全国高三高中数学单元试卷带答案解析

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最新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试卷(答案解析)

一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率1,23e ⎛∈⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________. 3．设点P 为椭圆22:14924x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12PF F △的重心为G ，如果1212||,||,||PF PF F F 成等差数列，那么12GF F △的面积为___.4．已知椭圆22:143x y C +=过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 位于x 轴上方），若2AF FB =，则直线l 的斜率k 的值为__________．5．已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，抛物线C 的焦点为F ，且点()3,1A ，则PA PF +的最小值为_______．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为__________.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆的交点为Q (点Q 在x 轴上方)，且||||OF OQ =，则椭圆C 的离心率为_____.8．已知F 为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为________.9．已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.10．设12,F F 分别是椭圆22=1169x y +的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y轴上，则12||||PF PF =______. 11．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l：10x -=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为__________.13．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 二、解答题14．已知m R ∈，且0m >，设p ：()00,x ∃∈+∞，()()2012x m m =--；q ：方程2213x y m m +=-表示双曲线. （1）若p q ∧为真，求m 的取值范围；（2）判断04m <<是q 的什么条件，并说明理由.15．在①01PF x =+，②0022y x ==，③PF x ⊥轴时，2PF =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答．问题：已知抛物线2:3(0)C y px p =>的焦点为F ，点()00,P x y 在抛物线C 上，且______，（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线:20l x y --=与抛物线C 交于A ，B 两点，求ABF 的面积．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:21F x y -+=，动圆M 与直线:1l x =-相切且与圆F 外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知()2,0A -，曲线C 上一点P满足PA ，求PAF ∠的大小．17．对于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,P x y 是椭圆外一点，PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点A ，B 所在直线的方程是00221x x y ya b+=，可利用此结论解答下列问题．已知椭圆C ：22143x y +=和点(4,)()P t t R ∈，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A ，B ，记点A ，B 到直线PO （O 是坐标原点）的距离是1d ，2d ．（1）当3t =时，求线段AB 的长；（2）求12||AB d d +的最大值． 18．已知椭圆M ：22213x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．（Ⅰ）求椭圆M 方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>6，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点()0,1A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且椭圆上的点到焦点的最长距离为12+（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P 的直线l (不过原点O )与椭圆C 交于两点A ､B ，M 为线段AB 的中点. （i ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值；（ii ）求OAB 面积的最大值及此时l 的斜率.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点33,P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.22．已知圆22:(2)1M x y +-=，动圆P 与圆M 外切，且与直线1y =-相切．（1）求动圆圆心P 的轨迹C 的方程．（2）若直线:2l y kx =+与曲线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作曲线C 的切线，交于点Q ．证明：Q 在一定直线上．23．已知圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，过(,0)(02)A n n <<的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，当1n =，l x ⊥轴时，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若l 不垂直于坐标轴，且在x 轴上存在一点(,0)B m ，使得PBA QBA ∠=∠成立，求m 的取值范围．24．已知椭圆M 的焦点与双曲线N ：22197x y -=的顶点重合，且椭圆M 短轴的端点到双曲线N 渐近线的距离为3．（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，若弦AB 中点为()2,1，求直线l 的方程． 25．求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心为坐标原点焦距为6，实轴长为4；（2）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，渐近线方程为y x =±，且过点(1)-.26．已知曲线()()222240.a x by b a b R Γ--+-=∈：，下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.①若42a b ==，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及x y 、的取值范围；②若32a b ==，，写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；③若3a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两点都不在曲线Γ上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】作出图形设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为计算出再利用椭圆的定义可得出关于的等式进而可求得椭圆的离心率的值【详解】如下图所示设椭圆的左右焦点分别为设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为则由勾股定理可【分析】作出图形，设过椭圆右焦点2F且垂直于长轴的弦为AB，计算出1AF，再利用椭圆的定义可得出关于a、c的等式，进而可求得椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示，设椭圆()222210x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为1F、2F，设过椭圆右焦点2F且垂直于长轴的弦为AB，则2AB c=，212AF AB c==，由勾股定理可得2212125AF AF F F c=+=，由椭圆的定义可得122AF AF a+=52c c a+=，所以，该椭圆的离心率为()()251512515151cea====++-.51-.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．【分析】用分离常数法求得函数的对称中心代入椭圆方程得的关系变形后得然后由的范围得出的范围【详解】因为可化为所以曲线的对称中心为把代入方程得整理得因为所以从而故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭解析：21109⎛⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e=+-，然后由e 的范围得出2a 的范围．【详解】因为31x y x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31x y x =-的对称中心为11,33⎛⎫⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e-==+--.因为1,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2,93a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：93⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法．3．8【分析】根据条件计算出可以判断△PF1F2是直角三角形即可计算出△PF1F2的面积由△PF1F2的重心为点G 可知△PF1F2的面积是的面积的3倍即可求解【详解】∵P 为椭圆C ：上一点且又且又∴易知△解析：8 【分析】根据条件计算出1212,,PF PF F F ，可以判断△PF 1F 2是直角三角形，即可计算出△PF 1F 2的面积，由△PF 1F 2的重心为点G 可知△PF 1F 2的面积是12GF F △的面积的3倍，即可求解. 【详解】∵P 为椭圆C ：2214924x y +=上一点，且1212||,||,||PF PF F F1122||||2||PF F F PF ∴+=，又210c ==,12||102||PF PF ∴+=且12214PF PF a +==126,8PF PF ∴==，又1210F F =，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，12121242PF F S PF PF =⋅=， ∵△PF 1F 2的重心为点G ， ∴12123PF F GF F S S =△△，∴12GF F △的面积为8. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：该题主要根据条件及椭圆的定义联立方程求出12,PF PF ，证明△PF 1F 2是直角三角形，求出面积后利用重心的性质可求12GF F △的面积，属于中档题.4．【分析】由题可得联立直线与椭圆利用韦达定理建立关系即可求出【详解】由题点A 位于轴上方且则直线l 的斜率存在且不为0设则可得设直线l 方程为联立直线与椭圆可得解得则直线的斜率为故答案为：【点睛】方法点睛：解析：2±【分析】由题可得122y y -=，联立直线与椭圆，利用韦达定理建立关系即可求出. 【详解】由题，点A 位于x 轴上方且2AF FB =，则直线l 的斜率存在且不为0，()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，则可得122y y -=，设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与椭圆221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得()2234690t y ty ++-=， 122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，2222269,23434t y y t t -∴=-=++，2226923434t t t -⎛⎫∴-= ⎪++⎝⎭，解得t =则直线的斜率为2±.故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.5．4【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小进而可推断出当三点共线时最小答案可得【详解】抛物线的准线为设点在准线上的射影为如图则根据抛物线的定义可知要求取得最小值即解析：4 【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =进而把问题转化为求||||PA PD +取得最小，进而可推断出当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，答案可得．【详解】抛物线2:4C y x =的准线为1x =-．设点P 在准线上的射影为D ，如图，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =，要求||||PA PF +取得最小值，即求||||PA PD +取得最小．当D ，P ，A 三点共线时，||||PA PD +最小，为3(1)4--=．故答案为：4．【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．6．或【分析】设出点坐标求得的表达式求得代入直线的斜率公式可得答案【详解】依题意设则即化简得由于是椭圆的左右顶点所以所以所以所以或所以当时当时所以直线的斜率为或故答案为：或【点睛】本小题主要考查椭圆的几2+112- 【分析】设出P 点坐标，求得tan +tan αβ的表达式，求得00x y ，，代入直线的斜率公式可得答案. 【详解】依题意2311,,22c b b a b a a a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭.设()()000,0P x y x ≠，则2200221x y a b +=，即22002214x y a a+=，化简得222004y x a -=-. 由于,A B 是椭圆的左右顶点，所以()(),0,,0A a B a -，所以tan +tan αβ0000+y y x a x a =+-0000022200022142x y x y xx ay y ===-=--，所以002x y =-，所以00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当004x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，tanα002y x a ===+，当0024x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，0012y x a -===+，所以直线PA的斜率为2或，故答案为：2或12. 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线的斜率公式，关键在于求得点P 的坐标，属于中档题.7．【分析】转化条件为设点列方程可得点结合椭圆定义可得再由离心率的公式即可得解【详解】因为点在直线上所以椭圆左焦点设点则解得或（舍去）所以点所以即所以椭圆的离心率故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的解析：3【分析】转化条件为()2,0F ，设点(),24Q x x -+，列方程可得点68,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合椭圆定义可得a ，再由离心率的公式即可得解. 【详解】因为点F 在直线240x y +-=上，所以()2,0F ，椭圆左焦点()12,0F -，设点(),24Q x x -+，则2OQ OF ===，解得65x =或2x =（舍去），所以点68,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以125a QF QF =+==，即5a =，所以椭圆的离心率c e a ===故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出点Q 的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式即可得解.8．【分析】首先根据题意得到直线的方程为与双曲线的渐近线联立得到再根据得到从而得到【详解】由得直线的方程为根据题意知直线与渐近线相交联立得消去得由得所以即整理得则故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离解析：43【分析】首先根据题意得到直线AF 的方程为by x b c=+，与双曲线的渐近线联立得到=-B ac x c a ，再根据3AB FA =得到34c a =，从而得到43e =. 【详解】由(),0F c -，()0,A b ，得直线AF 的方程为by x b c=+ 根据题意知，直线AF 与渐近线by x a=相交，联立得b y x b cb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 得，=-B ac x c a . 由3AB FA =，得()(),3,-=B B x y b c b ，所以3=B x c ，即3=-acc c a，整理得34c a =，则43c e a ==. 故答案为：43【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查学生的计算能力，属于中档题.9．【分析】根据题意作出图示求解出的长度然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率【详解】如图因为为正三角形所以所以是直角三角形因为所以所以所以因为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查根据几何关系解析：31-【分析】根据题意作出图示，求解出12,PF PF 的长度，然后根据椭圆的定义得到,a c 之间的关系即可求解出离心率. 【详解】如图，因为2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形. 因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =，所以22212122122cos60PF PF F F PF F F =+-⋅⋅︒，所以13PF c =，因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=，即3131ca ，所以31e =-.故答案为：31-.【点睛】本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.10．【分析】先设P 点中点再求焦点再根据线段的中点在轴上求出P 点坐标再利用焦半径公式即可得的长则可解【详解】设中点由题意得由线段的中点在轴上则有代入中得P 点坐标为或根据焦半径公式可得∴故答案为：【点睛】考解析：239【分析】先设P 点，中点，再求焦点12,F F ,再根据线段1PF 的中点在y 轴上，求出P 点坐标，再利用焦半径公式即可得12||,||PF PF 的长,则12||||PF PF 可解. 【详解】设(,)p p P x y ，中点(0,)m n .由题意得12(F F ，4a =，e =由线段1PF 的中点在y 轴上，则有02p x +=，p x =22=1169x y +中得P 点坐标为9()4或9()4-根据焦半径公式可得，12239||,||44PF PF ==， ∴12||23||9PF PF =. 故答案为：239. 【点睛】考查椭圆的焦半径公式, 解题关键要求出P 点坐标.11．【分析】先求出再求出和最后建立方程求即可【详解】解：由题意联立方程组解得或因为P 在x 轴上方所以因为抛物线C 的方程为所以所以因为所以解得：故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系抛物线的几何性解析：5+【分析】先求出(5P +、(526,Q -、(1,0)F，再求出(4PF =---和(4FQ =-，最后建立方程求λ即可.【详解】解：由题意联立方程组2410y x x ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，解得5x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因为P 在x轴上方，所以(5P +、(5Q -, 因为抛物线C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，所以(426,PF =---，(4FQ =- 因为PF FQ λ=，所以(4(4λ---=-，解得：2223526 2223λ--==+-，故答案为：526+【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题12．【分析】过点作轴垂直为由三角形相似得到点的坐标代入椭圆方程变形求椭圆的离心率【详解】设过点作轴垂直为代入椭圆方程得解得：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质重点考查数形结合分析问题的能力本题的关键是解析：5【分析】过点C作CD x⊥轴，垂直为D，由三角形相似得到点C的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率.【详解】()1,0F c-，()2,0F c设2,bA ca⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C作CD x⊥轴，垂直为D，122Rt AF F Rt CDF,22112212DF F CCDAF F F AF∴===，22,2bC ca⎛⎫∴-⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222222222441144c b c a ca a a a-+=⇒+=，解得：5cea==.5【点睛】本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点C的坐标，属于中档题型.13．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用e =即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理B am x b ka =-，联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩， N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--，整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.二、解答题14．（1）()()0,12,3m ∈⋃；（2）04m <<是q 的必要不充分条件；答案见解析. 【分析】（1）分别求出命题,p q 为真时参数m 的范围，求出它们的交集可得；（2）根据集合的包含关系可得．【详解】解：（1）若p 为真，则()()0120m m m >⎧⎨-->⎩，即01m <<或2m >.若q 为真，则(3)0m m -<，即03m <<. ∴当p q ∧为真时，()()0,12,3m ∈⋃. （2）易知()()0,30,4，故04m <<是q 的必要不充分条件. 【点睛】结论点睛：本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查充分必要条件的判断，需要掌握复合命题的真值表，充分必要条件与集合包含之间的关系．命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆；（2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．15．（1）任选一个条件，抛物线方程都为24y x =；（2）【分析】（1）选①：由抛物线的性质可得02pPF x =+，即可求出p ；选②：由题将点P 代入抛物线即可求出p ；选③：由题可得222p pPF p =+==；（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出AB ，利用点到直线距离公式求出高，即可得出面积. 【详解】解：（1）若选①：由抛物线的性质可得02p PF x =+ 因为01PF x =+，所以0012px x +=+，解得2p =．故抛物线C 的标准方程为24y x =．若选②：因为0022y x ==所以002,1y x ==，因为点()00,P x y 在抛物线C 上，所以2002y px =，即24p =，解得2p =，故抛物线C 的标准方程为24y x =．若选③：因为PF x ⊥轴，所以22p pPF p =+=，因为2PF =，所以2p =．故抛物线C 的标准方程为24y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y 由（1）可知(1,0)F ．联立2204x y y x--=⎧⎨=⎩，整理得2480y y --=，则1212124,8,y y y y y y +==--===故12AB y y =-==因为点F 到直线l 的距离d ==，所以ABF 的面积为11222AB d ⋅=⨯= 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.16．（1）28y x =；（2）π4PAF ∠=．【分析】（1）方法一，利用直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，转化为抛物线的定义求曲线方程；方法二，利用等量关系，直接建立关于(),x y 的方程；（2）方法一，利用条件求点P 的坐标，再求PA k ；方法二，利用抛物线的定义，转化PF 为点P 到准线的距离，利用几何关系求PAF ∠的大小. 【详解】解：（1）设(),M x y ，圆M 的半径为r ．由题意知，1MF r =+，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点()2,0F 的距离等于M 到定直线2x =-的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线．故曲线C 的方程为28y x =．方法二：因为1MF r ==+，1x r +=，1x >-，2x =+，化简得28y x =，故曲线C 的方程为28y x =．（2）方法一：设()00,P x y，由PA ，得()()22220000222x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，又2008y x =，解得02x =，故()42,P ±，所以1PA k =±，从而π4PAF ∠=．方法二：过点P 向直线2x =-作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQPF =，所以PA =，在APQ 中，因为π2PQA ∠=，所以sin PQ QAP PA ∠==，从而π4QAP ∠=，故π4PAF ∠=．【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 17．（1）247；（2）12．【分析】（1）由已知结论求出直线AB 的方程，联立方程，得韦达定理，利用弦长公式即可求得AB 的长；（2）将12||AB d d +表示为关于t 的函数，再利用换元法与分离常数法两种方法分别求出最值. 【详解】（1）解当3t =时，直线AB 方程为1x y +=，联立，得27880x x --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1287x x +=，1287x x =-．则1224||7AB x =-==．（2）解直线AB ：13t x y +=，即13tx y =-+，直线OP ：4t y x =．设()11,A x y ，()22,B x y，则12||AB y y =-，12d d +===记12||AB m d d=+，则12||AB m d d ==+，接下来介绍求最值的不同方法．法1：常规换元法令212s t =+，12s ≥，则222222(3)(4)12121114949112244848s s s s m s s s s s -++-⎛⎫===-++=--+≤ ⎪⎝⎭m ≤，当24s 即t =±12||AB d d +的最大值是12．法2：分离常数法422242422514412414424144t t t m t t t t ++==+++++，显然0t =时不取得最大值，则222149111444824m t t=+≤+=++，m ≤ 当t =±12||AB d d +．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）247；（Ⅲ）12||S S -【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；（Ⅲ）设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立直线l 与椭圆M 的方程，利用韦达定理求出12y y +，12||S S -=212||34t t +，变形后利用基本不等式可求得最大值.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为()1,0F -，所以1c =且23b =，所以222314a b c =+=+=，所以椭圆M 方程为22143x y +=.（Ⅱ）因为直线l 的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l 的方程为1y x =+，联立221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得27880x x +-=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1287x x +=-，1287x x =-，所以||CD =247=. （Ⅲ）由（Ⅰ）知(2,0),(2,0)A B -，设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(34)690t y ty +--=，则122634ty y t +=+，123934y y t =-+0<，所以12,y y 异号，所以121211|||4||4|||22S S y y -=⨯-⨯⨯122||||||y y =-122||y y =+212||34t t =+ 1243||||t t =+≤==当且仅当||3t =时，等号成立.所以12||S S -. 【点睛】关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用,C D 两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.19．（1）2213x y +=；（2）证明见解析；定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）运用离心率公式和基本量a ，b ，c 的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，与椭圆方程联立，整理得()()222136310kxktx t +++-=.由0AP AQ ⋅=，利用根与系数的关系求得t值，从而可证明直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）解：椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得c e a ==，222a c b -=，且2291144a b +=，解得a =1b =，c =则椭圆方程为2213x y +=.（2）证明：由0AP AQ ⋅=，可知AP AQ ⊥，从而直线l 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222136310k x ktx t +++-=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122613kt x x k -+=+，()21223113t x x k-=+，()* 由()()222(6)413310kt k t∆=-+⨯->，得2231k t >-，由0AP AQ ⋅=，得()()1122,1,1AP AQ x y x y ⋅=-⋅-()()2212121(1)(1)0k x x k t x x t =++-++-=，将()*代入，得12t =-，所以直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用. (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20．（1）2212x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）OAB面积的最大值是2，此时l的斜率为2±. 【分析】（1）根据离心率为22，且椭圆上的点到焦点的最长距离为12+，由1222a cca⎧+=+⎪⎨=⎪⎩求解.（2）（i）设直线l为：2y kx=+，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得M的坐标，进而求得OMk验证即可.（ii）由（i）求得弦长AB和点O到直线l的距离，由三角形面积公式12OABS d AB=⨯⨯求解.【详解】（1）由题意得122a cca⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，解得21ac⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴22a=，2221b a c=-=，∴椭圆C的方程为2212xy+=.（2）（i）设直线l为：2y kx=+，1122(,),(,),(,)M MA x yB x y M x y，由题意得22212y kxxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴22(12)860k x kx+++=，∴28(23)0k∆=->，即232k>由韦达定理得：22121286,1212kx x x xk k-+==++∴2412Mkxk=-+，22212M My kxk=+=+∴12MOMMykx k==-，，∴12OMk k⋅=-∴直线OM与l的斜率乘积为定值（ii）由（i）可知：12AB x=-==，又点O到直线l的距离d=∴1122OABS d AB=⨯⨯==t=，则0t>，∴24442OABSt tt==≤=++，当且仅当2t=时等号成立，此时2k=±，且满足0∆>，∴OAB面积的最大值是2，此时l的斜率为2±【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．21．（1）22143x y+=；（2）最大值为3.【分析】（1）根据离心率为12以及过定点P⎭，列方程即可得解；（2）设()11,A x y，()22,B x y，根据题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为1x my=+和22143x y+=联立可得()2234690m y my++-=，结合韦达定理带入面积公式，即可得解.【详解】（1）依题意有22222123314caa b ca b⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1.abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C的方程为22143x y+=.（2）设()11,A x y，()22,B x y，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-= ()()22636340m m ∆=++>，m ∈R ，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ∴112212121234F ABS F F y y y y m =-=-==+△，令t =，则1t ≥，∴121241313F AB t S t t t==++△.令()13f t t t=+，则当1t ≥时，()f t 单调递增， ∴()()413f t f ≥=，13F AB S ≤△，即当1t =，0m =时，1F ABS 的最大值为3.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中面积的最值问题，考查了韦达定理的应用，有一定的计算量，属于中档题. 本题的关键有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间关系的桥梁，是解决直线和圆锥曲线问题的最重要的方法；（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的基础. 22．（1）28x y =，（2）证明见解析【分析】（1）由题意可得P 到直线2y =-的距离等于P 到()0,2M 的距离，则由抛物线的定义可求得点P 的轨迹C 的方程；（2）设211,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()00,Q x y ，直线与抛物线联立方程组，消去y ，再利用根据与系数的关系可得128x x k +=，1216x x =-，再利用导数求出切线AQ ，BQ 的方程，从而可得12028x x y ==- 【详解】（1）解：设P 到直线1y =-的距离为d ，则1d PM =-，所以P 到直线2y =-的距离等于P 到()0,2M 的距离，由抛物线的定义可知，P 的轨迹C 的方程为28x y =.（2）证明：设211,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()00,Q x y ，联立方程组28,2,x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得28160x kx --=，则128x x k +=，1216x x =-，264640k ∆=+>.由28x y =，得28x y =，所以4x y '=，所以切线AQ 的方程为21148x x y x =-，①同理切线BQ 的方程为22248x x y x =-，②由①2x ⨯-②1x ⨯，得12028x x y ==-，所以点Q 在直线上2y =-. 【点睛】关键点点睛：此题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出切线AQ 的方程为21148x x y x =-，切线BQ 的方程为22248x x y x =-，从而可求出其交点从坐标，考查计算能力，属于中档题23．（1）2214x y +=；（2）(2,)+∞．【分析】（1）根据条件构建方程求解即可（2）设直线l 的方程为()y k x n =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得221224414k n x x k -=+，2122814k nx x k +=+，然后由PBA QBA ∠=∠，得0PB QBk k +=，即12120y y x m x m+=--，即()12122()20x x m n x x mn -+++=，然后得出4m n=即可. 【详解】解：（1）椭圆的半焦距为c．根据题意，得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，21b =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由l 不垂直于坐标轴知，直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为()y k x n =-，0k ≠联立2214()x y y k x n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得()22222148440k x k nx k n +-+-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，易知12x x ≠，且12,x x 均不等于m ．由根与系数的关系，得221224414k n x x k -=+，2122814k nx x k+=+．由PBA QBA ∠=∠，得0PB QB k k +=，所以12120y y x m x m+=--．所以()()()1221121202()20y x m y x m x x m n x x mn -+-=⇔-+++=，所以222224482()201414k n k nm n mn k k-⨯-++=++整理可得4mn =，即4m n =．因为02n <<，所以(2,)m ∈+∞．【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，12x x ，由PBA QBA ∠=∠，得0PB QB k k +=，然后表示出0PB QB k k +=得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．24．（1）2212516x y +=；（2）3225890x y +-=．【分析】（1）由题可得22a b 9-=3=，求出,a b 即得椭圆方程；（2）利用点差法可求直线斜率，即可得出直线方程. 【详解】（1）设椭圆M 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则22a b 9-=，。

2024 高考数学真题及解析(新课标Ⅰ卷)

2024高考数学真题解析新课标Ⅰ卷一、选择题1.已知集合A={x|−5<x3<5},B={−3,−1,0,2,3}，则A∩B=()A.{−1,0}B.{2,3}C.{−3,−1,0}D.{-1,0,2}=1+i，则z=()A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i3.已知向量a=(0,1),b=(2,x)，若b b丄(−4a)，则x=()A.-2B.-1C.1D.24.已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α−β)=()A.−3mB.−C.D.3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为()A.23πB.33πC.63πD.93π6.已知函数为在R上单调递增，则a的取值范围是()A.(−∞,0]B.[−1,0]C.[−1,1]D.[0,+∞)7.当x∈时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为()A.3B.4C.6D.88.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时，f(x)=x，则下列结论中一定正确的是()A.f(10)>100B.f(20)>1000C.f(10)<1000D.f(20)<10000二、多选题9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差S2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,S2)，则()（若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(Z<μ+σ)≈0.8413）A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.810.设函数f(x)=(x−1)2(x−4)，则A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f(x2)C.当1<x<2时，−4<f(2x−1)<0D.当−1<x<10时，f(2−x)>f(x)11.造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2；到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则()A.a=−2B.点(2,0)在C上C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C上时，y≤三、填空题12.设双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若F1A=13,AB=10，则C的离心率为13.若曲线y=e x+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=14.甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。

2024年3月全国乙卷高三数学(文)模拟联考试题附答案解析

2024年3月全国乙卷高三数学（文）模拟联考试题（考试时间120分钟满分150分）2024.03注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．tan240sin660 的值为（）A ．12B ．12-C ．32D ．32-2．已知复数562i i z =+，则z =（）A ．1i-B ．1i -+C ．22i -D ．22i+3．已知集合2{112},02x x A xx B x x x ⎧⎫-⎪⎪=-<+<=+=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭∣，则A B = （）A ．{10}x x -<<∣B ．{20}x x -<<∣C ．{01}x x <<∣D ．{02}xx <<∣4．已知点,,,A B C D 为平面内不同的4点，若23BD DA DC =- ，且()2,1AC =- ，则AB =（）A ．()4,2-B ．()4,2-C ．()6,3-D ．()6,3-5．近几年随着AI 技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，下图为2014~2022年中国虚拟主播企业注册增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法错误的是（）A ．2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B ．2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C ．2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D ．从2018~2022年企业注办增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数不大于300的概率为156．如图，网格纸中小正方形的边长为10cm ，粗线画出的是某体育比赛领奖台三视图，则该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为（）A ．216400cmB ．218400cmC ．220800cmD ．223200cm 7．已知函数4y x =的图象是等轴双曲线，将4y x =的图象顺时针旋转π4可得到曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，则C 的焦距为（）A ．22B ．4C ．42D ．88．函数()sin3f x x =在0[0,)x 上没有最小值，则0x 的取值范围是（）A ．π(0,)2B ．(0,π3C ．ππ(,]32D ．ππ(,)329．知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为22的球，这此球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）A ．42π3B ．22π3C ．2π3D ．26π10．过点(),P a b 可作3条直线与函数()32f x x =-的图象相切，则（）A ．312a b <-B ．312a b >-C ．32a b<-D ．32a b>-11．已知点O 为坐标原点，直线()0y kx k =≠与椭圆22:1(1)x C y a a+=>交于点A ，点B 在C 上，OA OB ⊥，若22114||||3OA OB +=，则C 的离心率为（）A ．33B ．23C ．63D ．2312．已知()616,ln ,log 71ln555a b c ===-，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数,x y 满足约束条件202802100x y x y x y ++≤⎧⎪++≥⎨⎪--≥⎩，则3x y +的最小值是.14．函数()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，则=a .15．平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A ，B ，C 都在圆E 上，直线BC 方程为20x y +-=，且210BC =△ABC 的垂心()2,2G 在△ABC 内，点E 在线段AG 上，则圆E 的标准方程.16．四边形ABCD 中，2BD =，1sin tan 42AABD AD ∠=，2CD BC =，设△ABD 与△BCD 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的最大值为.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等差数列{}n a 满足580a a +=，4631a a a +=+．(1)求n a ；(2)若12n n n n a b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 最小时对应的n 的值．18．某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长()cm y 与身高()cm x 之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：x159165170176180y6771737678(1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；参考数据：()5521128216.8i i ii i x y y y ===-=≈∑∑参考公式：相关系数()()()()12211n iii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,ni ii n ii x x yy bay bx x x ==--==--∑∑.19．如图，在三棱锥A BCD -中，9AB =，其余各棱的长均为6，点E 在棱AC 上，2AE EC =，过点E的平面与直线CD 垂直，且与,BC CD 分别交于点,F G .(1)确定,F G 的位置，并证明你的结论；(2)求点G 到平面DEF 的距离.20．已知函数()()11e ln (0)x f x x a x a x a -=---+>.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 在()1,+∞上有极值点0x ，求证：()02f x <-.21．已知倾斜角为α（π04α<<）的直线l 与抛物线C ：22y px =（0p >）只有1个公共点A ，C 的焦点为F ，直线AF 的倾斜角为β．(1)求证：2βα=；(2)若1p =，直线l 与直线12x =-交于点P ，直线AF 与C 的另一个交点为B ，求证：PA PB ⊥．（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()24cos 2sin 1ρρθθ=+-.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与C 交于点,A B ，求OAB 的周长.[选修4-5：不等式选讲]23．已知(),,0,a b c ∈+∞.(1)若2221a bc ab c abc ++=，求()()a b b c ++的最小值；(2)若1a b c ++=，证明：()()()()()()34ab bc ca c a c b a b a c b c b a ++≥++++++.1．D 【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，化简求值.【详解】()()()33tan240sin660tan 18060sin 72060tan60sin60322⎛=+-=-=⨯-=- ⎝⎭，故选：D.2．B 【分析】根据复数运算和共轭复数的概念可得.【详解】因为56221i i i i 1z ===--+-，所以1i z =-+.故选：B ．3．C 【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】因为{112}{21},A xx x x =-<+<=-<<∣∣20{02}2x x B x x x x x ⎧⎫-⎪⎪=+==<<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭∣，所以{01}A B xx ⋂=<<∣.故选：C.4．D 【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.【详解】由23BD DA DC =- 得33BD DA DA DC +=-，即3BA CA =，又()2,1AC =- ，所以()36,3AB AC ==-，故选：D.5．B 【分析】根据条形统计图判断A 、B 、C ，利用古典概型的概率公式判断D.【详解】由每年注册增加数均为正数，可知2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加，故A 正确；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数从小到大排列为：33，48，76，84，121，256，410，564，948，所以2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，故B 错误；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为94833915-=，故C 正确；从410，121，256，564，948中任取两个数字，结果有10种，所取两个数字平均数不大于300的取法有()410,121，()121,256共2种，所以所求概率21105P ==，故D 正确.故选：B.6．B 【分析】根据三视图可得组合体，根据面积公式可求所有面的面积之和.【详解】解法一：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为40cm 的正方形，冠军台高50cm ，亚军台高40cm ，季军台高30cm ，该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为3个长方体的表面积之和减去3个边长为40cm 的正方形面积，减去2个底边长为40cm 高为40cm 的矩形面积，减去2个底边长为40cm 高为30cm 的矩形面积，即()()222640160504030340240402403018400cm ⨯+⨯++-⨯-⨯⨯-⨯⨯=，解法二：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为40cm 的正方形，冠军台高50cm ，亚军台高40cm ，季军台高30cm ，前后两个面的面积之和为()()22404050309600cm ⨯⨯++=，上面3个面的面积之和为()223404800cm ⨯=，余下侧面的面积之和为()2240504000cm ⨯⨯=，所以该组合体除去下底面的所有面的面积之和为()296004800400018400cm ++=，故选：B.7．D 【分析】由函数4y x =的图象是等轴双曲线，求出顶点，顺时针旋转π4可得到等轴双曲线C ，直接求解即可.【详解】函数4y x =的图象与对称轴y x =的一个交点()2,2P 就是曲线4y x=的顶点，该点旋转后变为()2,0Q ，曲线C 也是等轴双曲线，所以22,4,a b c C ===的焦距为8，故选：D 8．C 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质列式求解即得.【详解】函数()sin3f x x =中，当0[0,)x x ∈时，00,3)3[x x ∈，由()sin3f x x =在0[0,)x 上没有最小值，得03ππ32x <≤，解得0ππ32x <≤，所以0x 的取值范围是ππ(,]32.故选：C 9．D 【分析】首先确定条件中的球落在正方体的部分，再求体积，即可求解.【详解】以8个顶点为球心的球各有18在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有12在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为22的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为3424π322π86⎛⨯⨯ ⎝⎭=.故选：D 10．A 【分析】设切点坐标，利用导数求出切线，由切线过点(),P a b ，整理得32460t at b --=有3组解，转化为三次函数有三个零点问题，利用导数解决.【详解】设过点(),P a b 的直线与函数()32f x x =-的图象切于点()3,2Q t t -，()26f x x '=-，则函数()f x 在点Q 处的切线斜率()26k f t t '==-，切线方程为()3226y t t x t +=--，由切线过点(),P a b ，所以有()3226b t t a t +=--，整理得32460t at b --=，设()3246g t t at b =--，则问题转化为()g t 有3个零点，因为()21212g t t at =-'，由()0g t '=得0=t 或t a =，若0a =，()0g t '≥恒成立，()g t 在R 上单调递增，不合题意.当0a >时，()0g t '>解得0t <或t a >，()0g t '<解得0t a <<，此时()g t 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，()0g 为函数极大值，()g a 为函数极小值；当0a <时，()0g t '>解得t a <或0t >，()0g t '<解得0a t <<，此时()g t 在(),a -∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减，()g a 为函数极大值，()0g 为函数极小值；()g t 有3个零点，则()0g 与()g a 异号，即()()()3020g g a b a b =---<，所以()320b a b +<，得332210a b a b b +=+<，所以312a b <-.故选：A 11．C 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线()0y kx k =≠与椭圆22:1(1)x C y a a+=>的方程求出21x ，22x ，由椭圆的弦长公式表示出2||OA ，2||OB ，代入22114||||3OA OB +=，即可得出答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y，由2221y kx x y a=⎧⎪⎨+=⎪⎩得221221a x a k =+，由OA OB ⊥，设()1:0OB y x k k=-≠，可得：2222222221a a k x a a k k ==++，所以()2222222222212222221|1,|11a a k a a k OA kx OB x a k k a k ++⎛⎫=+==+= ⎪++⎝⎭，所以()()()2222222111111||||1a k OA OB a a k +++==++，所以2141,33a a +==C 263=故选：C.12．A【分析】构造函数()()ln 1(0)f x x x x =+->，由导数分析函数()f x 在()0,∞+上单调递减，所以得到()ln 1x x >+，得到116ln 1ln 555⎛⎫>+= ⎪⎝⎭，作差比较56log 6log 7-的大小，利用基本不等式比较大小即可.【详解】设()()ln 1(0)f x x x x =+->，则()()110,11xf x f x x x -=-=<+'+在()0,∞+上单调递减，所以()()00f x f <=，所以()ln 1x x >+，116ln 1ln 555⎛⎫>+= ⎪⎝⎭，()56ln log 61ln55=-，2222256lg5lg711(lg6)lg36lg35lg6lg7(lg6)lg5lg7222log 6log 70lg5lg6lg5lg6lg5lg6lg5lg6+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=-=>=>，所以a b c >>，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数()()ln 1(0)f x x x x =+->，由导数分析函数()f x 在()0,∞+上单调递减，所以得到()ln 1x x >+，利用基本不等式比较大小即可.13．32-【分析】画出约束条件对应的平面区域，结合图象找出目标函数的最优解，求出目标函数的最小值.【详解】由20280x y x y ++=⎧⎨++=⎩解得：46x y =⎧⎨=-⎩，即()4,6C -，同理求出()92,4,1,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，如图所示，不等式组表示的可行域是以()()92,4,1,,4,62A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域，设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线3y x =-，把该直线平移到点B 处z 取得最小值，min 933122z =⨯-=-.故答案为：32-.14．38【分析】根据题意，利用()()0f x f x --=列出方程，结合对数的运算，即可求解.【详解】因为()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，可得()()()31231228log 83022x x f x f x ax a x +-++--=-=-=+，所以38a =.故答案为：38.15．()()223318x y -+-=【分析】首先根据塞尔瓦定理以及圆的几何性质，求解r 和EG ，并求直线EG 的方程，求解点E 的坐标，即可求解圆的方程.【详解】由△ABC 的垂心()2,2G 到直线BC 距离2d =，设圆E 半径为r ，由塞尔瓦定理可得2r EG +=(2EG +，由圆的几何性质可得(222210EG r +=，联立解得2EG =，32r =，因为直线BC 方程为20x y +-=，EG BC ⊥,且()2,2G ，所以直线EG 方程为y x =，设(),E a a ，则E 到直线BC 距离22222a d -='=1a =-（舍去）或3a =，所以圆E 的标准方程为()()223318x y -+-=．故答案为：()()223318x y -+-=16．39439【分析】根据正弦定理得1sin tan 42A BAD AD ∠=，再结合余弦定理及基本不等式得43AB AD ⋅≤，得113sin 23S AB AD A =⋅≤，设BC t =，由()222222254cos 224t t t C t t t+--==⋅，可求得222112562042sin 924993S t t C t ⎛⎫=⋅==--≤ ⎪⎝⎭，从而可求解.【详解】因为2BD =，由正弦定理得sin 11sin sin tan 242AD A ABAD AD A AD BD ∠===，所以1sin 2A =tan 2A ，即sin22sin cos 222cos 2AA A A =，因为sin 02A ≠，所以21cos 24A =，1cos 22A =，2π3A =，所以cos A 12=-，3sin 2A =，由余弦定理得2223BD AB AD AB AD AB AD =++⋅≥⋅，所以43AB AD ⋅≤，当AB AD =时取等号，所以111433sin 22323S AB AD A =⋅≤⨯⨯，设BC t =，则2CD t =，在BCD 中由余弦定理得()222222254cos 224t t t C t tt +--==⋅，所以()2422211256202sin 1cos 92499S t t C t C t ⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭当253t 2S 取得最大值43，所以12S S 439故答案为：439.【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.17．(1)213n a n =-；(2)4或6.【分析】（1）通过基本量计算求解可得；（2）分4n ≤，5,6n =，7n ≥讨论数列{}n b 的符号即可求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由580a a +=，4631a a a +=+得11121102821a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，解得111a =-，2d =，所以()()111112213n a a n d n n =+-=-+-⨯=-．（2）由（1）得213n a n =-，()()1221121329n n n n a n b a a n n ++-==--，当4n ≤时0n b <，又5110313b -==>-⨯，6110133b ==-<-⨯，所以560b b +=，因为7n ≥时0n b >，所以数列{}n b 的前4项或前6项之和最小，即n S 最小时n 的值为4或6．18．(1)说明见解析(2)ˆ13.810.51yx =-+【分析】（1）根据题意，由线性相关系数的公式代入计算，即可判断；（2）根据题意，由线性回归方程中ˆˆ,ba 的公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得5511850,170,365,73ii i i xx y y ======∑∑，()522222211150610282,ii x x =-=++++=∑()()()5555211118.6,62194170735144ii i i i i i i i i yy x x y y x y x y ====-=--=-=-⨯⨯=∑∑∑()()()()515522111440.99716.88.6iii i i i i x x y y r x x y y ===--∴=≈⨯--∑∑∑，因为y 与x 的相关系数近似为0.997，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）由73y =及（1）得()()()5152114424ˆ0.5128247i ii ii x x yy bx x ==--===≈-∑∑，24ˆˆ7317013.8147ay bx =-=-⨯≈-，所以y 关于x 的回归方程为ˆ13.810.51yx =-+.19．(1)F ，G 满足12,6BF FC CG CD ==，证明见解析5309【分析】（1）取CD 中点O ，连接,AO BO ，证明CD ⊥平面AOB ，从而得到平面EFG 平面AOB ，然后根据平行线分线段成比例定理确定，,F G 的位置并证明.（2）分别以EGF △为底，DG 为高，以DEF 为底，点G 到平面DEF 的距离为高，利用等体积法求解.【详解】（1）F 为线段BC 的三等分点且靠近C ，G 为线段CD 的六等分点且靠近C ，证明如下：取CD 中点O ，连接,AO BO ，由已知可得AC AD BC BD ===，所以,AO CD BO CD ⊥⊥，因为AO BO O = 且都在面AOB 内，所以CD ⊥平面AOB ，因为CD ⊥平面EFG ，所以平面EFG 平面AOB ，过E 作AB 的平行线与BC 的交点即为F ，过E 作AO 的平行线与CD 的交点即为G ，因为2AE EC =，所以112,36BF FC CG CO CD ===，所以当12,6BF FC CG CD ==时，平面EFG 与直线CD 垂直（2）由题意可得33OA OB ==，因为9AB =，则2727811cos 223333AOB ∠==-⨯⨯，结合三角形内角范围有120AOB ∠=o ，由（1）可得120EGF AOB ∠∠== ，133GE GF OA ===所以EGF △的面积1133sin 33sin120224S GE GF EGF ∠=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ，又点D 到平面EGF 的距离为556DG CD ==，所以三棱锥D EGF -的体积113353533V DG S =⨯⨯=⨯⨯，在DCE △中，6,2,60CD CE DCE ∠=== ，所以222cos 364262cos607DE CD CE CD CE DCE ∠=+-⋅=+-⨯⨯⨯= 27DF =，又133EF AB ==，所以DEF 的面积221119310332822244S EF DE EF ⎛⎫=-⨯⨯-=⎪⎝⎭'，设点G 到平面DEF 的距离为h ，则三棱锥G DEF -的体积110334V hS ='='，由V V '=得103344h =，所以5309103h =.20．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数，分类讨论求()f x 的单调性（2）由（1）中的结论，得极值点0x 的值，代入函数解析式，构造新函数，利用导数求出最大值即可.【详解】（1）()()11e ln x f x x a x a x -=---+，函数定义域为()0,∞+，则有()()()111e 1e x x a f x x a x a x x --⎛⎫=--+=-- ⎝'⎪⎭，设()11ex g x x-=-，函数定义域为()0,∞+，由函数1e x y -=和1y x=-在()0,∞+上都单调递增，则()g x 在()0,∞+上单调递增，又()10g =，则01x <<时，11e 0x x --<；1x >时，11e 0x x-->，（i ）若01a <<，(),1x a ∈时()0f x '<，()f x 单调递减，()0,x a ∈和()1,x ∞∈+时()0f x '>，()f x 单调递增；（ii ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上单调递增；（iii ）若1a >，()1,x a ∈时()0f x '<，()f x 单调递减，()0,1x ∈和(),x a ∞∈+时()0f x '>，()f x 单调递增.综上可得，01a <<时()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,∞+上单调递增；1a =时()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >时()f x 在()1,a 上单调递减，在()0,1和(),a ∞+上单调递增.（2）由（1）知()f x 在()1,∞+上有极值点0x ，则1a >，且0x a =，所以()()10ln e a f x f a a a a -==--，设()1ln e(1)a h a a a a a -=-->，则()1ln e a h a a --'=，设()()a h a ϕ='，则()11e a a aϕ--'=，由1a >，有11a<，1e 1a ->，所以()0a ϕ'<，则()h a '在()1,∞+上单调递减，得()()110h a h '=-'<<，所以()h a 在()1,∞+上单调递减，有()()12h a h <=-，即()02f x <-.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.21．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设出2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得直线l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭再与抛物线方程联立并结合只有一个切点可得tan pt α=，从而可求解.（2）设200,2y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程设为12x my =+，与抛物线联立后，分别求出其两根关系01y t =-，从而可求解.【详解】（1）设2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，与22y px =联立得22220tan tan p pty y t αα-+-=，因为直线l 与抛物线C 只有1个公共点，所以2224240tan tan p pt t αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得tan p t α=，所以2,2tan tan p p A αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222tan tan tan tan 21tan 2tan 2pp p ααβααα===--，因为π04α<<，π022α<<，所以tan tan 0βα=2>，02βπ<<，所以2βα=．（2）1p =时，C 的方程为22y x =，把1p =，1tan t α=代入2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得l 的方程为2x t y t =+，把12x =-代入得122t y t =-，所以11,222t P t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由（1）知，2,2t A t ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 方程为12x my =+，与22y x =联立得2210y my --=，t ，0y 是该方程的两个根，所以01y t =-，所以01y t=-，所以21112211122PA PBt t t k k t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⋅=⋅=-+，所以PA PB ⊥.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)()2cos sin 4ρθθ+=；(2)295275【分析】（1）利用消参法求出直线l 的普通方程，再利用直角坐标和极坐标的转化公式，即可求得答案；（2）解法一：利用极坐标方程求出127ρρ==,OA OB ，再利用点到直线的距离公式结合弦长公式求出AB ，即可求得答案；解法二：求出C 的直角坐标方程，继而求得弦长AB ，再利用点到直线的距离公式结合勾股定理求出OA OB =，即可求得答案.【详解】（1）将122x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）中的参数t 消去，得24x y +=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入24,x y +=得直线l 的极坐标方程为()2cos sin 4ρθθ+=.（2）解法一：设()()()()1122,0,,0A B ραρρβρ>>，由方程组()()22cos sin 44cos 2sin 1ρθθρρθθ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩，得27ρ=，所以127ρρ==7OA OB ==因为点O 到直线l 的距离2244521d ==+，所以222452952||75AB OA d ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭所以OAB 的周长为95275+；解法二：由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，得C 的直角坐标方程为224210x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，曲线C 是以()2,1C 为圆心，半径为2的圆，点C 到直线l ：24x y +=的距离1224145521d --=+，所以221295225AB d =-=，由于OC 的斜率为12，直线l ：24x y +=的斜率为-2，故直线OC 与直线l 垂直，点O 到直线l 的距离222445521d ==+所以222172OA OB d AB ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以OAB 的周长为95275+.23．(1)2(2)证明见解析【分析】（1）变形得到()1abc a b c ++=，故()()()a b b c b a b c ac ++=+++，利用基本不等式求出最值；（2）变形后只需证1119a b c++≥，利用基本不等式“1”的妙用证明出结论.【详解】（1）因为()2221a bc ab c abc abc a b c ++=++=，所以()()()()2a b b c b a b c ac b a b c ac ++=+++≥++=，当()1b a b c ac ++==时等号成立，所以()()a b b c ++的最小值为2.（2）因为(),,0,a b c ∈+∞且1a b c ++=，要证()()()()()()34ab bc ca c a c b a b a c b c b a ++≥++++++，即证()()()()()()31111114ab bc ca b a c b a c ++≥------，即证()()()()()()4141413111ab c bc a ca b a b c -+-+-≥---，整理得9ab bc ca abc ++≥，所以即证1119a b c++≥，而1113a b c a b c a b c b a c b a c a b c a b c a b b c c a ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭329b a c b a ca b b c c a≥+⋅⋅⋅=，等号在13a b c ===时成立，所以()()()()()()34ca c a c b a b a c b c b a ++≥++++++成立.。

高考数学专题2.4 导数的应用(二)同步单元双基双测(B卷)文-人教版高三全册数学试题

专题2.4 导数的应用（二）（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 曲线x y ln =上一点P 和坐标原点O 的连线恰好是该曲线的切线，则点P 的横坐标为( ) A ．eB.e C ．e 2D ．2 【答案】A考点：导数的几何意义2. 已知函数y =2x 3＋ax 2＋36x －24在x =2处有极值，则该函数的一个递增区间是 A.(2，3)B.(3，＋∞)C.(2,＋∞)D.(－∞,3)【答案】B【解析】本题考查常见函数的导数，可导函数f ′(x )=0与极值点的关系，以及用导数求函数的单调区间.y ′=6x 2＋2ax ＋36.∵函数在x =2处有极值，∴y ′|x =2=24＋4a ＋36=0，即－4a =60.∴a =－15. ∴y ′=6x 2－30x ＋36=6(x 2－5x ＋6)=6(x －2)(x －3). 由y ′=6(x －2)(x －3)＞0，得x ＜2或x ＞3. 考点：导数与函数的单调性。

3.如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象,则2212x x +=（）A ．23 B ．43 C ．83 D ．123【来源】【百强校】2015-2016学年某某某某高级中学高二下期期末理数学试卷（带解析）【答案】C 【解析】考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义.【方法点晴】本题主要考查了导数研究函数的单调性与极值、导数的几何意义的应用，充分体现导数在函数问题解答中的应用，本题的解答中根据函数的图象()0f x =的根为0,1,2，求出函数的解析式，再利用12,x x 是方程23620x x -+=的两根，结合一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.4.已知关于x 的不等式ln mx x <有唯一整数解，则实数m 的最小值为（） A.1ln22 B. 1ln33 C. 1ln23 D. 1ln32【来源】【全国校级联考】某某省百校联盟2018届高三九月联考数学（文）试题【答案】A【解析】由ln mx x <，得：ln m x x <,令()ln g x x x =，∴()21ln g?xx x -=，()g?0,x <得到减区间为()e ∞+，；()g?0,x >得到增区间为()0e ，，∴()max 1g x e =，()1g 2ln22=，()1g 3ln33=，且()()g 2g 3<,∴要使不等式ln mx x <有唯一整数解，实数m 应满足11ln2m ln323≤<,∴实数m 的最小值为1ln22.故选：A点睛：不等式ln mx x <有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察y m =与()ln g xx x=的图象的高低关系，只要保证y m =上方只有一个整数满足ln m xx<即可. 5.若函数()ln f x x x a =-有两个零点，则实数a 的取值X 围为（） A. 1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【来源】【全国市级联考】2018黔东南州高考第一次模拟考试文科数学试题【答案】C【解析】函数的定义域为0+∞（，），由()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =，故选C.点睛：本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键；根据函数零点的定义，()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =，设函数()ln g x x x =，利用导数研究函数的极值即可得到结论.6.对任意x ∈R，函数f (x )的导数存在，若f′(x )＞f(x)且 a ＞0，则以下正确的是（ ▲） A ．)0()(f e a f a⋅> B ．)0()(f e a f a⋅< C ．)0()(f a f > D ．)0()(f a f < 【答案】A 【解析】试题分析：设()()x e x f x g =，那么()()()()02>-'='x xx ee xf e x f xg ，所以()x g 是单调递增函数，那么当0>a 时，()()0g a g >，即()()0f ea f a>，即)0()(f e a f a⋅< 考点：根据函数的单调性比较大小7. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是A. (-2,0) ∪(2,+∞) B . (-2,0) ∪(0,2) C . (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2) 【答案】D 【解析】故选D考点：利用导数求不等式的解集。

新高考山东省青岛一中2023届高三上学期第一次模块考试数学试卷及答案

3.10.山东省青岛一中2022-2023学年度第一学期第一次模块考试高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.设x ∈R ，则“|x -2|<1”是“1<x <2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知方程x 2+4+i x +4+ai =0a ∈R 有实根b ，且z =a +bi ，则复数z 等于()A.2-2iB.2+2iC.-2+2iD.-2-2i3.如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A 距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD ，测得CD 的高度为h ，并从C 点测得A 点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD 之间的地面上的点E 处测得A 点，C 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，E ，D 三点共线).该学习小组利用这些数据估算得AB 约为60米，则CD 的高h 约为()米(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6=2.45)()A.11B.20.8C.25.4D.31.84.已知a =sin α,1-4cos2α ，b =1,3sin α-2 ，α∈0,π2 ，若a ⎳b ，则tan α-π4=()A 17B . -17C . 27D . -275.若P AB =16，P A =13，P B =14，则事件A 与B 的关系是()A.互斥B.相互独立C.互为对立D.无法判断6.若函数f x =sin x sin x -3cos x 的图象向左平移π12个单位，得到函数g x 的图象，则下列关于g x 叙述正确的是()A.g x 的最小正周期为2π B.g x 在-π2,3π2内单调递增C.g x 的图象关于x =π12对称 D.g x 的图象关于-π2,0 对称7.已知斜率为1的直线与双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为()A.3B.2C.5D.38.已知函数f x =e x -a cos x 在-π2,π2 上有两个零点，则实数a 的取值范围是()A.2e -π4,+∞B.-∞,2e-π4C.0,2e-π4D.2e -π4,e π2二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

全国高一高中数学单元试卷带答案解析

全国高一高中数学单元试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.2等于( )A ．2＋B ．2C ．2＋D ．1＋2.函数的定义域为（）A ．（，1）B ．（，∞）C ．（1，+∞）D ．（，1）∪（1，+∞）3.函数的单调递增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．不存在4.若0＜a ＜1，且log b a ＜1，则（） A ．0＜b ＜a B ．0＜a ＜bC ．0＜a ＜b ＜1D ．0＜b ＜a 或b ＞15.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线于E ，当从左至右移动（与线段AB 有公共点）时，把四边形ABCD 分成两部分，设，左侧部分面积为，则关于的图像大致为( )6.已知函数若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(－∞，0)∪(8，＋∞)C ．(0,8)D ．(－∞，0)∪(0,8)7.对于函数f (x )＝lg x 定义域内任意x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③；④.上述结论正确的是( )A．②③④B．①②③C．②③D．①③④的图象大致为() 8.若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0＜|f(x)|≤1，则函数y＝logaA．B．C．D．9.若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A．B．C．D．|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是() 10.已知偶函数f(x)＝logaA．f(a＋1)≥f(b＋2)B．f(a＋1)＜f(b＋2)C．f(a＋1)≤f(b＋2)D．f(a＋1)＞f(b＋2)二、填空题1.计算： __________．2.设则f(f(2))＝________.3.下列说法中，正确的是________(填序号)．①任取x＞0，均有3x＞2x；②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2；③y＝()－x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．4.已知函数f(x)＝e|x－a|，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__________．三、解答题1.计算：(1)lg 52＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2；(2)3－27＋16－2×(8)－1＋×(4)－1.2.已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．(1)求函数f(x)的最大值和最小值；(2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．3.若函数为奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域．4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log (－x＋1)．(1)求f(0)，f(1)；(2)求函数f(x)的解析式；(3)若f(a－1)<－1，求实数a的取值范围．5.已知函数f(x)＝a－ (a∈R).(1) 判断函数f(x)的单调性并给出证明；(2) 若存在实数a使函数f(x)是奇函数，求a；(3)对于(2)中的a，若f(x)≥，当x∈[2,3]时恒成立，求m的最大值．6.已知函数f(x)＝a－.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的取值范围．全国高一高中数学单元试卷答案及解析一、选择题1.2等于()A．2＋B．2C．2＋D．1＋【答案】B【解析】.故选B.2.函数的定义域为（）A．（，1）B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【答案】A【解析】解：由解得，所以原函数的定义域为。

内蒙古自治区包头市2024届高三一模数学(理)试题(含答案与解析)_4675

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}2,0,2A =-，{}2230,B x x x x =--≤∈Z，则()UA B =ð（） A. {}2,1,1,3--B. {}2,1,3-C. {}1,1,3-D. {}2,1--2. 设复数z 满足32i z z -=，z =，复数z 所对应的点位于第四象限；则z =（）A.B. 1i -C. 1i +D.3. 某几何体的三视图如图所示，设三视图中三个直角顶点在该几何体中对应的点为P ，则点P 到它所对的面的距离为（）A.B.C.D..4. 已知()()31031x x b f x b b ⋅-=>⋅+是奇函数，则b =（）A. 4B. 3C. 2D. 15. 设甲盒中有4个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，4个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B 表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（） A. 事件B 与事件C 是互斥事件 B. 事件A 与事件C 是独立事件 C. ()37P C A =D. ()13P A =6. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A. B. 1-C. 2-D. 07. 已知81ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中第六项的系数为7-，则实数a 等于（）A. 1-B. 12-C.12D. 18. 如图，底面ABCD 是边长为2的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ，点P 为圆弧AD 上的动点．当三棱锥P BCD -的体积最大时，二面角P BC D --的余弦值为（）A.B.C.D.9 已知等差数列{}n a 中，19a =，43a =，设12||||||n n T a a a =++⋅⋅⋅+，则21T =（）A. 245B. 263C. 281D. 29010. 已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为1:3，它们的体积之和为4π，则该球的表面积为（）.A. 18πB. 16πC. 12πD. 9π11. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，若F 关于渐近线b y x a =的对称点R 恰好落在渐近线by x a=-上，则ORF 的面积为（）A.B. 2C. 3D.12. 如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠= ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =，3BF FC =．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+∈R ，则DM CA ⋅ 等于（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于P 、Q 两点，则PQ =______. 14. 执行如图的程序框图，如果输入的[]1,5t ∈-，则输出的s 的取值范围是__________．15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23a =，21n n n a a a ++=-，则21S =__________． 16. 已知函数()()2e exxf x x x-=-+，若()()()f a f b f a b <<+，现有下列4个结论：①0ab >；②0ab <；③()0a b b +>；④()0a b a +<．则其中正确的有__________．（填上你认为所有正确结论的序号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 为了比较两种治疗高血压的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，随机选取20位患者服用甲药，20位患者服用乙药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均降低的血压数值（单位：mmhg ）．根据记录的数据绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种药的疗效更好？并给出两种理由进行说明；（2）求40位患者在服用一段时间后，日平均降低血压数值中位数n ，并将日平均降低血压数值超过n 和不超过n 的患者数填入下面的列联表：超过n不超过n服用甲药服用乙药（3）根据（2）中的列联表，能否有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异？附：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++， ()20P K k ≥0150.10 0.050k2.072 2.7063.84118.如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，D 是斜边AC 上的一点，AB =，=BC ．的.（1）若60DBC ∠=︒，求ADB ∠和ADB 的面积；（2）若BD =，求CDDA的值． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB CD ，点E 在棱PB 上，2PE EB =，点F ，H 是棱PA 上的三等分点，点G 是棱PD 的中点．223PC CB CD AB ====，AC =（1）证明：HD ∥平面CFG ，且C ，E ，F ，G 四点共面；（2）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（3）求直线PC 与平面CFG 所成角的正弦值．20. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>，(10,F 是C 的一个焦点，4,3D ⎛- ⎝是C 上一点，R 为C 的左顶点，直线()000y y y =≠与C 交于不同的两点P ，Q ．（1）求C 的方程；（2）直线RP ，RQ 分别交y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点；在x 轴上是否存在点H ，使得π2OHB OHA ∠+∠=，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，说明理由． 21. 设函数()()2e 2sin 212xf x a x ax a x =+--+．（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性，并证明()1f x ≥；（2）证明：①当x ∈R 时，e 1x x ≥+；②当0x ≥时，sin x x ≥，当0x ≤时，sin x x ≤； ③当14a =时，函数()y f x =存在唯一的零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、33题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的普通方程为()222001,21x y y x y ++=≤≤-≤≤-，曲线2C 的普通方程为()22420,20x y x y +=-≤≤-≤≤．（1）写出2C 的一个参数方程；（2）若直线极坐标方程为cos sin m ρθρθ+=，且该直线与1C 或2C 有公共点，求m 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知()22f x x x =++．（1）求不等式()6f x x ≥+的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组(),60,f x y y x ⎧≤⎨--≤⎩所确定的平面区域的面积．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}2,0,2A =-，{}2230,B x x x x =--≤∈Z，则()UA B =ð（） A. {}2,1,1,3-- B. {}2,1,3-C. {}1,1,3-D. {}2,1--【答案】A 【解析】【分析】根据题意，将集合B 化简，再由交集以及补集的运算，即可得到结果.【详解】因为{}()(){}{}2230,310,1,0,1,2,3B x x x x x x x x =--≤∈=-+≤∈=-Z Z ，则{}0,2A B =I ，所以(){}2,1,1,3U A B =-- ð. 故选：A的2. 设复数z 满足32i z z -=，z =，复数z 所对应的点位于第四象限；则z =（）A.B. 1i -C. 1i +D.【答案】B 【解析】【分析】设出复数，由题意有2i 2i z y z ==--，且212,0x x +=>，求出,x y 即可得解.【详解】设i,,R z x y x y =+∈，则()()3i i 2i 2i 2i z z x y x y y ==+--=--=，所以1y =-，又z =，复数z 所对应的点位于第四象限，所以212,0x x +=>，解得1x =，从而1i z =-. 故选：B.3. 某几何体的三视图如图所示，设三视图中三个直角顶点在该几何体中对应的点为P ，则点P 到它所对的面的距离为（）A. B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】首先将三视图还原得到三棱锥-P ABC ，,,PA PB PC 两两垂直，2PA PB PC ===，然后根据等体积法求高即可.【详解】考虑三棱锥-P ABC ，,,PA PB PC 两两垂直，2PA PB PC ===，从点P 朝平面ABC 看时，,,A B C 顺时针排列.分别将,,BP AP CP定为看向该几何体的主视图、左视图、俯视图视线方向，即得到所求三视图.考虑将该几何体放入正方体中，此时，该几何体的体积1463V PA PB PC =⋅⋅=，同时设P 到平面ABC 的距离为h ，则又有3ABC hV S = .容易得到ABC是边长为(2ABCS ==从而3ABC V h S === . 故选：D.4. 已知()()31031x xb f x b b ⋅-=>⋅+是奇函数，则b =（） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0b >，则函数()()31031x xb f x b b ⋅-=>⋅+的定义域为R ，即()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，则()1001b f b -==+，所以1b =.经检验，当1b =时，()f x 为奇函数，满足题意. 故选：D.5. 设甲盒中有4个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，4个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B 表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（） A. 事件B 与事件C 是互斥事件 B. 事件A 与事件C 是独立事件 C. ()37P C A = D. ()13P A =【答案】C 【解析】【分析】直接用古典概型、条件概率公式求出()P A ，()P B ，()P C A ，()P C B ，()P C ，然后逐项判断即可.【详解】由于甲盒中有6个球，其中有4个红球，2个白球，故()23P A =，()13P B =. 如果从甲盒中取出了红球，则在乙盒中取球时，有3个红球，4个白球，故()37P C A =，如果从甲盒中取出了白球，则在乙盒中取球时，有2个红球，5个白球，故()27P C B =，同时，我们有()23128373721P C =⋅+⋅=.由于()207P C B =>，故A 错误；由于()821P C =，()()()()()3221673763P AC P C A P A P A P C ==⨯=≠=，故B 错误；而()37P C A =，()23P A =，故C 正确，D 错误.故选：C.6. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A. B. 1-C. 2-D. 0【答案】B 【解析】【分析】利用题目条件求出()f x 的解析式，然后讨论()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性即可.【详解】由条件知2A =，ππ2ω=，πsin 012ωϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而2A ω==，πsin 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ,Z 6k k ϕ-=∈，即ππ+,Z 6k k ϕ=∈，又因为π2ϕ<，故π0,6k ϕ==.这说明()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，该函数在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减. 又()π01,12f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-. 故选：B.7. 已知81ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中第六项的系数为7-，则实数a 等于（） A. 1- B. 12-C.12D. 1【答案】C 【解析】【分析】写出展开式的通项，即可求出二项展开式中第六项的系数，从而得到方程，解得即可.【详解】二项式81ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()88188821C C 1rr r r r r r rT x a x x a ---+⎛⎫⎭⋅⋅=-=-⋅ ⎪⎝ 其中08r ≤≤且N r ∈，所以二项展开式中第六项的系数为()35833C 156a a ⋅=--，依题意可得3567a -=-，解得12a =. 故选：C8. 如图，底面ABCD 是边长为2的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ，点P 为圆弧AD 上的动点．当三棱锥P BCD -的体积最大时，二面角P BC D --的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意当三棱锥P BCD -的体积最大时,此时点P 处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面BCP ，平面BCD 的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解.【详解】三棱锥P BCD -的体积与P 到平面BCD 的距离成正比，故当三棱锥P BCD -的体积最大时,此时点P 处于半圆弧的正中间位置.点P 处于半圆弧的正中间位置时，记AD 的中点为O ，以其为原点，,,AB AD OP 分别作为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.平面BCD 显然有法向量()0,0,1m =， ()()()0,0,1,2,1,0,2,1,0P B C -，设(),,n x y z =为平面PBC 的法向量，则该向量与()2,1,1PB =-- 和()2,1,1PC =- 均垂直，所以0n PB n PC ⋅=⋅=，从而220x y z x y z --=+-=.令1x =，解得0,2y z ==，故()(),,1,0,2n x y z == 符合条件，显然二面角P BC D --为锐角，因此所求余弦值为cos,n mn mn m⋅===⋅.故选：D.9. 已知等差数列{}n a中，19a=，43a=，设12||||||n nT a a a=++⋅⋅⋅+，则21T=（）A. 245B. 263C. 281D. 290【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列{}n a的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出【详解】等差数列{}n a中，由19a=，43a=，得公差41241a ad-==--，则1(1)211na a n d n=+-=-+，显然当5n≤时，0na>，当6n>时，0na<，所以2112211256721||||||()()T a a a a a a a a a=++⋅⋅⋅+=+++-+++12512215(91)21(931)2()()228122a a a a a a+-=+++-+++=⨯-=.故选：C10. 已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为1:3，它们的体积之和为4π，则该球的表面积为（）A. 18πB. 16πC. 12πD. 9π【答案】B【解析】【分析】首先根据同底圆锥高的比得到r R=，两个圆锥的高分别是3,22R R，而由它们的体积之和为4π即可求出R，进而得解.【详解】记该截面和球的半径分别为,r R，由于两个圆锥的高之比为1:3，故球心到该截面的距离为2R 2R =，r R =. 而两个圆锥的高分别是3,22R R ，故体积之和22132ππ3223R R V r r R ⎛⎫=⋅⋅+= ⎪⎝⎭.从而23364r R R ==，故r =，2R =. 该球的表面积24π16πS R ==.故选：B.11. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，若F 关于渐近线b y x a =的对称点R 恰好落在渐近线b y x a =-上，则ORF 的面积为（）A. B. 2 C. 3 D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由点F 与点R 关于直线b y x a=对称可得60POF ∠=︒，PO PF ⊥，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】设RF 与渐近线b y x a=的交点为P ，由题意可知2OF =，60POF ∠=︒，PO PF ⊥，所以1PF PO ==，则12212ORF POF S S ==⨯= 故选：A 12. 如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠= ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =，3BF FC = ．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+∈R ，则DM CA ⋅ 等于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】以,BE BF 为基底可表示出BM ，由三点共线可构造方程求得x ，将所求数量积化为()1324BA BC BA BC ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭ ，根据数量积的定义和运算律可求得结果. 【详解】3BE EA = ，3BF FC = ，43BA BE ∴= ，43BC BF = ， 1112422233x DM DC xDA AB xCB BA xBC BE BF ∴=+=+=--=-- ， ()24133BM BD DM BA BC DM BE x BF ∴=+=++=+- ， ,,E M F 三点共线，()241133x ∴+-=，解得：34x =，1324DM BA BC ∴=-- ， ()221311324244DM CA BA BC BA BC BA BA BC BC ⎛⎫∴⋅=--⋅-=--⋅+ ⎪⎝⎭ 84cos 60122=--+= . 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于P 、Q 两点，则PQ =______.【答案】5【分析】由题意求出直线l 的方程，联立方程组，由抛物线的焦点弦公式求解即可.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过F 且斜率为2的直线l 方程为：()21y x =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立()2421y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：2310x x -+=，则123x x +=，所以12325PQ x x p =++=+=.故答案为：5.14. 执行如图的程序框图，如果输入的[]1,5t ∈-，则输出的s 的取值范围是__________．【答案】[]5,9-【解析】【分析】根据题意，由程序框图代入计算，即可得到结果.【详解】由程序框图可知，当11t -≤<时，5s t =，则[)5,5s ∈-，当15t ≤≤时，()22639s t t t =-=--+，当3t =时，s 取得最大值9，当1t =或5t =时，s 取得最小值5，则[]5,9s ∈，综上所述，s 取值范围是[]5,9-.故答案为：[]5,9-15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23a =，21n n n a a a ++=-，则21S =__________．【答案】6 的【分析】根据题意，由递推公式可得数列{}n a 是周期为6的数列，再由60S =代入计算，即可得到结果.【详解】因为12a =，23a =，21n n n a a a ++=-，则3211a a a =-=，4322a a a =-=-，5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=，所以数列{}n a 是周期为6的数列，且61234562312310S a a a a a a =+++++=++---=，所以2136331236S S S a a a ⨯+===++=.故答案为：616. 已知函数()()2e e x x f x x x -=-+，若()()()f a f b f a b <<+，现有下列4个结论：①0ab >；②0ab <；③()0a b b +>；④()0a b a +<．则其中正确的有__________．（填上你认为所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】【分析】先证明()f x 是偶函数，且在[)0,∞+上递增，然后利用()()f m f n <当且仅当m n <，为条件变形，从而进一步分析.【详解】显然()f x 定义域为全体实数，又()()()()()22e e e e x x x x f x x x x x f x ---=--+=-=+-，所以()f x 是偶函数，当0x >时()()()e e 2e e e e 0x x x x x xf x x ---'=+++->->，从而()f x 在[)0,∞+上递增，故()()f m f n <当且仅当m n <，因为()()()f a f b f a b <<+，所以a b a b <<+，显然,a b 同号，所以0ab >，()0a b b +>，()0a b a +>，从而①③正确，②④错误.故答案为：①③.【点睛】关键点点睛：关键是得到()()f m f n <当且仅当m n <，由此即可顺利得解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 为了比较两种治疗高血压的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，随机选取20位患者服用甲药，20位患者服用乙药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均降低的血压数值（单位：mmhg ）．根据记录的数据绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种药的疗效更好？并给出两种理由进行说明；（2）求40位患者在服用一段时间后，日平均降低血压数值的中位数n ，并将日平均降低血压数值超过n 和不超过n 的患者数填入下面的列联表：超过n 不超过n 服用甲药服用乙药（3）根据（2）中的列联表，能否有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异？附：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++， ()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.050k2.072 2.7063.841【答案】（1）乙药的疗效更好，理由见解析（2）18.5n =，列联表见解析（3）没有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异【解析】【分析】（1）根据茎叶图数据分析即可；（2）根据茎叶图数据分析出中位数n ，即可得到列联表；（3）计算出卡方，即可判断.【小问1详解】乙药的疗效更好．参考理由如下：（ⅰ）用各自的平均数说明．设甲药观测数据的平均数为x ，乙药观测数据的平均数为y ，由茎叶图可知，()1986551112121314161718192124252627321620x =+++++++++++++++++++=， ()16121214151518202021212222232324252530322020y =+++++++++++++++++++=，因为x y <，所以乙药的疗效更好．（ⅱ）用茎2和茎3上分布的数据说明．由茎叶图可知，用甲药有30%的患者日平均降低血压数值在20及以上，用乙药有65%的患者日平均降低血压数值在20及以上，所以乙药的疗效更好．（ⅲ）用各自的中位数说明．由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值的中位数为15，用乙药的患者日平均降低血压数值的中位数为21，所以乙药的疗效更好．（ⅳ）用各自的叶在茎上的整体分布说明．由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎1上，且关于茎1大致呈对称分布；用乙药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎2上，且关于茎2大致呈对称分布，又用两种降压药患者日平均降低血压数值都分布的区间[]5,32内，所以乙药的疗效更好．【小问2详解】由茎叶图可知[)0,10内有6个数据，[)30,40内有3个数据，[)20,30内有16个数据，3161920+=<，则中位数位于[)10,20之间，且[)10,20内的数据从小到大排列为11，12，12，12，12，13，14，14，15，15，16，17，18，18，19，所以中位数181918.52n +==．列联表如下：超过n 不超过n 服用甲药713 服用乙药137 【小问3详解】由于()2240771313 3.6 3.84120202020K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异．18. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，D 是斜边AC 上的一点，AB =，=BC ．（1）若60DBC ∠=︒，求ADB ∠和ADB 的面积；（2）若BD =，求CD DA的值．【答案】（1）120ADB ∠=︒ （2）2CD DA= 【解析】【分析】（1）在ADB 中由正弦定理可求ADB ∠，从而确定DBC △是等边三角形，ADB 为等腰三角形，求出边角可得面积.（2）设出DC 长，在BDC 与BDA △中，用双余弦可得CD DA的值. 【小问1详解】由60DBC ∠=︒，90ABC ∠=︒，可得30ABD ∠=︒．在ADB 中，由正弦定理可得si n si n AD AB ABD ADB =∠∠，所以sin ADB ∠= 所以120ADB ∠=︒或60︒，又60DBC ∠=︒，故只能有120ADB ∠=︒．因此，60BDC ∠=︒，又60DBC ∠=︒，所以DBC △是等边三角形，所以DB DC BC ===，又在ADB 中，30ABD ∠=︒，120ADB ∠=︒，故30BAD ∠=︒，所以DA DB ==AB ==，11sin 3024ADB S AD AB =⋅︒== . 【小问2详解】令BDC θ∠=，DC y =，DA x =，则=AB ，在BDC 与BDA △中，由余弦定理可得22262cos 32cos(180)y x x θθ⎧=+-⎪⎨=+-︒-⎪⎩，消去cos θ，得22422y x y x--=，整理得()()220y x xy -+=，所以得2y x =，所以2CD DA=． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB CD ，点E 在棱PB 上，2PE EB =，点F ，H 是棱PA 上的三等分点，点G 是棱PD 的中点．223PC CB CD AB ====，AC =（1）证明：HD ∥平面CFG ，且C ，E ，F ，G 四点共面；（2）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（3）求直线PC 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】【分析】（1）由中位线得FG HD ∥，结合线面平行的判定定理即可证得HD ∥平面CFG ，要证C ，E ，F ，G 四点共面，只需CE FG ∥，只需CE HD ∥，连接HE ，结合条件证明四边形HECD 是平行四边形即可；（2）由勾股定理得BC AB ⊥，由线面垂直的性质得PC AB ⊥，进一步由线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；（3）建立适当的空间直角坐标系，分别求出直线PC 与平面CFG 的方向向量、法向量，由向量夹角的坐标公式即可求解.【小问1详解】因为F ，G 分别为,PH PD 的中点，所以FG HD ∥，又FG ⊂平面CFG ，HD ⊄平面CFG ，所以//HD 平面CFG ．连接HE ，在PAB 中，2PE PH EB HA==，所以HE AB ∥，且23HE AB =，因为AB CD ，23CD AB =，所以CD HE =，且CD HE ∥，所以四边形HECD 平行四边形．所以CE HD ∥，又FG HD ∥，所以CE FG ∥，故C ，E ，F ，G 四点共面．【小问2详解】为由题意可知，3AB =，2BC =，AC =，所以222AB BC AC +=，故BC AB ⊥．又PC ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PC AB ⊥，又,,BC PC C BC PC =⊂ 平面PBC ，故AB ⊥平面PBC ，又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ．【小问3详解】因为PC ⊥平面,ABCD BC ，CD ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥，PC CD ⊥，在平面ABCD 内，AB CD ，AB BC ⊥，所以CD BC ⊥．所以,,CD CB CP 两两互相垂直，以C 为坐标原点，CD的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,0,2P ，()2,0,0D ，()1,0,1G ，()3,2,0A ，241,,33F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量()0,0,2CP = ，()1,0,1CG = ，241,,33CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面CFG 的法向量为(),,m x y z = ，则由00m CG m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得024033x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，可取()2,1,2m =--，设直线PC 与平面CFG 所成角为θ，则42sin cos ,323m CP m CP m CP θ⋅====⨯⋅ ．因此直线PC 与平面CFG 所成角的正弦值为23． 20. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，(10,F 是C的一个焦点，4,3D ⎛- ⎝是C 上一点，R 为C 的左顶点，直线()000y y y =≠与C 交于不同的两点P ，Q ．（1）求C 的方程；（2）直线RP ，RQ 分别交y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点；在x 轴上是否存在点H ，使得π2OHB OHA ∠+∠=，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）22194y x += （2）存在，H 的坐标为()3,0和()3,0-．【解析】【分析】（1）将点D 坐标代入椭圆方程，再结合椭圆的几何性质，解方程组即可求解；（2）设点()00,P x y ，表示出直线RP 的方程，从而得到点A 的坐标，同理得到点B 的坐标，再由π2OHB OHA ∠+∠=得到2OH OA OB =，坐标代入后结合题中条件进一步计算求出点H 的坐标即可求解.【小问1详解】由题意可知，椭圆C的半焦距c =，由222a b c =+得225a b =+，把D 的坐标代入C 的方程得2251619a b +=，由22225,5161,9a b a b⎧=+⎪⎨+=⎪⎩解得3,2,a b =⎧⎨=⎩ 所以C 方程为22194y x +=．【小问2详解】的假设在x 轴上存在点H ，使得π2OHB OHA ∠+∠=．设(),0H m ，由π2OHB OHA ∠+∠=，可知OHB OAH ∠=∠，所以tan tan OHB OAH ∠=∠，即OB OHOH OA =，所以2OH OA OB =．因为直线()000y y y =≠交椭圆C 于P ，Q 两点，则P ，Q 两点关于y 轴对称．设()00,P x y ，()00,Q x y -，（022x -<<，且00x ≠），由题意得()2,0R -，则直线RP 的方程为()0022y y x x =++，令0x =，得0022A y y x =+，直线RQ 的方程为()0022y y x x =+-+，令0x =，得0022B y y x =-+，因为2OH OA OB =，所以2202044y m x =-，又因为()00,P x y 在C 上，所以2200194y x +=，即22004369y x =-，所以2220022004369944y x m x x -===--，得3m =±．当3m =时，由22004369y x =-，得02y == 0022B y OB y x ==-+，0022A y OA y x ==+，所以002tan 332OBOB y OHB OHx ∠====-，00323tan 2OHx OAH OA OA y +∠====，所以tan tan OHB OAH ∠=∠，又OHB ∠，OAH ∠为锐角，所以OHB OAH ∠=∠，所以2OHB OHA OAH OHA π∠+∠=∠+∠=，满足题意，同理当3m =-时，也满足题意．所以，在x 轴上存在点H ，使得2OHB OHA π∠∠+=，且H 的坐标为()3,0和()3,0-．21. 设函数()()2e 2sin 212xf x a x ax a x =+--+．（1）当0a ≤时，讨论()f x 单调性，并证明()1f x ≥；（2）证明：①当x ∈R 时，e 1x x ≥+；②当0x ≥时，sin x x ≥，当0x ≤时，sin x x ≤； ③当14a =时，函数()y f x =存在唯一的零点．【答案】（1）()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，证明见解析（2）①证明见解析；②证明见解析；③证明见解析【解析】【分析】（1）求导得()()e 2cos 412xf x a x ax a '=+--+，令()()g x f x '=，继续求导发现()y g x =即()y f x '=在R 上单调递增，结合()00f '=即可得()f x '的单调性，从而()1f x ≥也可得证；（2）①构造函数()()e 1xh x x =-+，求导得其单调性、最值即可得证； ②构造函数()sin r x x x =-，求导得其单调性即可得证； ③当14a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，()13e cos 22x f x x x =+--'，设()()t x f x '=，则()1e sin 12x x t x '=--，由①、②得()()t x f x '=在[)0,∞+单调递增，然后分类讨论得()f x '在(],0-∞单调递减，从而()()00f x f ''≥=，由此可得()f x 单调，由零点存在定理即可得解.【小问1详解】因为()()2e 2sin 212x f x a x ax a x =+--+，所以()()e 2cos 412xf x a x ax a '=+--+，设()()g x f x '=，则()()e 2sin 4e 2sin 2x xg x a x a a x '=--=-+，所以当0a ≤时，()0g x '>，函数()y g x =在R 上单调递增，的所以()y f x '=在R 上单调递增，又()00f '=，所以当0x <时()0f x '<；当0x >时()0f x ¢>，因此，当0a ≤时，()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()()01f x f =≥．【小问2详解】①设()()e 1x h x x =-+，则()e 1xh x '=-，当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()()00h x h ≥=，即x ∈R 时，e 1x x ≥+．②设()sin r x x x =-，则()1cos 0r x x '=-≥，所以()1cos 0r x x '=-≥在R 上单调递增，且()00r =，所以当0x ≥时，()()00r x r ≥=，即sin x x ≥；当0x ≤时，()()00r x r ≤=，即sin x x ≤． ③当14a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，()13e cos 22x f x x x =+--'，设()()t x f x '=，则()1e sin 12x x t x '=--，当[)0,x ∈+∞时，由①、②，得()11e sin 11sin 122x t x x x x '=--≥+-- 111sin 0222x x x x x =-≥-=≥，所以()()t x f x '=在[)0,∞+单调递增；当(],0x ∈-∞时，（ⅰ）若[]1,0x ∈-，由①知e 1x x ≥+，得e 1x x -≥-，故1e 1x x≤-，又由②知当0x ≤时，sin x x ≤成立，则()()()1111e sin 11021221x x x t x x x x x +'=--≤--=≤--，此时()()t x f x '=单调递减，（ⅱ）若(],1x ∈-∞-，则()111e sin 1102e 2x t x x '=--≤+-<，此时()()t x f x '=单调递减，由（ⅰ）（ⅱ）可知()t x 在(],0-∞单调递减，即()f x '在(],0-∞单调递减．综上，可知当x ∈R 时，()()00f x f ''≥=，所以()f x 在R 上单调递增，又()010f =>，()2π22π2π2πe 2π3πe 6π3πe 3π0f ----=-+<-+=-<，所以根据零点存在定理可知()y f x =在R 上存在唯一零点．【点睛】关键点点睛：第二问③的关键是结合①、②结论得()()t x f x '=在[)0,∞+单调递增，然后分类讨论得()f x '在(],0-∞单调递减，由此即可顺利得解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、33题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的普通方程为()222001,21x y y x y ++=≤≤-≤≤-，曲线2C 的普通方程为()22420,20x y x y +=-≤≤-≤≤．（1）写出2C 的一个参数方程；（2）若直线的极坐标方程为cos sin m ρθρθ+=，且该直线与1C 或2C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】22. 2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，3ππ2α≤≤）23. 0m -≤≤【解析】【分析】（1）由题意直接三角换元结合,x y 范围即可得α的范围，由此即可得解；（2）将直线的极坐标方程转换为普通方程，通过数形结合的方法分类讨论即可求解m 的范围.【小问1详解】2C ：224x y +=，设2cos x α=，2sin y α=，又20x -≤≤，20-≤≤y ，的所以2C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，3ππ2α≤≤）．【小问2详解】把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入cos sin m ρθρθ+=中，得y x m +=，即y x m =-+，数形结合可知，若直线y x m =-+与1C 有公共点，则20m -≤≤，若直线y x m =-+与2C 有公共点，当直线y x m =-+与2C 2，结合图像可知得m =-所以当2m -≤≤-时，直线y x m =-+与2C 有公共点，综上，当0m -≤≤时，直线y x m =-+与1C 或2C 有公共点．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知()22f x x x =++．（1）求不等式()6f x x ≥+的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组(),60,f x y y x ⎧≤⎨--≤⎩所确定的平面区域的面积．【答案】（1）5{|,2x x ≤-或1}x ≥；（2）112. 【解析】【分析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，再分类讨论求解不等式即可；（2）画出不等式组表示的平面区域面积，结合点到直线的距离公式以及三角形面积公式，即可求得结果.【小问1详解】因为()34,24,2034,0x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩，故当<2x -时，346x x --≥+，得52x ≤-，当20x -≤≤时，46x x +≥+，无解，当0x >时，346x x +≥+，得1x ≥；综上，不等式()6f x x ≥+的解集为5{|,2x x ≤-或1}x ≥. 【小问2详解】如图所示，做出不等式组(),60,f x y y x ⎧≤⎨--≤⎩即34,24,2034,060x y x x y x x y x y x --≤<-⎧⎪+≤-≤≤⎪⎨+≤>⎪⎪--≤⎩所确定的平面区域（图中阴影部分），为四边形ABCD ，其中57,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,2B -，()0,4C ，()1,7D ，设直线6y x =+与y 轴的交点为E ，则()0,6E ，所以ABC ACE ECD ABCD S S S S =++四边形△△△，其中11||||21122ECD D S EC x ==⨯⨯=△，1155||||22222ACE A S EC x ==⨯⨯=△．求ABC S 时，以线段BC 为底，点A 到BC 的距离为高h ，又BC ==，h则可求得122ABC S =⨯= ，所以5112122ABCD S =++=四边形．。

高三数学试卷带答案解析

高三数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.如图，程序框图中的算法输出的结果为（）A．B．C．D．2.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A． B． C． D．3.我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升，其三视图如下图所示（单位：寸），若取3，且图x中（寸）．则其体积为A．立方寸B．立方寸C．立方寸D．立方寸4.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种 B．18种 C．36种 D．48种5.已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)6.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球半径为（）A．3B．4C．5D．67.下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知,且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9.已知点，分别为双曲线：的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为A． B． C． D．10.若平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A． B． C． D．11.已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为（）A．B．C．D．12.已知实数集R，集合集合，则A． B． C． D．13.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A． B． C． D．14.等差数列中，为等比数列，且，则的值为（）A．4 B．2 C．16 D．815.函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为A．B．C．D．16.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A．B．C．D．17.已知为等差数列中的第8项,则二项式展开式中的常数项是（）A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项18.已知菱形边长为，，点P满足，．若，则的值为（）A． B． C． D．19.命题“存在”为假命题是命题“”的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件20.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，则（）A．B．C．D．二、填空题21.已知x、y满足，那么z=3x+2y的最大值为 .22.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．23.若方程仅有一个实根，那么的取值范围是▲ .24.若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是．25.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是26.某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A 等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立．记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E(ξ)的值为________．27.已知抛物线的焦点为，准线，是上一点，是直线与的一个交点，若，则__________.28.过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 .29.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n ＞0，则＋的最小值为_________ 30.设是等差数列的前n 项和，且a 1=1,a 11=9,则三、解答题31.已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，.32.（本小题满分12分）已知向量，设函数．（Ⅰ）求在区间上的零点；（Ⅱ）在△中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．33.已知，直线：，椭圆：，分别为椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为．若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围．34.（本小题满分12分）已知函数在点x=1处的切线与直线垂直，且f （-1）=0，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值。

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全国高三高中数学单元试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，为虚数单位，且，则（）A ．，B ．C ．D ．2.（曲线在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（）A ．―9B ．―3C ．9D ．153.（理）复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.（文）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为（） A ．B ．C ．D ．5.i 是虚数单位，若集合S=，则（） A ．B ．C ．D ．6.设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2006(x )＝（）A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx7.函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（）A ．B ．C ．D ．8.．函数y="f(x)" 的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在（） A ．第I 象限B ．第II 象限C ．第Ⅲ象限D ．第IV 象限9.（理）等于（）A ．1B ．C ．D ．10.（文）下列式子中与相等的是（）（1）；（2）；（3）（4）。

A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）11.．对于上的任意函数，若满足，则必有（）A．B．C．D．12.曲线在点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．13.设，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．14.（理）若，令，则的值为（）（其中）A．1B．C．D．15.（文）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．二、填空题1.曲线在点（1，1）处的切线方程为。

2.已知复数：，复数满足，则复数。

3.．曲线在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_ _。

4.在平面直角坐标系xoy中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________三、解答题1.（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。

2.（12分）已知复数满足，复平面内有RtΔABC，其中∠BAC=90°，点A、B、C分别对应复数，如图所示，求z 的值。

3.．（12分）（理）抛物线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．4.（文）如图，从点P 1（0,0）作x 轴的垂线交于曲线y=e x 于点Q 1（0,1），曲线在Q 1点处的切线与x 轴交与点P 2。

再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q I ；P 2，Q 2…P n ，Q n ，记点的坐标为（，0）（k=1,2，…，n ）。

（Ⅰ）试求与的关系（2≤k≤n ）；（Ⅱ）求5.（12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.6.（14分）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明其中和均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。

7.（14分）已知a，b是实数，函数和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致（1）设，若和在区间上单调性一致,求b的取值范围；（2）设且，若和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a―b|的最大值全国高三高中数学单元试卷答案及解析一、选择题1.若，为虚数单位，且，则（）A．，B．C．D．【答案】D【解析】由得：；根据复数相等条件得.故选D2.（曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．―9B．―3C．9D．15【答案】C【解析】略3.（理）复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】略4.（文）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设函数图像上任一点，P关于原点的对称点为，则；因为函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，所以在函数的图像上，则把（1）代入得。

所以的表达式为。

故选D5.i是虚数单位，若集合S=，则（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】略6.设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2006(x )＝（）A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx【答案】B 【解析】，归纳推理可知表达式成周期出现，周期是4，所以。

故选B7.函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】略8.．函数y="f(x)" 的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在（） A ．第I 象限B ．第II 象限C ．第Ⅲ象限D ．第IV 象限【答案】A【解析】解：∵导数的正负决定了原函数的单调性，导数取 0时，函数有极值．∴根据图象可，当x ＜a 时，导数大于0，为增函数，当x ＞a 时，导数小于0，为减函数，当x=a 时，导数等于0，函数有极值，∵由图可知，a ＞0，∴函数y=f （x ）的图象的顶点应该在第一象限或第三象限又∵f （x ）的图象经过原点，∴f （x ）的图象的顶点在第一象限．故选A9.（理）等于（）A ．1B ．C ．D ．【答案】C 【解析】.故选C10.（文）下列式子中与相等的是（）（1）；（2）；（3）（4）。

A ．（1）（2）B ．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）【答案】B【解析】（1）（2）（3）（4）故选B11.．对于上的任意函数，若满足，则必有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，.所以函数在是增函数或常数函数；当时，.所以函数在是减函数或常数函数；所以.故选C12.曲线在点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选B13.设，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，则。

依题意可得，方程在区间内各有一个实数解，所以有，即。

符合条件的点的可行域如下所示：因为目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率，由图可知目标函数在点处取到最大值1，在点处取到最小值。

因为可行域不包含边界，所以，故选D14.（理）若，令，则的值为（）（其中）A．1B．C．D．【答案】C【解析】令，则有，从而可得。

因为，所以，所以或。

则当时，；当时，；当时，。

故选C15.（文）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由海伦公式，其中。

因为三角形周长已知，即为定值为，所以当取到最大值时三角形面积最大。

因为为定值，所以由均值不等式可知当时取到最大值，此时，不存在这样的情况，因此只能尽可能接近，所以当三角形边长为3+4=7,2+5=7和6时，得到的三角形面积最大，为，故选B二、填空题1.曲线在点（1，1）处的切线方程为。

【答案】x+y－2=0【解析】2.已知复数：，复数满足，则复数。

【答案】【解析】因为：，复数满足，所以从而。

3.．曲线在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_ _。

【答案】【解析】因为的导数为，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为，切线方程为，切线横截距为，交于（2,4），所以曲线在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为=。

4.在平面直角坐标系xoy中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________【答案】【解析】三、解答题1.（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。

【答案】设，则，∵，∴【解析】略2.（12分）已知复数满足，复平面内有RtΔABC ，其中∠BAC=90°，点A 、B 、C 分别对应复数，如图所示，求z 的值。

【答案】解法一：由，得A 点坐标为（a ，b ）。

由，得B 点坐标为（）由，得B 点坐标为（）再有，且可得得。

解法二：容易验证恒成立，由于，即为，将其变形为，化简得，从而得到。

【解析】略3.．（12分）（理）抛物线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．【答案】（理）解：依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以(1)又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax 2＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2＋16a=0．于是代入（1）式得：，；令S'(b)=0；在b ＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b ＜3时，S'(b)＞0；当b ＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S 取得最大值，且。

【解析】略4.（文）如图，从点P 1（0,0）作x 轴的垂线交于曲线y=e x 于点Q 1（0,1），曲线在Q 1点处的切线与x 轴交与点P 2。