复变函数论复习提纲
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲
cn 是 c
cn 为边界的区域全含于 D 内，则
c
f z dz f z dz,
k 1 ck
n
其中 c 与 ck 均取正向；
1
②
f z dz 0 ，其中 由 c 及 c
(k 1, 2,
n) 所组成的复合闭路。
4
3．闭路变形原理 ：
一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
y 之间的关系如下： x y 当 x 0, arg z arctan ； x
y 0, arg z arctan 当 x 0, y 0, arg z arctan
y x ； y x
4）三角表示： z z cos i sin ，其中 arg z ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： z z e ，其中 arg z 。
6 ．高阶导数公式：解析函数 f z 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为
f z 2 i n dz f z0 n 1 c (z z ) n! 0
(n 1, 2 )
其中 c 为 f z 的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。 7．重要结论：
bz
。
eiz eiz eiz eiz sin z cos z , cos z , t gz , ctgz 2i 2 cos z sin z
sin z, cos z 在 z 平面内解析，且 sin z cos z, cos z sin z
5
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数-总复习
复变函数Complex Function⚫第一章复数与复变函数⚫第二章解析函数⚫第三章复变函数积分⚫第四章复变函数项级数⚫第五章留数及其应用主要内容复数形如 z = x+iy , 其中x 和y 是任意两个实数.=x z Re(), =y z Im()z 的共轭复数记作: ，z =+⇒z x iy =−z x iy共轭复数的性质:+=−=z z z z z i z 2Re(); 2Im()⎝⎭+ ⎪⎛⎫−i i 1117)(()()+−=−i i i 1117714)(=⎣⎦−⎡⎤i 21727)(=−i 2277)(=i .−+−i i i i 121)(()()−+⋅=++−i i i ii i i i 1111)()(−=+−+i i 2111=−−i 2231复数的四则运算: 和 差 积 商复数的几何表示向量的长度==+z r x y22复数的模=z rei θ指数表示式三角表示式=+z r i cos sin θθ)(其中r = |z |, = Arg zθ复数的表示方法幅角的主值：满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.θ=z arg 0)Arg arg 2 0,1,2,.π=+=±±z z k k (复数的幅角θθθθθθ⋅=⋅+++=⋅+ez z r r i r r i [cos()sin()](12212)1212112θθθπ=⎝⎭ ⎪==+⎛⎫+++r e n n w z r i k k n ni k k nncos sin 22121ππ)(复数的方根=θ−θ+θ−θ=θ−θe z r r i z r r i [cos()sin()]21)22121211(12复数乘积和商θθθ=+=r e z r n i n n n n i n [cos()sin()]()θθθ=+=ei r z r i (cos sin )+=z 1604例1: 解方程ππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 4416cos sin 2241ππππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 442cos sin22ππ=k (0,1,2,3)复数的乘幂=−z 164解:幅角的主值).=+=±±πz z k k ,Arg arg 2 0,1,2(满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.记做:=z arg 0θ例2: 的幅角主值=−+z i 13ππππ−−+=+=−+=i 133arg 13arctan 32)(的幅角主值=−z 3π−=arg(3)例3: 证明+=++z z z z z z 2Re ,121212222)(并由此证明+≤+z z z z .1212证明：+=++z z z z z z ()1212122)(=+++z z z z z z z z 11221212+=++z z z z z z 2Re 121212222)(≤++z z z z 2121222=++=+z z z z z z 2121212222)(+=z z z z z z ()2Re 121212)(≤x z=z zz2⇒+≤+z z z z .1212例4: 映射 ,求圆周的象.=+z w z 1=z 2令=+=+z x iy w u iv ,,映射=+1w z z⇒+=++−+u iv x iy x iyx y22,解：于是=++u x x x y 22 ,=−+v y y x y 22,=z 2⇒==u x v y 44,53⇒==x u y v53,44+=u v 25914422+=x y 422映射=w f z (), w 称为z 的象，z 称为w 的原象两个特殊的映射==w zw z (2)(1)2复变函数的极限与连续性定理2: 设 =+f z u x y iv x y ()(,)(,),则 f (z )在处连续 =+z x iy 000的充分必要条件是 u x y (,),v x y (,)都在x y (,)00点连续.结论：arg z 在原点与负实轴上不连续.=→f z f z z z lim ()()00复变函数连续复变函数的极限=→f z A z z lim ()0定理1:=+=+=+f z u x y iv x y A u iv z x iy ,(,),,00000)()(设函数=⇔==→→→→→f z A u x y u v x y v y y y y z z x x x x lim lim ,,lim ,000)()()(−+=+x yi x y f z x x x yi ()= ()22++==x y x y u v x xy , 22222=y kx方法1: 沿++==→→→→x k x k u x y x y y x x 1lim ,lim 1000022222 )(依赖于k ，故极限不存在。
复变函数复习提要解读
第 1 页 共 4 页复变函数复习提要第1章：复数与复变函数⒈了解复数定义及其几何意义； ⒉熟练掌握复数的运算； ⒊知道无穷远点邻域；⒋了解单连通区域与复连通区域； ⒌理解复变函数；⒍理解复变函数的极限与连续。
复数是用有序数对),(y x 定义的，其中y x ,为实数。
要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，),(),(x y y x ≠。
正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即},:),({R b a b a z C ∈==复数的四则运算定义为),(),(),(d b c a d c b a ++=+ ),(),(),(d b c a d c b a --=- ),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⋅ 0,),(),(),(222222≠++-++=÷d c dc ad bc d c bd ac d c b a 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅ ),(y x -称为),(y x z =的共轭复数，记为z 。
22y x +称为),(y x z =的模，记为z 。
共轭复数满足第 2 页 共 4 页z zz z zz zz z Im i2,Re 2,2=-=+=⋅ 2121z z z z ±=± 2121z z z z ⋅=⋅ 0,)(22121≠=z z zz z 例1 设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。
解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z 例2 求复数)i 21)(i 34()i 21)(i 34(+--+=A 的模．解 令i 21,i 3421-=+=z z ，有2121z z z z A ⋅⋅=由共轭复数的运算结果得1212121212121=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=z z z z z z z z z z z z A复数的三角式 )sin i (cos θθ+=r z （其中z r =） 复数的三角式 θi e r z = 由此得如下关系式 )(i 21i 2i 1212121e e eθθθθ+⋅=⋅=⋅r r r r z z0,e e e 2)(i 21i 2i 1212121≠==-z r r r r z z θθθθ第 3 页 共 4 页θn n nr z i e=2121z z z z ⋅=⋅0,22121≠=z z z z z)Arg()Arg()Arg(2121z z z z +=⋅ )Arg()Arg()Arg(2121z z z z -= 对于复数θi e r z =，它的n 次方根为)1,,1,0(eπ2i-==+n k r z nk nn θ。
复变函数复习资料
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值()Arg z =()arg z +2k π3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
复变函数提纲
一）复数的基本知识， 1 复数的3种表示；四则运算；模与幅角； 复数的几何意义（即为向量）； 2 n次方根的公式； 二）解析函数： 1 利用C-R条件判断可导或解析的方法， 包含求导公式。 2 指数函数ez、对数函数Ln(z)和ln(z)、 三角函数sin(z)和cos(z)的求法和性质； 复数幂的定义，如求i1+i
三）积分的计算方法：共6种
1
C
f ( z ) d z f [ z (t )]z(t ) d t.
(3.1.5)
2 柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则它在B内 任何一条封闭曲线C的积分为零:
f ( z) d z 0.
C
(3.2.2)
3 复合闭路定理+常用积分等式
1 f ( z) f ( z0 ) z z0 d z. 2π i C(3.来自.1)6 高阶导数公式
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:
f
(n)
n! f ( z) ( z0 ) d z (n 1,2,) n 1 2π i C ( z z0 ) (3.6.1)
i) f ( z ) d z f ( z ) d z, C与Ck 均取正方向;
C k 1 Ck
n
ii ) f ( z ) d z 0
2π i, n 0, dz |r ( z z0 )n1 0, n 0. | z z0
4 牛顿积分计算公式
其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条 正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.
四）级数
1 收敛圆和收敛半径的计算公式； 比值法，根值法 2 利用间接法求罗朗展开式 灵活利用三种公式： 掌握等比级数、指数函数、三角函数 的展开式公式
复变函数复习(主要知识点)
• Ch6. 留数及应用
1.留数的定义及计算 2.利用留数定理计算复积分 3.利用 点的留数计算复积分 4. 利用留数计算实积分
部分实例
1. ez
|z|3
(
z
i)2
(
z
dz 1)
2. z |z|3(z1)12(z2)(z4)dz
3. I
dx
0 (4 x2)2
4.
I xsin xdx 0 x2 1
• Ch3. 复积分
1. 利用参数方程计算积分：
b
Cf(z)dzaf(z(t))z'(t)dt (C :zz(t),t:a b )
2. Cauchy积分定理、推广的Cauchy积分定理（复 合闭路定理）、Cauchy积分公式、高阶导数公 式
3. 利用原函数计算复积分 4. 调和函数及相关计算
部分实例
• Ch4. 幂级数
1.复数项级数的敛散性（绝对收敛、条件收敛） 2.幂级数收敛半径的计算 3.解析函数的Taylor展开 4. 三大定理
• Ch5. 洛朗级数与孤立奇点
1. 解析函数在圆环域内展开为洛朗级数 2.孤立奇点的定义、分类及判断
部分实例
1.
f(z)1在 1 |z 1 | 内 展 开 为 洛 朗 级 数 z(z 1 )
复数复数的表示复数的模辐角和辐角主值区域与曲线相关概念复变函数概念2复数的化简复数的四则运算2
主要知识点
• Ch1. 复数与复变函数
1. 复数、复数的表示、复数的模辐角和辐角主值、 区域与曲线相关概念、复变函数概念 2. 复数的化简、复数的四则运算、复数的乘方与 开方 Nhomakorabea 部分实例
1. ，求 z 2 2 3i 3 4i
江苏大学_复变函数与积分变换复习提纲
精品江苏大学复变函数复习提纲(红色的特别注意,我大二的 ,考完整理的 )(一 )复数的概念1. 复数的概念：z x iy ， x, y 是实数, x Re z , y Im z .i21.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模： z x2y2；2）幅角：在 z0 时，矢量与x轴正向的夹角，记为 Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于( , ]中的幅角。
y3 ）arg z与arctan之间的关系如下：y当 x 0, arg z arctan；xy0,arg z arctany当 x 0,x；arctanyy0,arg zx4 ）三角表示：z z cos i sin，其中arg z；注：中间一定是“+”号。
5 ）指数表示：z z e i，其中arg z 。
(二 ) 复数的运算1. 加减法：若z1x1iy1 , z2x2iy 2，则z1z2x1x2i y1y22.乘除法：1 ）若z1x1iy1, z2x2iy 2，则z1z2x1 x2y1 y2i x2 y1x1 y2；z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1 y2i y1 x2y2 x1。
z2x2iy 2x2iy2x2iy 2x22y22x22y22 2 ）若z z e i 1, z z e i2 , 则精品z 1z 2i 12z 1z 1 i 12z 1 z 2 e；z 2ez 23. 乘幂与方根1） 若 z z (cosi sin ) z e i，则 z n nnz (cosni sin n ) z e in 。
2） 若 zz (cosi sin )z e i ，则nz12k 2k L n 1) （有 n 个相异的值）z n cosi sin (k 0,1,2nn（三）复变函数1 ．复变函数： w f z ，在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G的映射 .2 ．复初等函数1 ）指数函数：e z e x cos y isin y ，在 z 平面处处可导，处处解析；且 e ze z 。
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复变函数论复习提纲
复变函数论
一、复数与复变函数
一、要求
（一）明确复数、区域、复平面、扩充复平面，逐段光滑曲线等概念。
（二）明确复变函数概念和几何意义，掌握一些简单函数的变换性质。
（三）掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。
（四）熟练掌握复数的有关计算，会作点集的图形。
二、考试内容
（一）复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。
（二）平面点集基本概念，曲线（连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线）、区域（单连通区域、复连通区域）、
复平面。
（三）复变函数的概念及其几何意义，复变函数的极限与连续性。
（四）无穷远点，扩充复平面。
二、解析函数
一、要求
（一）掌握导数、解析函数的概念。
（二）掌握C——R条件，并能熟练地判断复变函数的可导性和解析性。
（三）掌握复基本初等函数的定义和基本性质。
（四）掌握正整幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的变换性质，了解根式函数单值解析分支的取法。
二、考试内容
（一）导数、解析函数、C——R条件。
（二）初等函数：正整幂函数与根式函数，指数函数与对数函数，
三解函数与反三角函数，双曲函数，一般
幂函数和一般指数函数。
三、复变函数的积分
一、要求
（一）明确复积分的概念及其基本性质。
（二）会证柯西积分定理和柯西积分公式；理解解析函数的无限可微性和莫勒拉定理。
（三）熟练地掌握复积分的计算方法。
（四）理解刘维尔定理，会证代数基本定理。
（五）掌握解析函数与调和函数的关系。
二、考试内容
（一）复积分的概念、基本性质及其计算方法。
（二）柯西积分定理（在f'（z）连续的条件下，用格林公式证明）。
不定积分，复连通区域上的柯西积分
定理。
（三）柯西积分公式，解析函数的无限可微性。
（四）柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理。
（五）莫勒拉定理。
（六）解析函数与调和函数的关系。
四、解析函数的幂级数表示法
一、要求
（一）明确收敛、绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛圆、泰勒级数等概念。
（二）了解一致收敛的函数项极数的分析性质。
（三）掌握解析函数的零点孤立性定理和唯一性定理，了解最大模原理的含义。
（四）会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的和函数在收敛圆周上必有奇点。
（五）会求简单初等函数的泰勒展开式。
二、考试内容
（一）复数项极数、收敛、绝对收敛。
（二）复变函数项级数、收敛、一致收敛、内闭一致收敛、一致收敛的函数项级数的分析性质。
（三）幂级数、阿贝尔定理、收敛半径、收敛圆、幂级数和函数的解析性。
（四）泰勒定理。
基本初等函数的泰勒展开式。
（五）解析函数零点的孤立性、唯一性定理，最大模原理。
五、罗朗级数、孤立奇点
一、要求
（一）明确罗朗级数、孤立奇点、可去奇点、极点、本性奇点等概念。
（二）会求简单函数的罗朗展式。
（三）会判别孤立奇点的类型。
二、考试内容
（一）解析函数的罗朗展式。
（二）解析函数的孤立奇点的概念、分类以及函数在孤立奇点领域内的性质。
（三）解析函数在无穷远点的性质。
六、残数及其应用
一、要求
（一）掌握残数概念和残数的求法。
（二）掌握残数定理的证法并会用残数定理计算曲线积分。
（三）会用残数理论计算定积分和广义积分（三种类型）；
（四）了解幅角原理、儒歇定理，会用儒歇定理判断某些方程在指定区域内根的个数。
二、考试内容
（一）残数定义、残数求法、有限复平面上的残数定理。
（二）解析函数在无穷远点上的残数、扩充复平面上的残数定理。
（三）用残数计算曲线积分。
（四）用残数计算一些定积分和广义积分。
（五）儒歇定理及其应用。
七、保形变换
一、要求
（一）掌握导数的模和幅角的几何意义。
（二）明确保角变换和保形变换的概念。
了解解析变换的保域性。
掌握单叶角析变换的保形性。
（三）掌握分式线性变换的性质和几个典型的分式线性变换。
（四）会用分式线性变换和几个基本初等变换所构成的复合变换作简单区域之间的保形变换。
二、考试内容
（一）导数的模和幅角的几何意义，保角变换，保形变换。
（二）解析变换的保域性（不证），单叶解析变换的保形性。
（三）分式线性变换用其分解，分式线性变换的性质及几个典型的分式线性变换。
（四）简单复合变换。
实变函数论
一、集合及其基数
一、要求
（一）理解集合的并、交、差、余运算的含义，掌握其性质。
（二）理解集合基数的概念，掌握可数集与不可数集的定义、性质和判定。
熟悉常见的一些可数集和不可数
集。
二、考试内容
（一）集合的表示和运算。
狄莫根公式，上限集和下限集。
（二）集合的基数。
（三）可数集和不可数集。
二、点集
一、要求
（一）熟悉n维欧氏空间Rn中聚点、内点、界点、孤立点、开集、闭集和完备集的概念，掌握它们的性质。
（二）理解Rn空间中的聚点定理和有限覆盖定理。
（三）掌握直线上的开集、闭集和完备集的构造理论。
（四）了解Cantor集的构造和性质。
二、考试内容
（一）n维欧氏空间Rn中的领域、内点、聚点、界点、孤立点和导集、边界、闭集。
（二）开集、闭集的定义及其性质，完备集的概念，Cantor集。
（三）直线上开集、闭集和完备集的构造。
（三）理解“测度收敛”和“几乎处处收敛”的概念。
它们的关系。
了解F·Riesz定理。
二、考试内容
（一）可测函数及其性质。
（二）叶果洛夫（Eropob）定理和鲁津（ЛУ3ИН）定理。
（三）几乎处处收敛。
测度收敛。
黎斯（F·Riesz）定理。
五、积分论
一、要求
（一）掌握勒贝格（Lebesgue）积分的概念，了解勒贝格积分与黎曼积分的关系。
（二）熟悉L可积函数的积分性质。
（三）掌握Lebesgue控制收敛定理，levi定理，逐项积分定理和积分的可数可加性定理，并会运用这些定
理解决积分号与极限号的交换问题。
二、考试内容
（一）在测度有限的可测集上有界函数Lebesgue积分的定义及性质。
（二）Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系，Riemann可积的一个充要条件。
（三）一般Lebesgue可积函数及性质。
（四）积分的极限定理：Lebesgue控制收敛定理，Levi定理，逐项积分定理，积分的可数可加性。
选用教材意见
《复变函数论》（第二版）钟玉泉编高等教育出版社出版《实变函数论》仇惠玲单佑民主编
江苏省教育考试院。