北京市门头沟区2021届新高考数学二模考试卷含解析
北京市门头沟区2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A ．3B ．3-C ．3±D ．13【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】1cos 3α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 3α∴===()sin sin 3παα∴+=-=-本题正确选项：B 【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．2．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 BC ．D 【答案】B 【解析】 【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线by x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率.【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bcy x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bcb a a kc a b-==-=-，222b a ∴=，因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题.3．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ） A ．54B ．5 CD【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案． 【详解】由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，2=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C的离心率为c e a ===C ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 4．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项. 【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭,cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数， 故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<，所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B,故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.5．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】B 【解析】根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）B （丁）C （乙）； A （甲，丁）B （丙）C （乙）； A （甲）B （丙，丁）C （乙）；A （甲）B （丁）C （乙，丙）；A （甲）B （丙）C （丁，乙）；共7种，选B. 6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c，已知1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或120【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可求得sin 2A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】 由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=，解得sin A =，又0180A <<，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。
故选：D. 【点睛】本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.7．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥ D ．{}|524x x ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 【详解】解：∵2650x x -+->，解得15x << ∴{}|15B x x =<<，∴{}|524AB x x =≤≤.故选：D 【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题. 8．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则AB 等于（ ）A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<< D ．{}25x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得A B .【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．αβ⊥且m α⊂ B ．//m n 且n β⊥ C ．αβ⊥且//m α D ．m n ⊥且//n β【答案】B 【解析】由//m n 且n β⊥可得m β⊥，故选B.10．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称可得()f x 为奇函数，结合()()2f x f x +=-可得()f x 是周期为4的周期函数，利用()00f =及()14f =可得所求的值. 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以()y f x =的图象关于原点对称， 所以()f x 为R 上的奇函数.由()()2f x f x +=-可得()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=， 故()f x 是周期为4的周期函数.因为20164504,201745041,201845042=⨯=⨯+=⨯+，所以()()()()()()()20162017201012428f f f f f f f +=+=+++. 因为()()2f x f x +=-，故()()()02000f f f +=-=-=， 所以()()()2016201720148f f f +=+. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R 上的函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，那么()f x 是周期为2a 的周期函数，本题属于中档题.11．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数. 【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即5x =±，当5x =-时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解⎝⎭.故A B ⎧⎫⎪⎪⋂=⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C.本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.12．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．13± B．3±C ．±1 D．±【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2px my =-，由题意得出212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】由题意可知点,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-， 由于点A 是BC 的中点，则212y y =， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，2222121829m p y y y p ===，解得4m =±， 因此，直线l的斜率为13m =±. 故选：B. 【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． (x ＋y)(2x －y)5的展开式中x 3y 3的系数为________. 【答案】40 【解析】 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．设1ln ()x f x x+=，若关于x 的方程2()2f x x x k =-+有实数解，则实数k 的取值范围_____． 【答案】(,2]-∞ 【解析】 【分析】 先求出2()lnxf x x '=-，从而得函数()f x 在区间(0,1)上为增函数；在区间(1,)+∞为减函数．即可得()f x 的最大值为()11f =，令2()2g x x x k =-+，得函数()g x 取得最小值()11g k =-，由2()2f x x x k =-+有实数解，11k -，进而得实数k 的取值范围． 【详解】 解：2()lnxf x x '=-， ∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，)0f x '<； ∴函数()f x 在区间(0,1)上为增函数；在区间(1,)+∞为减函数．所以()f x 的最大值为()11f =， 令2()2g x x x k =-+，所以当1x =时，函数()g x 取得最小值()11g k =-，又因为方程2()2f x x x k =-+有实数解，那么11k -，即2k ，所以实数k 的取值范围是：(,2]-∞． 故答案为：(,2]-∞ 【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.15．已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D 为垂足，且||||FD OF =（O 为坐标原点），则C 的离心率为________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出焦点到渐近线的距离就可得到,,a b c 的等式，从而可求得离心率． 【详解】由题意(c,0)F ，一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，∴ FD b ==，由||||FD OF =得b =，∴222234b c c a ==-，224c a =，∴2ce a==． 故答案为：2. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于,,a b c 的等式． 16．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =上，则cos(2)2πα+的值等于______________ .【答案】45- 【解析】 【分析】根据题意可得sin 2cos αα=，再由22sin cos 1αα+=，即可得到结论. 【详解】由题意，得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，解得cos α=，当cos 5α=时，则sin 5α=，此时4cos 2sin 222555παα⎛⎫+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭；当cos α=时，则sin α=，此时4cos 2sin 2225παα⎛⎛⎛⎫+=-=-⨯⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，4cos 225πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故答案为：45-. 【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。
北京市门头沟区2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
北京市门头沟区2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数||()()x f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(212),e eB ．(20,)2e eC ．(11,1)e+D ．21,12()ee+ 【答案】D 【解析】 【分析】讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】当0x >时，()x f x =，故'()2x f x xe =，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且1222e f e⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =； 当0x <时，()xx f x e-=，'()02x f e x x =-<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则120122e m f e ⎛⎫<-<= ⎪⎝⎭，故2()21,1e em +∈. 故选：D .【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.2．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 3．设实数满足条件则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.4．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅u u u r u u u u r的取值范围为（ ） A ．[]0,8 B ．[]0,9 C ．[]1,8 D ．[]1,9【答案】A 【解析】 【分析】由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得()()212121212129AB MN O O AO O B O O AO O B AO O B -⎡⎤⋅=++⎡⎤⋅=⎣⎦-⎣⎦++u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u u u u r u u u u r u v u u u r u u u v u ，结合12AO O B +u u u u v u u u u v的范围即可求解【详解】 如图，()()()()1122112212121212AB MN AO O O O B MO O O O N O O AO O B O O AO O B ⎡⎤⎡⎤⋅⎣⎦⎣⎦⋅=++⋅++=++-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r 2221212129O O AO O B AO O B =-+=-+u u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v 其中[][]1221,211,3AO O B +∈-+=u u u u v u u u u v ，所以[]2293,910,8AB MN ⋅∈-⎡⎤⎣-=⎦u u u r u u u u r .故选：A 【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题5．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）A 5πB 25πC 45πD 85π【答案】C 【解析】 【分析】设1B B 的中点为H ，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出BM ⊥平面DCH ，这样可以确定动点P 的轨迹，最后求出动点P 的轨迹的长度.【详解】设1B B 的中点为H ，连接,CH DH ，因此有CH BM ⊥，而DC MB ⊥，而,DC CH ⊂平面CDH ，DC CH C =I ，因此有BM ⊥平面DCH ，所以动点P 的轨迹平面DCH 与正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的交线. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以内切球O 的半径为1R =，建立如下图所示的以D 为坐标原点的空间直角坐标系：因此有(1,1,1),(0,2,0),(2,2,1)O C H ，设平面DCH 的法向量为(,,)m x y z =u r，所以有200(1,0,2)2200y m DC m DC m x y z m DH m DH ⎧⎧=⎧⊥⋅=⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨++=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u u uv u u u u v v v ，因此O 到平面DCH 的距离为：55m OD d m⋅==u r u u u r u r ，所以截面圆的半径为：2225r R d =-=，因此动点P 的轨迹的长度为4525r π=. 故选：C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.6．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 7．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A ．12πB ．3π C ．6π D ．9π 【答案】C 【解析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C. 【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-【答案】D 【解析】根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】 依题意，()()183********a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233a a d -==-，故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力. 10．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ） A．2-B ．1C ．0D．【答案】B 【解析】 【分析】())2,4f x x π=++,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32444x πππ-≤+≤利用整体换元法求最小值.【详解】由已知，2()12sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=++)2,4x π=++又44x ππ-≤≤，32444x πππ∴-≤+≤，故当244x ππ+=-，即4πx =-时，min ()1f x =.故选：B. 【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题. 11．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.12．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市门头沟区2021届新高考数学考前模拟卷(2)含解析
北京市门头沟区2021届新高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞U 上恰有三个不相等的实根，即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①.因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x axa x x-=-. 所以方程ln 4220ln x axa x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln x t x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，则上述方程转化为()()4220a t x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()21ln xt x x-'=，当()()0,11,x e ∈U 时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<. 故选：B.本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题. 2．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．40【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()()()()555212222222x x x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】()()()()555212222222x x x x x =⋅-----展开式中8x 的项为()()232332552C 22C 221208x xx x---=⨯.故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.3．已知复数1cos23sin 23z i =+oo和复数2cos37sin37z i =+oo，则12z z ⋅为A ．122- B ．122i + C ．122i + D ．122i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝122+． 故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 4．已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】构造函数()()11ln1x F x f x x x +=-=+-，由101xx+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111lnln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭，所以()F x 为奇函数，而()12lnln 111x F x x x x x +⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以1011102111a a a a a ++>⎧⎪-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.5．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C 【解析】 【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C.此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目. 6．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故z = A.7．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A 【解析】 【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥， 所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A．BC． D【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos ,BE PD BE PD BE PD⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】Q PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C，(P ，()0,2,0D ，Q E 为PC 的中点，∴E ⎛ ⎝⎭.∴BE ⎛=- ⎝⎭u u u r，(0,2,PD =u u u r ，∴1132cos,133BE PDBE PDBE PD-⋅===-⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r，∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为cos,BE PDu u u r u u u r即为13.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.10．ABC∆中，5BC=D为BC的中点，4BADπ∠=，1AD=，则AC=（）A．5B．2C．65D．2【答案】D【解析】【分析】在ABD∆中，由正弦定理得10sin B=5cos cos4ADC Bπ⎛⎫∠=+=⎪⎝⎭，在ADC∆中，由余弦定理可得AC.【详解】在ABD∆中，由正弦定理得sin sin4AD BDBπ=，得10sin10B=，又BD AD>，所以B为锐角，所以310cos B=5cos cos4ADC Bπ⎛⎫∴∠=+=⎪⎝⎭在ADC∆中，由余弦定理可得2222cos4AC AD DC AD DC ADC=+-⋅∠=，2AC∴=.故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.11．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表， 所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱.故选:D 【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.12．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10 B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析
2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新高考2卷）注意事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号。
用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。
不要在试卷上作答。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案。
不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
单选题：1.复数2-i在复平面内对应的点所在的象限为（）。
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B的结果为（）。
A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（）。
A．1 B．2 C．22 D．44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，其中地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km。
将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。
地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1-cosα)（单位：km2）。
则S占地球表面积的百分比约为（）。
A．26% B．34% C．42% D．50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）。
A．20+123 B．282 C．56√3/2 D．282√3/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ)，下列结论中不正确的是（）。
2021北京市门头沟区2二模数学试卷(word版含答案)
2021北京市门头沟区2二模数学试卷(word版含答案)门头沟区2021年初三年级综合练习（二）数学试卷2021.6考生须知1．本试卷共10页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟；2．在试卷和答题卡的密封线内准确填写学校名称、班级和姓名；3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答；5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．在2021政府工作报告中，总理多次提及大数据、人工智能等关键词,经过数年的爆发式发展，我国人工智能在2021年迎来发展的“应用元年”，预计2020年中国人工智能核心产业规模超1500亿元，将150 000 000 000用科学计数法表示应为 A ．1.5×102B ．1.5×1010C ．1.5×1011D ．1.5×10122．如果代数式221x x -+的结果是负数，则实数x 的取值范围是A ．2x >B ．2x <C ．1x ≠-D ．21x x <≠-且3. 下列各式计算正确的是A ．3423a a a += B ．236a a a ⋅= C ．624a a a ÷= D ．238()a a =4.边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO 的度数为A ．24︒B ．48︒C ． 60︒D ． 72︒5．右图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图A ．B ．B OAC ．D ．6．数轴上分别有A 、B 、C 三个点，对应的实数分别为a 、b 、c 且满足，a c >，0b c ⋅<，则原点的位置 A ．点A 的左侧 B ．点A 点B 之间 C ．点B 点C 之间D ．点C 的右侧7. 如图，已知点A ，B ，C ，D 是边长为1的正方形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，以下的树状图是所有可能发生的结果，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为1的线段的概率为A ．14B ．13C ．12 D ．238.某中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选cb aA B CCABE O 手在200米的环形跑道上进行，下图记录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步全过程（两人都跑完了全程），其中x 代表的是最快的选手全程的跑步时间，y 代表的是这两位选手之间的距离，下列说不合理的是A ．出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次；B ．出发后最快的选手与最慢的选手第一次相遇比 第二次相遇的用时短；C ．最快的选手到达终点时，最慢的选手还有415米未跑；D ．跑的最慢的选手用时446′″.二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．两个三角形相似，相似比是12,如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是______. 10． 写出一个不过原点，且y 随x 的增大而增大的函数_________. 11. 如果23410a a +-=，那么2(21)(2)(2)a a a +--+的结果是 ．12.某生产商生产了一批节能灯，共计10000个，为了测试节能灯的使用寿命（使用寿命大于等于6000小时为合格产品），从中随机挑选了100个产品进行测试，有5个y xC OAB 446（′″， 15）不合格产品，预计这批节能灯有_________个不合格产品.13. 如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE =2，AB =8，则OB 的长为________．14. 某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用了12000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x 元，可列方程为_____________________.15. 如图：已知Rt ABC ，对应的坐标如下，请利用学过的变换（平移、旋转、轴对称）知识经过若干次图形变化，使得点A 与点E 重合、点B 与点D 重合，写出一种变化的过程_____.16. 以下是通过折叠正方形纸片得到等边三角形的步骤xEDCBA O取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图，先把正方形ABCD 对折，折痕为MN ； 第二步：点E 在线段MD 上，将△ECD 沿EC 翻折，点D 恰好落在MN 上，记为点P ，连接BP 可得△BCP 是等边三角形问题：在折叠过程中，可以得到PB=PC ； 依据是________________________. 三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：()0323232cos30π-+-+︒． 18. 解不等式组：30229+2.xx x ⎧-⎪⎨⎪+⎩≤，≤4(）19．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在CB 边上，∠DAB =∠B ，点E 在AB 边上且满足 E PNM BA D DB∠CAB =∠BDE . 求证： AE =BE .20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x =与反比例函数k y x =（k ≠0）的图象相交于点(2,2)M . （1）求k 的值；（2）点(0,)P a 是y 轴上一点，过点P且平行于x 轴的直线分别与一次函数y x =、反比例函数k y x=的图象相交于点1(,)A x b 、2(,)B x b ，当12x x <时，画出示意图并直接写出a 的取值范围.21．如图，以BC 为底边的等腰△ABC ，点D ，E ，G分别在BC ，AB ，AC 上，且EG ∥ BC， F G EyxM (2,2)ODE ∥AC ，延长GE 至点F ，使得BF =BE ． （1）求证：四边形BDEF 为平行四边形； （2）当∠C =45°，BD =2时，求D ，F 两点间的距离.22．已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)axa x a a --+-=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且212y ax x =-，求这个函数的表达式．23.如图，BC 为⊙O 的直径，CA 是⊙O 的切线，连接AB 交⊙O 于点D ，连接CD ∠BAC 的平分线交BC 于点E ，交CD 于点F ． （1）求证：CE =CF ；（2）若BD =43DC ，求DFCF的值． EFDO BA24. 在“朗读者”节目的影响下，某中学在暑期开展了“好书伴我成长”读书话动，并要求读书要细读，最少要读完2本书，最多不建议超过5本。
2021北京门头沟初三二模数学(教师版)
2021北京门头沟初三二模数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．（2分）如图，是某几何体的三视图，则该几何体是( )A ．长方体B ．正方体C ．三棱柱D ．圆柱2．（2分）在学习强国平台中，5月16日发布的“第一观察−−天问落火”栏目的阅读量截止到5月17日中午，就已经达到了10895538人次，将10895538精确到万，得( ) A ．1089 B ．1090C ．1089万D ．1090万3．（2分）若代数式||11x x −+值为零，则( ) A ．1x =−B ．1x =C ．1x =±D ．1x ≠4．（2分）有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是( )A ．B ．C ．D ．5．（2分）方程组13x y x y +=⎧⎨−=⎩的解为( )A ．41x y =⎧⎨=⎩B ．32x y =⎧⎨=−⎩C ．21x y =⎧⎨=−⎩D ．21x y =−⎧⎨=⎩6．（2分）线段OA 以点O 为旋转中心，逆时针旋转60︒，得到1OA ，再将1OA 以点O 为旋转中心逆时针旋转60︒得到2OA ，依此操作直到点n A 与点A 重合为止，顺次连接点A 、11n A A −⋯形成的多边形是( )A．正四边形B．正五边形C．正六边形D．正七边形7．（2分）如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是()A．15B．310C．25D．128．（2分）如图，是函数(1)(2)(3)(04)y x x x x=−−−的图象，通过观察图象得出了如下结论：（1）当3x>时，y随x的增大而增大；（2）该函数图象与x轴有三个交点；（3）该函数的最大值是6，最小值是6−；（4）当0x>时，y随x的增大而增大．以上结论中正确的有()个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）3−的倒数是．10．（22(1)0n+=，则m n+=．11．（2大的最小整数是．12．（2分）如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么ECD EDC∠+∠=︒．13．（2分）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若2DE cm =，则BC = cm ．14．（2分）若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为 ． 15．（2分）一个函数满足过点(0,1)，且当0x >时，y 随x 的增大而减小，该函数可以为 ． 16．（2分）某单位设有6个部门，共153人，如表：10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如表：综上所述，未能及时参与答题的部门可能是 ．三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（5分）计算：021|(2021)2sin 60()3π−−+−︒+．18．（5分）解分式方程：12211xx x +=−+． 19．（5分）已知：如图，AB DE =，AF DC =，请补充一个条件可以得到BC EF =． 补充的条件： ．20．（5分）已知20x y −=，求222()2x yx y x xy y+⋅−−+的值． 21．（5分）已知，如图，直线l 及直线外一点P ． 求作：过点P ，作直线l 的平行线．下面是一种方案的作法：①在直线l 上取一点A ，以点A 为圆心，AP 为半径作弧交直线于点B ； ②分别以点B 、点P 为圆心，AP 为半径作弧两弧交于点C ； ③作直线PC ；直线PC 为所求作的直线．（1）利用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接PA 、PC 、BC ． 由①可得，PA AB =． 由②可得，PC BC PA ==． PC BC PA AB ∴===，∴ ，（填依据： ) //PC l ∴．22．（6分）已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，过点A 作BC 的平行线，过点B 作AD 的平行线，两线交于点E ，连接DE 交AB 于点O ． （1）求证：四边形ADBE 是矩形； （2）若8BC =，52AO =，求四边形AEBC 的面积．23．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象过点(2,2)P ． （1）求k 的值；（2）一次函数y x a =+与y 轴相交于点M ，与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点N ，过点M 作x 轴的平行线，过点N 作y 轴的平行线，两平行线相交于点Q ，当122MNQ S ∆时，通过画图，直接写出a 的取值范围．24．（6分）已知，如图，在ABC∆中，D是AB边上一点，O过D、B、C三点，直线AC是O的切线，OD AC．//（1）求ACD∠的度数；（2）如果75∠=︒，O的半径为2，求BD的长．ACB25．（5分）2021年是中国共产党建党100周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学举行了一次“党史知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初一、初二两个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩分别进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．a．初一年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：x<，8090x<，90100)x<，70804050x<，5060x<，6070x<；x<这一组的是：b．初一年级学生竞赛成绩在809080 81 81 82 82 84 86 86 86 88 88 89c．这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如表：（1）写出表中m的值；（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是（填“初一”或“初二” )，理由是．（3）已知该校初一年级有学生400人，估计该校初一年级学生竞赛成绩超过85的人数．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x bx =−+的对称轴为直线2x =． （1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点(0,)P n ，过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，其中12x x <． ①当213x x −=时，结合函数图象，求出n 的值；②把直线PB 上方的函数图象，沿直线PB 向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在05x 时，满足44y −，求n 的取值范围．27．（7分）已知，如图，90MAN ∠=︒，点B 是MAN ∠的内一点，且到AM ，AN 的距离相等．过点B 做射线BC 交AM 于点C ，将射线BC 绕点B 逆时针旋转90︒交AN 于点D ． （1）依题意补全图形； （2）求证：BC BD =；（3）连接AB ，用等式表示线段AB ，AC ，AD 之间的数量关系，并证明．28．（7分）在ABC ∆中，点P 是BAC ∠的角平分线AD 上的一点，若以点P 为圆心，PA 为半径的P 与ABC ∆的交点不少于4个，点P 称为ABC ∆关于BAC ∠的“劲度点”，线段PA 的长度称为ABC ∆关于BAC ∠的“劲度距离”．（1）如图，在BAC ∠平分线AD 上的四个点1P 、2P 、3P 、4P 中，连接点A 和点 的线段长度是ABC ∆关于BAC ∠的“劲度距离”．（2）在平面直角坐标系中，已知点(0,)M t ，(4,0)N ．①当5t =时，求出MON ∆关于MON ∠的“劲度距离” 1d 的最大值．222d 内至少有一个值是MON ∆关于MON ∠的“劲度距离”，请直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】根据长方体，正方体，三棱柱，圆柱的三视图，逐一排除即可．【解答】解：A．长方体的三视图可以为：主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是正方形，故该选项正确，符合题意；B．正方体的三视图都是正方形，故该选项错误，不符合题意；C．三棱柱的俯视图是三角形，故该选项错误，不符合题意；D．圆柱的俯视图是圆，故该选项错误，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是熟悉常见几何体的三视图．2．【分析】精确到万位数约是几万，就是用四舍五入法求近似数精确到万位，就是看万位后面的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字，据此写出．【解答】解：108955381090≈万，故选：D．【点评】本题主要考查整数的改写，注意改写要带计数单位．3．【分析】根据分式值为0时分子为0，分母不为0列式计算可求解．【解答】解：由题意得||10x−=，10x+≠，解得1x=，故选：B．【点评】本题主要考查分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．4．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．【解答】解：图①和图②中的虚线折痕是正方形卡纸的两条水平和铅直的对称轴，由图3可知，正方形卡纸被分成了4个大小相同的小正方形，沿虚线将一角剪掉，表面看是剪掉了一个直角三角形，实际是剪掉了一个菱形．故选：D．【点评】本题主要考查了剪纸问题，考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．5．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：方程组13x yx y+=⎧⎨−=⎩①②，①+②得：24x=，解得：2x=，①−②得：22y=−，解得：1y=−，则方程组的解为21xy=⎧⎨=−⎩．故选：C．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6．【分析】由于每次的旋转角均为60︒，因为360606︒÷︒=，所以操作6次后，6A 与A 重合，操作停止．由于每次的旋转半径相同，都是OA ．故顺次连接点A 、15A A ⋯形成的多边形是正六边形． 【解答】解：由题意：每次的旋转角均为60︒， 360606︒÷︒=，∴操作6次后，6A 与A 重合．每次的旋转半径均为OA ，∴顺次连接点A 、15A A ⋯形成的多边形是正六边形．故选：C ．【点评】本题主要考查了图形的变化的规律，正多边形和圆．正确使用正多边形的概念是解题的关键． 7．【分析】利用列表法，列出表格指出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论． 【解答】解：两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘， ∴指针落在每个数字上的可能性是相同的．依据题意列树状图如下：从图中可以看出共有20中等可能，其中指针都落在奇数上的可能有6种， ∴指针都落在奇数上的概率是：632010=． 故选：B ．【点评】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．选择合适的方法正确找出所有的等可能是解题的关键． 8．【分析】利用函数的图象和函数的增减性的特征对每一个选项进行分析判断得出结论． 【解答】解：由图象可以看出在直线3x =的右侧，y 随x 的增大而增大， ∴（1）当3x >时，y 随x 的增大而增大，符合题意；观察图象，该函数图象与x 轴的交点有：(1,0)，(2,0)，(3,0)， ∴（2）该函数图象与x 轴有三个交点，符合题意；04x ，∴当0x =时，函数取最小值6−，当4x =时，函数取最大值6， ∴（3）该函数的最大值是6，最小值是6−，符合题意；观察图象可得：1.5 2.5x <<时，y 随x 的增大而减小， ∴（4）当0x >时，y 随x 的增大而增大，不符合题意；综上，以上结论正确的有：（1），（2），（3）． 故选：C ．【点评】本题主要考查了函数的图象，函数的增减性，图象与x 轴的交点，函数的极值．充分利用函数的图象，利用数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 【解答】解：3−的倒数是13−．故答案为：13−．【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 10．【分析】根据非负数的性质列出方程，解方程求出m 、n 的值，计算即可．【解答】解：2(1)0n +=20，2(1)0n +，20m ∴−=，10n +=，解得，2m =，1n =−， 则211m n +=−=， 故答案为：1．【点评】本题考查了算术平方根和完全平方的非负数性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．11．的大小即可求解． 【解答】解：479<<，23∴<<∴大的整数中，最小的是3．故答案为：3．的范围是解答本题的关键． 12．【分析】根据正方形网格特征，判断90AEB ∠=︒，利用对顶角相等，即可求解． 【解答】解：根据网格为正方形， 454590AEB ∴∠=︒+︒=︒． 90AEB CED ∴∠=∠=︒．90ECD EDC ∴∠+∠=︒故答案为：90．【点评】本题考查了直角三角形的判定和性质，关键在于利用直角三角形的两个锐角互余．属于基础题． 13．【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有12DE BC =，从而求出BC ． 【解答】解：D 、E 分别是AB 、AC 的中点．DE ∴是ABC ∆的中位线，2BC DE ∴=， 2DE cm =，224BC cm ∴=⨯=．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．14．【分析】若两圆相切，分内切和外切，若为内切，则圆心距为两半径之差；若为外切，则圆心距为两半径之和．【解答】解：当为内切时，圆心距为312−=；当两圆外切时，圆心距为314+=．故答案为：2或4．【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：外离()d R r >+、内含()d R r <−、相切（外切：d R r =+或内切：)d R r =−、相交()R r d R r −<<+．15．【分析】若函数为一次函数时，当0x >，y 随x 增大而减小，说明0k <，只要满足0k <的值即可，把(0,1)代入解析式可得函数解析式． 【解答】解：当0x >时，y 随x 的增大而减小，0k ∴<，可设1k =−，过点(0,1)，∴设函数解析式为(0)y kx b k =+≠，将1k =−，(0,1)代入得1b =，1y x ∴=−+，故答案为1y x =−+（答案不唯一，需满足0k <即可）．【点评】本题考查函数解析式，解本题的关键是掌握一次函数的性质．16．【分析】各分数人数比为5:2:1:1:1，可以求出100分占总人数12，90分占总人数15，80、70、60分占总人数的110，即各分数人数为整数，总参与人数应该为10的倍数，6个部门总有有153人，即未参加部分人数个位数有3，即可求得结果．【解答】解：各分数人数比为5:2:1:1:1，即100分占总参与人数的51521112=++++， 80、70、60分占总参与人数的115211110=++++， 各分数人数为整数，即110⨯总参与人数=整数， ∴总参与人数是10的倍数，6个部门有153人，即251623324314153+++++=人，则未参与部门人数个位一定为3，∴未参与的可能是3或5．【点评】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识．三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】首先计算绝对值、零指数幂、特殊的三角函数和负整数指数幂，然后计算加减法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：021|(2021)2sin 60()3π−−+−︒+1292=−⨯+ 8=． 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．【分析】本题的最简公分母是(1)(1)x x +−，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．【解答】解：方程两边都乘(1)(1)x x +−，得：(1)2(1)2(1)(1)x x x x x ++−=+−，解得：3x =．检验：当3x =时，(1)(1)0x x +−≠．所以原方程的解是3x =．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．（3）分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．19．【分析】根据全等三角形的判定和性质，即可补充条件．【解答】解：补充条件：A D ∠=∠．证明过程：AF DC =．AF FC DC CF ∴+=+．即：AC DF =．在ABC ∆与DEF ∆中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．()ABC DEF SAS ∴∆≅∆．BC EF ∴=．故答案为：A D ∠=∠．【点评】本题考查三角形的全等的判定和性质，关键在于熟悉全等三角形判定的条件．20．【分析】先把分式的分子因式分解得到原式22()()x y x y x y +=⋅−−，约分后得2x y x y +−，然后把2x y =代入计算即可． 【解答】解：原式22()()x y x y x y +=⋅−− 2x y x y+=−， 20x y −=，2x y ∴=， ∴原式452y y y y+==−． 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，然后约分得到最简分式或整式，再把满足条件的字母的值代入（或整体代入）进行计算即可．21．【分析】（1）根据要求作出图即可；（2）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．【解答】解：（1）如图：（2）证明：连接PA 、PB 、BC ，由①可得，PA PB =，由②可得，PC BC PA ==，PC BC PA AB ∴===，∴四边形ABCP 为菱形（四边相等的四边形为菱形）， //PC l ∴，故答案为：（1）作图见解答；（2）四边形ABCP 为菱形，（填依据：四边相等的四边形为菱形）．【点评】本题考查作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．【分析】（1）只要证明四边形ADBE 是平行四边形，且90ADB ∠=︒，即可；（2）求BD 、AB ，利用三角形面积公式可得ABC ABE AEBC S S S ∆∆=+四边形．【解答】解：（1）//AE BC ，//BE AD ，∴四边形ADBE 是平行四边形，AB AC =，AD 是BC 边的中线，AD BC ∴⊥，即90ADB ∠=︒．∴四边形ADBE 为矩形．（2）在矩形ADBE 中，52AO =，5DE AB ∴==， D 是BC 的中点，4AE DB ∴==，90ADB ∠=︒，根据勾股定理3AD =，11831222ABC S BC AD ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 1143622ABE S AE BE ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 12618ABC ABE AEBC S S S ∆∆∴=+=+=四边形，即AEBC S 四边形为18．【点评】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．23．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）当12MNQ S ∆=时，则1MQ NQ ==，则N 的横坐标为1，即(1,4)N ；当2MNQ S ∆=时，则2MQ NQ ==，则N 的横坐标为2，即(2,2)N ，据此即可得出a 的取值范围．【解答】解：（1）反比例函数k y x=的图象过点(2,2)P ． ∴22k =， 解得4k =；（2）作图可知， 当12MNQ S ∆=时，90Q ∠=︒，45NMQ ∠=︒， MQ NQ ∴=，∴1122MQ NQ ⋅=， 1MQ NQ ∴==，(1,1)N a ∴+，1(1)4a ∴⨯+=，3a ∴=，当2MNQ S ∆=时，90MQN ∠=︒，45NMQ ∠=︒，MQ NQ ∴=， ∴122MQ NQ ⋅=， 2MQ NQ ∴==，(2,2)N a ∴+，2(2)4a ∴⨯+=，0a ∴=，综上所述03a ．【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．24．【分析】（1）由切线的性质可得90OCA ∠=︒，由等腰三角形的性质可求解；（2）由等腰直角三角形的性质可求DC ，由直角三角形的性质可求DE ，即可求解．【解答】解：（1）直线AC 是O 的切线，90OCA ∴∠=︒，//OD AC ，180DOC OCA ∴∠+∠=︒，90DOC ∴∠=︒，OD OC =，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45ACD ACO OCD ∠=∠−∠=︒；（2）作DE BC ⊥于点E ．2OD OC ==，90DOC ∠=︒，∴CD =，75ACB ∠=︒，45ACD ∠=︒，30BCD ∴∠=︒，90DEC ∴∠=︒，DE ∴=，45B ∠=︒，2DB ∴=．【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25．【分析】（1）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是初二，因为初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；（3）从样本中可得初一年级学生竞赛成绩超过85的人数是61824+=，然后用样本去估计总体即可．【解答】解：（1）(8284)283m =+÷=；（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是初二．理由如下：初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；故答案为：初二，初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；（3）解：2440019250⨯=（人)． 【点评】本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，加权平均数，中位数，众数，方差，解决本题的关键是掌握以上知识．26．【分析】（1）由对称轴为直线22b x −=−=，可求b 的值； （2）①由题意可得3AB =，由对称性可求点A ，点B 横坐标，代入解析式可求解；②先求出顶点坐标，由图象和x ，y 的取值范围，可求解．【解答】解：（1）抛物线23y x bx =−+的对称轴为直线2x =，22b −∴=−， 4b ∴=；（2）①4b =，∴抛物线的表达式为243y x x =−+，直线AB y ⊥轴，//AB x ∴轴，213x x −=，3AB ∴=．对称轴为直线2x =，∴点A 的横坐标为12，点B 的横坐标为72， ∴当12x =时，54y n ==． ②如图，2243(2)1y x x x =−+=−−，∴顶点坐标为(2,1)−，当4y n ==时，05x 时，14y −；当2y n ==时，05x 时，42y −；n ∴的取值范围为24n ．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，图形的翻折变换等知识，利用数形结合思想解决问题是解决本题的关键．27．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）证明线段相等，通常证明这两条线段所在的三角形全等，根据AAS 证明BEC BFD ∆≅∆即可；（3）过B 作BG AB ⊥交AN 于点G ，证明ABC GBD ∆≅∆就可以把AC 转移到DG ，AC AD AG +=，而ABG ∆是等腰直角三角形，即可得出答案．【解答】解：（1）依题意补全图形，如图所示；（2）证明：过B 作BE AM ⊥，BF AN ⊥，垂足分别为E ，F ，则BE BF =．90MAN CBD ∠=∠=︒，180ACB ADB ∴∠+∠=︒．180ACB BCE ∠+∠=︒，BCE ADB ∴∠=∠．BE AM ⊥，BF AN ⊥，90BEC BFD ∴∠=∠=︒，()BEC BFD AAS ∴∆≅∆．BC BD ∴=．（3）AC AD +=，证明：如图，过B 作BG AB ⊥交AN 于点G ．BG AB ⊥90ABG ∴∠=︒．90ABG CBD ∴∠=∠=︒，ABC GBD ∴∠=∠．180ACB ABD ∠+∠=︒，180ABD GDB ∠+∠=︒，ACB GDB ∴∠=∠．BC BD =，ABC GBD ∴∆≅∆．AB BG ∴=，AC DG =．点B 到MAN ∠的两边AM ，AN 的距离相等， 1452BAG MAN ∴∠=∠=︒，AG ∴=，AC AD ∴+=．【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是利用三角形全等证明线段相等．28．【分析】（1）根据“劲度点”，“劲度距离”的定义判断即可．（2）①作MON ∠的角平分线OE ，ON 的垂直平分线PF ，OE 和PF 相交于点P ，此时P 过点N ，线段OP 的长度是MON ∆关于MON ∠的“劲度距离”最大值，求出OP 即可．②当0t >时，MON ∆关于MON ∠的“劲度距离” =(0,2)M '，观察图象可知，2t 符合题意．0t <时，同法可求．【解答】解：（1）如图，2P 、3P 是ABC ∆关于BAC ∠的“劲度点”， 2P A ，3P A 的长度是为ABC ∆关于BAC ∠的“劲度距离”．故答案为：2P ，3P ．（2）①作MON ∠的角平分线OE ，ON 的垂直平分线PF ，OE 和PF 相交于点P ，此时P 过点N ，线段OP 的长度是MON ∆关于MON ∠的“劲度距离”最大值，OE 的函数表达式为y x =，PF 的函数表达式为2x =∴可得其交点坐标为(2,2)P ．1d OP ∴==②当0t >时，MON ∆关于MON ∠的“劲度距离” =时，此时OP =，(1,1)P ，点P 在线段OM '的垂直平分线上，2M O ∴'=，(0,2)M ∴'观察图象可知，52t >时，符合题意．同理当0t <时，同法可得，2t −时，符合题意综上所述，满足条件的t 的值为52t >或2t −．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，三角形的角平分线，点P 称为ABC ∆关于BAC ∠的“劲度点”，线段PA 的长度称为ABC ∆关于BAC ∠的“劲度距离”的定义等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置结合图象解决问题，属于中考压轴题．。
2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)
∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C
ABD
的高，∴VC
ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知 错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常 数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)
2021-2021年北京市高考数学二模试卷(理科)含答案
2021-2021年北京市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣4．设α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．过点A和圆心O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．6．如图所示的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填入的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜57．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]8．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且=，=，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（）A．B．2 C．1+D．2一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公比q=2，则数列{a n}的通项公式a n=．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值为．11．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=，AC=12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2021年3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷．某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有种．（用数字作答）14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）①若a3=，则a=；②记S n=a1+a2+…+a n，则S2021=．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．16．为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试．现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新生的测试成绩互相独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正方形A1ACC1所在平面，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的一点（端点除外），平面AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平面BC1D所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，x3，…，x n中的最大值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k ∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最小值；（Ⅲ）∀k∈N*，求d n的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把分子分母同时乘以1+i，直接利用复数的除法运算求解．【解答】解：=．故选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的几何量，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．3．若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×．故选：D．4．设α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成立，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β“b⊥α”⇒α⊥β；反之不成立，若α⊥β，b⊂β，b⊥α不一定成立．5．过点A和圆心O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB•AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△ADO==，解得DE．由DE⊥BC，可得BE•EC=DE2，即BE•（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB•AC，∴AC==15．∴BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△ADO==，解得DE==2．∵DE⊥BC，∴BE•EC=DE2，即BE•（BC﹣BE）=DE2，∴BE2﹣BC•BE+DE2=0，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．故选：C．6．如图所示的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填入的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满足条件，退出循环，从而可得判断框内应填入的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运行过程，得S=0，i=1满足条件，执行循环体，S=2，i=2满足条件，执行循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出S的值为6，故判断框内应填入的判断条件为i＜3．故选：B．7．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，分别利用函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成立；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∴满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故选：B．8．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且=，=，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意找出使得λ+μ最大的顶点C，根据向量加法的平行四边形法则可作出平行四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的几何意义便可得出，这样由平面向量基本定理即可求出λ+μ的最大值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+μ最大；作平行四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；又；∴；即λ+μ的最大值为．故选C．一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公比q=2，则数列{a n}的通项公式a n= 2n（N*）．【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公比q=2，∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出极坐标方程的普通方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的普通方程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利用正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥．AC⊥侧面PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，AC⊥侧面PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2021年3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷．某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有144 种．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即=144种．故答案为：144．14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）①若a3=，则a=；②记S n=a1+a2+…+a n，则S2021= 1512 ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．②a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a 分类讨论：当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满足条件．∴a=．②a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2021=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2021=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2021=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利用周期公式可求ω，又函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，又结合范围﹣＜x0＜，从而可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，又∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=k π﹣，k∈Z，又∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…16．为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试．现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新生的测试成绩互相独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用均值与方差的定义分别求出甲、乙两校新生的数学成绩的均值与方差，从而得出结论．（2）分类讨论，求得甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差．（2）设事件D=“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为C”，P（F2）=，根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）=++•=，因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正方形A1ACC1所在平面，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的一点（端点除外），平面AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平面BC1D所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平面BC1D，由线面平行的性质得出AB1∥EF；（II）以C1为原点建立空间坐标系，求出和平面BC1D的法向量，则AE与平面BC1D 所成角的正弦值为|cos＜＞|；（III）设=λ，求出和的坐标，令•=0解出λ．【解答】证明：（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD．∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴G为B1C的中点，∵D为AC中点，∴GD∥AB1．又GD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．∵AB1⊂平面AB1EF，平面AB1EF∩平面BC1D=EF，∴AB1∥EF．（II）以C1为原点，以C1A1，C1C，C1B1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示．则A（2，2，0），E（0，1，），B（0，2，1），C1（0，0，0），D（1，2，0）．∴=（﹣2，﹣1，），=（0，2，1），=（1，2，0）．设平面BC1D的法向量为=（x，y，z），则∴，令y=1，得=（﹣2，1，﹣2）．∴cos＜，＞===．∴AE与平面BC1D所成角的正弦值为．（III）假设在线段BC1上存在点E，使得A1E⊥CE，设=λ，则=（0，，）．∴=﹣=（﹣2，，），==（0，﹣，）．∵A1E⊥CE，∴．即．解得：λ=．∴在线段BC1上存在点E，使得A1E⊥CE，且=．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）分别求得f（x）和g（x）的导数，由题意可知：即可求得c的值及a、b的关系；（Ⅱ）写出h（x）的表达式，求导，构造辅助函数F（x）=h′（x），由∀a∈R，F′（x）＞0，即可判断h′（x）的单调性，求得h′（x）的零点，并根据h′（x）判断出h（x）的单调性；（Ⅲ）由（II）知当x∈[0，1]时，h（x）是增函数，将问题转化为：h（x）max﹣h（x）min=e a﹣a≤e﹣1，即当a≥0时，G（a）=e a﹣a﹣（e﹣1）≤0，求得函数的单调性，求得a的取值范围．【解答】解：（I）∵函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c，∴函数f′（x）=ae ax，g′（x）=﹣2x+b．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线，∴，即，∴c=1，a=b；…（II）由已知，h（x）=f（x）﹣g（x）=e ax+x2﹣ax﹣1．∴h′（x）=ae ax+2x﹣a，设F（x）=ae ax+2x﹣a，所以F′（x）=a2e ax+2，∀a∈R，F′（x）＞0，所以h′（x）在（﹣∞，+∞）上为单调递增函数．…由（I）得，f′（0）=g′（0）所以h′（0）=f′（0）﹣g′（0）=0，即0是h′（x）的零点．所以，函数h（x）的导函数h′（x）有且只有一个零点0．…所以h′（x）及h（x）符号变化如下，x （﹣∞，0 （0，+∞）0）h（x）﹣0 +h′（x）↘极小值↗所以函数h′（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．…（III）由（II）知当x∈[0，1]时，h（x）是增函数．对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，等价于h（x）max﹣h（x）min=h （1）﹣h（0）=e a﹣a≤e﹣1，等价于当a≥0时，G（a）=e a﹣a﹣（e﹣1）≤0，∵G′（a）=e a﹣1≥0，∴G（a）在[0，+∞）上是增函数，又G（1）=0，所以a∈[0，1]．…19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得k AB•k PA=﹣1，即可得证；或求得k PA•k PB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，法一：又k PB=，k BC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以k AB•k PA=•=•==•（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，k PA•k PB=•==﹣，又k PB=k BC=，可得k PA=﹣，则k AB•k PA=•（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，x3，…，x n中的最大值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k ∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最小值；（Ⅲ）∀k∈N*，求d n的最小值．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意，max{a n，b n}=max{，}，﹣=，分别求得k=1、k=2及k≥3时，分别求得max{a n，b n}；（Ⅱ）当k=2时，由（Ⅰ）可得d n=max{a n，c n}=max{，}，根据数列的单调性求得n=，d n取得最小值，44＜＜45，分别求得d44和d45，比较即可求得d n取得最小值；（Ⅲ）由（II）可知，当k=2时，d n的最小值为，当k=1及k≥3时，根据函数单调性，分别求得可能取最小值时，n的取值，比较即可求得d n取得最小值；【解答】解：（I）由题意，max{a n，b n}=max{，}，因为﹣=，所以，当k=1时，＜，则max{a n，b n}=b n=，当k=2时，=，则max{a n，b n}=a n=，当k≥3时，＞，则max{a n，b n}=a n=．…（II）当k=2时，d n=max{a n，b n，c n}=max{a n，c n}=max{，}，因为数列{a n}为单调递减数列，数列{c n}为单调递增数列，所以当=时，d n取得最小值，此时n=．又因为44＜＜45，而d44=max{a44，c44}=a44=，d45=c45=，有d44＜d45．所以d n的最小值为．…（III）由（II）可知，当k=2时，d n的最小值为．当k=1时，d n=max{a n，b n，c n}=max{b n，c n}=max{，}．因为数列{b n}为单调递减数列，数列{c n}为单调递增数列，所以当=时，d n取得最小值，此时n=．又因为72＜＜73，而d72=b72=，d72=c72=，．此时d n的最小值为，＞．（2）k≥3时，≥=，a n＞b n，所以d n=max{a n，b n，c n}=max{a n，c n}≥max{，}．设h n=max{，}，因为数列{a n}为单调递减数列，数列{}为单调递增数列，所以当=时，h n取得最小值，此时n=．又因为36＜＜37，而h36=a36=，h37=，＜．此时d n的最小值为，＞．．综上，d n的最小值为d44=．…。
北京市门头沟区2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)含解析
北京市门头沟区2021届新高考适应性测试卷数学试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB P ，BP OA P ，则DP =u u u v（ ）A ．2DA DC +u u u v u u u vB ．32DA DC +u u uv u u u vC ．2DA DC +u u u v u u u vD ．3122DA DC +u u uv u u u v【答案】D 【解析】 【分析】连接OP ，根据题目，证明出四边形APOD 为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案 【详解】连接OP ，由AP OB P ，BP OA P 知，四边形APBO 为平行四边形，可得四边形APOD 为平行四边形，所以1122DP DA DO DA DA DC =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 3122DA DC =+u u u r u u u r.【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题2．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．280【答案】C 【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k kk n T a b -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk kk T C x+=-，则()712x x-展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r r r n T ab -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.3．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.4．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 5．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得， 将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 6．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】复数1z i =-在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，该点位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cmD ．()2454cm【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.1422⨯⨯=所以该几何体的表面积是()24cm .故选：D 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.8．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭，解可得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称， 即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，得()()2log 2fa f <，Q 函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得144a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题. 9．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v ，则AB AM ⋅u u u v u u u u v等于（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件，表示出向量AM u u u u r,然后求解向量的数量积．【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v，可得12.33AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r则AB AM ⋅u u u v u u u u v =12()33AB AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r =212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=u u u r u u u r u u u r【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量． 10．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-【答案】A 【解析】 【分析】 由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】 因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=，4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.11．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 12．函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（ ）A ．3m ≤-B ．4m ≤-C．m ≤D ．4m ≤【答案】C 【解析】 【分析】先求导函数，函数在[,]63ππ上单调递减则()0f x '≤恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得. 【详解】依题意，2()2cos 2cos 34cos cos 1f x x m x x m x '=++=++， 令cos x t =，则1[,22t ∈，故2410t mt ++≤在[1,22上恒成立；结合图象可知，114104234104m m ⎧⨯+⨯+⎪⎪⎨⎪⨯++⎪⎩……，解得4m m -⎧⎪⎨⎪⎩……故3m ≤-. 故选：C. 【点睛】本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市门头沟区2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
北京市门头沟区2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r 且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r，记||c r 的最小值为m ，则当a r变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==u u u r r u u u r r OC c =u u u r r.E 为OB 中点.由1a b +=r r 即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+r r r变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =r设()(),,2,0OP a x y OB b ====u u u r r u u u r r ,(),1,0OC c E =u u u r r则2b OE =r u u u r由1a b +=r r代入可得()2221x y ++=即P 点的轨迹方程为()2221x y ++=又因为c a b λμ=+r r r ,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭rr r ,即2OC OP OE λμ=+uuur uuu r uuu r ,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±所以切线方程为044x y --=或044x y +-= 所以当a r变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.2．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】 【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=，∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 3．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==. 对于①，因为12min 1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-，因为π(0)sin06f=>，所以()f x在[]0,2π上第1个零点1>0x，且1ππ212xωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x Tωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x，则8ππ7ππ7π47π2122212212x Tωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确；对于④，因为π(0)sin6f=，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥-⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以23ω<≤，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.4．在ABC∆中，点D是线段BC上任意一点，2AM AD=u u u u r u u u r，BM AB ACλμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（）A．12-B．-2 C．12D．2【答案】A【解析】【分析】设BD k BC=u u u r u u u r，用,AB ACu u u r u u u r表示出BMu u u u r，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD=u u u u r u u u r()112222k kBM BA BD AB AC AB∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1222k kAB AC⎛⎫=--+⎪⎝⎭u u u r u u u r，1,222k kλμ∴=--=，12λμ∴+=-.故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.5．已知直线l 20y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB V 与OMN V 的面积相等，给出下列直线1l 0y +-=20y +-=，③20x -+=0y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①② B ．①④C ．②③D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=或.【详解】解：由已知可得：圆O ：224x y +=的圆心为（0,0），半径为2， 则圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==， ∴120AOB ∠=︒，而1//l l ，OAB V 与OMN V 的面积相等， ∴120MON ∠=︒或60︒，即O 到直线1l 的距离1d '=或 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.6．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．7．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可． 【详解】解：令10x -<<，则011x <+<， 则1(1)2x f x ++=， 故21,101(),012x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩…，如图示：由()21f x ax a -=-， 得()(21)1f x a x =+-，函数(21)1y a x =+-恒过1(2A -，1)-，由1(1,)2B ，(0,1)C ，可得1121112ABk +==+，2OA k =，11412AC k +==，若方程()21f x ax a -=-有唯一解， 则122a <…或24a >，即1a 12<…或2a >； 当22111ax a x +-=-+即图象相切时， 根据0∆=，298(2)0a a a --=， 解得16(0a =-舍去）， 则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦， 故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题． 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积. 【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433V =⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题. 9．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项. 【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭Q ,cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数， 故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<， 所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B, 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.10．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，方程()22211k x y k -+=-．即222111y x k k -=-+，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型． 【详解】解：∵k ＞1，∴1+k>0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，故选C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为222111y x k k -=-+是关键．11．函数()f x =）A ．{2x x ≤或}3x ≥ B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤ D ．{}32x x -≤≤-【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．22【答案】D 【解析】 【分析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度. 【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==所以2SC DC ==， 所以222222,22SA SDADSB SCBC=+==+=所以该几何体的最长棱的长为22 故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021新高考数学卷2(含答案)
（2）求二面角 平面角的余弦值．
20. 已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%
【思路分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【解析】：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.故选：C.
5. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）
A. B. C. D.
【思路分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
参考答案与试题解析
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数 在复平面内对应的点所在的象限为（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【思路分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【解析】： ，所以该复数对应的点为 ，
A.1B.2C. D.4
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（）