材料力学能量法Energy_v2 (E)
Energy Methods
• Calculation Calc lation of strain energy energ • Generalized displacements and
forces • Axial loading
U l 0
2 E x Ax dx
l
N ( x)2
P
l A 45o B
•
pin supports, a large A l i： Analysis
Question：P=？
P
C B A
2பைடு நூலகம்
displacement, linear elastic
A
B
1
The elongation of each bar Strain energy
l l 2 2 l
j : the related generalize displacement, displacement which
U j
Strain energy gy in an elastic body y = work done by the external force on the body
U Pj
U c dP j P j
c
dW
j dP j
CE C C.E.= C.W. W
j
U c Pj
Copyright 2008 2008 © Xiamen University
Application: Castigliano Castigliano’s s Second Theorem
d dx
2 2 l l l l l 2 My Q ( x ) x M z2 ( x) N 2 ( x) T 2 ( x) y y z Qz ( x ) U dx dx dx dx s dx s dx 2 E A 2 GI 2 EI 2 EI 2 GA 2 GA p y x 0 0 0 0 0 0 l
Pj: the generalized force on the bars, which may
be a force, a couple, a pair of forces with the same magnitude and opposite directions, directions or a pair of couples with the same magnitude and opposite directions. may be a linear displacement, an angular displacement, a relative linear displacement, or a relative angular displacement
U W
P d
i i 1 0
n i
i
Strain energy is a function of final states of displacements
•
the jth linear displacement, all other linear displacements remain constant. constant Increment in dU U d j strain energy j ？
Increment in C.E. Increment in C.W.
dU
c
•
Castigliano’s Second Theorem
(9.9, p662) For linear elastic materials，the complimentary energy=strain energy
j
H
• External Work
W
T P A
m m n
x dxq
T B P
i 1
n
1 Pi i 2
x
m n
Qy(x) N(x) T(x) My(x) Mz(x)
Pi: the ith generalized force the location where Pi acts
i: the generalized displacement at
• Generalized Forces：P
Forces, and Couples • Generalized Displacements： linear displacements, angular di l displacements
•
Torsion
T 2 x U dx 0 2 GI p x
Ex：孙训方第三版（下）(p215, 14-7)
Copyright 2006 2006 © Xiamen University
Applications：
• two pin-jointed and horizontally placed bars with pin supports at two ends. The vertical di l displacement t at t the th middle iddl pin i i is .
0
d
0
c V 0
p Complime ntary work
Uc
u dv d dv
V
W
c
P W
0
P
dp
+d
？？
uc u, U c U
Linear elastic materials
Copyright 2008 2008 © Xiamen University
•
Bending
•
Shearing of beams
1 l M x 2 dx U 2 0 EI
Qx2 1 U s dx 2 GA
0
l
？？
Copyright 2008 2008 © Xiamen University
General expressions of external works and strain energy • Strain Energy
U c Wc
dP
i i 1 0
n Pi
i
Complimentary energy is a function of final states of forces
Assuming：a differential variation dPi in the jth force, and all other forces are kept constant.
Copyright 2006 2006 © Xiamen University
The Mutual Equivalent q Theorem
• Principle
The elastic strain energy in an elastic body generated by multiple external forces is independent of the order of loading of the external forces
• For elastic bodies, C.W.= C.E.
Complime ntary y energy
W
P P+dp p
Wc
U
c
Wc
dp
0
P
0
pd p
•
+d
Density of complimentary energy
+d
uc
uc
u d
y B
L/2 L/2
P
A
M0
x
Fig.9-37(p665)
• The deflection and the angle of rotation at middle point C of a beam
C
•
The deflection and angle of rotation i at the point i where a force and a couple act
Increment in external work
dW Pj d j
Pj
Assuming: a differential variation dj in
bars under loading loading.
Notes: the theorem Holds for all elastic
y x l l
•
A vertical force P act at B of a plane truss truss. Try to find the vertical and horizontal displacement of B.
Steps: Calculating the elongations of each bars when B subjected to a horizontal or a vertical displacements, respectively, then determining i i the elongation i and strain energy of bars when two displacements occur simultaneously.
Copyright 2008 2008 © Xiamen University
Complimentary-Energy Complimentary Energy Method
P1 P2 P3 Pn
1 2 3 n
• Calculation Calc lation of strain energy energ • Generalized displacements and
forces • Axial loading
U l 0
2 E x Ax dx
l
N ( x)2
P
l A 45o B
•
pin supports, a large A l i： Analysis
Question：P=？
P
C B A
2பைடு நூலகம்
displacement, linear elastic
A
B
1
The elongation of each bar Strain energy
l l 2 2 l
j : the related generalize displacement, displacement which
U j
Strain energy gy in an elastic body y = work done by the external force on the body
U Pj
U c dP j P j
c
dW
j dP j
CE C C.E.= C.W. W
j
U c Pj
Copyright 2008 2008 © Xiamen University
Application: Castigliano Castigliano’s s Second Theorem
d dx
2 2 l l l l l 2 My Q ( x ) x M z2 ( x) N 2 ( x) T 2 ( x) y y z Qz ( x ) U dx dx dx dx s dx s dx 2 E A 2 GI 2 EI 2 EI 2 GA 2 GA p y x 0 0 0 0 0 0 l
Pj: the generalized force on the bars, which may
be a force, a couple, a pair of forces with the same magnitude and opposite directions, directions or a pair of couples with the same magnitude and opposite directions. may be a linear displacement, an angular displacement, a relative linear displacement, or a relative angular displacement
U W
P d
i i 1 0
n i
i
Strain energy is a function of final states of displacements
•
the jth linear displacement, all other linear displacements remain constant. constant Increment in dU U d j strain energy j ？
Increment in C.E. Increment in C.W.
dU
c
•
Castigliano’s Second Theorem
(9.9, p662) For linear elastic materials，the complimentary energy=strain energy
j
H
• External Work
W
T P A
m m n
x dxq
T B P
i 1
n
1 Pi i 2
x
m n
Qy(x) N(x) T(x) My(x) Mz(x)
Pi: the ith generalized force the location where Pi acts
i: the generalized displacement at
• Generalized Forces：P
Forces, and Couples • Generalized Displacements： linear displacements, angular di l displacements
•
Torsion
T 2 x U dx 0 2 GI p x
Ex：孙训方第三版（下）(p215, 14-7)
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Applications：
• two pin-jointed and horizontally placed bars with pin supports at two ends. The vertical di l displacement t at t the th middle iddl pin i i is .
0
d
0
c V 0
p Complime ntary work
Uc
u dv d dv
V
W
c
P W
0
P
dp
+d
？？
uc u, U c U
Linear elastic materials
Copyright 2008 2008 © Xiamen University
•
Bending
•
Shearing of beams
1 l M x 2 dx U 2 0 EI
Qx2 1 U s dx 2 GA
0
l
？？
Copyright 2008 2008 © Xiamen University
General expressions of external works and strain energy • Strain Energy
U c Wc
dP
i i 1 0
n Pi
i
Complimentary energy is a function of final states of forces
Assuming：a differential variation dPi in the jth force, and all other forces are kept constant.
Copyright 2006 2006 © Xiamen University
The Mutual Equivalent q Theorem
• Principle
The elastic strain energy in an elastic body generated by multiple external forces is independent of the order of loading of the external forces
• For elastic bodies, C.W.= C.E.
Complime ntary y energy
W
P P+dp p
Wc
U
c
Wc
dp
0
P
0
pd p
•
+d
Density of complimentary energy
+d
uc
uc
u d
y B
L/2 L/2
P
A
M0
x
Fig.9-37(p665)
• The deflection and the angle of rotation at middle point C of a beam
C
•
The deflection and angle of rotation i at the point i where a force and a couple act
Increment in external work
dW Pj d j
Pj
Assuming: a differential variation dj in
bars under loading loading.
Notes: the theorem Holds for all elastic
y x l l
•
A vertical force P act at B of a plane truss truss. Try to find the vertical and horizontal displacement of B.
Steps: Calculating the elongations of each bars when B subjected to a horizontal or a vertical displacements, respectively, then determining i i the elongation i and strain energy of bars when two displacements occur simultaneously.
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Complimentary-Energy Complimentary Energy Method
P1 P2 P3 Pn
1 2 3 n
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第十章 能量法 材料力学课件
§10.2 杆件变形能计算
一. 杆件基本变形的变形能 U=W
F
F
线弹性 U W 1F
2
特殊情况
F
F UW1Fl FN2l
2
2EA
Me
Me UW12Me2M Gx2Ilp
Me 广义表达式
Me UW12Me2M E2lI
UW
1F
2
内力2
2刚度
l
注意：当内力或刚度发生变化时要用
积分或分段计算
(内力)2(x)
必须强调 U W 1F 只适用于线弹性结构 2
面积= 1 底高 2
对非线性材料 U=W=曲线下的面积
可利用积分计算
U uW 0d0Fd
未作特殊说明,均假定材料在 线弹性范围内
F
F
例10.2 已知d F E G
解
求 fc=? 1 U W 2Ffc
2U
A
2a
F
C
a
B
fc F
UUCBUBA
aM 1 2(x)d x2aM 2 2(x)d x2aM x2(x)d
l M x M x dx tan l xM x dx
tan x c
M c
Mx
C•
x
Mx
l
M
lMxMxdx
tanxM(x)dx
l
tanxc
M
x xc
.c
dx
x
M M ( x) M c xc l
lM xE M Ixdx E M cI
lM xE M Ixdx E M cI
若需要分段,则: i Mci
M(x) ql x qx2(0 x l) 22
A1
。。。
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学第12章 能量法
范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧，如图12.5（a）所示。两端横截
面有相对转动，其夹角为θ ，由第7章求弯曲变形的方法可以求出
图12.5 与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M0时
，梁两端截面相对于转动产生的夹角也从零逐渐增加到θ ，M0与θ 的关系也
是斜直线，如图12.5（b）所示，所以杆件纯弯曲变形时的应变能为
dW在图12.2（a）中以阴影面积来表示。拉力从零增加到FP的整个加载过程
中所做的总功则为这种单元面积的总和，也就是说是△OAB的面积，即
可以将以上的分析推广到其他受力情况，因而静载荷下外力功的计算式可以
写为 式中的 F是广义力，它可以是集中力或集中力偶；Δ 是与广义力F相对应的
位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。式（12.2）表明，当外力
在工程实际中，最常遇到的是横力弯曲的梁。这时梁横截面上同时有剪力和
弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯矩产生的应变能和剪力产生的应变 能。在细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以不
计，常只计算弯曲应变能。另外，此时弯矩通常均随着截面位置的不同而变
化，类似于式（12.5）与式（12.9），梁的弯曲应变能为
表面上的剪力与相应的位移方向垂直，没有做功。因此，单元体各表面上的 剪切力在单元体变形过程中所做的功为
故单元体内积蓄的应变能为
则单元体内积蓄的应变比能为
下
这表明，vε 等于γ 直线
的面积。由剪切胡克定律=Gγ ,比能又可以写成下列形式
（3）扭转 如图12.4（a）所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T
，积蓄在弹性体内的应变能Vε 及能量耗损Δ E在数值上应等于载荷所做的功 ，既 如果在加载过程中动能和其他形式的能量耗损不计，应有
材料力学第13章能量法
2
T
扭转变形：
T
L
T
一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理
T
扭转变形：
T
L
T
一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理
材料力学之能量法
A
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
材料力学 能量法
能量法一、变形能（应变能）：变形固体在外力作用下由变形而储存的能量“”。
弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量1、性变形能具有可逆性。
2、塑性变形能不具有可逆性。
二、变形能的计算：利用能量守恒原理能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的能量，在数值上等于外力所作的外力功。
三、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。
常见的能量法——功能原理、单位力（莫尔积分）、卡氏定理等。
在卡氏第二定理中应该注意的问题①、Vε——整体结构在外载作用下的线弹性变形能。
②、F i视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为F i的函数②、Δi为F i作用点的、沿F i方向的变形③、Δi处要有相应的荷载，当无与Δi对应的F i时，可采用附加力法进行计算。
既先加一沿Δi方向的F i（在所求位移处沿所求位移的方向加上相对应的附加力），求偏导后，在令其为零，结果即为实际荷载作用的位移⑤、结果为正时，说明Δi与F i的方向相同；结果为负时，说明Δi与的F i方向相反。
单位力载荷法注意问题1、此种方法存在两个力系：一个为实际的力系；另一个为单位力系。
2、单位力必须与所求位移相对应：若求线位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力；若求角位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力偶。
2、内力的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。
莫尔积分必须遍及整个结构。
4、结果为“+”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相同；“-”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相反。
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学第8章-能量法
能量法/超静定问题 力法
能量法/超静定问题 力法
A
B
F
C
A
B
F
X1
A
B
F
X1
例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
解: (1) 判断超静定次数:
一次超静定!
(2) 解除多余约束,构造静定基:
B. 解除B点的可动铰支座,补充横向集中反力
A. 解除A点固定端的转动约束变为固定铰支座, 补充反力偶作用
单位力偶作用下的弯矩图
力F作用下的弯矩图
能量法/超静定问题 力法
Fa/2-Fa2/[4(a+b)]
Fa2/[4(a+b)]
1
1
1
Fa/2
根据力法正则方程：
M10
MF
根据图形互乘法：
所以有：
则：
弯矩图如图所示
能量法/超静定问题 力法
A，B两点有无相对水平位移？如何计算？
F
X1
X1
F/2
F/2
能量法/超静定问题 力法
qa2/2
qa2/2
a
a
1
a
1
解：为两次超静定问题。解除A点的约束， 并作用水平和铅垂的单位集中力。
在静定基上分别作均布力和两个单位集中 力的弯矩图如下图所示。
令水平力为‘第一’个未知反力，铅垂力为第二个。
能量法/超静定问题 力法
根据图形互乘法有：
1
代入力法正则方程：
2
有：
3
能量法/超静定问题 力法
F/2
F/2
结构由三次超静定转化为一次超静定问题。
能量法/超静定问题 力法
1
1
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能量法/超静定问题 力法
A
B
F
C
A
B
F
X1
A
B
F
X1
例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
解: (1) 判断超静定次数:
一次超静定!
(2) 解除多余约束,构造静定基:
B. 解除B点的可动铰支座,补充横向集中反力
A. 解除A点固定端的转动约束变为固定铰支座, 补充反力偶作用
单位力偶作用下的弯矩图
力F作用下的弯矩图
能量法/超静定问题 力法
Fa/2-Fa2/[4(a+b)]
Fa2/[4(a+b)]
1
1
1
Fa/2
根据力法正则方程：
M10
MF
根据图形互乘法：
所以有：
则：
弯矩图如图所示
能量法/超静定问题 力法
A，B两点有无相对水平位移？如何计算？
F
X1
X1
F/2
F/2
能量法/超静定问题 力法
qa2/2
qa2/2
a
a
1
a
1
解：为两次超静定问题。解除A点的约束， 并作用水平和铅垂的单位集中力。
在静定基上分别作均布力和两个单位集中 力的弯矩图如下图所示。
令水平力为‘第一’个未知反力，铅垂力为第二个。
能量法/超静定问题 力法
根据图形互乘法有：
1
代入力法正则方程：
2
有：
3
能量法/超静定问题 力法
F/2
F/2
结构由三次超静定转化为一次超静定问题。
能量法/超静定问题 力法
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材料力学 第十二章 能量法精品PPT课件
应变能只与外力的最终值有关与加载过程和加载次序无关。
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注意：
1、注意常力做功与变力做功的区别；
2、多个外力引起的同种变形能不能简单叠加而是要算出合 内力后，再用变形能公式计算；如果各外力相互独立，即引 起的变形互不相同，此时不同的变形能可以叠加。
3、功能原理只能计算构件只作 用一个力，力的作用点沿力作用 F 线方向的位移。
纯弯曲
U M e2l 2EI
T 2(x)
U
dx
l 2GIp (x)
横力弯曲
U Me2(x)dx l 2EI(x)
变形能等于内力的平方乘以构件的长度再除以2倍的刚 度，若内力或刚度为变量时，将长度取为微量再积分
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4、组合变形的变形能
截面上存在几种内力，力独立作用原理成立，各个内 力只对其相应的位移做功。
端B的挠度。
F
解：
A
B
M(x) F x
x l
U
M 2(x )
dx
l ( Fx)2 dx
F 2l3
2EI
0 2EI
6EI
1 W 2 F wB
Fl3 由U=W 得： w B 3 E I
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例12-2、试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。
解：
F
U
M 2(x )
2EI
dx
A
W3
F1δB2
F 1F 2a EA
所以应变能为：
U 1 W W1W2W3 F12aF22(ab)F1F2a 2EA 2Eb C
W1
F
2 1
a
2EA
F2
W2
F22(a b) 2EA
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材料力学第10章-能量法
10-4 卡氏定理
（2）先加载dFi ，则力 dFi 在其相应的位移 di上做的功为
1
W1 dFi di
2
F1
再加载F1, F2 ,, Fn ，在相应
的位移 i 上所做的功为
1
n1
W2 i1 2 Fi i V
F2
2
dFi Fi
di
i
n
Fn
原来载荷 dFi 对位移i 上所做的功为
W3 dFi i
F A
F
在位移坐标轴上取了一个微段d ，
该微段对应的外力可视为常力。则常力作
功为
dW Fd k d
B
当外载荷和相应的位移由零缓慢增加 O
d
至F 和 时，在这个过程中外力作功
k 2 F
W kd 0
2
2
SOAB
线弹性范围内，外载荷所做的功等于力与位移乘积的一半。
10-2 外载荷做的功
二、多个力作用下的外力功
量的损失），弹性体内部所贮存的应变能，在数
值上等于外力所作的功，即满足：
V W
l
P
利用功和能的概念来求解可变形固体的位移、变形和内力
等的方法，通称为能量方法。
10-2 外载荷做的功
一、单个力作用下的外力功
材料服从胡克定律，即在线弹性范围内，弹性体在外力
作用下位移 与外载荷F 成正比，即
F k
横力弯曲时，弯矩为x的函数，则横力弯曲时的应变能为
M (x)2 dx dV
2EI
M (x)2 dx
V l 2EI
四、用广义力和广义位移表示的应变能
轴向压力
扭转
弯曲
F l V 2
V M e