线性微分方程组解的存在唯一性定理
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
et
例1
验证向量
u(t)
et
是初值问题
x1 0
1 0x
x(0)11
在区间t 上的解。
解
u(t)
et
et
,
0 1 et et
1
0et
et
e0 1
u(0)
e
0
1
因此 u (t ) 是给定初值问题的解。
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
5.1.2 n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价
例1 x p (t)x q (t)x f(t)
解 令 x1 x, x2 x,
1 )( A ( t) B ( t) ) A ( t) B ( t) (u (t) v (t)) u (t) v (t)
2 )( A ( t ) B ( t ) ) A ( t ) B ( t ) A ( t ) B ( t ) 3 )( A ( t ) u ( t ) ) A ( t ) u ( t ) A ( t ) u ( t )
§ 5.1 线性微分方程组解的 存在唯一性定理
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
本节要求/Requirements/
➢ 掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。 ➢ 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。 ➢ 熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
bij (t ) ui (t ) 在区间 atb 可积。
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
B (t)d t(bi(jt)d)n tn
u ( t) d ( tu 1 ( t) d ,u 2 t ( t) d , ,t u n ( t) d ) Tt
初值条件 x 1 ( t0 ) 1 ,x 2 ( t0 ) 2 ,,x n ( t0 ) n
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
一阶线性微分方程组
x1 a11(t)x1a12(t)x2 a1n(t)xn f1(t)
x2 a21(t)x1a22(t)x2a2n(t)x2f2(t)
( t ) p ( t ) ( t ) q ( t )( t ) f( t )
x (t)
构造 向量
(t ) (t)
p(t)(t) q ((tt))(t)f(t)
x
(t) (t)
q 0(t) p 1(t) ((tt))f0 (t)
满足
x1(t0)1,x2(t0)2 xq0(t) p1(t)xf0(t)
…(5.1)
xn an1(t)x1an2(t)x2ann(t)xnfn(t)
a i( jt)f,i(t) i,j 1 ， 2 ， ,n在 [a ,b ]上连续
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
a11(t) A(t) a21(t)
B(t)(bij(t))nn u ( t) ( u 1 ( t)u 2 ,( t) ,,u n ( t)T )
连续: 可微:
可积:
bij (t ) ui (t ) 在区间 atb 连续。 bij (t ) ui (t ) 在区间 atb 可微。
B(t)(bij(t)n )n u ( t ) ( u 1 ( t )u 2 , ( t ) , ,u n ( t )T )
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
b11(t) B(t) b21(t)
bn1(t)
b12(t) b22(t)
bn2(t)
b1n(t) b2n(t)
bnn(t)
u1(t)
u (t)
u
2
(
t
)
u
n
(
t
)
在区间 atb可定义矩阵与向量函数
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
定义1 设 A(t) 是区间atb上的连续 nn矩阵，
f (t) 是区间atb上的连续 n维向量，方程组
dxxA(t)xf(t) ………….(5.4)
dt
在某区间 t ([,] [a ,b ])的解就是向量
x1xx2 x2 x p (t)x q (t)xf(t)
xx12 x2q(t)x1p(t)x2f(t)
xq0(t) p1(t)xf0(t)
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
x(t0)1,x(t0)2
x p (t)x q (t)x f(t) 解
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
5.1.1 记号与定义/Symbol and Definition/
一阶微分方程组
x1 f1 (t , x1 , x2 , , xn )
x 2
f2
(t,
x1 ,
x2
,
,
xn
)
xn f n (t , x1 , x2 , , xn )
u (t ) 在区间 t 上连续且满足
u (t) A (t)u (t)f(t)
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
定义2 初值问题(Cauchy Problem)
dx dt
x
A(t)x
f
(t)
x(t0) η
………….(5.5)
的解就是方程组(5.4)在包含 t0的区 间 t
an1(t)
a12(t) a22(t)
an2(t)
a1n(t) a2n(t)
ann(t)
……….(5.2)
f1(t)
f
(t)
f
2
(
t
)
fn
(
t
)
x1
x
x
2xnFra bibliotekx 1
dx
x
x
2
……(5.3)
dt
x
n
dxxA(t)xf(t) dt
………….(5.4)
解的存在唯一性
解的存在唯一性定理证明及其研究专业名称：数学与数学应用组长：赵亚平组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲指导老师：岳宗敏解的存在唯一性定理证明及其研究摘要线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。
对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。
关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组（一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法存在唯一性定理 考虑初值问题),(y x f dxdy= 00)(y x y = （1）其中f(x,y)在矩形区域R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2）上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普希茨常数），使不等式|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里|),(|max ),,min(),(y x f M Mba h R y x ∈==证明思路：1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程⎰+=xx dy y x f y y 0),(0 （3）的连续解。
2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ϕ}，任取一连续函数)(0x ϕ，b y x ≤-|)(|00ϕ代入（3）右端的y ，得……2,1,))(,()(001=+=⎰+n dx x x f y x xx n n ϕϕ3.函数序列{)(x n ϕ}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ϕ。
这里为)(x n ϕ=dx x x f y n xxn ))(,(lim 1-00ϕ⎰∞→+dxx x f y x x f y xxxx n ⎰⎰+=+=∞→0))(,())(,(lim 01-n 0ϕϕ4．)(x ϕ为（3）的连续解且唯一。
一阶线性微分方程解的存在唯一性证明
一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明)()(x q y x p dxdy +=摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一?首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域R:上的连续函数.b y y a x x ≤-≤-00,函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式对于所有的 都成立,L 称2121),(),(y y L y x f y x f -≤-R y x y x ∈),(),,(21为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程(1)解的存在唯一性)()(x q y x p dxdy+=定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续)(x y ϕ=h x x ≤-0且满足初始条件:这里 00)(y x =ϕ),min(Mba h =),(max y x f M =R y x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只就区间来讨论,对于的讨论完全一样.h x x x +≤≤0000x x h x ≤≤-现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来[]⎰++=x x dx x q y x p y y 0)()(0替代,因此也就等价于求积分方程 的连续解,然⎰+=xx dx y x f y y 0),(0后去证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数 代入上面的积分方程右端的y 就得)(0x ϕ到函数dx x x f y x xx ))(,()(0001⎰+≡ϕϕ显然也是连续解,如果那么就是积分方)(1x ϕ)(1x ϕ≡)(0x ϕ)(0x ϕ程的解.否则,我们又把代入积分方程右端的y 得到)(1x ϕ dxx x f y x xx ))(,()(0102⎰+≡ϕϕ如果 ,那么就是积分方程的解,否则我们继≡)(2x ϕ)(1x ϕ)(1x ϕ续这个步骤.一般地做函数 (2)dx x x f y x xx n n ))(,()(010⎰-+≡ϕϕ这样就得到连续函数序列,……)(0x ϕ)(1x ϕ)(x n ϕ如果那么就是积分方程的解,如果始终不发生这种≡+)(1x n ϕ)(x n ϕ)(x n ϕ情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数即)(x ϕ 存在因此对(2)取极限就得到)()(lim x x n n ϕϕ=∞→dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+=ϕϕ =dxx x f y xx n n ))(,(lim 010⎰-∞→+ϕ =dxx x f y xx ))(,(00⎰+ϕ即 dxx x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕ这就是说是积分方程的解,这种一步一步地求出方程的解的方法)(x ϕ就成为逐步逼近法,由(2)所确定的函数称为问题(1)的n 次近)(x n ϕ似解,在定理的假设条件下以上步骤是可以实现的下面我们分四个命题来证明这个定理.命题1,设是一阶线形微分方程(1)的定义于区间)(x y ϕ=上的,且满足初始条件的解,则是积分方h x x x +≤≤0000)(y x =ϕ)(x y ϕ=程()的定义于上的连续解,反⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00h x x x +≤≤00之亦然.因为是一阶线形微分方程(1)的解故有)(x y ϕ=))(,()(x x f dxx d ϕϕ=两边从到x 取定积分得到0x dx x x f x x x x ))(,()()(00⎰≡-ϕϕϕhx x x +≤≤00把代上式,即有00)(y x =ϕ dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕhx x x +≤≤00因此, 是积分方程定义于上的)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00连续解反之如果是积分方程的连续解,则有)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0 (3)dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕh x x x +≤≤00微分之,得到))(,()(x x f dxx d ϕϕ=又把代入(3)得到0x x =00)(y x =ϕ因此是方程(1)的定义于 上且满足初始条件)(x y ϕ=h x x x +≤≤00的解.命题1证毕.00)(y x =ϕ现在取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:00)(y x =ϕ ⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰-x x n nd f y x y x 0))(,()()(1000ξξϕξϕϕh x x x +≤≤00(n=1,2,…)(4)命题2 函数序列在上是一致收敛的{})(x n ϕh x x x +≤≤00证明:我们考虑级数 (5)[]∑∞=--+110)()()(k k k x x x ϕϕϕh x x x +≤≤00它的部分和为=[]∑=--+nk k k x x x 110)()()(ϕϕϕ)(x ϕ因此,要证明序列在上一致收敛,只需证明级数(5)在{})(x n ϕh x x x +≤≤00上一致收敛.为此,我们进行如下估计.由(4)有h x x x +≤≤00 (6))())(,()()(00001⎰-≤≤-xx x x M d f x x ξξϕξϕϕ及 ⎰-≤-xx d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ利用利普希兹条件及(6)得到⎰-≤-xx d L x x 0)()()()(0112ξξϕξϕϕϕ =ξξd x M L x x ⎰-≤0)(020)(!2x x ML-设对于正整数n,不等式nn n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕ成立,则有利普希兹条件,当时,有h x x x +≤≤00 ⎰-+-≤-x x n n n n d f f x x 0))(,())(,()()(11ξξϕξξϕξϕϕ⎰--≤xx n n d L 0)()(1ξξϕξϕ100)()!1()(!+-+=-≤⎰n n xx nnx x n ML d x n ML ξξ于是,由数学归纳法得知,对于所有的正整数k,有如下的估计(7)k k k k x x k ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕh x x x +≤≤00从而可知,当时h x x x +≤≤00 (8)kk k k h k ML x x !)()(11--≤-ϕϕ(8)的右端是正项收敛级数∑∞=1!k kkk h ML的一般项,由维尔斯特拉斯判别法级数(5)在上一h x x x +≤≤00致收敛,因而序列也在上一致收敛,命题2证毕.{})(x n ϕh x x x +≤≤00命题3 是积分方程(2)的定义于上的连续解.)(x ϕh x x x +≤≤00证明: 由利普希兹条件)()())(,())(,(x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及在上一致收敛于,即知序列{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x ϕ{}{})(,()(x x f x f n n ϕ≡在上一致收敛于.因而对于(4)两边取极h x x x +≤≤00{})(,(x x f ϕ限,得到dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+≡ϕϕ =⎰-∞→+xx n n d f y 0))(,(lim 10ξξϕξ即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这就是说是积分方程(2)的定义于上的连续解.命)(x ϕh x x x +≤≤00题3证毕.命题4 设是积分方程(2)的定义于上的一个连)(x φh x x x +≤≤00续解,则 , )()(x x ϕφ≡hx x x +≤≤00证明:我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数.)(x φ{})(x n ϕ为此,从0)(y x =ϕ (n=1,2,…)⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ ξξφφd x f y x xx ))(,()(00⎰+≡我们可以进行如下估计)()(,()()(000x x M d f x x xx -≤≤-⎰ξξφξφϕξξφξξϕξφϕd f f x x x x ⎰-≤-0))(,())(,()()(01 ξξφξϕd L xx ⎰-≤0)()(0 200)(!2)(0x x MLd x ML xx -=-≤⎰ξξ现设,则有n n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---φϕ ξξφξξϕξφϕd f f x x xx n n ⎰-≤--0))(,())(,()()(1 ξξφξϕd L xx n ⎰-≤-0)()(1 100)()!1()(!+-+=-≤⎰n xx Nx x n MLd x n ML ξξ故有数学归纳法得知,对于所有的正整数n,有下面的估计式(10)10)()!1()()(+-+≤-n nn x x n ML x x φϕ因此,在上有h x x x +≤≤00 (11)1)!1()()(++≤-n n n h n ML x x φϕ是收敛级数的公项,故因而1)!1(++n n h n ML 0)!1(1→+∞→+n n h n ML n 时在上一致收敛于,根据极限的唯一性,即得{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x φ)()(x x ϕφ≡h x x x +≤≤00命题4证毕.综合1-4,即得到一阶线性微分方程解的存在唯)()(x q y x p dxdy+=一定理的证明.。
第四章第1节(线性微分方程的一般理论)
d x d x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x 0 (4.3) n dt dt dt
n 阶齐线性微分方程, 简称齐线性微分方程. 简称非齐线性 方程(4.1)称为n阶非齐线性微分方程， 微分方程. 通常把方程(4.3)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程.
是否为(4.3)的通解？ Q2: 在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.3)的通解? 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合构成 一个线性空间. Q3：此空间的维数是多少呢？
8
线性相关与线性无关的定义
a t b 上有定义， 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck , 使得
13
函数组的Wronski 行列式的性质 定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 a t b
上线性相关，则 W (t ) 0, t [a, b]. Corollary 若 t0 [a , b], s.t . W ( t0 ) 0, 则
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 [a, b] 线性无关.
设 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0, t [a , b],
则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数 在所给的区间上线性无关.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) ck xk ( t ) 0, t [a , b] c1 c2 ck 0
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 (4.9) ...................................................... c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) x ( n1) . 0 2 2 0 n n 0 0 1 1
存在唯一性定理
注: 每一个 n 阶线性微分方程可化为 n 个一阶线性 微分方程构成的方程组, 反之却不成立. 如:
1 0 方程组 x x , 0 1
不能化为一个二阶微分方程.
x 5 y 7 x 6 y e t 例 将初值问题 y 2 y 13 y 15 x cos t x ( 0 ) 1 , x ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1
则(5.6)可化为一阶线性微分方
程组的初值问题:
x A( t )x f ( t ) . x( t0 ) η
(5.6)与(5.7)两者关系：
若已知 (t )是(5.6)的解, 则作向量函数
1 ( t ) ( t ) 2 ( t ) ( t ) φ( t ) , ( n1) ( t ) n ( t )
其中已知函数aij ( t ) 、f i ( t ) C [a , b], ( i , j 1,2, , n)
(5.1)
满足(5.1)每一个方程的一组函数 x1 ( t ), x2 ( t ) , xn ( t )
称为(5.1)的一个解.
设函数组 xi (t ) C[a, b], (i 1,2,, n), 且有：
故向量 u( t ) 是所给初值问题的解.
5. n 阶线性微分方程可化为一阶线性微分方程组 n阶线性微分方程的初值问题 x ( n ) a1 ( t ) x ( n1) an1 ( t ) x an ( t ) x f ( t ) , ( n1) x ( t ) , x ( t ) , , x ( t0 ) n 0 1 0 2 引进代换 x1 x , x2 x, x3 x ,, xn x ( n1) ,
唯一性定理
唯一性定理唯一性定理是数学中的重要定理之一，它指出了在某些条件下，特定类型的方程或问题只有唯一解。
唯一性定理最经典的形式是微分方程的唯一性定理，它在微积分和微分方程的研究中占据重要的地位。
微分方程是描述自然现象和物理规律的重要工具，通过对微分方程的求解，可以得到问题的解析解，从而更好地理解和预测现象。
然而，并不是所有的微分方程都能够得到解析解，有些方程可能只能通过数值方法进行求解。
因此，唯一性定理提供了一种重要的判据，用于确定方程是否有唯一解。
在微分方程的唯一性定理中，通常需要满足连续性和局部利普希茨条件。
连续性要求方程中的函数在某个区域内是连续的，这是非常基本的要求，因为连续性是数学分析中的重要概念。
局部利普希茨条件则要求方程中的函数在一定范围内具有有界的导数，这个条件保证了方程的解在某个区间内是唯一的。
微分方程的唯一性定理可以通过三个步骤来证明。
首先，需要利用泰勒级数展开将微分方程转化为一个无穷级数。
其次，需要证明无穷级数的解存在且唯一。
最后，通过局部利普希茨条件和连续性条件，得到解的存在范围。
除了微分方程的唯一性定理，数学中还有一些其他类型问题的唯一性定理。
例如，线性代数中的矩阵方程的唯一性定理，数论中的素因数分解的唯一性定理等等。
这些定理都有一个共同点，即在满足一定条件下，问题的解是唯一的。
唯一性定理在数学研究和应用中有着广泛的应用。
通过这些定理，我们可以确定问题是否存在唯一解，从而帮助我们深入研究和理解问题。
唯一性定理也经常被用于证明其他定理，深化了我们对数学的认识和理解。
总之，唯一性定理是数学中的一类重要定理，它指出了在满足特定条件下，方程或问题具有唯一解的情况。
微分方程的唯一性定理是其中最经典和重要的定理之一，它在微积分和微分方程的研究中扮演着重要的角色。
唯一性定理的应用广泛，帮助我们理解和解决各种数学问题，并进一步推动数学的发展。
唯一性定理除了在微分方程中应用广泛，还在其他数学领域中有重要的应用。
§4.1 线性微分方程的一般理论
a ≤ t ≤ b上线性无关, 则它们Wronsky的行列式在[a, b] 上任何点都不等于零, 即W (t ) ≠ 0(a ≤ t ≤ b)
证明: “反证法” 证明
由定理4易得下面结论 推论1 推论 设x1 (t ), x2 (t ) L , xn (t )是方程(4.2)在区间
dϕ (t0 ) d ϕ (t0 ) (1) ( n −1) = x0 , L , = x0 ϕ (t0 ) = x0 , n −1 dt dt
( n −1)
二、齐次线性方程的解的性质和结构
先讨论n阶齐线性方程
n n −1
d x d x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = 0 ( 4. 2) n dt dt 的一般理论, 假设ai (t )(i = 1,2, L n)在a ≤ t ≤ b上连续.
d nx d n −1 x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = f (t ) ( 4.1) n dt dt 其中ai (t )(i = 1,2, L n)及f (t )都是a ≤ t ≤ b的连续函数.
如果f (t ) ≡ 0, 则方程(4.1)变为
d x d x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = 0 n dt dt
"
=0
3 伏朗斯基(Wronsky)行列式 定义2 定义 定义在[a, b]上k个可微k − 1次函数x1 (t ), x2 (t ) L ,
xk (t )所作成的行列式
【免费下载】第三章 一阶线性微分方程组 第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理
韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）一、目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理.二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1 课题引入在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.例如，已知在空间运动的质点的速度与时间及(,,)P x y z t 该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案123(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩且质点在时刻经过点，求该质点的运动轨迹。
0t 000(,,)x y z 因为和, 所以这个问题其实就是求,x y dx dy v v dt dt ==z dz v dt =一阶微分方程组123(,,,)(,,,)(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 的满足初始条件 00(),x t x =00(),y t y =00()z t z =的解.(),(),()x t y t z t 另外，在n 阶微分方程（1.12）()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令就可(1)121,,,n n y y y y y y --'''=== 以把它化成等价的一阶微分方程组韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案11221111(,,,,)n n n n dy y dx dy y dx dy y dx dy f x y y y dx ----⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩ 注意，这是一个含n 个未知函数 的一阶微分11,,,n y y y - 方程组.含有n 个未知函数的一阶微分方程组的一般形12,,,n y y y 式为： (3.1)11122112112(,,,,)(,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ 如果方程组(3.1)右端函数不显含, 则相应的方程称为是自x 治的. 方程组(3.1)在上的一个解，是这样的一组函数[,]a b韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案12(),(),,()n y x y x y x 使得在上有恒等式[,]a b 12()(,(),(),,())i i n dy x f x y x y x y x dx = (1,2,,)i n = 含有n 个任意常数 的解12,,,n C C C 1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)n n n n n y x C C C y x C C C y x C C C ϕϕϕ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0n n n n n n n x y y y C C C x y y y C C C x y y y C C C Φ=⎧⎪Φ=⎪⎨⎪⎪Φ=⎩ 则称后者为(3.1)的通积分.如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件 1010202000(),(),,()n n y x y y x y y x y ===韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案(3.2)的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于的n 个方程式，如果从其中解得，12,,,n C C C 12,,,n C C C 再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解. 2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示 为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n 维向量函数 12()()(),()n y x y x Y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11221212(,,,,)(,,,,)(,)(,,,,)n n n n f x y y y f x y y y F x Y f x y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 并定义 111(),dy dx dy dY x dx dx dy dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 00001()()()()x x x x n x x x n x f x dx f x dx F x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 则(3.1)可记成向量形式(3.3)(,)dY F x Y dx =初始条件(3.2)可记为 其中 00(),Y x Y =102000n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (3.2)′(3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为(3.4)00(,)()dY F x Y dx Y x Y ⎧=⎪⎨⎪=⎩这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.进一步，对n 维向量Y 和矩阵,()ij A a =12,n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义 1,n i i Y y ==∑,1niji j A a ==∑易于证明以下性质：1., 且, 当且仅当0Y ≥0Y =0Y =( 表示零向量，下同);02.;1212Y Y Y Y +≤+3.对任意常数，有;αY Y αα=A 4.;0A ≥5.;A B A B +≤+6.对任意常数，有;γA A γγ=A 7.;AY A Y ≤A 8. .AB A B ≤A 称和分别为向量和矩阵的范数. 进而还有如Y A Y A 下性质韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案00()()x x x x F x dx F x dx≤⎰⎰有了维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛n 的概念. 即：如果对 上的任意x ，有[,]a b lim ()()0n n Y x Y x →∞-=则称 在 上按范数收敛于Y (x ).如果上式对 ()n Y x [,]a b [,]a b 上的x 为一致的，则称 在上 按范数一致收敛()n Y x [,]a b 于.()Y x 另外, 如果对n 维向量函数F (x )有00lim ()()0x x F x F x →-=则称 在 连续. 如果 在区间 上每()F x 0x ()F x [,]a b 一点 都连续, 则称 在区间 上连续.0x ()F x [,]a b 有了以上准备，完全类似于第二章定理2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理.定理3.1 如果函数 在 维空间的区域(,)F x Y 1n +00:,R x x a Y Y b -≤-≤上满足：1) 连续；2) 关于满足李普希兹条件，即存在, 使对于上Y 0N >R 任意两点 ,有1(,),x Y 2(,)x Y韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案1212(,)(,)F x Y F x Y N Y Y -≤-则存在, 使初值问题(3.4)的解在 上存在00h >00x x h -≤且唯一，其中0min(,b h a M =.(,)max (,)x Y R M F x Y ∈= 定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程 00()(,())x x Y x Y F x Y x dx =+⎰(3.5)同解.为证(3.5)的解在 上的存在性，同样用00x x h -≤逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成. 对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量换成向量即可.y Y 最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间平面上的一条xoy 曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案个解就是维空间中的一条曲线了，也称它为方程组x Y1n (,)(3.3)的积分曲线.本节要点：1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义.2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在.作业: 完成定理3.1的证明. 。
解的存在唯一性定理
一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。
在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。
定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，00x x x h ≤≤+.综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有12()()f t f t -＜ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。
高等数学：第九章 常微分方程3-4
x0
2
6
.......
| (x) (x) |
ALn | x x0
|n
Ln h n A
n
0.
n!
n!
lim
n
|
(
x)
(
x)
|
0
当x
[
x0
h,
x0
h]时，
(
x)
(
x)。
推论: 考虑微分方程
y' f (x, y),(x, y) D.
若函数 f(x,y), fy(x,y) 在区域 D 上连续，则过 D 内任 一点 (x0,y0), 有且只有一条方程的通积分通过。
x
y1(x) y0 x0 f (x, y0 )dx,
估计 | y1(x) y0 | 后发现
x [x0 h, x0 h]
x
| y1(x) y0 | x0 f (x, y0 )dx M | x x0 | Mh b.
可见(x, y1(x)) R.
h
min(
a,
b M
),
M
max{|
上连续，且对 y 满足李氏条件，则初值问题在 区间 [x0-h,x0+h] 上有且只有一个解，其中常数
h
min( a,
b M
), M
max{|
f (x, y) |, (x, y) R}
y' f (x, y)
y(x0 )
y0
在 [x0-h,x0+h] 上有唯一解.
h
min(
a,
b M
),
M
max{|
f (x, y1) f (x, y2 ) f y (x, )(y1 y2 ), ( y1, y2 ).
5.1 存在唯一性定理
一、记号和定义
考察形如
′ x1 = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + L + a1n (t ) xn + f1 (t ) x′ = a (t ) x + a (t ) x + L + a (t ) x + f (t ) 2 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLL ′ xn = an1 (t ) x1 + an 2 (t ) x2 + L + ann (t ) xn + f n (t )
如果令
R − L I1 I = , A = R I2 2L
R E L ,f = L 2R − 0 L
则上面的方程组就可以表示为： 则上面的方程组就可以表示为： ′ = I
AI + f .
e−t 0 1 1 例2 验证向量 u ( t ) = 是初值问题 x′ = x, x (0) = −1 −t 1 0 −e
f1 (t ) f (t ) 2 , f (t ) = M f n (t ) x1 x 2 , x= M xn ′ x1 x′ ′ = 2 x M ′ xn
(5.2)
(5.3)
u ′(t ) = A(t )u (t ) + f (t ), α ≤ t ≤ β
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
微分方程组初值问题的解的定义
定义2 定义 初值问题
x ′ = A ( t ) x + f ( t ), x ( t 0 ) = η