保费调整模型的研究

2001年6月系统工程理论与实践第6期　文章编号:100026788(2001)0620068205保费调整模型的研究荣喜民(天津大学数学系,天津300072)摘要:　在分析保险累积损失和有效投资的基础上,利用倒向随机微分微分方程,建立了以投资收益相支持的保险价格调整模型,并对两种常见类型的保险进行了保险价格调整分析.对保险人通过投资改变其保险市场竞争地位有积极的作用.最后,用释例进行了说明.关键词:　累积损失;保险定价;适应的;倒向随机微分方程中图分类号:　O29;F224 文献标识码:　A αR esearch on P rem ium A dju stm en t M odelsRON G X i2m in(D epartm en t of M athem atics,T ian jin U n iversity,T ian jin300072,Ch ina)Abstract　In th is paper,by analyzing in su rance aggregate clai m s and effectiveinvestm en t,backw ard stochastic differen tial equati on is u sed to estab lish in su rancep rice adju stm en t models that are affected by investm en t.In additi on,in su rance p riceadju stm en t fo rm u las fo r several general in su rance types are also p resen ted.T heresearch has po sitive ro le fo r in su rers to i m p rove their statu s w ith investm en t inin su rance m arket.F inally a p ractical examp le is given to illu strate the app licati on s ofthe resu lts.Keywords　aggregate clai m s;in su rance p ricing;adap ted;derivative assets1　引言保险定价是保险人自我保护的第一道防线,其准确合理的保险价格对于保险人的生存和发展是至关重要的.保险价格应能体现保险人的经济实力和承受风险的能力.在保险风险的存在期间,投保人通过缴纳保险费将保险风险卖给保险人,而使保险人成为相应保险风险的承担者.在保险费收取与保险赔付之间的这段时间里,保险人对所收取的保险费有支配与使用权.正是存在保费收取与保险赔付的时滞,保险人就面临如何使用这笔庞大资金的问题.数额巨大的保险基金闲置不用是相当可惜的,如果进行再投资,其投资收益既可弥补预定的利息,又可以增加整个保险系统的经济实力,从而降低保险系统的运营风险[1].目前,我国允许保险公司投资股票市场即表明了这一点.保险基金必须有效地使用才能体现其效益原则.提高保险资金的使用,保险人的经济实力得到壮大,从而保险赔付能力增强,这是对自己负责,也是对被保险人的负责.实力的提高,其就有降低保费率,扩大自己市场份额的资本和能力.倒向随机微分方程是相对随机微分方程而说的.其发展历史很短,不象随机微分方程已走过了近半个世纪的里程.倒向随机微分方程的研究才刚刚起步,最早是由B is m u t在1978年的提出[2,3],在1978年的这两篇文章中,B is m u t给出了在线性情况下的倒向随机微分方程,并进行了解的存在等研究.非线性情况下的基本框架是由Pardoux和山东大学的彭实戈教授在1990年提出,并证明其存在唯一性[4].在1992年,著名经济学家D uffie和Ep stein在经济学研究中,独立地提出了倒向随机微分方程的有关特别典型的α情况[5,6].本文我们从系统的观点出发,把降低保费与投资相结合,用投资收益来调整保费,建立以投资来调整的保险定价的倒向随机微分方程.使保费的制定能更好地反映保险人的经济实力,也使其保险市场竞争力有所增强.2　投资对保险价格的调整在这节,我们研究当保险人实力已经得到壮大后,需要调整保费时的保费调整量.1)触发点设W c 为一给定的量,它由保险人根据其对利润的要求和自身发展等综合因素决定.这就是说,不同的保险人对W c 值的要求不同.记T =inf{t Φ0,　W (t )=W c }(2.1)其中,W (t )为保险人在t 时刻的资产.T 为保险人的总资产首次达到预定水平W c 的时间.由W (t )的随机性,T 实际上也是随机的.我们以此时间作为保险人对保费率可能调整的时间,即是说,如果保险人的总资产达到或超过预定目标W c ,保险人有能力适当降低保费率,以增强保险市场竞争力;如果保险人的总资产没有达到所要求的W c ,则暂对保费率不作调整.当然,在不同的时期,由于保险人的经济实力的不同,对同一个保险人来说,目标值W c 也可能是不同的.我们可以把W c 称为“触发点”.2)保险价格调整模型假设当保险人的资产已达到其设定的“触发点”,保险人将其部分投资收益Η用于抵补可能出现的部分保险赔付.假设保险标的现在价值为Q ,累积赔付为S ,由文献[7],S 满足d S =ΛS d t +ΡS d Bt(2.2)其中,Λ为S 的平均收益率,Ρ为S 的波动率,B t 是定义在概率空间(8,p ,F )上的W iener 过程.记由B t 生成的Ρ代数为Ft={B i ,　0Φi Φt }假设S t 是F t 可测的,即S t 是F t -适应的,这就是说只有到t 时刻才能确切知道的随机过程.保险合约在t 时的价值为P (t ).记S =Q +S ,则S 也是F t -适应的.将P (t )中z t 部分投资于风险S 中,而将剩余的P (t )-z t 投资于无风险利率为r 的无风险资产中.在t +∃t 时的资产价值为P (t +∃t )=(1+r d t )(P (t )-z t )+z t (1+(Λd t +Ρd B t ))(2.3)因此P (t +∃t )-P (t )=(rP (t )+(Λ-r )z t )d t +z t Ρd Bt(2.4)对(2.4)式,令∃t →0,则有-d P (t )=(-rP (t )-(Λ-r )z t )d t -z t Ρd Bt(2.5)显然,(2.5)为标准的倒向随机微分方程.因此,我们可以建立有投资收益支持的保险定价的倒向随机微分方程为d P t =-(rP t -(Λ-r )z t )d t -Ρz t d Bts .t .P T =q (S T -Η)(2.6)P T =q (S T -Η)表示T 时刻,保险合约价值是累积赔付的函数,q 为平均出险率.由非线性Feynm an 2Kac 公式[8],此模型与偏微分方程5u5t=ru -12Ρ2S 252u 5S 2-rS5u5Ss .t .u T =q (S T -Η)(2.7)96第6期保费调整模型的研究有相同的解.设y=ln S,V=ue1Ρ2(r-Ρ22)y,则(2.7)为5V5t=-Ρ2252V5y2+r+12Ρ2r-Ρ222VV T=q(S T-Η)e yT e1Ρ2(r-Ρ22)yT(2.8)对模型(2.8)进行Fou rier变换和Fou rier逆变换,我们得到由投资收益支持的保险价格公式为p=q12z tΡT-t e-r(T-t)∫ln(Q+H)-∞(eΝ-Η)ey+r-Ρ22(T-t)-Ν22Ρ2(T-t)dΝ(2.9)其中,H为最大赔付.3　两类常见保险的投资影响下的定价模型1)限额为D的保险所谓限额保险就是指当保险事故发生并造成损失时,投保人自己必须承担一个确定部分的损失,而超过确定部分的损失由承保人负责赔付[9,10].这在一定程度上增加了投保人风险防范的积极性.由于限额保险能调动被保险人积极的风险防范意识,所以倍受保险人的推崇.限额保险是保险人进行风险管理极为有效的方法,对于调动一切社会力量抗击风险起到积极的作用,有关这方面的讨论可参考文献[11,12].假设在任意的时刻t上,保险标的的损失值为S t,投保人自承担部分为D,则保险合同在到期日T 时的价值为P=q(S-D-Η)+, t=T(3.1)对于价值为Q,限额为D的保险,由(2.9),我们可以相应得到保险价格公式为P=q(Q(N(d1)-N(d2))-(Q+D+Η)e-r(T-t)(N(d3)-N(d4)))(3.2)其中d1=ln(Q (Q+D+Η))+r+Ρ22TΡTd2=ln12+r+Ρ22TΡTd3=ln(Q (Q+D+Η))+r-Ρ22TΡTd4=ln12+r-Ρ22TΡTN( )为标准正态分布变量的累积概率分布函数. 2)全额保险 所谓全额保险是指当保险标的发生损失时,有多少损失,保险公司就赔偿多少.显然,这种情况下的保费要高于上述的限额保险的保费.这里我们同样假设保险额为Q,即H=Q,保期为T.保险合同在到期日的价值为P=q(S-Η), t=T(3.3)则由(2.9),保险标的价值为Q的全额保险相应的保险价格公式为P=q(Q(N(d5)-N(d6))-(Q+Η)e-r(T-t)(N(d7)-N(d8)))(3.4)其中07系统工程理论与实践2001年6月d 5=ln (Q (Q +D +Η))+r +Ρ22T ΡTd 6=ln 12+r +Ρ22T ΡTd 7=ln (Q (Q +D +Η))+r -Ρ22T ΡTd 8=ln 12+r -Ρ22TΡT 上面的讨论我们可以看出,通过保险投资,反过来确实可以降低保费,从而为保险人争取更多的保险投资者提供条件.4　释例分析4.1　问题的提出某公司1997年经决定,向保险公司承保1750万元的财产险,以对该公司未来稳定发展提供保护.假定保险公司A 决定在激烈的保险市场中以自己的实力,通过有竞争力的保费价格来争取对该公司的承保.他们考虑通过其投资收益对保险价格进行适当调整.4.2　数据采集及处理保险公司A 组织人员对该企业的全国同类企业在过去五年内所发生的损失情况进行了调查,并进行了分析计算.通过统计数据分析、计算得出如下结果: 1)五年平均损失发生的概率为3.5%. 2)在统计的五年里,其年平均损失率(Λ)、平方波动率(Ρ2)和波动率(Ρ)为Λ=7.71◊Ρ2=0.0176Ρ=0.1334.3　保费调整保险公司A 欲拿出其部分投资收入(100万元)用于对降低保费的支持,则其可适当降低对保费的收取,以便更大地吸引保户.设市场无风险利率为r =5.1%.由于这是全额保险,所以我们利用保费调整模型(3.4),即P =q (Q (N (d 5)-N (d 6))-(Q +Η)e -r (T -t )(N (d 7)-N (d 8)))d 5,d 6,d 7,d 8如前所述.其中,Η=100万元对保费进行调整.通过将Λ=7.71%,Ρ2=0.0176,Ρ=0.133代入模型(3.4),可计算出P =1.43%如果我们考虑27◊的附加保费,则可推出保险公司对1750万元的财产保险,收取1750万元×(1+27%)×1.43%=31765.3元的保费.如果我们利用传统的财产保险的保费计算公式保险费率=期望损失×损失发生概率×(1+附加保费率)则该公司应缴纳的总保险费为1750万元×7.71%×3.5%×(1+27%)=59974.16(元) 显然,通过投资调整后的保费比调整前少收保费28208.86元,即保费降低了47.04%.在如此保费率下,此保险公司必可得到投保公司A 的青睐.17第6期保费调整模型的研究27系统工程理论与实践2001年6月5　结论通过对保险资金的有效运用,保险公司一方面可以增加其投资收入;另一方面可以通过投资降低保费,争取更大的保险市场份额.这更使我们坚信保险资金投资是保险业发展壮大的根本保证,是保险公司的生命线.参考文献:[1]　王友,王元学,谢卫东.中国保险实务全书[M].北京:中国物价出版社,1993.[2]　B is m u t J M.A n in troducto ry app roach to duality in op tial stochastic con tro l[J].S I AM R ev,1978,20:62-78.[3]　B is m u t J M.Con tro l des System es L ineaires Q uadrqtiques:A pp licati on s de L’in tgrale Stochastique[J].Si m i.de P roba.,LNM496,180-264,Sp ringer2V erlag,1978.[4]　Pardoux E&Peng S.A dap ted so lu ti on of a backw ard stochastic differen tial equati on[J].System sand Con tro l L etters,1990,14,55-61.[5]　D uffie D,Ep stein L.Stochastic differen tial u tility[J].Econom etrica,1992,60,353-394.[6]　D uffie D,Ep stein L.A sset p ricing w ith stochastic differen tial u tilities[J].R eview of F inancialStudies,1992,5:411-436.[7]　Dom in ique Page.In su rance2investm en t:diffu si on analysis[J].In su rance:M athem atics andEconom ics,1989,8:287-302.[8]　N E l Karou i,Peng S,Q uenez M 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