量子力学 第三章知识点

=32πm2a22
=hn
=h c λ
⇒ λmax
= 8mca2 3h
。
作者：张宏标（任课教师）
3
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
当 n → ∞ （即在大量子数）= 时， ∆E En
时粒子处于动量取值在 p − p + dp 内的几率，以及粒子波函数ψ (x, t) 的表达式。
[解] 由于阱壁突然崩塌，粒子变为自由粒子。此时哈密顿量为 Hˆ = pˆ 2 ，能量本征值以及本征函数 2µ
分别= 为 E p2 (−∞ < p < +∞),
2µ
ϕ= p (x)
1 2p
exp
i
px
dx
作者：张宏标（任课教师）
5
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
2i
1 p
a
exp
i
nap − p x0a +p exp −i na
+
p
(
p,
t
)
exp
i
px
dx
⇒ C( p,t=)
C
(
p)
exp
−
ip2t 2µ
所以，在 t ≥ 0 时粒子处于动量取值在 p − p + dp 内的几率为
( ) C( p,t) 2 d=p C( p) 2 d=p
= − n p a (n(p−1))n2e−xp( p(−ai)p2a ) −1
因此，最后得到：
C( p) 2
= −
( np
p a3n2
)2 − ( pa
)2
2
(−1)n exp (−ipa
) −12
=−
(
np
p a3n2
)2 − ( pa
)2
2
(−1)n cos ( pa
) −1 − i sin ( pa
因此，能量本征波函数表示为
ψ
n
(
x)
=
2 a cos nπ x , a
2 a sin nπ x , a
n
=
奇数
n
=
偶数
= (−1)n 2sin a
nπ a
x
+
a 2
(|x |< a 2)
。
0
(|x |≥ a 2)
将能级和波函数用图表示如下:
作者：张宏标（任课教师）
2
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
接下来确定能量 E 的取值，利用波函数的连续性条件在 x = ± a 2 处衔接起来。
(1)、正宇称解(solution for positive/even parity )
cos ka = 0= ⇒ ka (n +1= )π (n 0,1, 2,)
2
2
2
作者：张宏标（任课教师）
1
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
= ⇒ k
(2n +1)π
a
⇒
E2 m +1 ψ 2m+1
=
2π 2 2ma2
(2n
(x) = Acos (
+ 1)2
2n +1)
a
π
n x
= 0,1, 2, (偶宇称)
(2)、负宇称解(solution for negative/odd parity )
sin ka = 0 ⇒ = ka
2
2
2n +1 n2
�
2 n
→
0
，说明能级间隔与能级本身比较是可忽略不
计的，即具有“准连续”性。
2、从波函数分析
(iii)、波函数是驻波(stationary state)，阱中粒子波函数是两个反向传播的德布罗意行波叠加而成的
驻波，是阱中德布罗意波在 x = ± a 2 边界处多次反射相干叠加的结果，类似于两端固定的一段弦振
[ 动。这里强调指出，这两个行波并不严格单色，因为它们仅仅存在于有限区间 − a 2 , a 2]内。如同
光学中有限长度的光波波列不会是严格单色波一样。驻波的波长为
=λ 2=π 2a = (n 1, 2,3,3) 。 kn
波函数在全空间连续，但其一阶导数在端点处不连续 。
(iv)、态的宇称是偶奇相间，且基态为偶宇称；而第 n 态奇偶性为 ( ) −1 n−1 。
0, ∞,
(0 < x < a)
为非对称的；
( x ≤ 0, x ≥ a)
作者：张宏标（任课教师）
4
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
相应的能级和能量本征函数为:
=a
4 , 3a
4 是几率最大位置。
[例 2] 设粒子在宽为 a （ 0 < x < a ）的一维无限深方势阱中运动， 求粒子的动量分布。
[解]
由已知得，能量本征波函数为ψ
n
(
x)
=
2 a sin nπ x a
(0 < x < a)
。
0
( x < a, x > a)
∫ 用动量本征函数展开得ψ n (x) =
2 a sin nπ x (0 < x < a) 。
a
对于第一激发态时 n == 2 ，故有ψ 2 (x)
2 a sin 2π x (0 < x < a)
a
粒子处于第一激发态的几率密度为=ρ
ψ=2
2 a
sin
2
2πa= x ，由 ddρx
4a= π2 sin 4πa x
0 得极值点
sin
4π a
nπ
= (n
1,
2, 3,3)
⇒
k== 2naπ ⇒ ψE22nn (
2= µ2πa22 (2n)2 n 1, 2,
x) = Asin 2nπ x (奇宇称) a
。
将二者合并起来可以写为：
=k n= π , (n 1, 2,3,3) 。 a
能级公式(energy levels formula):
= En 2= µ2πa22 n2 (n 1, 2,)
x
=
0
⇒
4π x a
= nπ
⇒
x=
na⇒ 4
x = 0, a
4,a
2 , 3a
4,a 。
= ddx2 ρ2
1= 6aπ3 2 cos 4πa x
16π 2 a3 >0
−16π
2
a3 <0
( x = 0, a 2, a) ( x = a 4,3a 4)
d2ρ 当 dx2
< 0 时，取极大值。所以。有 x
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
§2、平底方势阱与离散能级（Square-well potentials and discrete energy levels）
是没有意义的。通常地， E1 称为零点能(zero-point energy)， 对应的这个状态称为基态(ground
state)。
(ii)、相邻能级间距： ∆E=
En+1 − En=
π 22 2µa2
( n
+ 1)2
−
n2
=
π 22 2µa2
(
2n
+1)
。
当 n = 1 时，能级差最小 ∆Emin
一维问题的实际背景是平面型固体器件例如“超晶格”，以及从高维问题约化下来的一维问题。
一、一维无限深对称方势阱, 分立谱
(1D symmetrical square-well potential of infinite depth and discrete
spectrums)
考虑一个质量为 µ 的粒子在阱宽为 a 的一维无限深势阱中运动，
1 2p
C(
p)
exp
i
px
dp
，则
= C( p) =
∫ ∫ 21p +−∞∞ψ n (x) exp −p = i px dx 21
2 a
a 0
sin
np x a
exp
−
i
px
dx
∫ 2i
1 p a
a 0
exp
i
nap − p x −p exp −i na
+
p
x
a 0
sin
px a
exp
−
i
px
dx
因此，ψ (x, t) 按展开ϕ p (x) 如下：
∫ ∫ ψ
( x, t )
+∞
= C( p) exp −
−∞
iE p t
ϕ p (x)dp
=
1 2p
∞
C( p) exp −
−∞
ip2t 2µ
exp
i
px
dx
∫ =
1 2p
∞ −∞
C
。
作者：张宏标（任课教师）
6
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
将ψ
(
x,
0)
=
0
2 sin π x 0 < x < a aa
按展开ϕ p (x) 得
x < 0, x > a
d 2ψ dx2
+
2µE 2
ψ
(
x)
=0
(| x |< a 2)
显然 E > 0 (因为 E < 0 使得ψ 穿透阱壁)，令 k = 2µ E ，则能量本征方程变成：
d 2ψ dx2
+ k 2ψ (x) = 0
其宇称解：ψ (x) = Acos kx 或 Asin kx (| x |< a 2) 。
其势能函数为V
(
x)
=
0, ∞,
(| x |< a 2) (| x |≥ a 2) , 见右图示 。
求该粒子运动的波函数及能级？
[解] 在势阱外V (x) = +∞ , 粒子不能穿过去，必有： |x|≥a ψ (x) ≡ 0 (| x |≥ a 2) 。
在势阱内，ψ ( x) 满足的能量本征方程为：
(v)、第 n 能级的波函数ψ n (x) 的节点数为 n − 1 (端点除外) 。
(vi)、空间分布几率： d= W
ρ ( x)= dx
ψ n (x) 2= dx
2 sin2 nπ x= dx aa
1 a
1
−
cos
2nπ a
x
dx
，在量子
情况，粒子的空间分布与粒子的位置有关。
(vii)、经典粒子空间分布几率： ρ(x)d=x d=t dx =x 1 dx ，即经典粒子出现几率是“平均（等几 T a x a
∫ ∫ ∞
= ψ (x, 0) = C( p)ϕ p (x)dp
−∞
1 2p
∞ −∞
C
(
p)
exp
i
px
dp
由此可得：
∫ = C( p) 21p −∞∞ψ (x, 0) exp p = − i px dx 21
=
p a exp (−ipa ) +1 (p )2 − ( pa)2
∫2
a
= 源自文库n
π= 22n2 n 2µa
1, 2,;
ψ
n
(
x)
=
2 a sin nπ x a
0
(0 < x < a)
。
( x ≤ 0, x ≥ a)
这表明：在坐标平移变换下，能级公式不变，但能量本征函数不再具有确定的宇称了。
[例 1] 求一维无限深势阱中粒子处于第一激发态时几率密度最大的位置。
[解] 由已知得= 波函数为ψ n (x)
i
nap − p p i na
+
p
x
a 0
= − 2 p1 a exp i nnap p −− pp a −1p p + exp −i nna ++pp
a
−1
a
a
= − 1 2nap (−1)n exp (−ipa ) −1
2 p a
nap − pp na
+
p
) 2
{ } = − (
np
p a3n2
)2 − ( pa
)2
2
(−1)n cos ( pa ) −12 + sin2 ( pa )
=
2p a3n2
( np
)2
−
(
pa )2
2
1− (−1)n cos ( pa
)
[例 3] 设粒子处于宽为 a（ 0 < x < a ）的一维无限深方势阱的基态，t = 0 时阱壁突然崩塌，求 t ≥ 0
能量本征函数(energy eigenfunction):
ψ
n
(
x)
=
An′ An′
cos sin
nπ x , a
nπ x , a
n
=
奇数
n
=
偶数
0
(|x |< a 2)
；
(|x |> a 2)
a2
∫ 由波函数的归一化条件： |ψ n (x) |2 dx = 1，确定归一化系数为 A = 2 a 。 −a 2
−a 2
a2 能级图
−a 2
a2 波函数图
对结果进行物理分析:
1、从能量公式分析
(i)、能级= En
n2π
22 =
2µa2
n2 E1
∝
n2
是量子化的，但经典动能
E
=
p2 2m
,
0 ≤ E < ∞ 连续取值。
而最= 低能量 E1 π 22 2µa2 ≠ 0 ，这与经典粒子不同，是微观粒子波动性的表现。因为“静止的波”
率）分布”的。
小结: 一维对称无限深势阱中运动的粒子, 能级和相应的本征函数分别为:
= En
π= 22n2 n 2µa
1, 2,;
ψ
n
(
x)
=
2 sin a
nπ a
x
+
a 2
0
(|x |< a 2) (|x |≥ a 2)
若对称势阱的坐标原点沿 x 轴负方向平移 a
2,
此时势阱V (x) =