湖北省部分重点中学2020-2021学年高二数学上学期联考试题【含答案】
湖北省部分重点中学2020-2021学年高二数学上学期联考试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则（ ）{(,)|23}A x y x y =+={}2(,)|B x y y x ==A B = A.{(1,1)} B.{(3,9)}- C.{(1,1),(3,9)}- D.∅2. 已知直线在轴上的截距是，在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）l x 5-y 6l A.65300x y -+= B.65300x y +-= C.65300x y --= D.65300x y ++=3.若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）x 242x x mx -+>{}|02x x <<m A.1- B.1 C.2 D.2-4. 若向量，是夹角为的两个单位向量，则；的夹角1e 2e 60︒122a e e =+ 1232b e e =-+ 为（ ）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒5.设圆的圆心为，且与直线相切，则圆的方程为（ ）M ()3,5-720x y -+=M A.()()223532x y ++-= B.()()223532x y +++=C.2261020x y x y +-++=D.2261020x y x y +-+-=6. 在中，点、分别是、边的中点，、分别与交于、ABCD E F AD DC BE BF AC R 两点，（），则（ ）T ET x AB y AD =+ ,x y R ∈x y += A.16 B.13 C.23 D.567. 设为平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）．αa b A ．若，，则B ．若，，则a α∥b α∥a b∥a α⊥a b ⊥b α∥C ．若，，则D ．若与相交，且//，则//a α⊥a b ∥b α⊥a b a αb α8.已知圆上恰有三个点到直线的距离等于，则实数的取值是22:4C x y +=:l y x b =+1b （ ）A ，B ．，C ．，D ．，22-2-29. 已知实数，，满足，且，则下列不等式中正确的是（ ）a b c a b c <<0a b c ++=A. B. C. D.222a b c <<22ab cb <ac bc <ab ac <10.在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，1111ABCD A B C D -ABCD P 11A D，为正方形所在平面内的一个动点，且满足2AD =1AA =Q ABCD．则线段的长度的最大值是 QC =BQ ()A ．2B ．4C ．6D ．前三个答案都不对11. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，则下ABC ∆αP PO α⊥O PA PB PC 列结论错误的是（ ）A ．若，，则点是的中点PA PB PC ==90C ∠=︒O AB B ．若，则点是的外心PA PB PC ==O ABC ∆C ．若，，，则点是的垂心PA PB ⊥PB PC ⊥PC PA ⊥O ABC ∆D ．若，，，则四面体外接球的表面积2PA BC ==3PB AC ==4PC AB ==PABC 为29π12.已知满足，满足，则 1x 334x x +=2x 3335x x -=-12x x +=()前三个答案都不对A.2B.3C.4D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，都是锐角，，，则 .αβ1cos 7α=()11cos 14αβ+=-cos β=14.在中，，，则 .ABC ∆BC =10AB =6A π=B =15.已知直线的倾斜角等于直线的倾斜角的一半，且经过点，则直线l 3440x y -+=()2,3-的方程为 .l 16.在中，，垂足为，且，则ABC ∆AD BC ⊥D ::2:3:6BD DC AD = .cos BAC ∠=三、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知点，.()1,2A ()3,4B （1）求直线的倾斜角；AB α（2）在轴上求一点，使得以、、为顶点的三角形的面积为.x M A M B 1018.（12分）在中，角，，的对边分别是，，，且.ABC ∆A B C a b c 2sin 5tan a B c C =（1）求的值；222a b c +（2）记边的中点为，若，求中线的长度.AB D 2AB =CD 19.（12分）设，，函数，且已知函数在区间)2a = ()2sin 2,cos b x x = ()f x a b m =⋅+ ()f x 上的最大值为.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦6（1）求实数的值；m （2）求使得成立的的取值集合.()5f x ≥x 20.（12分）设直线，（）.():3419260l x y x y λ+-++-=R λ∈（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；l M M （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；l l （3）设直线与轴、轴的正半轴交于点，，求当（点为（1）中的定l x y A B MA MB M 点）取得最小值时直线的方程.l21.（12分）如图，已知平面，，且，，，，为垂足.αβl αβ= PC α⊥PD β⊥C D （1）试判断直线与的关系，并证明你的结论；l CD （2）设直线与平面交于点，点，若二面角的大小为，且l PCD A B l ∈l αβ--120︒，求平面与平面所成的锐二面角的大小.2PC PD AB ===PCB PCD 22.（12分）已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦C 30x y -=x l 0x y -=长为第21题图（1）求圆的方程；C （2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为.A C ()7,6B M 2AM MB = M Γ①求的方程，并说明是什么图形；ΓΓ②试探究：在直线上是否存在定点（异于原点），使得对于上任意一点，都l T O ΓP 有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明POPT T理由.答案1、选择题：1．C 2．A 3．B 4． C 5．C 6． D 7． C 8．A 9．C 10．C 11．D 12．B二、填空题：13． 14．或 15． 16．1212π712π3110x y --=三、解答题：17.解：（1）由斜率公式得：，又42tan 131α-==-[)0,απ∈则直线的倾斜角为；………………………………………………4分α4π（2）由题设条件可知，直线的方程为：，AB 10x y -+= 设点,到直线的距离为，则(,0)M t M ABd d 则……………………………8分111022AMB S AB d ∆==⨯ 911t t ∴==-或 则M 的坐标为 ………………………………………10分(9,0)(11,0)M M -或另外，也可过点作轴的垂线，构造梯形，利用梯形面积减去2个直角三角形面积可得,A B x 相应方程，可参考给分。
18．解：（1）由题设条件可得：，即sin 2sin 5cos C a B c C=⋅222252c ab c a b c ab=+-即：……………………………5分2226a b c +=（2）222624,a b c +==设，则CD x =在中，由余弦定理得，，ACD ∆2222cos CD AD CD AD CDA AC +-⋅∠=即；①2212cos cos x x CDA b +-∠=在中，由余弦定理得，，BCD ∆2222cos CD BD CD BD CDB BC +-⋅∠=即；②2212cos cos x x CDB a +-∠=又，cos cos 0CDA CDB ∠+∠=①+②得，，故，所以22222x a b +=+211x =CD =因此，中线.……………………………12分CD 19．解：（1）()mx x x f ++=2cos 22sin 3162sin 212cos 2sin 3++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=m x m x x π＝，⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈67,6622,0ππππx x 时，当162sin 有最大值则⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx .………………6分()3612=++m m x f ，解得＝的最大值为（2）令()5462sin 25≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥πx x f ，即2162sin ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πx，()z k k x k ∈+≤+≤+πππππ2656226有解得.………………12分()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤z k k x k x x πππ3的取值集合为20．（1）. ………………3分()414106201943，为，则定点解得联立方程M y x y x y x ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-+=-+（2）当直线过原点时，04:,6190619=--=y x 此时直线的方程为，则＝－－λλ当直线不过原点时，，()()0619423=-+++λλλ－直线方程化为y x 则051423=-+++y x ，所求直线为＝，解得＝λλλ综上，直线方程为…………7分0504=-+=-y x y x 或（3）1),0,0)(,0(),0,(=+>>by a x l b a b B a A 的方程可设为则直线设141),4,1(=+ba M l 则过点又直线)4,1()4,1(--∙-=∙=→→b a MB AM MB MA ()84424417)41(4174=∙≥+=-++=-+=ba ab b a a b b a b a b a 当且仅当时等号成立，此时. …………12分5a b ==05=-+y x 直线方程为21．（1）∵,α⊥PC β⊥PD ,∴l PC ⊥lPD ⊥又PPD PC =⋂∴PCDl 平面⊥∵PCDCD 平面⊂∴CDl ⊥即直线与是垂直关系.…………………………………………5分l CD （2）连接，，则∵,AC AD AC PC ⊥ADPD ⊥四点共圆∴D A C P 、、、∴60=∠CPD ∵,又，AC AD =2CD =∴AC AD ==∵，2AB =，∴BC =∵α⊥PC ,∴AC PC ⊥CPC B ⊥∴就是二面角的平面角BCA ∠∴sin 23BC AB BCA ==∠∴3BCA π=∠即平面与平面所成的锐二面角的大小为.……………………………12分PCB PCD 3π22．（1）设圆心，则由圆与x 轴正半轴相切，可得半径．(),3t t 3r t =∵圆心到直线的距离d==，由7+2=，解得．23t t -t 22t 2r 1t =± 故圆心为或，半径等于．()1,3()1,3--3∵圆与轴正半轴相切x 圆心只能为∴()1,3故圆的方程为．………………………………4分C ()()22139x y -+-=（2）①设，则：=(，)，=（7-,6-）),(y x M AM A x x -A y y -MB x y∴⎩⎨⎧-=--=-y y y x x x A A 212214∴⎩⎨⎧+=+=yy xx A A 312-314-∵点A 在圆上运动 C ∴()()93123114322=--+--y x 即： ∴()()915315322=-+-y x ∴()()15522=-+-y x 所以点的轨迹方程为，M ()()15522=-+-y x 它是一个以………………………………8分()为半径的圆。
2020-2021学年湖北省部分重点中学高二上第一次联考数学(解析版)
A．若 ， ，则点 是 的中点
B．若 ，则点 是 的外心
C．若 ， ， ，则点 是 的垂心
D．若 ， ， ，则四面体 外接球的表面积为
【答案】D
【解析】应用直线与平面垂直的判定和性质，平面几何中三角形的重心、垂心和外心以及外接球半径的的知识，即可解决．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得 和 是方程 的实数根，再代入求解即可得答案.
【详解】
解：根据题意得 和 是方程 的实数根，
所以 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查根据二次不等式解集求参数，是基础题.
4．设圆 的圆心为 ，且与直线 相切，则圆 的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【点睛】
本题考查直线与圆的的位置关系，求参数，属于基础题.
8．已知 且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 且 ，
∴ ．
∴ ．
选C．
9．在长方体 中，已知底面 为正方形， 为 的中点， ， ，点 为正方形 所在平面内的一个动点，且满足 .则线段 的长度的最大值是（）
【详解】
A.若 ， ，则 平行，相交或异面，故错误；
B.若 ， ，则 与 平行或在平面内，故错误；
C.若 ， ，则 ，由线面垂直的性质定理知，正确；
D.若 与 相交，且 // ，则 与 平行或相交，故错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查空间直线，平面间的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
7．已知圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 ，则实数 的取值是（）
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=，若12l l ⊥，则a 的值为（ ） A ．8 B ．2C ．12-D ．-2【答案】D【分析】根据两条直线垂直，列方程求解即可.【详解】由题：直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=相互垂直， 所以240a +=， 解得：2a =-. 故选：D【点睛】此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.2．方程220x y x y m +++-=表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．12m >-B ．12m <-C ．12m ≤-D ．12m ≥-【答案】A【分析】解不等式2241140D E F m +-=++>即得解. 【详解】由题得22141140,2D E F m m +-=++>∴>-. 故选：A【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为 ）A ．2213616x y +=B ．2211636x y +=C ．22164x y +=D ．22164y x +=【答案】A【分析】根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，由此可求得椭圆的标准方程.【详解】由题意可得222102a b c c a b +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得64a b =⎧⎨=⎩，因此，椭圆的标准方程为2213616x y +=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查计算能力，属于基础题.4．已知直线1l ：()111100A x B y C C ++=≠与直线2l ：()222200A x B y C C ++=≠交于点M ，O 为坐标原点，则直线OM 的方程为（ ）A ．121212120A AB B x yC C C C ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．121212120A A B B x yC C C C ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112122210C C C C x y A A B B ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112122210C C C C x y A A B B ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】将两直线的一般式中的常数项均变为1，验证O ，M 的坐标是否均满足该直线的方程即可判断. 【详解】直线1l ：111110A Bx y C C ++=，直线2l ：222210A B x y C C ++=，两式相减可得121212120A A B B x y C C C C ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为点O ，M 的坐标都满足该直线的方程，故点O ，M 都在该直线上. 所以直线OM 的方程为121212120A A B B x y C C C C ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A .【点睛】本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力.5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．3y x =± B．y = C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b ，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+， 即：223a b ，33b a =， 所以双曲线的渐近线方程为：33y x =±. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.6．已知圆()()22:cos sin 1M x y θθ++-=，直线:l y kx =，则下面命题错误的是（ ）A ．必存在实数k 与θ，使得直线l 与圆M 相切B ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 有公共点C ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切 【答案】D【分析】由题意可知，直线l 过原点，可计算出圆心M 到直线l 的最大距离，进而可判断出各选项的正误.【详解】圆心M 的坐标为()cos ,sin θθ-，直线l 恒过原点O ，所以，圆心M 到直线l 的距离d 的最大值为1OM ==，即1d ≤， 所以直线l 与圆M 必有公共点，B 选项正确；对任意实数k ，过原点作直线l 的垂线交圆221x y +=于点M ，则点M 即为所求，A 、C 选项正确；当0θ=时，圆M 的方程为()2211x y ++=，此时，直线0x =与圆M 相切，但k 不存在，D 选项错误. 故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线过定点的问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，右顶点为A ，过原点与x 轴不重合的直线交C 于M ，N 两点，线段AM 的中点为B ，若直线BN 经过C 的右焦点，则C 的方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22165x y +=C ．22198x yD ．2213632x y += 【答案】C【分析】由题知：1c =，设点()()0000,,,M x y N x y --，则00,22x a y B +⎛⎫⎪⎝⎭，再根据//BF NF →→计算a ，即可求得椭圆方程.【详解】由题知：1c =，设点()()0000,,,M x y N x y --，则00,22x a y B +⎛⎫⎪⎝⎭， 又右焦点()1,0F ，且有直线BN 经过点F ，所以//BF NF →→，()00001,,1,22x a y BF NF x y →→+⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，所以()00001122x a y y x +⎛⎫⎛⎫-⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：3a =，所以：28b =，所以椭圆方程为：22198x y .故选：C【点睛】关键点睛：解此题的关键是能够将直线BN 经过点F ，转化为向量//BF NF→→来求解a 值.当然也可以先由,B N 两点求解直线BN ，再将点F 坐标代入求解a .8．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．16【答案】B【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案.【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时，设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立.故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题.二、多选题9．设椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F △的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F △C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[]1,3 【答案】ABD【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A ；当点P 位于上下顶点时，12PF F △面积的最大即可判断选项B ；当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大与90比较即可判断选项C ；当点P 为椭圆C 的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.【详解】由椭圆方程可知2a =，b =1c ==．对于选项A:根据椭圆定义，1224PF PF a +==，又1222F F c ==，所以12PF F △的周长是226a c += ，故选项A 正确； 对于选项B ：设点()()1000,P x y y ≠，因为122F F =，则12020112PF F S F F y y ⋅==△．因为00y b <≤12PF F △B 正确；对于选项C ：由椭圆性质可知，当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大． 此时，122PF PF a ===，又122F F =，则12PF F △为正三角形，1260F PF =︒△， 所以不存在点P ，使12PF PF ⊥，故选项C 错误；由图可知，当点P 为椭圆C 的右顶点时，1PF 取最大值，此时13PF a c =+=； 对于选项D ：当点P 为椭圆C 的左顶点时，1PF 取最小值，此时11PF a c =-=，所以[]11,3PF ∈，故选项D 正确．故选：ABD【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆22221x y a b+=()0a b >>上一点()00,P x y ()00y ≠和焦点()()12,0,,0F c F c -为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，则 （1）焦点三角形的周长为22a c +；（2）当点P 为椭圆短轴的一个端点时，12F PF θ∠=为最大； （3）12121sin 2PF F SPF PF θ=⨯⨯，当0y b =时，即点P 为椭圆短轴的一个端点时12PF F S取最大值，为bc ；（4）122tan2PF F Sb θ=.10．双曲线221916x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，下列结论正确的是（ ）A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为43y x =±C ．点P 到两渐近线的距离的乘积为14425D ．若12PF PF ⊥，则12PF F ∆的面积为32 【答案】BC【分析】由所给双曲线方程计算可得. 【详解】解：221916x y -= 3,4,5a b c ∴===53c e a ∴==，故A 错误； 双曲线的渐近线方程为43y x =±即430x y ±=，故B 正确； 设双曲线上一点()00,P x y ，22001916x y ∴-=即2200169144x y -=则P 到两渐近线的距离的乘积为220000001694343144552525x y x y x y -+-⋅==，故C 正确；若12PF PF ⊥，则1290F PF ∠=︒由焦点三角形面积公式122121616tan 45tan2PF F F P S F b ∆===∠︒，故D 错误. 综上，正确的有BC 故选：BC【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦点三角形的面积公式，属于基础题. 11．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C - ，()2,0D - ，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则下面说法正确的是（ ）A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32π B ．CB 与BA 的公切线方程为：120x y +-= C ．AB 所在圆与CB 所在圆的交点弦方程为：0x y -= D ．用直线y x =截CD 所在的圆，所得的弦长为22【答案】BC【分析】由题知曲线Ω与x 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，故此可写出各段圆弧所在圆的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项即可.【详解】连BC 交y 轴于点Q ，过点B 作BN x ⊥轴于N ，过点C 作CM x ⊥轴于M ， 各段圆弧所在圆的方程分别为：CD ：()2211x y ++=；CB ：()2211x y +-=；BA ：()2211x y -+=；由题知曲线Ω与x 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，所以围成的面积等于22242ππ⨯++=π+，故A 错误；易知直线QN ：1y x =-+，公切线l 平行于NQ ，且两直线间的距离为1， 设直线l ：()0y x b b =-+>，所以112b -=，解得21b =+，所以直线l ：210x y +--=，故B 正确；将AB 所在圆与CB 所在圆方程相减，得交点弦方程为：0x y -=，故C 正确；圆心()1,0-到直线y x =的距离为22d =，所以弦长为222122⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：BC12．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（ ） A ．()2,0 B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2-【答案】AD【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC ∆的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=，①由()4,0A -，()0,4B ，ABC ∆重心为44(,)33x y -+， 代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=，② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故选:AD【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.三、填空题13．已知x ∈R ，则______．【答案】-10【分析】将问题转化为动点到两定点的距离之差的最小值，结合三角形法则即可求解.(,0)P x 到点()()1,2,5,10A B -距离之差，当点,,P A B 三点不共线时，则有PA PB AB -<,当点,,P A B 三点共线时，则有PA PB AB -=,故10,10PA PB AB PA PB -≤=-≤-，当且仅当点P 为直线AB 与x 轴的交点时，取最小值-10. 故答案为：-10【点睛】本题主要考查两点间距离公式的逆用，属于能力提升题.14．已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为0x -=，则圆E 的方程为_____.【答案】22(3x y +=【分析】两圆圆心连线与公共弦垂直，计算得到圆心为，圆E 过原点，故r =得到答案.【详解】两圆圆心连线与公共弦垂直，2220x y x +-=，即()2211x y -+=，圆心为()1,0，故圆心连线所在的直线为：)1y x =-，取0x =得到圆E圆心坐标为，2220x y x +-=和0x -=均过原点，故圆E过原点，故r =故方程为22(3x y +=.故答案为：22(3x y +=.【点睛】本题考查了圆方程，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定圆心和半径是解题的关键.15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，如果椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=，且12PF F △的面积等于4，则ab 的取值范围为________.【答案】)⎡+∞⎣【分析】设(),P x y ，由120PF PF ⋅=得到P 在圆222x y c +=上，根据题意可得c b ≥，根据12PF F △的面积等于4，得到P 点纵坐标，将圆与椭圆联立，表示出P 点纵坐标，从而得到2b 的值，结合222a b c =+，得到a 的范围，从而求得ab 的范围. 【详解】设(),P x y ，()1,0F c -，()2,0F c ， 因为椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=，所以222120PF PF x y c ⋅=+-=，即222x y c +=， 可得c b ≥，因为12PF F △的面积等于4，所以1242P c y ⋅⋅=，即4P y c=， 椭圆与圆联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得2P by c =， 所以24b =，即2b =，因为c b ≥，222a b c =+，所以2228a b ≥=，即a ≥，所以ab ≥故答案为：)⎡+∞⎣【点睛】本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的坐标运算，焦点三角形的面积问题，属于中档题.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________. 【答案】2【分析】联立8y x =-和2140x y --=，得到线段AB 的中点C 的坐标为()2,6-，由点差法得到2212122121y y y y b x x x x a-+⋅=-+，根据AB 斜率和C 的坐标为()2,6-，得到,a b 之间的关系，从而得到离心率.【详解】点A ，B 关于直线8y x =-对称， 线段AB 的中点在直线2140x y --=上所以82140y x x y =-⎧⎨--=⎩得()2,6C -，设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212412x x y y +=⎧⎨+=-⎩ 将()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()2212121212a x x x x y y y y b-+=-+.∵210x x -≠，∴2212122121y y y y b x x x x a -+⋅=-+， ∴22124AB k ab -⨯=.∵点A ，B 关于直线8y x =-对称 ∴1AB k =-，所以()2213b a-⨯-=，即223b a =.∴双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：2【点睛】本题考查点关于直线对称，双曲线的方程与几何性质，双曲线弦中点问题，求双曲线的离心率，属于中档题.四、解答题17．已知直线l 经过点()1,2P .（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若()1,1A -，()3,1B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程. 【答案】（1）2y x =或3x y +=（2）24y x =-+或1y x =+ 【分析】（1）讨论直线是否过原点，利用截距相等进行求解即可．（2）根据点到直线的距离相等，分直线平行和直线过A ，B 的中点两种情况进行求解即可．【详解】（1）若直线过原点，则设为y ＝kx ，则k ＝2，此时直线方程为y ＝2x ， 当直线不过原点，设方程为x ya a+=1，即x +y ＝a ， 此时a ＝1+2＝3，则方程为x +y ＝3， 综上直线方程为y ＝2x 或x +y ＝3． （2）若A ，B 两点在直线l 同侧， 则AB ∥l ， AB 的斜率k 112132---===--1， 即l 的斜率为1，则l 的方程为y ﹣2＝x ﹣1，即y ＝x +1，若A ，B 两点在直线的两侧，即l 过A ，B 的中点C （2，0）， 则k 2012-==--2， 则l 的方程为y ﹣0＝﹣2（x ﹣2），即y ＝﹣2x +4， 综上l 的方程为y ＝﹣2x +4或y ＝x +1．【点睛】本题主要考查直线方程的求解，结合直线截距相等以及点到直线距离相等，进行分类讨论是解决本题的关键．18．已知圆C 以点(2,0)为圆心，且被直线20x +=截得的弦长为 （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过点(5,5)M ，且与圆C 相切，求直线l 的方程. 【答案】（1）22(2)9x y -+=（2）5x =或815350x y -+=.【分析】（1）设出圆的半径，根据圆的弦长公式可求出半径，即可写出圆C 的标准方程； （2）当斜率不存在时，检验是符合；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，根据直线与圆相切，即可求出斜率，得到直线方程．【详解】（1）根据题意，设圆C 的方程为222(2)x y r -+=，因为圆C 被直线20x +=截得的弦长为()2,0到直线20x -+=的距离为2d ==，则=29r =． 则圆C 的标准方程为22(2)9x y -+=. （2）当斜率不存在时，直线l 的方程为5x =，显然圆心(2,0)到5x =的距离为3，正好等于半径，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k ，则过M 点的直线方程为：5(5)y k x -=-， 即550kx y k -+-=，圆心到直线的距离等于半径3，3d ==，解得815k =，所以直线l 的方程为815350x y -+=.综上，所求的直线方程为5x =或815350x y -+=.【点睛】本题主要考查圆的方程求法以及直线与圆的位置关系的应用，注意分类讨论思想的应用，属于基础题．19．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为的直线方程； （2）求222||||||PA PB PC ++的最值.【答案】(1)7100x y ++=或20x y +-=;(2)最大值为88,最小值为72.【分析】(1) 依题意,直线的斜率存在, 设出直线方程, 结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果.(2) 由(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----设P 点坐标为(),x y 则224x y +=. 代入化简可得222||||||804PA PB PC y ++=-,由22y -≤≤,即可求得求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E截得的弦长为,所以圆心,设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,所以=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=.(2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程,考查圆上的点到定点的距离平方和的最值问题,熟记直线与圆的位置关系,以及点到直线距离公式即可,难度较易. 20．已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为(0,1)A 、(0,1)B -，焦距为 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线y m =与椭圆C 有两个不同的交点M 、N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD 、BM 的斜率的积为14-．证明：点D 在x 轴上． 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知条件得出b 、C 的值，进而可得出a 的值，由此可求得椭圆C 的方程；（2）设点()1,M x m ，可得()1,N x m -，且10x ≠，11m -<<，求出直线BM 的斜率，进而可求得直线BD 与AN 的方程，将直线直线BD 与AN 的方程联立，求出点D 的坐标，即可证得结论.【详解】（1）由题设，得1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设()1,M x m ，则()1,N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x --+=-，因为直线BD 、BM 的斜率的积为14-，所以直线BD 的斜率为14(1)x m -+．直线AN 的方程为111m y x x -=+，直线BD 的方程为114(1)x y x m =--+． 联立111114(1)m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩，解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=，则0D y =，所以点D 在x 轴上．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题型.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率e =，双曲线C 上任意一点1． （1）求双曲线C 的方程．（2）过点()1,1P 是否存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于R ，T 两点，且点P 是线段RT 的中点？若直线l 存在，请求直线l 的方程：若不存在，说明理由．【答案】（1）2212y x -=；（2）这样的直线l 不存在，证明见解析. 【分析】（1）由离心率和距离最小可得出,a c 的方程，解出,a c ，求出2b 即可求出双曲线方程；（2）用点差法求出直线方程，然后直线和双曲线联立检验，可判断直线是否存在.【详解】（1）由题意可得==ce a，当P 为右顶点时，可得到右焦点的距离最小，即有1c a -=，解得1a =，c =b ==2212y x -=；（2）过点()1,1P 假设存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于R ，T 两点，且点P 是线段RT 的中点．设(),R x y ，()22,T x y ，可得221112-=y x ，222212-=y x ，两式相减可得()()()()1212121212x x x x y y y y -+=-+，由中点坐标公式可得122x x +=，122y y +=，可得直线l 的斜率为()1212121222x x y y k x x y y +-===-+，即有直线l 的方程为，()121y x -=-，即为21y x =-，代入双曲线的方程，可得22430x x -+=，由判别式为1642380-⨯⨯=-<，可得方程无实数解.故这样的直线l 不存在． 【点睛】本题考查中点弦问题，属于基础题.方法点睛：（1）设直线与双曲线交点的坐标，代入双曲线方程，做差；（2）整理可得双曲线系数比，直线斜率和中点坐标比值的关系，求出直线斜率； （3）代入中点坐标，求出直线方程； （4）直线和双曲线联立，检验是否有解.22．已知椭圆222:13x y C a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113eOF OA AF+=，其中O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3． 【分析】（1）由题可得()113cc a a a c +=-，又2223b a c =-=，即可算出,a c ，故可得椭圆方程；（2）由题意分析可得直线l 与x 轴不垂直，设其方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立l 与椭圆C 的方程，可得()2234880k x kx ++-=，结合根与系数的关系和三角形面积公式可以用k 表示△OMN的面积12214123x x S k ⨯⋅-==+212t k =+，由基本不等式分析可得答案．【详解】（1）∵OF c =，OA a =，AF a c =-∴()113c ca a a c +=-∴2223a c c -= ∵2223b a c =-=∴2223a c c -=∴21c =∴22143x y+=（2）设过点()0,1的直线:1AB l y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y 则12112MON S x x =⨯⋅-=△联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2234880k x kx ++-=， 故122834k x x k+=-+，122834x x k -⋅=+故MONS ==△令212t k =+，[)1,t ∈+∞故MON S ==△， 故当1t =时，即0k =时，面积最大MON S =△ 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。
2020-2021学年湖北省鄂州高中、鄂南高中高二上学期10月联考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省鄂州高中、鄂南高中高二上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知直线6320x y -+=的倾斜角为α，则2sin 22cos αα-=（ ） A ．25-B ．45-C ．125-D ．25【答案】D【解析】由已知条件可得2tan α=，而22222sin cos 2cos sin 22cos sin cos ααααααα--=+22tan 2tan 1αα-=+，从而可求得结果 【详解】解：因为直线6320x y -+=的倾斜角为α， 所以2tan α=，所以cos 0α≠，所以22222sin cos 2cos sin 22cos sin cos ααααααα--=+ 22tan 2tan 1αα-=+22222215⨯-==+，故选：D 【点睛】此题考查直线的倾斜角和斜率的关系，考查正弦的二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于基础题2．已知向量a 与b 的夹角为45°，||2,||2a b ==，当(2)b a b λ⊥-时，实数λ为（ ） A ．1 B ．2 C ．12D ．12-【答案】B【解析】由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的运算律计算可得． 【详解】∵(2)b a b λ⊥-，∴22(2)22cos 450b a b a b b a b b λλλ⋅-=⋅-=︒-=，∴222cos 452a bλ⨯⨯︒===．故选：B ． 【点睛】本题考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的运算律，属于基础题． 3．若圆22:9C x y +=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b -+=>的距离为2，1:0l x y -+=，则l 与1l间的距离为（ ）A ．1BC ．3D ．2【答案】D【解析】由直线和圆位置关系知，与直线l 距离为2的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，从而可得圆心到直线l 的距离，由此求得直线l 的方程，再由平行线间距离公式求解． 【详解】∵圆22:9C x y +=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b -+=>的距离为2，圆的半径为3，∴与直线l 距离为2的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，则圆心(0,0)C 到直线l 的距离为11=，∵0b>，∴b =l 方程为0x y -，∴l 与1l间的距离为2d ==．故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查两平行线间的距离公式，用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系是常用方法．4．已知椭圆221259x y +=的左右焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，则12PF PF ⋅的最大值是（ ） A ．9 B ．16C ．25D ．27【答案】C【解析】由椭圆定义得12PF PF +，然后由基本不等式可得结论． 【详解】由题意5a =，12210PF PF a +==，221212102522PF PF PF PF ⎛⎫+⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当125PF PF ==时等号成立，故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查基本不等式求最值．掌握椭圆的定义是解题基础．5．已知2sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．19B ．19-C ．19±D ．89-【答案】B【解析】由余弦的二倍角公式求得2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由诱导公式可得．【详解】由题意22221cos 212sin 123339ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴1sin 269πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，解题关键是寻找到“已知角”和“未知角”的关系，确定先用的公式与顺序，从而正确快速求解．6．已知半径为2的圆经过点(4,3)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【解析】设圆心坐标得圆的圆心轨迹方程，再利用点与点的距离公式求解 【详解】半径为2的圆经过点（3，4），设圆心坐标为(),a b 则圆的方程为()()223+4=4a b -- ，可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，2为半径的圆，故圆心到原点的距离的最小值为（3，4）到原点的距离减半径， 即223423+-= 故选：A ． 【点睛】本题考查了圆的轨迹方程，考查圆上的点到定点的距离得最值，是一道常规题． 7．已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，20OA OB OC ++=，则OBC ABCS S=（ ）A ．13B ．14C ．12D ．15【答案】C【解析】取BC 边中点D ，由已知得22OB OC OD AO +==，即O 是AD 的中点，可得到答案. 【详解】取BC 边中点D ，连接AD ，由20OA OB OC ++=，得22OB OC OD AO +==，所以OD AO =，所以O 是AD 的中点，OBC 与ABC 有相同的底边BC ，它们的高之比即为OD 与AD 的比为12，12OBC ABCS S∴=故选：C. 【点睛】向量的加减运算是解决问题的关键，要正确分析.8．如图，要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是4π，在D 点测得塔顶A 的仰角是6π，水平面上的,40m 3BCD CD π∠==，则电视塔AB 的高度为（ ）mA ．20B ．30C ．40D ．50【答案】A【解析】设电视塔高为h ，表示出,BD BC 后由余弦定理列式可求得h ． 【详解】 设AB h =，则间tan4h BC hπ==，3tan6h BD hπ==，在BCD 中，,40m 3BCD CD π∠==，则2222cos BD CB CD CB D BCD =+-⋅∠， 即222221340240cos 408032h h h h h π=+-⨯⨯=+-⨯，解得20h =（40-舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，根据已知条件选择恰当的公式求解是解题关键．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；B ．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若A B >则a b >； C ．若数列{}n a 为等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；D ．垂直于同一个平面的两条直线平行． 【答案】BD【解析】分别根据椭圆的定义，三角形的边角关系，等比数列的定义，线面垂直的性质定理判断． 【详解】若距离之和等于12F F ，则轨迹是线段12F F ，不是椭圆，A 错； 三角形中大边对大角，大角对大边，B 正确；{}n a 的公比1q =-时，10n n a a ++=，{}1n n a a ++不是等比数列，C 错；由线面垂直的性质定理知D 正确． 故选：BD ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，需要掌握椭圆的定义，三角形的边角关系，等比数列的定义，线面垂直的性质定理等知识，考查知识面较广，属于基础题． 10．下列命题中的真命题有（ ）A ．已知,a b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的充分而不必要条件；B ．已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则0:0p x ⌝∃≤，使得()011xx e +≤C ．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“//m β”是“//αβ”的必要而不充分条件；D ．“200,2xx R x ∃∈>”的否定为“2,2x x R x ∀∈≤”【答案】CD【解析】根据全称命题、特称命题的否定的判定，充分不必要条件、必要不充分条件的判断逐项排除. 【详解】,a b 是实数，由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得a b >，由33log log a b >得0a b >>， 所以错误；B. 命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则0:0p x ⌝∃>，使得()011xx e +≤，所以错误；C. 设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“//m β”是“//αβ”的必要而不充分条件，正确；D. “200,2xx R x ∃∈>”的否定为“2,2x x R x ∀∈≤”，正确，故选：CD. 【点睛】本题考查了全称命题、特称命题的否定，充分不必要条件、必要不充分条件的判断. 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n=C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列【答案】ABD【解析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3n n n S =+-=，13n S n=．B 正确； 2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确．故选：ABD ． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．12．己知正三棱锥P ABC -的底面边长为1，点P 到底面ABC则（ ） ABC．该三棱锥体积为12D ．AB 与PC 所成的角为2π【答案】ABD 【解析】【详解】如图，PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，233144ABC S =⨯=△，1136233412P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯⨯=△，C 错； 1331326DM =⨯⨯=，22353(2)66PD ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，33CM =． 12PBC S BC PD =⨯⨯△1535312612=⨯⨯=， 所以53333331242PBC ABC S S S =+=⨯+=△△， 设内切球半径为r ，则13P ABC Sr V -=，632126332r ⨯==，A 正确；易知外接球球心在高PM 上，球心为O ，设外接球半径为R ， 则()222323R R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得7212R =，B 正确； 由PM ⊥平面ABC ，AB 平面ABC 得PM AB ⊥，又CD AB ⊥，CD PM M =，所以AB ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥，所以AB 与PC 所成的角为2π，D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查正棱锥的性质，考查棱锥的体积，内切球与外接球问题，异面直线所成的角，掌握正棱锥的性质是解题关键．三、填空题13．已知等差数列{}n a 前n 项和n S ，且201920200,0S S ><，若10k k a a +<，则k 的值为________ 【答案】1010【解析】利用等差数列的性质与前n 项和公式求解． 【详解】1201920192019()02a a S +=>，则120190a a +>，12019101020a a a +=>，∴10100a >，1202020202020()02a a S +=<，则120200a a +<，∴12020101010110a a a a +=+<，∴10110a <，由等差数列的性质知数列前1010项为正，从第1011项起均为负， ∴满足10k k a a +<的1010k =． 故答案为：1010． 【点睛】本题考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，掌握等差数列性质是解题关键．14．已知tan ,tan αβ为方程260x ++=的两根，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________【答案】23π-【解析】应用韦达定理后，求得tan()αβ+，再确定αβ+的范围后可得． 【详解】由题意tan tan tan tan 6αβαβ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩tan ,tan αβ均为负数，即,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，(,0)αβ+∈-π，又tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++===-∴23αβπ+=-． 故答案为：23π-．【点睛】本题考查两角和的正切公式，求角问题的解题方法与步骤：（1）确定角的范围（可能需要通过三角函数值缩小范围）；（2）求出角的某个三角函数值，（3）得结论． 15．正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 为AB 的中点，则异面直线1B M 与1A D 所成角的余弦值是____________【答案】105【解析】连接1,B C CM ，证明1MB C ∠（或其补角）为所求异面直线所成的角，在三角形中应用余弦定理求解． 【详解】如图，连接1,B C CM ，正方体中11A B 与CD 平行且相等，∴11A B CD 是平行四边形，∴11//B C A D ，∴异面直线1B M 与1A D 所成角为1MB C ∠（或其补角），1B CM △中，∵M 是AB 中点，∴15MC MB ==，122=BC ， 2221(5)(22)(5)10cos 52522MB C +-∠==⨯⨯． 故答案为：105．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题方法是作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形可得．三个步骤：一作二证三计算．16．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A B 、两点，且OA OB +与(4,2)a =-共线，则椭圆的离心率e =_______【答案】2【解析】把直线方程y x c =-代入椭圆方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得12x x +，求OA OB +，由OA OB +与(4,2)a =-共线，可得,,a b c 的等量关系，化简变形后可求得离心率e ． 【详解】设椭圆方程是22221x y a b+=，右焦点为2(,0)F c ，直线l 方程为y x c =-，代入椭圆方程并整理得：22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212222a cx x a b +=+，又212122222cb y y x x c a b+=+-=-+， ∵1212(,)OA OB x x y y +=++与(4,2)a =-共线，∴121242x x y y ++=-，∴2222222a c cb a b a b=++，∴222222()a b a c ==-，222a c =，∴2c e a ==．故答案为：2． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，然后表示出OA OB +，由OA OB +与(4,2)a =-共线，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．四、解答题17．在ABC 中，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，)222,12ABCSa b c ac =+-=sin 3sin A B（1）求角C 的大小； （2）求c 边的长． 【答案】（1）6π；（2）3c =.【解析】（1）已知三角形面积结合余弦定理可求得tan C ，从而得C 角； （2）由正弦定理化角为边，再由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，两者结合可得b c =，求出A 角后，由余弦定理得3a c =，从而可求得c ．【详解】 解：（1）由()222312ABCSa b c =++得13sin 2cos 212ab C ab C =⋅ 3tan 3C ∴=又(0,)6C C ππ∈∴= （2）由sin 3sin AB 及正弦定理得3a b ，由余弦定理得2222232cos (3)232c a b ab C b b b b =+-=+-⋅⋅⋅b c ∴=，所以6B C π==，23A π=，由正弦定理sin sin a c A C =，得2sin33sin 6c a c ππ==， 2333ac c ==，所以3c =．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，考查运算求解能力．基础题．18．已知四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SA ⊥面ABCD ，E 为SC 上的一点，（1）求证：面EBD ⊥面 SAC（2）若2,1SA AB ==，求 SA 与平面SBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）由BD AC ⊥以及SA BD ⊥可得BD ⊥面SAC ，再根据面面垂直的判定定理即可证出；（2）设 SA 与平面SBD 所成角为θ，用等积法可求出点A 到面SBD 的距离为d ，根据sin dSAθ=即可解出． 【详解】（1）∵底面ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥， 又∵SA ⊥面ABCD ，∴SA BD ⊥，而SA AC A ⋂= ∴BD ⊥面SAC ，BD ⊂面EBD ，故面EBD ⊥面SAC ． （2）设A 到面SBD 的距离为d ． ∵S ABD A SBD V V --=，∴11112113232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯∴23d =．设SA 与面SBD 所成的角为θ，∴213sin 23d SA θ===． 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理的应用，以及利用等积法求斜线与平面所成角，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题． 19．已知数列{}n a 中，()*111,4nn n a a a n N a +==∈+， （1）求证：113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，()()*412n n n n n b a n N -⋅=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）证明见解析，341n n a =-；（2）()16(36)2n ns n n N +=-+∈. 【解析】（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列通项公式可得n a ； （2）求出n b ，用错位相减法求和n S ． 【详解】 解：（1）14nn n a a a +=+， 14141141n n n n na a a a a ++∴==+=⋅+， 1114n n a a λλ+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，13λ=， 11111433n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭， 1114033a +=≠， 113n a ⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭是以43为首项，4为公比的等比数列，()111411441333n nn n a a -∴+=⨯∴=-， ∴341n n a =-． （2）()34122n n n n n n n b a -⋅==， 2111363222nn S n =⨯+⨯++⨯① 23111113632222n n S n +=⨯+⨯++⨯② -①②得231111111133333322222222nn n n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()16(36)2n nS n n N +=-+∈ 【点睛】本题考查等比数列的证明与通项公式，考查错位相减法求和．数列求和有几种常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法．20．有一堆规格相同的铁制（铁的密度为37.8g /cm ）六角螺帽共重6kg ，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，（1）求一个六角螺帽的体积；（精确到30.001cm ） （2）问这堆六角螺帽大约有多少个？（参考数据： 3.14,3 1.73,2.9527.823,1.0837.88.45π==⨯≈⨯≈） 【答案】（1）()32.952cm；（2）261个. 【解析】（1）利用六棱柱的体积减去圆柱的体积即得解； （2）计算61000(7.8 2.952)⨯÷⨯即得解. 【详解】（1）由题得22310(12)610 3.141042V ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭3736.8785=-()()332951.82952mm 2.952cm =≈=（2）这堆螺帽的个数为：61000(7.8 2.952)261⨯÷⨯≈（个） 答：每个螺帽的体积为32.952cm ，共有261个螺帽. 【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．已知圆22: 4230C x y x y +-+-=和圆外一点(0,8)M -，（1）过点M 作一条直线与圆C 交于,A B 两点，且||4AB =，求直线AB 的方程； （2）过点M 作圆C 的切线，切点为,E F ，求EF 所在的直线方程． 【答案】（1）0x =或45282240x y --=；（2）27110x y ++=.【解析】（1）斜率存在时，设出直线方程8y kx +=，求出圆心到直线的距离，由垂径定理可得k ，得直线方程，检验直线斜率不存在时，弦长为4，符合题意；（2）求出以CM 为直径的圆的方程，此圆与圆C 的交线即为弦EF 所在直线．两圆方程相减得即． 【详解】（1）圆22:(2)(1)8C x y -++=，则圆心(2,1)C -，半径22r =，①若直线AB 的斜率存在，设直线:8AB y kx +=， 即222|218|4580,(22)2,281k kx y d k k +---===-⇒=+ 此时，直线AB 方程为458028x y --=； ②若直线AB 的斜率不存在，则直线:0AB x =，代入2230y y +-=得121,3y y ==-，此时AB 4=，合乎题意.综上所求直线AB 的方程为：0x =或45282240x y --=； （2）以CM 为直径的圆的方程()()()2180x x y y -+++=， 即：222980x y x y +-++=，①；224230x y x y +-+-=，②. ①-②得27110x y ++=，因此，直线EF 的方程为27110x y ++=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查求切点弦所在直线方程，垂径定理，属于中等题．掌握切点弦的性质是解题关键．22．已知椭圆2222:?1(0)x y C a b a b+=>>．离心率为12，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点直线,OM ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由． 【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）由题意有12c e a ==，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形有2a =，即可写出椭圆方程；（2）直线y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，联立方程结合韦达定理即有()12221228km 344m 334x x k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，已知34OM ON k k =-应用点线距离公式、三角形面积公式即可说明OMN 的面积是否为定值； 【详解】（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>离心率为12，即12c e a ==，∵点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ∴2a =，综上有：1c =，b =22143x y +=，（2）由直线与椭圆交于,M N 两点，联立方程：22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222348430k x kmx m +++-=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则()()()()()222221222122816343484308{344334km k mk m km x x k m x x k ∆=-+-=+->-+=+-=+，()()()2212121212121212OM ONkx m kx m k x x mk x x m y y k k x x x x x x +++++===()()()()()22222222224m 383434344343k k m m k m k m m --++-===---，22243m k ∴=+，12MN x =-== 原点O 到l的距离d =2OMNMN Sd ∴=⋅== 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆方程，根据直线与椭圆的相交关系证明交点与原点构成的三角形面积是否为定值的问题.。
湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题
C． D．
8．已知双曲线 的离心率为 ，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A，B，且 ，则直线AB的斜率为（）
A． 或 B． 或 C．2D．
二、多选题
9．设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 为椭圆 上一动点，则下列说法中正确的是（）
A．当点 不在 轴上时， 的周长是6
B．当点 不在 轴上时， 面积的最大值为
故选：ABD
【点睛】
结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆 上一点 和焦点 为顶点的 中，若 ，则
（1）焦点三角形的周长为 ；
（2）当点 为椭圆短轴的一个端点时， 为最大；
（3） ，当 时，即点 为椭圆短轴的一个端点时 取最大值，为 ；
（4） .
10．BC
【分析】
由所给双曲线方程计算可得.
【详解】
设 ， ， ，
因为椭圆 上存在一点 ，使得 ，
所以 ，即 ，
可得 ，
因为 的面积等于 ，所以 ，即 ，
椭圆与圆联立 ，得 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的坐标运算，焦点三角形的面积问题，属于中档题.
16．2
【分析】
联立 和 ，得到线段 的中点C的坐标为 ，
的外心为欧拉线方程为
与直线 的交点为 ，
，①
由 ， ， 重心为 ，
代入欧拉线方程 ，得 ，②
由①②可得 或 .
故选:AD
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.
13．-10
【分析】
将问题转化为动点到两定点的距离之差的最小值，结合三角形法则即可求解.
湖北省部分高中联考协作体2020-2021学年高二上学期期中数学试卷及解析
湖北省部分高中联考协作体2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题） A.30°B.60°C.120°D.150°2.P 为圆x 2+y 2=1上任一点，则P 与点M(3,4)的距离的最小值是（ ）A. 1B. 4C. 5D. 63.直线y m =+与圆221x y +=在第二象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A.2)B.2)C.(1,2)D.4.以()3,1A --，()5,5B 两点为直径端点的圆的方程是（ ） A.()()2212100x y -++= B.()()221225x y +++= C.()()2212100x y -+-=D.()()221225x y -+-=5.设点()1,1A ，()5,1B -，直线l 过点()6,4且与线段AB 不相交，则l 的斜率的取值范围是（ ） A.355k ≤≤ B.355k << C.35k <或5k > D.不存在6.圆心在直线20x y -=上的圆C 与x 轴相切，圆C 截y 轴所得的弦长为C 的标准方程为（ ） A.22(1)(2)4x y -+-= B.22(1)(2)4x y +++= C.22(1)(2)4x y -++=D.22(1)(2)4x y -+-=或22(1)(2)4x y +++=7.已知在等比数列{}n a 中，34a =，前三项之和312S =，则{}n a 的通项公式为（ ）A.11162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭B.11162n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭C.4n a =D.4n a =或15(1)2n nn a --=-⋅8.圆22:2430C x y x y +--+=被直线:10l ax y a +--=截得的弦长的最小值为（ ）A.1B.2第II 卷（非选择题）二、解答题9.求经过直线150-=与直线2:2380l x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线270x y ++=平行； （2）与直线270x y ++=垂直.10.一条光线从点(6,4)P 射出，与x 轴相交于点(2,0)Q ，经x 轴反射，反射光线与圆22:2450C x y x y +---=相交.（1）求反射光线所在直线方程；（2）求（1）中反射光线所在直线被圆C 截得的弦长. 11.已知点(1,1)A -，(5,1)B ，直线L 经过A ，且斜率为34-. （1）求直线L 的方程；（2）求以B 为圆心，并且与直线L 相切的圆的标准方程.12.在数列{}n a 中，11a =，且点()()*1,n n P a a n +∈N 在直线20x y -=上，2log n n b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .13.某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间(),x s x s -+的左侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中,x s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得27s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm ，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间[160,180),[180,200),[200,220)中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在[200,220)的概率.三、填空题14.在等差数列n a 中，若n S 为{}n a 的前n 项和，101228a a =+，则15S =______. 15.已知直线l 的倾斜角为6π，直线1l 经过点(1,2)A ，(2,)B a ，且直线l 与1l 垂直，则实数a 的值为______.16.若圆221x y +=与圆22()(4)25x a y -++=相交，则实数a 的取值范围是______. 17.直线220ax by +-=始终平分圆222410x y x y +-++=的圆周，则直线()1230a x by +++=过定点P ，P 点坐标为______.四、新添加的题型ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A.()sin sin B C A += B.()cos cos A B C +=C.若A B >，则sin sin A B >D.若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形19.已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足1263a a S +=，则下列四个选项中正确的有（ ） A.70a =B.130S =C.7S 最小D.58S S =20.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A.16天中每日新增确诊病例数量在下降且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D.21日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和21.数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A.(1)2n n n a +=B.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为20202021 C.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为40402021 D.数列{}n a 的第50项为2550参考答案1.C【解析】1.50y ++=的倾斜角为α，得到tan α=.50y ++=的倾斜角为α，50y ++=，可得直线的斜率为k =所以tan α=0180α≤<，解得120α=，50y ++=的倾斜角为120， 故选：C 2.B【解析】2.先确定点M 在圆x 2+y 2=1，因此圆上的点到点M 的距离的最小值即等于圆心与M 的距离减去半径，进而可得出结果. 因为M(3,4)在圆x 2+y 2=1外，且圆心与M(3,4)的距离等于√32+42=5，又P 为圆x 2+y 2=1上任一点，所以P 与点M(3,4)的距离的最小值等于圆心与M 的距离减去半径，因此最小值为5−1=4.故选B 3.A【解析】3.由图可得，直线与圆在第二象限由两个不同交点时，在过A 点时和切线之间，进而可得结果.如图，当直线y m =+，过点(1,0)A -时，m =，当直线y m =+1,0,2m m =>∴=，所以m 的取值为2). 故选：A. 4.D【解析】4.先求出线段AB 中点坐标即为圆心，再求出AB 即为直径，即可得出圆的方程. 可知线段AB 的中点坐标为3515,22-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即为()1,2，10AB ==，以()3,1A --，()5,5B 两点为直径端点的圆的圆心为()1,2，半径为5， 则方程为()()221225x y -+-=. 故选：D. 5.C【解析】5.写出直线l 和AB 的方程，解方程组得交点坐标，由交点横坐标在区间[1,5]上可解得k 的范围，再在R 中求补集即得． 直线AB 方程为111151y x --=---，即1322y x =-+，直线l 方程为4(6)y k x -=-，由13224(6)y x y k x ⎧=-+⎪⎨⎪-=-⎩，解得125213421k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩， 由1251521k k -≤≤+，得355k ≤≤，此时直线l 与线段AB 有公共点，所以直线l 与线段AB 不相交时，35k <或5k >． 故选：C ． 6.D【解析】6.设出圆心坐标和半径，由相切与弦长列出方程组，解之可得．因为圆心在直线20x y -=上，所以设圆心坐标为(,2)C a a ，圆半径为r ， 则2223r ar a ⎧=⎨-=⎩， 解得12a r =⎧⎨=⎩或12a r =-⎧⎨=⎩， 圆方程为22(1)(2)4x y -+-=或22(1)(2)4x y +++=． 故选：D ． 7.D【解析】7.设公比为q ，求出首项1a 的公比q 后可得通项公式．设公比为q ，则212111412a q a a q a q ⎧=⎨++=⎩，解得141a q =⎧⎨=⎩或11612a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 所以4n a =或()115116122n n n n a ---⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭．故选：D ． 8.B【解析】8.求得直线恒过定点(1,1)P ，当l PC ⊥时，弦长最小，结合勾股定理求得此时的弦长. 直线:10l ax y a +--=可化为:(1)(1)0l a x y -+-=，故直线l 恒过点(1,1)P . 圆22:2430C x y x y +--+=的圆心为(1,2)C当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，此时弦长2d =. 故选：B9.（1）20x y +=；（2）250x y -+=.【解析】9.（1）求出交点M 坐标，由平行斜率相等得直线斜率，从而可得直线方程； （2）由垂直，斜率乘积等于1-得直线斜率，可得直线方程． 解：（1）由345238x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，所以交点2()1,M -. 因为斜率2k =-，由点斜式得所求直线方程为22(1)y x -=-+， 即20x y +=.（2）由垂直可得所求直线的斜率12k =， 由点斜式得所求直线方程为12(1)2y x -=+， 即250x y -+=.10.（1）20x y +-=；（2【解析】10.（1）求出点关于x 轴对称的点，即可找到反射光线所在直线；（2）求出圆心，借助弦长公式计算即可．（1）由已知，根据直线的两点式方程，得直线PQ 的方程是：024062y x --=--，即20x y --=.根据光的反射原理，作出点P 关于x 轴对称的点()16,4P -，直线1PQ 就是反射光线所在直线，利用点斜式可得直线1PQ 的方程为()12y x =-⋅+，即20x y +-=．（2）由题可知圆C 的标准方程为22(1)(2)10x y -+-=，∴圆心(1,2)C ，则C 到直线1PQ 的距离d ==，∴弦长===.∴（1）中反射光线所在直线被圆C 11.（1）3410x y ++=；（2）22(5)(1)16x y -+-=.【解析】11.（1）根据点和斜率可直接写出直线方程；（2）根据与直线相切求出圆的半径，再根据圆心可得圆的方程． 解：（1）由题意，直线的方程为：31(1)4y x +=--， 整理成一般式方程，得3410x y ++=， ∴直线L 的方程为3410x y ++=；（2）由已知条件，得所求圆的圆心为(5,1)B ， 可设圆B 方程为：222(5)(1)x y r -+-=， ∵圆B 与直线:3410L x y ++=相切， ∴r d ==∴4r =.故圆B 的方程为22(5)(1)16x y -+-=. 12.（1）12n n a ，1n b n =-；（2）(1)212n n n n S -=--.【解析】12.（1）由题意可知数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，利用对数的运算性质可求得{}n b 的通项公式； （2）求得()121n n c n -=--，利用分组求和法可求得n S .（1）由题意可得12n n a a +=，所以，数列{}n a 是公比为2的等比数列，11a =，11122n n n a --∴=⨯=，12log 21nnb n ；（2）()121n n c n -=--，()()121212n n n n S c c c a a a b b b =++⋅⋅⋅+=+++-+++()()012122220121n n -=++++-++++-⎡⎤⎣⎦()()1121(01)211222n n n n n n ⨯--+-⨯=-=---. 13.（1）该生属于“体能不达标”的学生（2）35【解析】13.（1）由题可知，根据频率=纵坐标×组距，分别求出各组频率=各组小矩形面积，便可频率分布直方图的平均数x ，即可判断；（2）由频数=频率×样本容量，可求出[160,180),[180,200),[200,220)对应的人数，再按分层抽样抽取5人，分别抽出1人，2人，2人，再从5人中抽2人，最后用一一列举出来，用古典概型即可求出答案.（1）由题意可知：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.050.11700.21900.22100.32300.152500.05270217x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 190x s -≈∵187190<∴该生属于“体能不达标”的学生（2）由题意，跳远距离在[160,180),[180,200),[200,220)的人数分别为12人、24人、24人按分层抽样抽取5人，则[160,180)抽1人，[180,200)抽2人，[200,220)抽2人 设[160,180)抽出的人编号为a ，[180,200)抽出的人编号为,b c ，[200,220)抽出的人编号为,d e从中选两人，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况记选出的两人中恰有一人跳远距离在[200,220)为事件A ，满足条件的基本事件有6种，分别为(,),(,),(,),(,),(,),(,)a d a e b d b e c d c e ∴63()105P A ==. 14.120【解析】14.利用等差数列的性质计算出8a 的值，再利用等差数列的求和公式可求得15S 的值. 由等差数列的性质可得121012882a a a a +==+，可得88a =， 因此，()11515815151581202a a S a +===⨯=.故答案为：120.15.2【解析】15.由斜率乘积为1-可得参数值．因为直线l 与1l 垂直，所以21321a -⨯=--，解得2a =故答案为：2．16.((0,25)-【解析】16. 求出圆心距d ，解不等式R r d R r -<<+可得，其中,R r 分别是两圆半径． 两圆圆心分别为(0,0)O ，(,4)C a -，半径分别为1，5，OC =，两圆相交，则46<，解得a -<<0a ≠，故答案为：((0,25)- 17.(1,2)-【解析】17.依题意得220ax by +-=过圆心()1,2-，则1b a =-，所以()()12130a x a y ++-+=令3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩可得定点. 由圆222410x y x y +-++=得圆心为()1,2-，因为直线220ax by +-=始终平分圆222410x y x y +-++=的圆周，则直线220ax by +-=过圆心，所以1a b -=得1b a =-， 则直线()1230a x by +++=化为()()12130a x a y ++-+=；所以()320x y a x y -+++= 由3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得12x y =-⎧⎨=⎩； 所以直线()1230a x by +++=过定点()1,2P -故答案为：(1,2)-18.AC【解析】18.由A B C π++=结合诱导公式可判断选项A ，B ，由三角形中大角对大边结合正弦定理可判断选项C ，在三角形中若sin 2sin 2A B =,则若22A B =或22A B π+=可判断选项D. 由A B C π++=，则()()sin sin sin B C A A π+=-=,故A 正确.()()cos cos cos A B C C π+=-=-,故B 不正确.由三角形中大角对大边，A B >，则a b >，根据正弦定理有sin sin A B >,故C 正确. 在三角形中若sin 2sin 2A B =,则若22A B =或22A B π+=.所以2A =或2A B π+=,则ABC 是等腰三角形或直角三角形,故D 不正确.故选：AC19.ABD【解析】19.由条件可得70a =，然后逐一判断每个选项即可因为{}n a 是等差数列，1263a a S +=所以()1115361d a d a a +=++，所以12120a d +=即160a d +=，即70a =所以137130S a == 67878530a a S S a a -=++==所以正确的有ABD故选：ABD20.BCD【解析】20.根据折线图，中位数、极差的概念，判断各选项．20日新增确诊病例数量比19日多，A 错；新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数在21、22日左右，比较可得B 正确； 新增确诊极差25005002000>-=、新增疑似极差23002002000>->、新增治愈病例的极差350015002000>-=，均大于2000，C 正确；21日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和，D 正确． 故选：BCD ．21.AC【解析】21. 用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和即可得．因为11n n a a a n +=++，11a =，所以11n n a a n +-=+，所以2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 11a =也适合此式，所以(1)2n n n a +=， 501275a =，A 正确，D 错误，12112()(1)1n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为202011111404021223202020212021S ⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭，B 错，C 正确．故选：AC ．。
湖北省重点高中联考协作体2020-2021学年高二上学期12月月考数学(理)试题
【校级联考】湖北省重点高中联考协作体2020-2021学年高二上学期12月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( ) A ．36个 B ．24个C ．18个D ．6个2．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．153．已知ξ的分布列为：则Dξ等于（） A ．2912B ．131144C ．11144D ．1791444．在如下的列联表中，类1中类B 所占的比例为（）A ．ca c+ B ．c c d+ C ．+b a bD ．b b c+ 5．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的是( )A ．模型1的相关指数R 2为0.78B ．模型2的相关指数R 2为0.85C ．模型3的相关指数R 2为0.61D ．模型4的相关指数R 2为0.316．下列命题中正确的是（） A ．“12m =”是“直线()1310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行”的充分不必要条件B ．“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C ．已知,,a b c 为非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的充要条件D ．:p 2,220130x R x x ∃∈++≤则:p ⌝2,220130x R x x ∀∈++>7．已知命题“如果11a -≤≤那么关于a 的不等式()()224210a x a x -++-≥的解集为∅”,它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ） A ．个B ．1个C ．2个D ．4个8．设随机变量~(2,),~(4,)B p B p ξη，若5(1)9P ξ≥=，则(2)P η≥的值为（ ） A ．1127B ．3281C ．6581 D ．16819．“1x <-”是“20x x +>”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．某厂生产的零件外直径()10,0.04N ξ~，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个， 测得其外直径分别为9.9cm 和9.3cm 则可认为（ ）A ．上午生产情况正常，下午生产情况异常B ．上午生产情况异常，下午生产情况正常C ．上、下午生产情况均正常，D ．上、下午生产情况均异常 11．已知p:2+2=5,q:3>2,则下列判断中，错误．．的是（） A ．p 或q 为真,非q 为假 B ．p 或q 为真,非p 为真 C ．p 且q 为假,非p 为假D ．p 且q 为假,p 或q 为真12．对于实数a ，b ，已知下列条件：①2a b +=；②2a b +>；③2a b +>-；④1ab >；⑤log 0a b <．其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（ ） A ．②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．②⑤二、填空题13．在()()()348111x x x ++++⋯⋯++ 的展开式中，含2x 项的系数是______.14．若“0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x m -≤”是真命题，则实数m 的最小值为________. 15．用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有 种．16．为激发学生学习的兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：21{|0},{|340},x A x B x x x x -=<=--≤12log 1C x x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件； 丙：A 是C 成立的必要不充分条件若老师评说这三位同学都说得对，则“”中的数为． 17．设(2,3,4,)n a n =是(3n -的展开式中x 的一次项的系数，则23182318333a a a +++=_____．三、解答题18．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？19．某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度，从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查，结果可以分成以下三类：支持、反对、无所谓，调查结果统计如下：（1）（i ）求出表中的,x y 的值；（ii ）从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好高一、高二各1人的概率；（2）根据表格统计的数据，完成下面的22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有关.（不支持包括无所谓和反对）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理﹑化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列. 21．设:p 实数x 满足(2)()0x a x a --<，:q 实数x 满足2560x x ++>. (1)当1a =时，若p q ∨为真，求实数x 的取值范围； (2)当0a <时，若p 是q ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围.22． 为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设. （Ⅰ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；（Ⅱ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .参考答案1．B 【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题， 各位数字之和为奇数的有两类：两个偶数一个奇数：有13C 33A =18个；②三个都是奇数：有33A =6个．∴根据分类计数原理知共有18+6=24个． 故选B ． 2．C 【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 3．D 【分析】根据概率之和为1计算出m ，根据分布列求期望，利用期望求方差即可. 【详解】因为1111436m +++=,所以14m =,因为111129()1234436412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以2222291291291291179()(1)(2)(3)(4)124123126124144D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=, 故选D. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，期望，方差，属于中档题. 4．A 【解析】试题分析：由联表可知，在类1中B 所占比例为考点：列联表. 5．B 【解析】因为相关指数R 2越接近1拟合效果越好，所以选B.6．D 【分析】根据相关知识对选项逐一分析即可. 【详解】直线()1310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行可得(1)(2)(2)30m m m m ++--=，解得m =，所以“12m =”是“直线()1310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行”的既不充分也不必要条件，故A 错误；直线l 垂直平面α内无数条直线，不一定有直线垂直平面，所以“直线l 垂直平面α内无数条直线”不是“直线l 垂直于平面α”的充分条件，故B 错误；,,a b c 为非零向量，由a b a c ⋅=⋅得不到b c =，反之，由b c =能得到a b a c ⋅=⋅，所以“a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的必要不充分条件，故C 错误；:p2,220130x R x x ∃∈++≤，则:p ⌝ 2,220130x R x x ∀∈++>，故D 正确.【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，充分必要条件的判定方法，存在性命题的否定，属于中档题. 7．C 【分析】根据四种命题之间的关系，利用逆否命题的真假关系进行判断即可. 【详解】若关于a 的不等式()()224210a x a x -++-≥的解集为∅根据题意分两种情况讨论：①当240a -=时，即2a =或2a =-， 若 2a =时，不等式可化为410x -≥，解得14x ≥，不合题题， 若2a =-时，不等式可化为10-≥，无解，符合题意. ②当240a -≠时,原不等式解为空集，则()()222402440a a a ⎧-<⎪⎨∆=++-<⎪⎩ ，解得625a -<< 综上得a 的取值范围625a -≤<，则当11a -≤≤时，命题为真命题，命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题.所以四个命题中假命题的个数为2,故选C. 【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，分类讨论思想，属于中档题. 8．A 【分析】利用二项分布概率计算公式结合条件()519P ξ≥=计算出p ，然后再利用二项分布概率公式计算出()2P η≥. 【详解】由于()~2,B p ξ，则()()()25110119P P p ξξ≥=-==--=，13p ∴=， 所以，1~4,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，()()()431421221011333P P P C ηηη⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1127=，故选A. 【点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题．【分析】解不等式20x x +>，根据1x <-与其解集的关系即可求出. 【详解】由20x x +>解得：1x <-或0x >，当1x <-时，能推出1x <-或0x >成立，反之，不能由1x <-或0x >推出1x <-， 故“1x <-”是“20x x +>”的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法，充分必要条件的判定，属于中档题. 10．A【解析】试题分析：由于零件外直径()10,0.04N ξ~，所以10,0.2μσ==，根据产品检验的3σ原则，正常产品的尺寸应该位于()3,3μσμσ-+即()9.4,10.6内，所以上午取出的产品尺寸在符合要求的范围内，下午取出的产品尺寸不在符合要求的范围内，故选A. 考点：正态分布在产品检验中的应用.【方法点晴】本题主要考查了正态分布在产品检验中的应用，属于基础题.本题解答的关键是根据零件外直径()10,0.04N ξ~及产品检验的3σ原则，求得正常产品的尺寸范围，据此推测上午、下午生产是否正常，解答本题的最常见错误是把正态分布中的方差当成标准差，即()10,0.04N ξ~中的0.04应该是方差，而不是标准差. 11．C 【分析】由题意，p 命题是假命题，q 命题是真命题，根据复合命题及否命题的真假判断即可. 【详解】由题意，p 命题是假命题，q 命题是真命题 所以p 或q 为真,非q 为假，A 正确；p 或q 为真,非p 为真，B 正确； p 且q 为假,非p 为假，C 错误； p 且q 为假,p 或q 为真，D 正确，【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，复合命题真假的判定，属于中档题. 12．D 【分析】根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可． 【详解】①当a ＝b ＝1时，满足a +b ＝2，但此时推不出结论，②若a ≤1，b ≤1，则a +b ≤2，与a +b ＞2，矛盾，即a +b ＞2，可以推出， ③当a 12=，b 12=时，满足条件a +b ＞﹣2，则不可以推出， ④若a ＝﹣2，b ＝﹣1．满足ab ＞1，但不能推出结论，⑤由log a b ＜0得log a b ＜log a 1，若a ＞1，则0＜b ＜1，若0＜a ＜1，则b ＞1，可以推出结论． 故可能推出的有②⑤， 故选D ． 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础． 13．83 【分析】根据题意各项中含2x 项的系数分别为2,3,n C n n N ≥∈,利用公式111r r rn n n C C C ---+=求和即可. 【详解】由题意各项中含2x 项的系数分别为2,3,n C n n N ≥∈所以含2x 项的系数为222232222345833458++++=+++++1C C C C C C C C C ⋯⋯- 3222322344585589++1++1183C C C C C C C C =++⋯-=+⋯-==-=，故填83. 【点睛】本题主要考查了二项式系数的性质，组合数性质的应用，属于中档题. 14．0求出正切函数的最大值，即可得到m 的取值范围. 【详解】 由0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，可得tan 10x -≤, 所以“0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x m -≤”是真命题可得0m ≥ 即m 的最小值为0. 【点睛】本题主要考查了正切函数最值的应用，命题的真假，属于中档题. 15．240 【解析】试题分析：先涂（3）有5种方法，再涂（2）有4种方法，再涂（1）有3种方法，最后涂（4）有4种方法，所以共有5×4×3×4=240种涂色方法． 考点：排列、组合. 16．1 【分析】先求出两个集合B ，C ，再根据三位同学的描述确定集合A 与两个集合B ，C 之间的关系，推测出[]的可能取值 【详解】 由题意B={x|x 2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}，121=log 1{|0},2C x x x ⎧⎫⎪⎪>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭＜＜()11=0{|0}[]x A x x x x⎧⎫-⎪⎪<=⎨⎬⎪⎪⎩⎭＜＜由A 是B 成立的充分不必要条件知，A 真包含于B ，故14[]≤ ，再由此数为小于6的正整数得出1[]4≥， 由A 是C 成立的必要不充分条件得出C 包含于A ，故11 []2＞ ，得出[]2＜ ，所以[]=1 故答案为1． 【点睛】本题考查集合中的参数取值问题，解题的关键是根据题设条件中三个同学的描述得出三个集合之间的包含关系，由这些关系得出所求的参数满足的条件，本题考查了推理论证的能力及运算能力． 17．17 【解析】试题分析：令213((1)3--+'==-⋅r rn rr r n rn nnT C C x ，令12r=，得2r =，∴(3n 的展开式中x 的一次项的系数为：22222(1)33--=-⋅=⋅n n n n n a C C .则23182222231823183331113)a a a C C C +++=⨯+++（，又2(1)2n n n C -=，故上式2221111191812132181********⎡⎤=⨯+++=⨯-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦（）（）（）（） 11811718=⨯-=（）． 考点：1、二项式定理；2、裂项求和法．【思路点晴】读完整个题目之后，会发现本题分成两个部分，一个部分是“(2,3,4,)n a n =是(3n 的展开式中x 的一次项的系数”，这部分需用用到二项式定理的知识，我们利用它的通项，很容易解决；第二个部分是“23182318333a a a +++=”数列求和，将第一步求出的n a 代入后，发现可以采用裂项求和法求解.18．（1）115（2）186 【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个， 红球4个，取法有种， 红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有12490115++=种． （2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有41466C C =种； 第二种，3红2白，取法有324660C C ⋅=种， 第三种，2红3白，取法有2346120C C ⋅=种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有660120186.++= 19．（1）（i ）5,4x y ==;（ii ）815p =;（2）见解析. 【解析】（1）（i ）由题可得5,4x y ==.（ii ）假设高一反对的编号为12,A A ，高二反对的编号为1234,,,B B B B ， 则选取两人的所有结果为：()()()()()()()12111213142122,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B()()()()()()()()2324121314232434,,,,,,,,,,,,,,,A B A B B B B B B B B B B B B B .∴恰好高一、高二各一人包含8个事件， ∴所求概率815p =. （2）如图列联表：()224518070 2.288 2.70628172520k -==<⨯⨯⨯∴没有90%的把握认为持支持与就读年级有关.20．（1）4960（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出即可（2）随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3，346310(=k)=(0,1,2,3)k k C C P X k C -=，列出随机变量X 的分布列即可. 【详解】（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则()1203373731049.60C C C C P A C +== （2）随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.()()03124646331010110,1,62C C C C P X P X C C ======()()21304646331010312,3,1030C C C C P X P X C C ======X ∴的分布列为【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列，属于中档题. 21．（1）{2|x x >-或3}x <- （2）2222(1)2(1)1(1)n n n n n n +++++【分析】（1）当1a =时，解()()20x a x a --<得12x <<，解2560x x ++>得2x >-或3x <-，再根据p q ∨为真知p 真或q 真，即可求解（2）当0a <时，:2,:32p a x a q x <<⌝-≤≤-，根据p 是q ⌝的必要条件知{|2}{|32}x a x a x x <<⊆-≤≤- 即可列出不等式组求解.【详解】(1)1a =时，()():210p x x --<, 得12x <<， ,:2 3.q x x 或>-<- ∵为真，∴真或真，∴2x >-或3x <-. 则实数的取值范围为,(2)时，:2,:32p a x a q x <<⌝-≤≤-∵是的必要条件，则{|32}{|2}x x x a x a -≤≤-⊆<<则满足032|2223a a a a a <⎧⎪⎧⎫>-⇒-<<-⎨⎨⎬⎩⎭⎪<-⎩∴实数的取值范围为3|22a a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法，充分必要条件的判定，复合命题真假的判定，属于中档题. 22．（I ）16；（II ）分布列见解析，2． 【解析】试题分析：（I ）3人选择的项目所属类别互异的概率：33123A ()P P A B C =；（II ）任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：30102.603P +==且符合二项分布2(3)3X B ~，，根据二项分布分布列公式即可求得.试题解析：记第i 名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件i i A B ，，123i C i =，，，.由题意知123123123A A A B B B C C C ，，，，，，，，，均相互独立. 则301201101()()()(123).602603606i i i P A P B P C i =======，，，，（Ⅰ）3人选择的项目所属类别互异的概率：331231111A ()6.2366P P A B C ==⨯⨯⨯= （Ⅱ）任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：30102.603P +== 由33222(3)()C ()(1)(0123)333k kk X B P X k k -~∴==-=，，，，，. X ∴的分布列为其数学期望为2()3 2.3E X =⨯= 考点：1.相互独立事件求概率；2.二项分布的分布列和期望.。
湖北省部分重点中学2020-2021学年上学期高二年级12月联考数学试卷
湖北省部分重点中学2020－2021学年上学期高二年级12月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根，则命题p的否定是A.对任意m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根B.存在m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根2.已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是2，那么另一组数据3x1－2、3x2－2、3x3－2、3x4－2、3x5－2的平均数是A.2B.3C.4D.83.一个口袋中装有大小相同的5个红球和3个白球，从中任取3个球，那么互斥而不对立的事件是A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.恰有一个红球与恰有二个红球D.至少有一个红球与至少有一个白球4.已知a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，以下命题正确的是A.若a∥b，a∥α，则b∥αB.若a⊥α，b∥α，则a⊥bC.若a⊥b，b∥α，则a⊥αD.若a∥α，α∥β，则a∥β5.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则直线l2在y轴上的截距为A.2或23B.－2或23C.2D.236.已知a＝（2，－1，4），b＝（－1，1，－2），c＝（7，5，m），若a，b，c共面，则实数m的值为A.607B.14C.12D.6277.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则8.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点M在棱AB上，且AM＝1，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为9，则动点P到点B的距离的最小值是A.2B.52二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年(武汉六校联考)高二上学期期末联考数学试题与答案
武汉市部分重点中学2020—2021学年度上学期期末联考高二数学试卷命题学校：省实验中学 命题教师：谭德平 审题教师：郑艳霞李红英 考试时间：2021年1月27日下午14：00—16：00 试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“0R x C Q ∃∈，3x Q ∈”的否定是 A ．0R x C Q ∃∉，3x Q ∈ B ．0R x C Q ∃∈，3x Q ∉ C ．R x C Q ∀∉，3x Q ∈D ．R x C Q ∀∈，3x Q ∉2．同时掷3枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面向上的概率是 A ．78B ．58C ．38D ．383．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是A ．B ．12πC ．8πD ．10π4．样本中有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m ，若该样本的均值为1，则其方差为A B CD ．25．已知方程222:14x y C m +=，则“2o m <<”是“方程C 表示焦点在工轴的椭圆”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．为了了解某县今年高考准备报考体育专业的学生的体重情况，将所得的学生体重数据分组整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3小组的频率a ，b ，c 恰成等差数列，若抽取的学生人数是48，则第2小组的频数为A ．6B ．12C ．18D ．247．如图，在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是A ．//BC 平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面P AE8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为1F ，若直线:l y kx =，k ∈⎣与双曲线C交于M 、N 两点，且11MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率的取值范围是A ．()1,2B ．)2C ．1⎤⎦D ．(1⎤⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知命题p ：正四面体的任意一个面均为等边三角形，则下列结论正确的是 A ．命题p 的否定是假命题 B ．命题p 是特称命题C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题10．以下对概率的判断正确的是A ．在大量重复实验中，随机事件的概率是频率的稳定值B ．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为23C ．甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是1211．已知椭圆()2222C :10x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F 左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为椭圆C 上异于1A 、2A 的任一点，则下列结论正确的有A ．椭圆C 与椭圆2222:111x y C a b '+=++有相同的焦点B ．直线1PA ，2PA 的斜率之积为22b a-C ．存在点Р满足2122PF PF a ⋅=D ．若12PF F 为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为21 12．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为棱AD 、1CC 、11C D 的中点，则下列结论正确的是A ．直线FG 与1A D 所成的角为60︒B ．平面EFG 截正方体所得的截面为六边形C ．1BF B C ⊥D ．三棱锥1B EFG -的体积为76。
2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为（ ） A ．18B ．1C ．2D ．14【答案】B【分析】根据抛物线标准方程有1p =，即可知焦准距.【详解】由抛物线22x y =知：1p =，而焦点坐标为1(0,)2，准线方程为：12y， ∴焦点到准线的距离为1， 故选：B2．若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线的斜率为（ ）A ．12±B ．2±C ．2±D ．2±【答案】C【解析】试题分析：双曲线的渐近线为，渐近线的斜率，由于离心率，设，，，因此渐近线的斜率，故答案为C.【解析】双曲线的性质.3．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3π的扇形，则圆锥的高为（ ）A ．33B 34C 35D ．5【答案】C【分析】利用扇形的弧长为底面圆的周长求出r 后可求高. 【详解】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3π的扇形，所以 圆锥的母线长为6，设其底面半径为r ，则623r ππ⨯=，所以1r =，36135-= C【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为l，底面圆的半径长为r，则该扇形的圆心角的弧度数为2rlπ.4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．6B26C15D10【答案】D【解析】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、1DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），1C（0，2，1）∴1BC=（-2，0，1），AC=（-2，2，0），AC且为平面BB1D1D的一个法向量．∴110cos,58BC AC〈〉==⋅．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为105【解析】直线与平面所成的角5．若直线9mx ny+=和圆229x y+=没有交点，则过点(),m n的直线与椭圆221169x y+=的交点个数为（）A．2个B．1个C．0个D．无法确定【答案】A【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点(,)m n在椭圆内，进而可得结论. 【详解】解：直线9mx ny+=和圆229x y+=没有交点，∴圆心()0,0到直线90mx ny+-=的距离2293dm n-=>+，解得：229m n +<，即点(,)m n 在圆229x y +=内，又圆229x y +=内切于椭圆221169x y +=，∴点 (),m n 在椭圆221169x y +=内，即过点(),m n 的直线与椭圆221169x y +=有两个交点.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到点 (),m n 在椭圆221169x y +=内.6．三棱锥,10,8,6P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角P AC B --的大小为( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】B【分析】P 在底面的射影是斜边的中点，设AB 中点为D 过D 作DE 垂直AC ，垂足为E ，则∠PED 即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角，在直角三角形PED 中求出此角即可． 【详解】因为AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6 所以底面为直角三角形又因为P A ＝PB ＝PC = 所以P 在底面的射影为直角三角形ABC 的外心，为AB 中点．设AB 中点为D 过D 作DE 垂直AC ，垂足为E ，所以DE 平行BC ，且DE 12=BC ＝4，所以∠PED 即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角．因为PD 为三角形P AB 的中线，所以可算出PD ＝所以tan ∠PED PDDE==所以∠PED ＝60°即二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为60° 故答案为60°．【点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键．7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题，“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”类似地：如今有长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积（最接近的一项）约为（ ）（注：1丈=10尺=100寸， 3.14π≈，5sin 22.513︒≈）A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸【答案】D【分析】由已知条件求得截面圆的半径R ，进而可求弓形所对圆心角AOB ∠，由弓形面积OBCA AOBS S S'=-求阴影部分面积，结合体积公式知木材镶嵌在墙中的体积100V S ''=，即为答案.【详解】由题意知：10AB =寸，1CD =寸，圆柱形木材的高为100寸，∴圆柱形木材截面半径为R ，则有222()4AB R R CD =-+，可得13R =寸，∴如上圆柱木材截面图：5sin 13AD AOD R ∠==， ∴45AOB ∠≈︒，又圆柱木材截面面积2169S R ππ==， 弓形面积为11210 6.332582OBCA AOBS S S S'=-=-⨯⨯=， ∴木材镶嵌在墙中的体积约为100633V S ''=≈立方寸， 故选：D【点睛】关键点点睛：根据圆的性质求半径，利用弓形面积OBCA AOBS S S '=-求嵌入面积，应用柱体体积公式求镶嵌在墙中的体积.8．已知直线()0y kx k =≠与双曲线22221 (0,0y a b bx a -=>>）交于A ､B 两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D【分析】设双曲线的左焦点为1F ，则可得四边形1AF BF 为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得222(2)(2)16a c a =-，即可求出离心率.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接11,AF BF ，则四边形1AF BF 为矩形，则可得1||2AF AF a -=，()222211||2AF AF F Fc +==，所以()222211111||2||||2||AF AF AF AF AF AF F F AF AF -=-+=-，又因为1211||42ABF AF F SSAF AF a ==⋅=， 所以222(2)(2)16a c a =-，得5c a =， 所以5ce a==故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形的性质列出关于,a c 的齐次方程式222(2)(2)16a c a =-，即可求出离心率.二、多选题9．已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m // α，n // β，且m // n ，则α // β C ．若m ⊥α，n // β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n // β，且m // n ，则α⊥β 【答案】AD【分析】根据直线与平面平行，垂直的性质定理，判断定理，灵活判断，可以正确推导，也可以举反例说明．【详解】解：对于A ：若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥可以判断αβ⊥是正确的，因为可以设两个平面的法向量为1n ，2n ，可得数量积为零，即12n n ⊥，所以可判断αβ⊥是正确的，故A 正确，对于B ：若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ．不正确，如两个面相交，两个相交的墙面，直线m ，n 都平行于交线，也满足，//m α，//n β，所以B 不正确； 对于C ：若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则有可能//αβ，不一定αβ⊥，所以C 不正确； 对于D ：若m α⊥，//n β，且//m n ，n α∴⊥，//n β，αβ∴⊥，故D 正确；故选：AD ．【点睛】本题考察了直线与平面的位置关系，熟练掌握好平行，垂直的定理即可判断，属于中档题．10．椭圆22:12516x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||PF 的值可能是（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】BC 【分析】计算得到28a c PF a c ，得到答案.【详解】由题意可得5a =，3c ==，则28a cPF a c .故选：BC.11．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线//MN 平面ABC 的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】根据线面平行的判定定理依次判断即可.【详解】对A ，如图，连接PQ ，,,,M N A C 分别为中点，∴////MN PQ AC ，MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴//MN 平面ABC ，故A 正确；对B ，如图，连接,MP NP ，,,A B C 分别为中点，则可得//NP BC ，且NP ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，//NP ∴平面ABC ，又MA PC ，∴四边形MACP 是平行四边形，//MP AC ∴，且MP ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//MP ∴平面ABC ，MP NP P ⋂=，∴平面//MNP 平面ABC ，MN ⊂平面MNP ，∴//MN 平面ABC ，故B 正确；对C ，如图，,,A B C 分别为中点，易得平面//ABC 平面MPNQ ，MN ⊂平面MPNQ ，∴//MN 平面ABC ，故C 正确；对D ，连接,,BN CN PQ ，则可得////AB PQ CN ，故,,,A B C N 四点共面，即N ∈平面ABC ，即直线MN 与平面ABC 不平行，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查线面平行的判断，解题的关键是正确理解线面平行的判定定理和平面的相关性质.12．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13．如果方程222171x y a a +=++表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是_________.【答案】23a -<<【分析】由椭圆焦点在x 轴上知271a a +>+，即可求实数a 的取值范围. 【详解】由题意知：271a a +>+，整理得260a a --<， ∴23a -<<， 故答案为：23a -<<.14．若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的体积为________.（棱台体积公式：()1213V h S S =+其中1S ，2S 分别为棱台上、下底的面积，h 为棱台的高）【答案】【分析】根据正四棱台各个棱长求出该四棱台的高，即可求出体积.【详解】解：由题意正四棱台如图，11322OA O A ==，11922OB O B ==， 22192326()3222h AA ==--=， 2139S ==，22981S ==，()11221132(998181)117233V h S S S S =++=⨯⨯+⨯+=故答案为：1172.15．已知F 为抛物线28x y =的焦点， O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为__________． 【答案】13【详解】∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A 到准线的距离为4，即A 点的纵坐标为2， 又点A 在抛物线上，∴不妨取点A 的坐标A （4，2）； 坐标原点关于准线的对称点的坐标为B （0，-4）,则|PA|+|PO|的最小值为：22(40)(24)213-++=, 故答案1316．已知一圆锥底面圆的直径为6，圆锥的高为33a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以绕自身中心任意转动，则a 的最大值为_________. 【答案】22【分析】正四面体在该几何体内可以绕自身中心任意转动等价于该四面体内接于圆锥的内切球，正四面体可以从正方体中截得，计算出圆锥的内切球的直径，即为正方体的体对角线，根据体对角线和面对角线的关系求解即可.【详解】解：依题意正四面体在该几何体内可以绕自身中心任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P ，球的半径为R ，下底面半径为r ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如下图：则3,33CA CB CS ===， 所以226SA SB CA CS ==+=，所以SAB 是等边三角形，故P 是SAB 的中心， 所以12113332323R PQ PS CP ==⨯=⨯=⨯=, 正四面体可以从正方体中截得，如图：正方体边长AB 与正四面体棱长1A B 的关系为：12222AB A B a ==； 因为正方体外接球3R所以根据正方体外接球直径与边长关系式23R AB =，可得：2323222a a ⨯=⇒=. 故答案为：22.【点睛】几何体的外接球、内切球问题： （1）几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径； （2）几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.四、解答题17．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PB PD =（1）求证：//CD 平面PAB ; （2）求证：PC BD ⊥．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）利用//CD AB 结合线面平行的判定定理，证得结论成立.（2）连接AC 交BD 于O ，连接PO ，根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据等腰三角形的性质得到PO BD ⊥，由此证得BD ⊥平面PAC ，进而证得BD PC ⊥. 【详解】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//CD AB , 又因为AB平面PAB ，CD ⊄平面PAB ,所以//CD 平面PAB ．（2）连AC 交BD 与O ，连PO .四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥且,BO OD OA OC ==BO OD PO BD PB PD =⎫⇒⊥⎬=⎭.因为PO BD ⊥，AC BD ⊥，POAC O =，所以BD ⊥平面PAC ，所以PC BD ⊥.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查通过证明线面垂直来证明线线垂直，属于中档题.18．已知抛物线22(0)y px p =>的顶点为O ,准线方程为12x =-（1）求抛物线方程；（2）过点1,0（）且斜率为1的直线与抛物线交于,P Q 两点，求OPQ ∆的面积．【答案】（1）22.y x =（23【分析】（1）根据抛物线的准线方程求得p 的值，进而求得抛物线方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线方程，写出韦达定理，求得PQ 的长，利用三角形面积公式求得OPQ ∆的面积. 【详解】解（1）22y px =的准线2p x =-，1-122p p ∴=-=，22.y x ∴= （2）设直线l 方程为1x y =+，()()112221,,,,2x y P x y Q x y y x =+⎧⎨=⎩则2220y y ⇒--=，()()12121202122y y y y ⎧∆=>⎪∴+=⎨⎪=-⎩， 21211PQ y y ∴=+-=6 2211d ==+ 1226322OPQ s ∆∴=⨯⨯= 【点睛】本小题主要考查已知抛物线的准线求抛物线方程，考查直线和抛物线相交所得弦长的计算以及与抛物线有关的三角形面积的计算，属于中档题.19．椭圆C ：(2222122x y m m m+=>，直线l 过点()1,1P ，交椭圆于A ､B 两点，且P 为AB 的中点.（1）求直线l 的方程；（2）若AB OP ，求m 的值. 【答案】（1）230x y +-=；（2）m【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式AB =m 的值.【详解】（1）222113122m m m +=<，(m >，∴点P 在椭圆里面， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221212x y m m x y m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得222212122202x x y y m m --+=， 变形为()()()()121212122202x x x x y y y y m m +-+-+=，①点()1,1P 是线段AB 的中点，12122,2x x y y ∴+=+=， 并且有椭圆对称性可知120x x -≠， 由①式两边同时除以12x x -，可得，1222122202y y m m x x -+⋅=-， 设直线AB 的斜率为k ，120k ∴+=， 解得：12k =-， 所以直线l 的方程()1112302y x x y -=--⇒+-=； （2）OP ==222212230x y m mx y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，22612920y y m -+-=， 可得122y y +=，212926m y y -=，AB ==化简为()2292144103m -+⨯-=，且2m >解得：3m =【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.20．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，14AB =，5BC =，14AA =，点,E F 分别在1111,A B D C 上，11 2.A E D F ==（1）求直线CF 与1C E 所成角的余弦值；（2）过点,E F 的平面α与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（11810（2）13【分析】（1）连接1,,EF EB BC ，1C EB ∠或其补角即为所求；（2）根据5EF =在棱AB 上找出点M 使得5ME =，体积之比转化为面积之比.【详解】（1）连接1,,EF EB BC ，长方体1111ABCD A B C D -中，11112,//A E D F A E D F ==， 所以四边形11A EFD 是平行四边形，所以11A D 与EF 平行且相等， 所以EF 与BC 平行且相等，所以四边形EFCB 为平行四边形， 所以//FC BE ，直线CF 与1C E 所成角就是1C EB ∠或其补角，2222111113,410C E EF FC EB EB BB =+==+=22111141C B B B B C =+=，在1C EB ∆中，由余弦定理，22211111810cos 2213410C E EB C B C EB C E EB +-∠===⋅⨯⨯，所以直线CF 与1C E 1810（2）设过点,E F 的平面α与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，即正方形EFNM ，则5EM=，作EP AB ⊥于P ，作FQ DC ⊥于Q ，所以3PM =，所以图中只能点M 在点P 的右侧，平面α把该长方体分成的两部分为直棱柱11AMEA DNFD -和直棱柱11EMBB FNCC -，两个直棱柱的高相等，两部分体积之比为1111117122132AMEAEMBBAM A EAASMB B ES AA+⋅===+⋅.【点睛】此题考查空间几何体中求异面直线夹角，处理平面与几何体的截面问题，关键在于准确找出几何关系进行计算.21．如图，直三棱柱111ABC A B C-中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱1CC上，已知AB AC=，13AA=，2BC CF==.（1）求证：1//C E平面ADF；（2）在棱1BB上是否存在点M，使平面CAM⊥平面ADF，若存在，试求出BM的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1BM＝.【分析】（1）根据题干条件运用线面平行的判定定理证明；（2）根据题干条件运用面面垂直的判定定理推证.【详解】（1）证明：连接CE交AD于O，连接OF.因为CE，AD为ABC的中线，则O为ABC的重心，故123CF COCC CE==，故1OF C E∥，因为OF⊂平面ADF，1C E⊄平面ADF，所以1C E平面ADF.（2）解：存在点M ，当1BM ＝时，平面CAM ⊥平面ADF .证明如下：因为AB AC =，AD ⊂平面ABC ， 故AD BC ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，1BB ⊂平面11B BCC ，故平面11B BCC ⊥平面ABC .又平面11B BCC ⋂平面ABC BC =，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面11B BCC ， 又CM ⊂平面11B BCC ， 故AD CM ⊥. 又1BM=，2BC =，1CD =，2FC =，故Rt CBM Rt FCD △≌△. 易证CM DF ⊥， 又DFAD D ＝，DF ，AD ⊂平面ADF ，故CM ⊥平面ADF .又CM ⊂平面CAM ， 故平面CAM ⊥平面ADF .22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,1P，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦PA ，PB 分别与椭圆C 交于A ，B . （i ）证明直线AB 过定点；（ii ）求点P 到直线AB 距离的最大值.【答案】（1）22163x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii）3. 【分析】（1）由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，结合,,a b c 的关系，则椭圆方程可求；（2）（i ）当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，利用根与系数的关系结合PA PB ⊥可得(21)(231)0k m k m +-++=，讨论210k m +-=或2310k m ++=，即可求出直线过定点；（ii ）可知当PM AB ⊥时，求出点P 到AB 的距离．求解当直线AB 的斜率不存在时，点P 到直线的距离，由此可得点P 到直线AB 距离的最大值．【详解】解：（1）由题意，得22411a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为222a b c =+，得26a =，23b =，所以，椭圆的方程为22163x y +=.（2）（i ）当直线AB 斜率存在时， 设其方程为y kx m =+， 代入椭圆方程， 整理得()222124260k xkmx m +++-=，由0∆>，得22630k m -+>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k -+=+，21222612m x x k-=+， 因为PA PB ⊥， 所以121211122y y x x --⋅=---， 即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，①其中()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，()12122y y k x x m +=++，代入①，整理得22483210k mk m m ++--=，即(21)(231)0k m k m +-++=，当210k m +-=时，直线AB 过点P ，不合题意，所以2310k m ++=，此时，直线AB 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当直线AB 斜率不存在时，设其方程为xn =， 代入解得23n =或2n =（舍去）， 综上所述，直线AB 恒过定点21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭. （ii ）∴当PM AB ⊥时，点P 到AB的最大距离为||d PM ==当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为xn =， 代入解得23n =或2n =舍去． 当23n =时，点P到直线23x=的距离为43．综上，点P到直线AB距离的最大值为||d PM==【点睛】易错点睛：本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系. 讨论直线AB 的斜率是否存在是易错点.。
2020-2021学年湖北省部分省重点中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年湖北省部分省重点中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知点A(−3,2)，B(0,−1)，则直线AB的倾斜角为()A. 30°B. 45°C. 135°D. 120°2.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是()034743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179A. 36B. 16C. 11D. 143.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=π3，c=4，a=2√6，则角C=()A. 3π4B. π4C. π4或3π4D. π3或2π34.已知α⊥β且α∩β=l，m⊂α，则“m⊥β”是“m⊥l”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：(x−m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知直线l：xa +yb=2(a>0,b>0)经过定点M(1,1)，则3a+2b的最小值是()A. 3+2√22B. 5+2√6 C. 52+√6 D. 37.某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0,5)，[5,10)，…[35,40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是()A.B.C.D.8. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1(棱长为1)中，点P 在线段AD 上(点P 异于A 、D 两点)，线段DD 1的中点为点Q ，若平面BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP 的取值范围为( )A. (0,13]B. (12,1]C. [23,1)D. (0,12]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列说法正确的是( )A. 命题“∀x ∈R ，x 2>−1”的否定是“∃x 0∈R ，x 02<−1”B. 命题““∃x 0∈(−3,+∞)，x 02≤9”的否定是“∀x ∈(−3,+∞)，x 2>9”C. “m <0”是“关于x 的方程x 2−2x +m =0有一正一负根”的充分不必要条件D. “a >5”是命题“∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0”为假命题的充分不必要条件10. 抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6“为事件A ，“向上的点数是1，2“为事件B ，“向上的点数是1，2，3“为事件C ，“向上的点数是1，2，3，4“为事件D ，则下列关于事件A ，B ，C ，D 判断正确的有( )A. A 与B 是互斥事件但不是对立事件B. A 与C 是互斥事件也是对立事件C. A 与D 是互斥事件D. C 与D 不是对立事件也不是互斥事件11. 以下四个命题为真命题的是( )A. 过点(−10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为y =−14x +152B. 直线xcosθ+√3y +2=0的倾斜角的范围是[0,π6]∪[5π6,π)C. 曲线C 1：x 2+y 2+2x =0与曲线C 2：x 2+y 2−4x −8y +m =0恰有一条公切线，则m =4D. 设P 是直线x −y −2=0上的动点，过P 点作圆O ：x 2+y 2=1的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则经过A ，P ，O 三点的圆必过两个定点12. 正四棱锥P −ABCD 中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，下列结论正确的是( )A. 直线PA 与BC 、PA 与CD 所成的角相等B. 侧棱与底面所成角的正切值为√63C. 该四棱锥的体积为4√3D. 该四棱锥的外接球的表面积为25π3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x ，y 之间的线性回归方程为y ̂=−0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的相关数据如表所示，则m 的值为______ ．14. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是15，则乙获胜的概率是______ ．15. 直线l ：y =x +1与圆C ：x 2+y 2−4y +3=0交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是______ ．16. 已知锐角三角形△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.且b =2asinB ，则cosB +sinC 的取值范围为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)一条光线从点P(6,4)射出，与x 轴相交于点Q(2,0)，经x 轴反射后与y 轴交于点H ，求反射光线QH 所在直线的方程．(2)已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，求事件“A∪B”发生的概率．18.某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如表的频数分布表：周跑量[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55]人数100120130180220150603010(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；(2)根据以如图表数据，试求样本的中位数及众数(保留一位小数)；周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格(单位：元)250040004500(3)根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样(如表)，根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？19. 为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为x 米(1≤x ≤5)．(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800a(1+x)x元(a >0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．20. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosAsinA +cosCsinC =1sinB ．(1)求角B 的取值范围；(2)若sinB =√74，且BA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32，求|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．21.已知△ABC中，AB⊥BC，BC=12，AB=24，分别取边AB，AC的中点D，E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，设点M为棱A1D的中点，点P为A1B的中点，棱BCC上的点N满足BN=3NC．(1)求证：MN//平面A1EC；(2)试探究在△ADE的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥N−PCE的体积为18，若存在，求出二面角A1−DE−C的大小，若不存在，请说明理由．22.已知点A(−2√3,0)，圆O：x2+y2=1，点Q是圆O上的动点，点A关于点Q的对称点为点P，设点P的轨迹为Γ，以P为圆心作圆与x轴相切于点N且与Γ相交于B、C两点．(1)求点P的轨迹Γ的方程；(2)证明：直线BC平分线段PN；(3)设直线BC与PN的交点为M，直线l：x=10√3，M到l的距离记为d，试探究3x轴上是否存在定点E，使得|ME|为定值，若存在，求出定点坐标和该定值λ，若不d存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，设直线AB的倾斜角为θ，直线AB经过点A(−3,2)，B(0,−1)，则AB的斜率k=2−(−1)−3−0=−1，则tanθ=−1，又由0°≤θ<180°，则θ=135°，故选：C．根据题意，设直线AB的倾斜角为θ，求出直线AB的斜率，则有tanθ=−1，结合θ的范围分析可得答案．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，涉及直线斜率的计算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，即47开始读取，在编号范围内的提取出来即可，则36，33，26，16，11，则选出来的第5个零件编号是11，故选：C．利用简单随机抽样的数表法定义进行判断即可，本题考查简单随机抽样的数表法定义，比较基础．3.【答案】B【解析】解：根据题意，△ABC中，c=4，a=2√6，则A>C，则有C<π3，由正弦定理可得：asinA =csinC，又由A=π3，c=4，a=2√6，则sinC=c×sinAa =4×√322√6=√22，又由C<π3，则C=π4；故选：B．根据题意，由三角形的角边关系分析可得C<A=π3，结合正弦定理计算可得sinC=c×sinAa =4×√322√6=√22，结合C的范围，分析可得答案．本题考查正弦定理的应用，注意利用三角形的角边关系分析C与B的大小．4.【答案】C【解析】解：已知α⊥β且α∩β=l，m⊂α，两平面互相垂直，其中一平面内垂直于另一平面的直线，必垂直两平面的交线，∴“m⊥β”是“m⊥l”的充分条件，两平面互相垂直，其中一平面内垂直于两平面交线的直线，必垂直于另一平面，∴“m⊥β”是“m⊥l”的必要条件，∴m⊥β”是“m⊥l”的充要条件，故选：C．根据直线与平面垂直的判定定理以及推论，从充分性和必要性两方面作出判断即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理，以及简易逻辑，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意做出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心O2O1.则在Rt△O2AO1中，|O1A|=√5|O2A|=√20，斜边上的高为半弦，用等积法易得：|AB|2⋅5=√5⋅√20⇒|AB|=4．故选：D．由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时应该过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解．此题重点考查了学生对于圆及题意的理解，还考查了圆的切线性质及直角三角形的求解线段长度的等面积的方法．6.【答案】C【解析】解：由题意知1a +1b=2，且a，b是两个不同的正数，所以3a+2b=12(1a+1b)(3a+2b)=12(5+3ab+2ba)≥12(5+2√6)，当且仅当3ab =2ba时，等号成立，故3a+2b的最小值是52+√6，故选：C．由题意知1a +1b=2，可得3a+2b=12(5+3ab+2ba)，根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查频率分布直方图、茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．由频率分布直方图可得，[25,30)，[30,35)的频率相同，频数为3，即可得出结论．【解答】解：由频率分布直方图可得，[25,30)，[30,35)的频率相同，频数为3，故选：B．8.【答案】D【解析】解：如图，当AP=12时，截面为等腰梯形BPQC1，当0<AP<12时，截面是四边形BPQM，当AP>12时，截面是五边形．∴若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP的取值范围为(0,12].故选：D．由题意画出图形，可知当AP =12时，截面为等腰梯形BPQC 1，进一步得到当0<AP <12时，截面是四边形BPQM ，当AP >12时，截面是五边形．则答案可求． 本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9.【答案】BD【解析】解：对于A.命题“∀x ∈R ，x 2>−1”的否定是“∃x 0∈R ，x 02≤−1”，故A错误；对于B.命题“∃x 0∈(−3,+∞)，x 02≤9”的否定是“∀x ∈(−3,+∞)，x 2>9”，满足命题的否定形式，所以B 正确；对于C.关于x 的方程x 2−2x +m =0有一正一负根⇔{4−4m >0m <0⇔m <0，所以“m <0”是“关于x 的方程x 2−2x +m =0有一正一负根”的充要条件，故C 错误；对于D.命题“∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0”的否定“∃x 0∈R ，x 02+ax 0+a <0”为真命题，所以a 2−4a >0⇔a <0或a >4，故“a >5”是命题“∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0”为假命题的充分不必要条件．故D 正确； 故选：BD ．写出命题的否定判断A ；利用命题否定形式判断B ；充要条件判断C ；利用命题与难题的否定的真假关系，求解a 的范围，然后判断充要条件，判断D ．本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，命题否定，等知识，是基本知识的考查．10.【答案】ABD【解析】解：抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6“为事件A ，“向上的点数是1，2“为事件B ，“向上的点数是1，2，3“为事件C ，“向上的点数是1，2，3，4“为事件D ， 在A 中，A 与B 不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故A 正确；在B 中，A 与C 是互斥事件，也是对立事件，故B 正确； 在C 中，A 与D 能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；在D 中，C 与D 能同时发生，不是对立事件也不是互斥事件，故D 正确．故选：ABD ．利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于A ，设直线方程为y −10=k(x +10)，可得横截距为−10k−10，纵截距为10k +10， ∴−10k−10=4(10k +10)，解得：k =−1或k =−14，∴直线方程为y =−x 或y =−14x +152，故A 错误；对于B ，由题设知直线的斜率k =−√33cosθ∈[−√33,√33]，∴直线的倾斜角的范围是[0,π6]∪[5π6,π)，故B 正确；对于C ，∵曲线C 1：(x +1)2+y 2=1，曲线C 2：(x −2)2+(y −4)2=20−m >0， ∵它们恰有一条公切线，∴它们内切，∴圆心距d =|C 1C 2|=√(2+1)2+42=5=|√20−m −1|，解得：m =−16，故C 错误；对于D ，设点P(m,m −2)，根据切线的性质，可得AO ⊥PA ，经过A ，P ，O 三点的圆即为以PO 为直径的圆，则圆的方程为x(x −m)+y(y −m +2)=0，整理得：(x 2+y 2+2y)−m(x +y)=0，令{x 2+y 2+2y =0x +y =0，解得：x =y =0，或{x =1y =−1，即经过A ，P ，O 三点的圆必经过定点(0,0)，(1,−1)，故D 正确， 故选：BD ．利用题设条件逐个选项进行判断即可．本题主要考查直线在坐标轴上的截距、直线的倾斜角与斜率、两圆的位置关系及动圆过定点问题，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ，取AD 中点E ，连结OE 、PE ，对于A ，直线PA 与BC 所成角为∠PAD ， PA 与CD 所成的角为∠PAB ，∵PA =PB =PD ，AB =AD ，∴∠PAD =∠PAB ， ∴直线PA 与BC 、PA 与CD 所成的角相等，故A 正确； 对于B ，∵PO ⊥平面ABCD ，∴∠PAO 是侧棱与底面所成角，∵A 正四棱锥P −ABCD 中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°， ∴O =12AC =12√22+22=√2，∠PEO =60°，OE =1，PE =2，PO =√22−12=√3， ∴侧棱与底面所成角的正切值为tan∠PAO =√3√2=√62，故B 错误；对于C ，该四棱锥的体积为V =13×S 正方形ABCD ×PO =13×2×2×√3=4√33，故C 错误； 对于D ，设该四棱锥的外接球半径为R ， 则R 2=(√3−R)2+(√2)2，解得R =2√3， ∴该四棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=25π3，故D 正确．故选：AD ．对于A ，直线PA 与BC 所成角为∠PAD ，PA 与CD 所成的角为∠PAB ，从而直线PA 与BC 、PA 与CD 所成的角相等；对于B ，连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ，取AD 中点E ，连结OE 、PE ，则PO ⊥平面ABCD ，∠PAO 是侧棱与底面所成角，推导出侧棱与底面所成角的正切值为√62；对于C ，该四棱锥的体积为4√33；对于D ，设该四棱锥的外接球半径为R ，则R 2=(√3−R)2+(√2)2，解得R =2√3，由此能求出该四棱锥的外接球的表面积．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】5【解析】解：由表中数据可知，x −=14(6+8+10+12)=9， y −=14(6+m +3+2)=11+m 4，根据样本中心点必在线性回归方程上，有11+m 4=0.7×9+10.3，解得m =5， 故答案为：5．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．14.【答案】310【解析】解：因为甲、乙两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是15，所以乙获胜的概率1−15−12=310． 故答案为：310．根据乙获胜与两个人和棋或甲获胜对立，可得乙获胜概率等于1减去两人和棋的概率，再减去甲获胜的概率．此题主要考查了概率的求法的运用，属于基础题，解答此题的关键是首先判断出此事件的类型，然后选择合适的方法解答即可．15.【答案】12【解析】解：圆C 的方程x 2+y 2−4y +3=0化为标准方程是x 2+(y −2)2=1， 则圆心C(0,2)到直线l ：y =x +1，即x −y +1=0的距离为 d =√12+(−1)2=√22， 所以|AB|=2√r 2−d 2=2(√22)=√2，所以△ABC 的面积为S △ABC =12|AB|⋅d =12×√2×√22=12．故答案为：12．把圆C 的方程化为标准方程，求出圆心到直线的距离d 和弦长|AB|，再计算△ABC 的面积．本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是基础题．16.【答案】(√32,32)【解析】解：依题意b =2asinB ，由正弦定理得sinB =2sinAsinB ， 又sinB ≠0，所以sinA =12，cosA =√32，由于三角形ABC 是锐角三角形， 所以A =π6，由{A +B >π20<B <π2，可得π3<B <π2，所以cosB +sinC =cosB +sin(5π6−B)=cosB +12cosB +√32sinB =32cosB +√32sinB =√3sin(B +π3)，由于2π3<B +π3<5π6，所以sin(B +π3)∈(12,√32)，所以√3sin(B +π3)∈(√32,32).故答案为：(√32,32).由已知利用正弦定理可求sinA =12，cosA =√32，结合三角形ABC 是锐角三角形，可求A =π6，可得范围π3<B <π2，利用三角函数恒等变换的应用可求cosB +sinC =√3sin(B +π3)，结合范围2π3<B +π3<5π6，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)点P(6,4)关于轴的对称点的坐标P 1(6,−4)，则反射光线所在的直线过点P 1和Q ，所以k P 1Q =−4−06−2=−1，所以反射光线QH 的方程为y =−(x −2)，即y =−x +2．(2)由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含20个基本事件； “抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共8个基本事件；即事件B 是事件A 的子事件；所以事件A ∪B 包含的基本事件个数为11个，所以事件A∪B发生的概率为11．20【解析】(1)求出点P的关于x轴的对称点，即可求出直线的斜率，可得直线方程．(2)从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数20，利用列举法求出事件A 包含的基本事件有11个，事件B包含的基本事件有8个，根据概率公式即可求出．本题考查直线方程，概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：=32.5，(2)由频率分布直方图得样本的众数为30+352由频率分布直方图得[10,25)的频率为(0.02+0.024+0.026)×5=0.35，[25,30)的频率为0.036×5=0.18，设样本的中位数为x，则0.35+(x−25)×0.036=0.5，解得x≈29.2，∴样本的中位数约为29.2．(3)依题意知休闲跑者共有：(5×0.02+5×0.024)×1000=220人，核心跑者共有(5×0.026+5×0.036+5×0.044+5×0.030)×1000=680人，精英跑者共有1000−220−680=100人，∴估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：1(220×2500+680×4000+100×4500)=3720(元)．1000【解析】(1)由频数分布表能补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图．(2)由频率分布直方图能求出样本的众数和样本的中位数．(3)求出休闲跑者共有220人，核心跑者共680人，精英跑者共100人，由此能估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元．本题考查频率分布直方图的作法，考查众数、中位数、平均费用的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)设甲工程队的报价为y 元，而1≤x ≤5，y =3(300×2x +400×24x )+14400=1800(x +16x)+14400 ≥1800×2×√x ⋅16x+14400=28800，当且仅当x =16x，即x =4时，等号成立，所以当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，为28800元． (2)由题意知，1800(x +16x)+14400>1800a(1+x)x对任意的x ∈[1,5]恒成立，即(x+4)2x>a(1+x)x，从而(x+4)2x+1>a 恒成立，令x +1=t ∈[2,6]， 则(x+4)2x+1=(t+3)2t =t +9t+6≥2√t ⋅9t+6=12，当且仅当t =9t ，即t =3时，等号成立， 所以0<a <12．【解析】(1)设甲工程队的报价为y 元，则y =3(300×2x +400×24x)+14400，化简后，利用均值不等式即可求得最小值； (2)由题意知，1800(x +16x)+14400>1800a(1+x)x对任意的x ∈[1,5]恒成立，参变分离后，得(x+4)2x+1>a 恒成立，再令x +1=t ∈[2,6]，结合均值不等式求出y =(x+4)2x+1的最小值即可得解．本题考查函数的实际应用，主要利用了均值不等式求函数的最值，还涉及参变分离法和换元法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵cosA sinA +cosC sinC =1sinB ，∴cosAsinC+sinAcosCsinAsinC =1sinB ，∴sin(A+C)sinAsinC =1sinB ， ∴sinBsinAsinC =1sinB ，∴sin 2B =sinAsinC ， 由正弦定理得：b 2=ac ，∵b 2=a 2+c 2−2accosB ≥2ac −2accosB ， 当且仅当a =c 时取等号， ∴cosB ≥12，又∵B ∈(0,π)， ∴0<B ≤π3．(2)∵sinB =√74，且b 2=ac ，∴角B 不是最大角，∴cosB =√1−sin 2B =√1−716=34，∵32=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =cacosB =34ac ，∴ac =2，∴b 2=2，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ， ∴a 2+c 2=5，∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=a 2+c 2+2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2+c 2+2×32=8，∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2．【解析】本题综合考查了正余弦定理，向量和不等式的结合应用，属于中档题． (1)利用两角和的正弦公式及正弦定理，基本不等式可求解，(2)利用余弦定理，向量的数量积和模的计算公式可解．21.【答案】(1)证明：取A 1E 中点F ，连接MF ，CF ，∵M 为棱A 1D 的中点，∴MF//DE 且MF =12DE ，在△ABC 中，D ，E 为边AB ，AC 的中点，则DE//BC ，且DE =12BC ， ∴MF//BC ，即MF//NC ，且MF =14BC =NC ， ∴四边形MFCN 为平行四边形，∴MN//FC ，∵MN ⊄平面A 1EC ，FC ⊂平面A 1EC ，∴MN//平面A 1EC ． (2)解：在△ABC 中，DE//BC ，AB ⊥BC ，∴DE ⊥AB ， ∴在立体图中，DE ⊥A 1D ，DE ⊥BD ，∵A 1D ∩BD =D ，∴∠A 1DB 是二面角A 1−DE −C 的平面角，且DE ⊥平面A 1DB ， ∵DE ⊂平面BCED ，∴平面A 1DB ⊥平面BCDE ，在面A 1DB 内，作PO ⊥BD 于O ，则PO ⊥平面BCED ，∴PO 为三棱锥P −NCE 的高． S △NCE =12×NC ×BD =12×3×12=18，V E−PNC =V P−NCE =13×PO ×S △NCE =13×18×PO =18， 解得PO =3，∴A 1到BD 的距离为6，当∠A 1BD 为锐角时，sin∠A 1DB =612=12，∴∠A 1DB =30°，∴符合要求的△ADE 的位置存在，且二面角A 1−DE −C 的大小为30°或150°．【解析】(1)取A 1E 中点F ，连接MF ，CF ，推导出四边形MFCN 为平行四边形，从而MN//FC ，由此能证明MN//平面A 1EC ．(2)推导出DE ⊥A 1D ，DE ⊥BD ，∠A 1DB 是二面角A 1−DE −C 的平面角，且DE ⊥平面A 1DB ，从而平面A 1DB ⊥平面BCDE ，作PO ⊥BD 于O ，则PO ⊥平面BCED ，PO 为三棱锥P −NCE 的高．由V E−PNC =V P−NCE ，推导出A 1到BD 的距离为6，由此能求出符合要求的△ADE 的位置存在，且二面角A 1−DE −C 的大小为30°或150°．本题考查线面平行的证明，考查满足二面角的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】(1)解：设P(x,y)，则由中点坐标公式得Q(x−2√32,y2)，由于Q 在圆O 上， ∴(x−2√32)2+(y2)2=1，即(x −2√3)2+y 2=4为Γ的方程．(2)证明：设P(x 0,y 0)，圆P 的方程为(x −x 0)2+(y −y 0)2=y 02，联立方程组{(x −2√3)2+y 2=4(x −x 0)2+(y −y 0)2=y 02，得直线BC 的方程为(2√3−x 0)x −yy 0+x 022−4=0，由于PN ⊥x 轴，所以PN 的中点坐标为(x 0,y2)，将其代入BC 的方程左边得(2√3−x 0)x 0−y ⋅y 02+x 022−4=−x 022−y 022+2√3x 0−4=−12[(x 0−2√3)2+y 02]+2=0， 即PN 的中点在直线BC 上，所以BC 平分PN ．(3)解：由(2)可知点M(x 0,y2)，设存在定点E(t,0)满足要求，|ME|2=(x 0−t)2+y 024，d 2=|x 0−10√33|2， 设|ME|d=λ为常数，则(x 0−t)2+y 024=λ2[x 02−20√33x 0+1003]，∵y 02=4−(x 0−2√3)2， ∴(3−4λ2)x 02+[4√3−8t +80√33λ2]x 0+4t 2−8−4003λ2=0对x 0恒成立，∴{ 3−4λ2=0−8t +4√3+80√33λ2=04t 2−8−4003λ2=0，解得t =3√3，λ=√32，故存在定点E(3√3,0)，定值λ=√32满足要求．【解析】(1)设P(x,y)，求出AP 中点Q 的坐标，代入圆的方程，即可求得点P 的轨迹Γ的方程；(2)设P(x 0,y 0)，由题意可得圆P 的方程，与轨迹Γ的方程联立，可得直线BC 的方程，求出PN 的中点坐标，代入直线BC 的方程成立，即可得证；(3)由(2)可知点M(x 0,y2)，设存在定点E(t,0)满足要求，根据题意求出|ME|2，d 2，设|ME|d=λ，代入可得(3−4λ2)x 02+[4√3−8t +80√33λ2]x 0+4t 2−8−4003λ2=0对x 0恒成立，则可得关于t 和λ的方程组，解之即可得结论．本题主要考查求动点的轨迹方程的求法，两圆相交弦所在直线方程的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。