高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义 曲线和方程的两性问题素材 苏教版选修2-1
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质111数学
的坐标为 321，2.
12/10/2021
第十七页，共二十一页。
名师解题
求相关动点的轨迹方程
求以 y 轴为左准线，且过定点(3,2)的离心率为12的动椭 圆左顶点的轨迹方程．
[解] 设动椭圆左顶点的坐标为(x，y)，因椭圆的 y 轴为准线，
离心率为12，故左焦点的坐标为23x，y.
12/10/2021
12/10/2021
第九页，共二十一页。
用圆锥曲线的统一定义求轨迹(guǐjì)方程
已知动点 M(x，y)到点 F(2,0)与到定直线 x＝8 的距离 之比为12，求点 M 的轨迹． (链接教材 P47 例 1) [解] 由题意得 x|－x－282＋| y2＝12，整理得1x62＋1y22 ＝1. 故点 M 的轨迹为中心在原点，焦点为(±2,0)，准线为 x＝±8 页，共二十一页。
解决此类问题常用两种方法：(1)直译法，即依据已知条件直接写出动点
坐标满足的等式，整理得方程；(2)依据定义先判断(pànduàn)轨迹形状，再
由几何性质得方程．
12/10/2021
第十一页，共二十一页。
1．已知圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，对应准线 l：x＝－1， 且曲线过点 M(3,2 3)，求圆锥曲线的方程． 解：∵MF＝ 3－12＋2 3－02＝4， 点 M 到准线 l 的距离为 d＝|3－(－1)|＝4， ∴MF＝d，且点 F 不在 l 上， 即圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点为 F(1,0)． 由p2＝1 得 p＝2.故此圆锥曲线的方程是 y2＝4x.
的距离和它到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离的比是一个常数e(e>0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线．。 求相关动点的轨迹方程
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义学案 苏教版选修21
2.5 圆锥曲线的统一定义[学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．知识点一 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．知识点二 准线方程对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c ；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.思考1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答案 1e.2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？答案 当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线．题型一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45，而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2， ∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.反思与感悟 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用． 一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪训练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义，PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ，∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b .题型二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小． 解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12，∴MF12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋d ≥PM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．反思与感悟 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形，形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪训练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值．解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MFe(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53，∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365， ∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)．题型三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程．解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2，∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45，由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2， ∴AF 1＋BF 1＝e (d 1＋d 2)＝125，又AF 1＋BF 1＝125a ，∴a ＝1，∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1.反思与感悟 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪训练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点．(1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直．解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c，根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋ca×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45.∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532.代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫532，52，⎝ ⎛⎭⎪⎫532，－52，⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，52，⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k <1，即－1<k <1.2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF →1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝2 2－2y 20＋y 20＝2 －y 20＋2. ∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________． 答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径， 由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立， 由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________． 答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2， ②c 2＝am ， ③2n 2＝2m 2＋c 2， ④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2， 即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.5．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为________． 答案 4解析 由抛物线定义知点M 到准线x ＝－1的距离为5， 所以点M 到y 轴的距离为4.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．。
高中数学苏教版选修2-1课件： 2.5 圆锥曲线的统一定义 课件3
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
16 7 7
变题：求P点到右准线的距离
48 7
7
l1
y
l2
M1
P
M2
．．
F1 O
F2
变题:已知双曲线
x2 64
上3y62 一 1点到左焦点的距离
为14，求P点到右准线的距离 ．
y
M1
M2
P
．
F1
（-8,0）O
（8,0）．
F2
x
练一练
1. 动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1) 的距离之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
1
(a 0,b 0)
y2 x2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
图形 焦点坐标 准线方程
(c, 0) x a 2
c
(0, c)
a2 y
c
(c, 0) x a 2
c
(0, c)
y a2 c
图形 标准方 焦点坐 准线方
程
标
程
l
y2 2px ( p ,0 )
3．抛物线的定义： 平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的
点的轨迹 ：表达式PF=d （d为动点到定直线距离）
圆锥曲线的统一定义(课件)
x2 y2 + 2 =1 2 2 a a −c
b>0，代入上式 , 可得： ， 可得：
因2a>2c，即a>c，故a2-c2>0， 令a2-c2=b2，其中 ， ， ，
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
这就是所求椭圆的轨迹方程， 这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的 焦点在x轴上，焦点是 ， 、 ， ． 焦点在 轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这 轴上 里c2=a2-b2．
即：
a − cx = a (x − c) + y
2 2
2
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 两边平方得：
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 两边同时除以a 两边同时除以 2(a2-c 2) 得：
F1 (-c,0) o
y
P (x,y) F2 x (c,0)
x = 1 ，在离心率分别取下
列各值时， 列各值时，求圆锥曲线的标准方程：
1 （1） e = ） 2
（2） ） （3)
e 1 3 e = 2
目标达成
1.了解圆锥曲线的统一定义 了解圆锥曲线的统一定义 2.掌握根据圆锥曲线的标准 掌握根据圆锥曲线的标准 方程求准线方程的方法
Y
由两点间的距离公式，可知： 由两点间的距离公式，可知：
P F1
(-c,0)
(x,y)
X
(x + c) + y + (x − c) + y = 2a
2 2 2 2
O
F2
(c,0)
§2.5 圆锥曲线的统一定义
第4页
7.已知 F1 , F2 是椭圆 点 P 的个数为
x2 y2 1 的焦点,则在椭圆上满足 PF1 PF2 的动 8 4 .
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左右焦点 , 点 P 在双曲 a 2 b2 线右支上,且 PF1 4 PF2 ,则此双曲线离心率 e 的最大值为 .
纠错、总结栏
二.今日作业 2.求下列曲线的焦点坐标和准线方程 (1) x2 2 y 2 4 (2) 2 x 2 4 y 2 1
(3) x2 2 y 2 1
(4) 2 y 2 x 0
x2 y2 1 上一点 P 到左右焦点的距离之比为 1: 3 ，求点 P 到 64 36 两准线的距离及点 P 的坐标.
二.知识点总结 1.圆锥曲线的统一定义
2.圆锥曲线的准线方程 BP53 习题 2.5 T1 三.典型例题 【例 1】 已知点 P ( x, y ) 到定点 F (c,0) 的距离与它到定直线 x 之比为常数 (a c 0) ,求点 P 的轨迹方程.
a2 的距离 c
c a
【练习 1】 已知点 P ( x, y ) 到定点 F (c,0) 的距离与它到定直线 x 距离之比为常数 (a c 0) ,求点 P 的轨迹方程.
练习:已知双曲线 x 2
第2页
江苏省大港中学高二数学作业纸 选修 2-1 选修 1-1
班级:二（
） 姓名:
学号:
成绩:
错误！链接无 效。
错误！链接无效。
§2.1 圆锥曲线
错误！链接无效。
一.滚动复习 1.在正方体 AC1 中, M 为 DD1 的中点, O 为 AC 的中点, AB 2 . (1)求证: BD1 平面 ACM ; (2)求证: B1O 平面 ACM ; (3)求三棱锥 O AB1M 的体积.
2.5 -5圆锥曲线的统一定义2
其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线.
2 x 例1.已知椭圆 1, 点P 3,1 , F为右焦点， 8 6 在椭圆上求一点M，使得2 MF MP 的值取最大.
c 2 1 MF 解: e MM ' 2 MF a 2 2 2 MM '
a2 PF1 e y0 a ey0 c
a2 PF2 e y0 a ey0 c
标准方程
图
x y 1(a b 0) 2 2 a b y
P F1
2
2
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
P x0 , y0 为下面的曲线上的点, F1 , F2为两个焦点， 试探究焦半径的表达式. x2 y2 1.椭圆： 2 2 1 a b 0 a b x2 y2 2.椭圆： 2 2 1 a b 0 b a
拓宽延伸 x2 y2 1.椭圆: 2 2 1 a b 0 , P x0 , y0 在椭圆上 a b PF1 PF2 由统一定义，得e 2 2 a a x0 x0 c c
a2 PF1 e x0 a ex0 c
2
2
拓宽延伸
a2 PF2 e x0 ex0 a c
y
F2
P
o
F2
x
o
F 1
a2 y c
x
像 准线方程
a2 x c
焦 半 径
PF1 a ex0 PF2 a ex0
PF1 a ey0 PF2 a ey0
§2.5圆锥曲线的统一定义
取过焦点F , 且与准线l垂直的直线为 轴, F O为坐 x
标原点, 建立直角坐标系 . 设点M的坐标为 x, y , 则 | OM | x y .
2 2
l
H
y
Mx, y
①
设直线l的方程为x p, ② 则 | MH || x p | .
K
O
F
x
② 把 ①、 代入 | OM | e | MH |,
§2.5圆锥曲线的统一定义
学习目标:
自学指导：
1.了解圆锥曲线的统一定义; 2.掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法.
1、平面内到一个定点F和到一条定直线l(点F不在直 线l上）的距离的比等于常数e的点的轨迹是什么？ 2、椭圆、双曲线的标准方程推导过程中何处能找到 符合第二定义（统一定义）的数学表达式？ 3、椭圆、双曲线、抛物线有何共同性质？ 4、为什么椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有 一条准线？
• 自学检测：P50 练习1
利用信息技术作图:已知点F 是平面上的一个定点 , l是平面上不过点F的一条定直线,点 M到点F 的距离 和它到定直线l的距离之比是一个常数 .观察点M的 e 轨迹, 并
可以发现,点M的轨迹是圆锥曲线 并且 , 1.当 0 e 1时, 轨迹是椭圆; 2.当e 1 时, 轨迹是双曲线; 3.当e 1 时, 轨迹是抛物线.
定点F是它的焦点比值e是它的离心率我们称定直 , . 线l 是它的准线 .
这样, 我们可以对圆锥曲线下 一个统一定义:
平面上到一个定点 的距离和它到一条定直 l的 F 线 距离之比是一个常数 的点的轨迹是圆锥曲线其 e , 中点F是它的焦点 直线l 是它的准线比值e 是它的 , , 离心率. l y 如何求圆锥曲线的统一 方 Mx, y H 程呢? x 如图1, 过点 M作MH l , H为 K O F 垂足,由圆锥曲线的统一定义 图1 可知M M || FM | e | MH |.
高二数学圆锥曲线的统一定义PPT优秀课件
| PF2 | e d
所以d=
1
e |PF2|=24
例1已知双曲线 x2 y上2一点1P到左焦点的
64 36
距离为14，求P点到右准线的距离.
分 析 :两 准 线 间 距 离 为 2a2 c
法二:设点P到左准线的距离为d
a8,b6,c10,14e c 5
d
a4
d 14456 又 2a2 26464
课堂小结
1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想
作业
<<创新设计>>
练一练
1.动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1)的距离 之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
1 2
x4
2.
中心在原点,准线方程为x
x2 y2
4,离心率为
1 2
1
的椭圆方程是 4 3
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线
y
D
O
P A
x
F
拓展延伸
1.已知P为双曲线x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3:2，试求点
P(x0, y0)的坐标。
2.已知双曲线x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1,PF2成等比数列，试求点P(x0, y0)的坐标.
2
练一练
1 2
x4
1.
中心在原点,准线方程为x4,离心率为
x2 y2 1
1 2
的椭圆方程是 4 3
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义 例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性”的
2.5 例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性”的处理方法求满足条件的动点的轨迹方程，是解析几何的常见问题，大部分同学很容易忽视求出的方程要满足完备性和纯粹性，在这实际解题中也不太会讨论，下面给出了求出点的轨迹方程后去检验“完备性和纯粹性”的几种常见情况。
一、利用三角形的顶点不共线。
例1、已知点A （－a ，0），B （a ，0），若△MAB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，求顶点M 的轨迹方程。
解：设M （x ，y ），依题意得|MA|2＋|MB|2＝|AB|2∴ （22)(y a x ++）2＋（22)(y a x +-）2＝（2a ）2化简得 x 2＋y 2＝a 2∵ △MAB 的顶点M 、A 、B 不共线 ∴ M 不能在x 轴上 ∴ x≠0 故点M 的轨迹方程为 x 2＋y 2＝a 2（x≠0）二、利用直线的斜率必须存在。
例2、已知点A （－1,0），B （1,0），动点P 使直线PA 和PB 的斜率之积为－2，求动点P 的轨迹方程。
解：设P （x ，y ） 则 k P A ＝10+-x y ＝1+x y k P B ＝10--x y ＝∴1+x y•1-x y ＝－2 化简得 2x 2＋y 2＝2 ∵ 直线PA 和PB 的斜率存在 ∴ x≠±1 故点P 的轨迹方程为 2x 2＋y 2＝2 （x≠±1）三、利用点所在的区域范围。
例3、已知点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上运动， 且|AB|＝2a （a ＞0），求AB 中点M 的轨迹方程。
解：设M （x ，y ），由中点坐标公式得 A （2x ，0） B （0，2y ） ∴22)20()02(y x -+-＝2a化简得 x 2＋y 2＝a 2∵ 点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上 ∴ 点M 在第一象限 即 x ＞0 y ＞0 故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2（x ＞0且y ＞0）四、根据条件解不等式。
苏教版高中数学选修2-1课件：2.5 圆锥曲线的统一定义(共19张PPT)
则P的轨迹是＿抛＿物＿线
分析：
（x -1)2 ( y 2)2 1
3x 4y 12
5
变1: 已知动点P(x,y) 满足 5 (x 1)2 (y 2)2 3x 4y-11
则P的轨迹是直＿＿线＿
变2: 已知动点P(x,y) 满足 m (x 1)2 (y 2)2 3x 4y 12
此方程表示的轨迹是椭圆，则m的范围为＿m＿＿5
这样，圆锥曲线可以统一定义为:
平面内到一定点F 与到一条定直线l ( 点F 不 在直线l 上）的距离之比为常数 e 的点的轨迹:
当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线.
已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
线l:x= a2 的距离的比是常数 c (a>c>0),求点P的轨迹
c
a
y
P
·
O
F
l x
当点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
线l:x= a2 的距离的比是常数 c (a>c>0)时,这个
c
a
点的轨迹是椭圆,方程为 x2 + y2 =1(其中b2 a2 b2
的动点P 的轨迹是抛物线。
• 平面内到一定点F的距离和到一定直
线l(F不在l上）的距离比为常数（不 等于1）的动点P 的轨迹是什么？
在推导椭圆的标准方程时,我 们曾经得到这样一个式子
a2 cx a (x c)2 y2
将其变形为
(x c)2 y2 c
a2 x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.5 曲线和方程的“两性”问题
论述曲线与方程的关系必须注意其应满足的两个条件，两个条件缺一不
可．否则，缺少第一个条件，方程不能表示曲线上所有点，导致“不完整”，失
去“完备性”，方程也就不能准确刻划曲线的代数性质；缺少第二个条件，方程
包含了不在曲线上的点，导致“不纯”，失去“纯粹性”，方程同样不能准确描
述曲线的性质；只有两个条件都得到验证，才能保证“完备性”与“纯粹性”，
使方程表示的点“一个也不少”、“一个也不杂”．下面举例说明.
一、验证纯粹性
在求曲线的轨迹方程时，因方程整理、变形不等价，由此会出现不符合题意
的点，这时必须去掉，解这类题目时，要认真分析题意，仔细思考，严密变形.
例1已知一条曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去
它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。
分析：本题条件中给出的关系清楚，可用直接法.
解：设P(x，y)为所求曲线上的任意一点，因为曲线在x轴的上方，所以y>0，
则
P点到x轴的距离就是P点的纵坐标的绝对值|y|=y，因为y>0，则|PA|=2，
即x2＋(y﹣2)2﹣y＝2，移项，x2＋(y﹣2)2＝y＋2，
两边平方，化简得y=18x2(y＞0)，即y=18x2(y≠0)是所求曲线的方程.
评注：求曲线的轨迹方程要注意动点轨迹的完备性和纯粹性，本题虽然原点
的坐标（0，0）是方程y=18x2的解，但不属于已知曲线上的点，因为y>0，所以
所求曲线方程是y=18x2(x≠0)，它的图形是开口向上且关于y轴对称的一条抛物
线，但缺一个顶点，否则破坏了纯粹性。
例２ 已知A（2，0）、B（-1，2），点C在直线2x+y-3=0上移动，求△ABC
重心G的轨迹方程．
分析：重心G的运动是由点C在直线2x+y-3=0上运动引起的，因而设出G
点坐标（x，y），再用x、y表示出点C的坐标，就可以建立起点G的轨迹方程，
另外还应考虑完备性与纯粹性是否得到保证．
解：设G（x，y），C（x0，y0）∵G是△ABC的重心，A（2，0），B（-1，2）；
∴ x0＋2﹣13＝xy0＋0＋23＝y，故 x0＝3x﹣1y0＝3y﹣2，
又C（x0，y0）在直线2x+y-3=0上，∴2x0＋y0-3=0，
即2(3x-1)+(3y-2)-3=0 ， 6x+3y-7=0. （※）
∵A（2，0）、B（-1，2）、C（3x-1,3y-2）共线的条件是3y﹣23x﹣3＝2﹣3，即
2x+3y-4=0.
解方程组 6x＋3y﹣7＝02x＋3y﹣4＝0，得 x＝34y＝56，∴方程（※）中含有轨迹外的一个点
（34，56），应剔除．
故△ABC的重心G的轨迹方程是6x+3y-7=0 (x≠34).
评注：本例中的动点C、G可分别称为主动点与从动点，力求从动点G的轨
迹，应设出其坐标，再根据主动点与从动点存在的位置关系，建立两动点坐标之
间的等量关系，实现用从动点坐标表示主动点坐标之后，代入主动点坐标应满足
的等量关系，就得到从动点坐标应满足的方程，这种方法通常称为“转移法”．另
外，本题由于构成三角形的条件的限制，即A、B、C三点不共线，即有重心G
不在直线AB上，不注意此问题，就会造成增加轨迹以外的点，为此，还应进行
一些删除，才能确保纯粹性．
二、验证完备性
在求轨迹方程时，如果忽略隐蔽条件，有些方程会出现漏掉曲线上的部分或
个别点，应根据其条件作出相应补充.
例3如图，过定点A(a,b)任作互相垂直的两条直线L1与L2，且L1与x轴交
于M点L2与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程.
分析：题中给出的条件①A(a,b)；②L1⊥L2；③点M、点N.从不同的角度去
分析三个条件之间的联系，将有不同的解法.
解法一(直接法)：当直线AM斜率存在时，设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y),
于是kAM=ba-2x,kAN=b-2ya,∵L1⊥L2,∴ba-2x·b-2ya=-1,
化简整理得2ax+2by-a2-b=0(x≠a2),
当直线AM垂直x轴时，此时MN中点(a2,b2),也满足上述方程.
解法一(相关点法)：设点P(x,y),M(x1,0),N(0,y1),则 x=x12y=y12,即 x1=2xy1=2y,
∵L1⊥L2,∴(x1-a)2+b2+(y1-b)2+a2=x21+y21,化简得ax1+by1-a2-b2=0,
∴所求点P的轨迹方程为2ax+2by-a2-b=0.
评注：一般地，要求那个点的轨迹方程，就设这个点为（x，y），只需要列
出x，y的等量关系式，就是所要求的动点的轨迹方程，但最后要注意轨迹的严
密性，本题用斜率互为负倒数时，要注意讨论斜率不存在时的情况，以免出现遗
漏，破坏了完备性。