定值;若不是，请说明理由.安师大附中2012届高三第三次模拟考试数学答题卷（理）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．13、 14、 15、 16、 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、18、（1）（2）（3）19、（1）（2）（3）20、（1）（2）（3）21、（1）（2）（3）22、（1）（2）数学（理）答案参考答案：1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.A 7.D 8.C 9.C 10.A 11.B 12.C 13.a ≤5 14.2 15.41 16.10817解：(Ⅰ)由→m ⊥→n ，得→m ·→n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0 ∴2sinBcosA－sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0，∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA ＝12，故A ＝π3.(Ⅱ)y＝2sin 2B ＋sin(2B ＋π6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos π6＋cos2Bsin π6＝1＋32sin2B －12＝1＋sin(2B －π6). 由(Ⅰ)得，0＜B ＜2π3，－π6＜2B －π6＜7π6，∴当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，y 取最大值2.18．解：⑴当20x -<<时，3302,(),9191xxxxx f x --<-<-==++又()f x 为奇函数，3()()19x xf x f x ∴=--=-+，当0x =时，由(0)(0)(0)0f f f -=-⇒=()f x 有最小正周期4，(2)(24)(2)(2)(2)0f f f f f ∴-=-+=⇒-==综上，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-+--∈<<+=02,193}2,0,2{,020,193)(x x x x f x xxx⑵设1202,x x <<<则121212330,130,(91)(91)0x x x x x x+-<-<++> 1212121212)1233(33)(13()()09191(91)(91)x x x xx x x x x x f x f x +--∴-=-=>++++12()(),()f x f x f x ∴>∴在()0,2上为减函数。

⑶即求函数()f x 在[]2,2-上的值域。

当()0,2x ∈时由⑵知，()f x 在()0,2上为减函数，91(2)()(0)822f f x f ∴=<<=，当()2,0x ∈-时，02x <-<，91()822f x ∴<-<，19()(),282f x f x ⎛⎫=--∈-- ⎪⎝⎭当{2,0,2}x ∈-时，()0f x =()f x ∴的值域为{}1991,0,282822⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭λ∴∈{}1991,0,282822⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时方程方程()f x λ=在[]2,2-上有实数解。

19．方法一：(1) 证法一：取C E 的中点G ，连F G B G 、.∵F 为C D 的中点，∴//G F D E 且12G F D E =.∵AB ⊥平面A C D ，D E ⊥平面A C D ，∴//A B D E ，∴//G F A B.又12A B D E =，∴G F A B =.∴四边形G F A B 为平行四边形，则//A F B G . ∵A F ⊄平面BC E ，B G ⊂平面BC E ，∴//A F 平面BC E .证法二：取D E 的中点M ，连A M F M 、.∵F 为C D 的中点，∴//F M C E .∵AB ⊥平面A C D ，D E ⊥平面A C D ，∴//D E A B . 又12A B D E M E ==， ∴四边形ABEM 为平行四边形，则//A M B E . ∵F M A M ⊄、平面BC E ，C E BE ⊂、平面BC E ， ∴//F M 平面BC E ，//A M 平面BC E .又FM AM M = ，∴平面//AFM 平面BC E .∵AF ⊂平面A F M ，∴//A F 平面BC E .(2) 证：∵A C D ∆为等边三角形，F 为C D 的中点，∴A F C D ⊥.∵D E ⊥平面A C D ，AF ⊂平面A C D ，∴D E AF ⊥. 又CD DE D = ，故A F ⊥平面C D E . ∵//B G A F ，∴B G ⊥平面C D E . ∵B G ⊂平面BC E ，∴平面B C E ⊥平面C D E . (3)解：在平面C D E 内，过F 作F H C E ⊥于H ，连B H . ∵平面B C E ⊥平面C D E ， ∴FH ⊥平面BC E .∴F B H ∠为BF 和平面BC E 所成的角.设22A D D E A B a ===，则sin 452FH C F a =︒=，2BF a ===，R t △F H B 中，sin 4FH FBH BF∠==∴直线BF 和平面BC E 所成角的正弦值为4.ABC DEFMHG方法二：设22A D D E A B a ===，建立如图所示的坐标系A xyz -，则()()()()()000200,0,0,,,0,,2A C a B a D a E a a ，，,，，.∵F 为C D的中点，∴3,,022F a a ⎛⎫⎪⎪⎝⎭.(1) 证：()()3,,0,,,2,0,22AF a a BE a a BC a a ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，∵()12A FB E BC =+ ，A F ⊄平面BC E ，∴//A F 平面BC E .(2) 证：∵()()3,0,,,0,0,0,222AF a C D a ED a ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴0,0AF C D AF ED ⋅=⋅= ，∴,A F C D A F E D ⊥⊥. ∴AF ⊥平面C D E ，又//A F 平面BC E ，∴平面B C E ⊥平面C D E .(3) 解：设平面BC E 的法向量为(),,n x y z = ，由0,0n BE n BC ⋅=⋅=可得：0,20x z x z ++=-=，取()1,2n =.又3,,22BF a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设BF 和平面BC E 所成的角为θ，则sin 4BF n BF nθ===⋅ . ∴直线BF 和平面BC E4.20. 解：（1）函数的定义域为()0,+∞ 设()()()21122x x f x x x+-'=-=当x 变化时，()(),f x f x '值的变化情况如下表：所以，当1x =min1.f x =（2）由()f x ≥212tx x-对(]0,1x ∈恒成立2t ≤312ln ,x x xx+-令()312ln ,x h x x xx=+-()4224232ln x x x xh x x--+'=(]()42240,1,30,20,2ln 0,0,0x x x x x x h x '∈∴-<-<<>∴< 得()h x 为()0,1上的减函数.∴当1x =时，()312ln x h x x xx=+-有最小值2，得2t ≤2，t ≤1，故t 的取值范围是(],1.-∞21．（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．当2n ≥时，a S S m a m a =-=-．即()1m a ma +=．又m 为常数，且0m >，∴11n n a m a m -=+()2n ≥．∴数列}{n a 是首项为1，公比为1mm +的等比数列． （2）解：由（1）得，()m f q =1mm =+，1122b a ==．∵()1111n n n n b b f b b ---==+，∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥．∴⎭⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列．∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（*n ∈N ）． （3）解：由（2）知221n b n =-，则()12221n nnn b +=-．所以2341123122222nn n n nT b b b b b +-=+++++，…8分即n T ()()1231212325223221n n n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯- ， ①则()()23412212325223221nn n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯- ， ②②－①得()13412212222n n n T n ++=⨯------ ，故()()()31112122212223612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-22.解：(1)因为直线):2l y x =-在x 轴上的截距为2，所以2a =0y --=b ==所以椭圆方程为13422=+yx(2)设直线AE 方程为23)1(+-=x k y ，代入13422=+yx得：012)23(4)23(4)43(222=--+-++k x k k x k设E ),(E E y x ,F ),(F F y x ，因为点A 23,1(在椭圆上，所以224312)23(4kk x E +--=， k kx y E E -+-=23 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，同理可得：224312)23(4kk x F +-+=,k kx y F F ++-=23 所以直线EF 的斜率为212)(=-++-=--=E F F E E F E F EF x x k x x k x x y y k。