高中数学必修5精品课件2.5.1平面几何中的向量方法
人教版高中数学课件-平面几何中的向量方法
明目标、知重点
(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cos θ＝|aa|·|bb|
＝
x1x2＋y1y2
.
x21＋y21 x22＋y22
(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、
向量模的公式：|a|＝ x2＋y2 .
明目标、知重点
2.直線的方向向量和法向量 (1)直線y＝kx＋b的方向向量為 (1，k)，法向量為 (k，－1) . (2)直線Ax＋By＋C＝0的方向向量為(B，－A，) 法向量為(A，B) .
明目标、知重点
探要點·究所然 情境導學 向量的概念和運算都有著明確的物理背景和幾何背景，當向 量和平面坐標系結合後，向量的運算就完全可以轉化為代數 運算.這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方 便.本節專門研究平面幾何中的向量方法.
明目标、知重点
探究點一 直線的方向向量與兩直線的夾角
思考1 直線y＝kx＋b的方向向量是如何定義的？如何求？ 答 如果向量v與直線l共線，則稱向量v為直線l的方向向量.
明目标、知重点
思考3 請用向量法給出上述結論的證明. 答 證明：在平行四邊形ABCD中， A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B， ∴A→C2＝(A→B＋A→D)2＝A→B2＋A→D2＋2A→B·A→D； B→D2＝(A→D－A→B)2＝A→D2＋A→B2－2A→B·A→D.
∴A→C2＋B→D2＝2A→B2＋2A→D2. 即|A→C|2＋|B→D|2＝2(|A→B|2＋|A→D|2).
→
→
又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4).
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0為所求直線CH的方程.
明目标、知重点
2019-2020年人教统编【数学】2.5.1《平面几何中的向量方法》课件(新人教A版必修4)幻灯片
y
求顶点A的余弦值。
A
C
B
B
o
C
x
•
课堂小结：（自我总结）
(1)向量解决几何问题的"三步曲" (2)待定系数法 (3)三点共线性质 (4)综合应用
• 作业： • 一习题2.5A组1.2.3.4 • 二名师一号66页左右
谢谢同学们，再见！！！
v2
已知三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，-5)，F3＝(x，y) 的合力F1＋F2＋F3＝0，求F3．
解：由平面向量的加法的坐标运算，有
3＋2＋x＝0 4－5＋y＝0 x＝-5 y＝1
所以F3＝(-5，1)
两个粒子A、B从同一源 发 射出来，在某一时刻， 它们的位移分别为 sA＝(4，3)，sB＝(2，10)．
D
C
( x1 x2 x3 , y1 y2 y3 )
3
3
OG OA AG OA 2 AD OA 1 ( AB AC )
3
3
1
OA OB OC
OA (OB OA OC OA)
3
3
•
• 2.5.2 向量在物理中的应用举例
提水
回顾作业：
1、设向量OA (k,12),OB (4,5), OC (10, k ),当k为何值时, A、B、C 三点共线?
AB (4 k,7), BC (6, k 5)
k 2或11
•
由于向量的线性运算和数量积 运算具有鲜明的几何背景,平面几 何图形的许多性质,如平移、全等、 相似、长度、夹角等都可以由向量 的线性运算及数量积表示出来，因 此，可用向量方法解决平面几何中 的一些问题，下面我们通过几个具 体实例，说明向量方法在平面几何 中的运用。
2.5.1平面几何的向量方法 人教课标版精品课件
特务游戏。 到了七十年代初，老李家里就买了国产第一批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。
是直角
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
b
B
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
aO
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b
则 AC a b,CB a b ，
由此可得：AC CB a b a b
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2
BD2
ab22源自ab2a
2ab
高中数学 2.5.1 平面几何的向量方法 北师大版必须4
又因为 ER与E共B线，
D
所以设ERmEBm(a1b)
2
E
R
因为 A R A E E R
所以 r 1bm(a1b) A
因 此 n(a2b)1b 2m (a1b)
2
2
F
C
T
B
D
F
C
ER
T
A
B
即 (nm )a(nm1)b0
2
线 由 于 向 量 a ,b 不 共，
等，故设ABa,ADb其它线段对应向 A
量用它们表示。
C B
解：设 ABa,ADb，则 B C b ,D a A ,A C a b ;D a B b
22
A2 B B2 C C2 D D2 A 2 (ab)
A 2 B C 2 a D b 2 a b 2
a 2 2 a b b 2 a 2 2 a b b 2 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
复习引入
1. 两个向量的数量积：
复习引入
1. 两个向量的数量积：
ab|a||b|cos.
复习引入
1. 两个向量的数量积：
ab|a||b|cos.
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
复习引入
1. 两个向量的数量积：
ab|a||b|cos.
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
小结： 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如长度、距离、夹角等问题；
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法课件新人教A版必修4
= (������������ + ������������) = ( ������������ − ������������ ) = (������b-a).
1 2
题型一
题型二
题型三
题型四
∴ ������������ = ������������ − ������������ = (������ b-a)− (b-a)
∵E 为 BD 的中点 ,∴ ������������ = 2 ������������ = 2 (b-a). ∵F 是 AC 的中点 ,连接 BF(如图 ),
∴ ������������ = ������������ + ������������
1
1
1 = ������������ + ������������ 2 1 = ������������ + (������������ − ������������) 2
2.用向量的坐标处理问题时,建立平面直角坐标系的基本原则 剖析:选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量,也会带来不 必要的麻烦. 具有公共原点的两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系,因 此在已知图形中,只要选择互相垂直的两条直线为坐标轴就能建立 直角坐标系,但是又不能随便选择坐标轴,选择的基本原则是: (1)尽量用已知图形中两个互相垂直的向量所在的直线为坐标轴; (2)尽量选择已知图形中某一特殊点为原点; (3)位于坐标轴上的已知点越多越好.
题型一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题型二
题型三
题型四
题型一
平行问题
【例 1】 如图,已知 AC,BD 是梯形 ABCD 的对角线,E,F 分别是 BD,AC 的中点.求证:EF∥BC. 分析 :要证明 EF∥BC,只要证出 ������������ = ������������������ (������∈R)即可 .
【数学】2.5.1 平面几何中的向量方法2
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
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5
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R 、T两点， 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
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6
二、交点问题
变式训练：
已知 : AD、BE、CF是ABC的三条中线.
求证：AD、BE、CF交于一点.
A
A
GE
F G E
B
D
CB
C
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7
A
规律总结:重心的计算
已知ABC的三个顶点 F G E
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
坐 C (标x3为, y_3_)_,则__重__心_G的B
D
C
( x1 x2 x3 , y1 y2 y3 )
3
3
OG OA AG OA 2 AD OA 1 ( AB AC )
3
3
1
OA OB OC
OA (OB OA OC OA)
3
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3
8
例3
已知在等腰VABC中，BB、CC是两腰
上的中线，且BB CC，
y
求顶点A的余弦值。
A
CLeabharlann BBoC
x
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人教A版高中数学必修四2.5.1《平面几何中的向量方法》课件
（2）通过向量运算，研究几何元素 之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元 素。
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R 、T两点， 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
变式训练： 二、交点问题
已知 : AD、BE、CF是ABC的三条中线.
求证：AD、BE、CF交于一点.
A
A
GE
F G E
B
D
CB
C
A 规律总结:重心的计算
已知ABC的三个顶点 F G E
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
坐 C (标x3为, y_3_)_,则__重__心_G的B
D
C
( x1 x2 x3 , y1 y2 y3 )
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
作业：
导学教程：Ｐ58 变式训练T1,2,3
谢谢同学们，再见！！！
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
高一数学2.5.1平面几何中的向量方法
2.5.1平面几何中的向量方法教学目的：1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程：一、复习引入：1. 两个向量的数量积：. cos |||| θb a b a =⋅2. 平面两向量数量积的坐标表示: .2121y y x x b a +=⋅3. 向量平行与垂直的判定:.0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a4. 平面内两点间的距离公式： 221221)()(||y y x x AB -+-=5. 求模：=22y x +=221221)()(y y x x -+-=练习 教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.二、讲解新课：例1. 已知AC 为⊙O 的一条直径，∠ABC 为圆周角.求证：∠ABC ＝90o . 证明：设,==,== ,b a OB AO AB +=+=,b a BC -=,0)()(=-=-⋅+=⋅ ,BC AB ⊥∴ o ABC 90=∠∴例2. 如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高.求证： AD ，BE ，CF 相交于一点.例3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，, , -=+= 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？思考2：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.例4．如图，□ ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、 BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？课堂小结用向量方法解决平面几何的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.课后作业1. 阅读教材P.109到P.111;2. 《习案》作业二十五.BB。
高中数学：2.5.1 平面几何的向量方法 Word版含答案
2.5.1平面几何的向量方法一、三维目标：知识与技能：能用向量方法解决某些简单的平面几何问题．了解向量是一种处理几何问的工具。
过程与方法：通过具体例子，体会利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题的方法的步骤。
情感态度与价值观：培养学生自主学习，合作探究，勇于创新，多方位审视问题的方法和技巧。
二、学习重、难点：重点：能用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
难点：建立平面几何与向量的联系，灵活利用向量的线性运算及数量积运算求解。
三、学法指导：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接化为向量，对这些向量借助它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果。
四、知识链接：1向量求和的法则 ： ①三角形法则 ②平行四边形法则2向量减法的法则 ：3向量共线定理 ：五、学习过程 ：问题 1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图， 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长 度之间的关系吗？例1、 证明:和。
规律总结：(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽然任意两个不共线的向量都可以,u u u r u u u r u u u r DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r AC AB AD=+A B C O 作基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂．(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可以考虑向量法．练习：用向量法证明直径所对的圆周角是直角如图所示，已知⊙O ，AB 为直径，C 为⊙O 上任意一点。
求证∠ACB=90°问题2.你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
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B
O
C
例2、在平行四边形ABCD中，点E，F分 别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与 AC交于R，T两点，你能发现AR，RT， TC之间的关系吗？
D F
T
C
E
A
R
B
、若a (4,2),求与a垂直的单位向量 . 例31 、 变、若a (4,2),求与a平行的单位向量 .
2.5.2向量在物理中的应用实例
变式2：要使行驶的时间最短，则应如何
行驶？
练习：船以5 3km / h向垂直于对岸方向行驶，航船 实际航向方向与水流方向成300 角，求水流速度与 船的实际速度。
作业
活页p86 活页p93第二章质量检测 复习第二章平面向量
3、如果绳子最大承受力为588N， G 588N，
例2、河的两岸平行，河的宽度d =500m，船从A处出发 到河对岸。已知船的速度 v1 10km / h, 水流速度 v2 2km / h，问行驶航程最短时，所用时间是多少? （精确到0.1min）
变式1：如何设定航向，船才能到达正对岸？
2.5.1平面几何中的向量方法
练习：当非零向量 a, b满足什么条件时， a b a b
例１ .已知ABCD为平行四边形,求证: | AC | | BD | 2(| AB | | AD | )
2 2 2 2
结论：平行四边形两对角线的平方和等 于两条邻边平方和的两倍
练习: 如图,BC是圆O的直径, BAC是圆周角, 用向量方法证明:AB AC
例1.在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力； 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。 你能从数学的角度解释这种现象吗？
探索 1、当 为何值时 F1 最小，最小值是多少？
F
2、 F1 能等于 G 吗？为什么？
则 在什么范围时，绳子才不会断？
F1
G
F2