周期为2l的周期函数的傅里叶级数11.8
11-8周期为2l的周期函数的傅里叶级数
4E , 2 [(2k ) 1] 0, 当n 2k 当n 2k 1
( k 1,2,)
2 2 a1 0 u( t ) cos tdt 0 E sin t cos tdt 0,
2 1 x 1 [( 2) sin x sin 2 x ( 2) sin 3 x ] 2 3 (0 x )
2 1 1 x 1 [( 2) sin x sin 2 x ( 2) sin 3 x sin 4 x ( 2) sin 5 x ] 2 3 4 5
f ( x ) 0 x 且F ( x 2) F ( x ), 令 F ( x) , g( x ) x 0
奇延拓 . 则有如下两种情况 偶延拓
奇延拓: g( x ) f ( x )
f ( x) 0 x 则F ( x ) 0 x0 f ( x ) x 0
思考题解答
应使A( ) B a,
ba 即A , 2
A B b,
ba Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ . 2
练习题
[ , ) 上的表 一、设 f ( x ) 是周期为2 的周期函数,它在 , x 2 2 达式为 f ( x ) x , x . 2 2 , x 2 2
2 2 ( 1) n f ( x ) 8 2 cos nx ( 0 x ) . 3 n 1 n x n 1 1 ( 1 ) sin nx x ( , ) 三、 ； . 2 n 1 n 4
以2l为周期的函数的傅里叶级数
以2l为周期的函数的傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
a0 nπx nπx f ( x ) (an cos bn sin ), 2 n1 l l
(3)
1 l nπx an f ( x )cos dx , l l l 1 l nπx bn f ( x )sin dx , l l l
以2l为周期的函数的傅里叶级数
x
2 n x a 2 n x a 2 sin |0 sin |a n a n a 2
4 n sin n 2
以2l为周期的函数的傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
a0 4 n n x n x sin cos f ( x ) an cos 2 a 2 n 1 l n 1 n
(1) 如果f ( x )为奇函数, 则有
n 0,1,2,, n 1,2,3,.
(4)
nx f ( x ) bn sin , l n 1
2 l n x 其中系数 bn f ( x )sin dx , 0 l l
以2l为周期的函数的傅里叶级数
( n 1,2,)
§9.4 傅里叶级数
三、以2l为周期的函数的傅里叶级数
设 f (x)是以 2l 为周期的函数, 通过变量替换:
πx l y 或 x y, l π
就可以将 f 变换成以 2π 为周期的关于变量 y 的函数
l f x f π
y ( y ).
以2l为周期的函数的傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
( 2) 如果f ( x )为偶函数,
则有
a0 nx f ( x ) an cos , 2 n 1 l
2 l n x 其中系数 an f ( x )cos dx 0 l l
一般周期的傅里叶级数讲解
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作业: 习题册
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Li, XS---Department of Mathematics
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?
?? 0
E sin?
t ?sin?
tdt
?
E? 2?
???t
?
sin 2? 2?
t? ? ? ?? 0
n>1 时
bn
?
E? 2?
?sin(n ? 1)? ?? (n ? 1)?
t
? sin(n ? 1)? (n ? 1)?
t? ? ? ?? 0
?0
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由于半波整流函数 f ( t )
(2)
余弦级数 .
在 x = 2 k 处级 数收敛于何值 ?
解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓 , 则有
y
bn
?
2 2
2?0 x?sin Nhomakorabean?
2
xdx
o2
x
? ??
2
x cos n? x ? ? 2
?2 sin n?
x
2
?
n?
2 n?
20
? ? 4 cos n? n?
? ? f (x) ? 4 ? (? 1)n?1 sin n? x
l
xdx
(n ? 0, 1, 2,?)
? bn ?
1 l
l f (x) sin n? x d x
周期为2L的周期函数的傅立叶级数
1M
其中
an
—
I
F(t)cosntdt
"
(n
=
0,1,2,—) 冗J一
1 en
bn =
I F(t) sin ntdt (n = n ~n
1,2,…)
则f (x)的傅里叶级数为：3a+Z&( ann n* x+如sninnx).
2
l
l
n=1
板书
1
t =竺 =—其|中1 f a(xn =)co—s 1I^FnnX(~t)-ncnosdnxtndtJT
2n 23 2 5 2
(—8 v x v +8； x 主 0,±2,±4,…)
•令x = 1,则f (1) = k.于是
,111 n 357 4
例2将函数f (x) = 10 - x (5 v x v 15)展开成
傅里叶级数.
将f (x)以周期T = 2l = 10延拓, 其傅里叶级数在(5,15)内 收敛于f ( x ).
5 vnn
—nxn)xsin-nxdx1=0
(—1)n
—
(n
=
1,2,—)
n
5f5
'
Hr zv \ -t n 10。(—1)" . nn
A
故 f (x) = 10 一 x = V sin x (5 v x < 15).
n5
冗 n=1
I三、小结
•求傅里叶展开式的步骤：
1. 画图形验证是否满足收敛条件(收敛域); 2. 求出傅里叶系数； 3. 写出傅氏级数，注明它在何处收敛于f (x).
ll
1 ci nnx
=；Lf(x)cos；dx (n = 0丄2,…)
关于大学数学教材中“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题
关于大学数学教材中“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题本文关于清华大学数学科学系《微积分》编写组编写的清华大学公共基础平台课教材《微积分11》（清华大学出版社出版）4.3节中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题。
标签：大学数学；傅里叶级数；伪证明【文章編号】2236-1879（2017）10-0026-02（1）在清华大学数学科学系《微积分》编写组编写的清华大学公共基础平台课教材《微积分11》（清华大学出版社出版）4.3节中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”；（2）在伍胜建编著的北京大学数学教学系列丛书本科生数学基础课教材《数学分析》第二册12.1.4节：周期为2T的函数的傅里叶级数；（3）在同济大学数学教研室主编的高等数学教材《高等数学》下册第四版，第五版，第六版教材中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”一节；（4）在武汉大学数学与统计学院主编的大学公共数学系列教材《高等数学》下册中“一般周期函数的傅里叶级数”一节；（5）在萧树铁主编，郑建华编著的普通高等教育“十五”国家级规划教材《大学数学·微积分》（高等教育出版社出版）第二版6.3.1节“以T为周期的函数的傅氏级数”一节；在高等数学编写组编的高等院校教材《高等数学》下册（中国人民大学出版社出版）续篇第一章第5节“任意周期函数的傅里叶级数”一节，在以上六本教材中“周期为2L周期函数的傅里叶级数”一节中，均有定理：设周期为2L的周期函数f（x）满足收敛定理条件，则它的傅里叶级数展开式为：f（x）=a02+Σ∞n=1ancosnπxl+bnsinnπxl（1）a0，an，bn略。
随后给出了证明或推理，证明大致如下：第一步：做变量代换z=πxl，于是函数x∈[-L，L]变成z∈[-π，π].即函数周期从2L变成2π，f（x）变成F（z）；第二步：由上一节收敛定理得周期为2π的周期函数F（z）满足收敛定理，可得F（z）的傅里叶级数展开式F（z）=a02+Σ∞n=1（ancosnz+bnsinnz）（2）第三步：将z=πxl，F（z）=f（x）代入（2），即得证（1）。
以2l为周期的函数的傅里叶级数
x
F ( x)的图象.
S( x)的图象.
8
需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅里叶级数;
b.在[0, ]上,展成周期为2的傅里叶级数唯一; c.在[ , ]上连续且只有有限极值点时，
级数收敛于f ( x).
9
6.4.4 以2l为周期的函数的傅里叶级数
分析：令t x ,
an
2
f ( x)cosnxdx(n 0,1,2,3,) ，
0
②
bn 0(n1,2,) .
1
定理说明：
若 f (x) 为奇函数，则
f ( x) ～ bnsinnx ， 是正弦级数。
n1
若 f (x) 为偶函数，则
f
(
x
)
～
a 2
an
n1
cosnx
，是余弦级数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
0
f
(
x
)s innx dx
2
0 (
x 1)s innxdx
2[ xcosnx sinnx cosnx ] 2 [1(1)n (1)n ]
n
n2
n 0 n
2
2 , 2k 1 1,
n2k 1, (k
n2k.
1,
2,
)
k
5
∴
x
1
2 [(
2)sinx
s
in2
x
1
(
2)sin3
x
sin4
2 2 n1(2n1)2
18
练习1. 将 cos x 在 0 x 内展开成以 2 为周期
以2l为周期的函数的傅立叶级数
因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.
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例2. 把
展开成 (1) 正弦级数; (2) 余弦级数. 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值? 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
y
n x 2 2 dx bn x sin 2 2 0 2 n x 2 x cos n 2 n 4 cos n n 4 (1) n 1 n x f ( x) sin n 1 n 2
n x d x ( n 0 , 1, 2 , ) 其中 an f ( x) cos l 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数
收敛于
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例1. 交流电压
经半波整流后负压消
f (t )
失,试求半波整流函数的
傅里叶级数.
解: 这个半波整流函数
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定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为
其中
(在 f (x) 的连续点处)
1 l n x an f ( x) cos d x (n 0 , 1, 2 ,) l l l 1 l n x bn f ( x) sin dx l l l
,它在 的周期是 2
2
o
2
t
上的表达式为
an E sin t cos n t d t 0
0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t
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以2L为周期的傅氏级数-PPT文档资料
于是由(1)与(2)式分别得
这里(4)式是以 2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数， (3)式是 f 的傅里叶级数.
n x a f ( x ) cos dx , n 0 , 1 , 2 , n l l (4) l n x b f ( x ) sindx , n 0 , 1 , 2 , n l l
若 f 在 l, l 上可积，则 F 在[-π ，π ]上也 可积，这时函数 F 的傅里叶级数展开式是： a F ( t ) ~0 ( a cos nt b sin nt ) (1) n n
2
其中
1 a F ( t ) cos ntdt , n 0 , 1 , 2 , n
且展开式在 ( 5 , 5 ) 内收敛于 F ( z ).
这拓广的周期函数满足 收敛定理的条件 ,
a 0 ,( n 0 , 1 , 2 , ) n
25 n z b z ) sin dz n ( 50 2 5 n 10 (1) , ( n 1 , 2 , ) n
氏 级 数 .
解 作变量代换 z x 10 ,
5 z 5 , 5 x 15
f ( x ) f ( z 10 ) z F ( z ),
补充函数 F ( z ) z( 5 z 5 ) 的定义 ,
F ( z ) 作周期延拓 ( T 10 ) 令 F ( 5 ) 5 , 然后将
15.2 以2L为周期的傅氏级数
一、以2L为周期的傅立叶级数 二 、偶函数与奇函数的傅立叶级数
本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶 级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级 数展开式．
一、以2L为周期的傅氏级数
周期为2l的周期函数的傅里叶级数
所以
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l px 0 x 2 2 展开成正弦级数. 例 2 例 2 将函数 M (x) = p(l x) l x l 2 2 解 对函数M(x)进行奇延拓后得到的是一个连续函数, 其 傅里叶级数在[0, 1]上处处收敛于M(x).
退出
分析 l = p , 设函数 f (x)以 2 为周期 则函数 F (t) f (p t) 以 2p为周期. 这是因为 l l l + p = + p = + = F (t 2 ) f [ (t 2 )] f ( t 2l) f ( t) = F (t)
p
p
p
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例1 设f(x)是以4为周期的函数, 它在[2, 2)上的表达式为
0 2 x 0 f (x) = (常数 k 0). 0 x 2 k 将f(x)展开成傅里叶级数.
Байду номын сангаас
解 函数f(x)在点x=0, 2, 4, 6, 是间断的, 在这些点 f(x)的傅里叶级数收敛于 k . 2
p
p
px l = = , 则有 令 x p t , 即t l a0 n p x n p x f (x) = + (an cos + bn sin ), 2 n=1 l l l l 1 n p x 1 an = l f (x) cos dx , bn = l f (x) sin npx dt . l l l l
高等数学12.7一般周期函数的傅里叶级数
( n 1,2,3,)
于是有
f ( x)
l
n
Cne
i
i
nx l
, 傅里叶级数的复数形式
1 C n f ( x )e 2l l
nx l
dx ( n 0, 1, 2, )
傅里叶系数的复数形式
例 设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数,它在 [ 1,1) 上的表达式为 f ( x ) e x , 将其展成复数形式 的傅氏级数.
1 1 (1 in ) x 1 1 x inx dx 解 cn e e dx e 2 1 2 1
1 1 in 1 [e cos n e cos n] 2 2 2 1 n
1 in ( 1) sinh 1, 2 2 1 n
4
2
0
2
4
x
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2)
0 2 x 0 , 将其展 上的表达式为 f ( x ) x2 k 0 a0 n x n x (an cos ), bn sin 成傅里叶级数. f ( x ) ~
it
it
,
a0 nx nx bn sin ) f ( x ) ( an cos 2 n 1 l l
nx nx nx nx i i i a0 an i l ib n l l l e e e e 2 n 1 2 2
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§11. 8 周期为2l 的周期函数的傅里叶级数
到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以2π为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函数, 它的周期不一定是2π. 怎样把周期为2l 的周期函数f (x )展开成三角级数呢？
问题: 我们希望能把周期为2l 的周期函数f (x )展开成三角级数, 为此我们先把周期为2l 的周期函数f (x )变换为周期为2π的周期函数.
令t l x π=及)()()(t F t l f x f ==π
, 则F (t )是以2π为周期的函数. 这是因为)()()2()]2([)2(t F t l f l t l f t l f t F ==+=+=+π
ππππ. 于是当F (t ) 满足收敛定理的条件时, F (t )可展开成傅里叶级数:
)sin cos (2)(1
0nt b nt a a t F n n n ++=∑∞= , 其中
⎰-=πππntdt t F a n cos )(1, (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), ⎰-=π
ππ
ntdt t F b n sin )(1(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 从而有如下定理:
定理 设周期为2l 的周期函数f (x )满足收敛定理的条件, 则它的傅里叶级数展开式为
)s i n c o s (2)(10l
x n b l x n
a a x f n n n ππ++=∑∞=, 其中系数a n ,
b n 为
⎰-=l
l n dx l x n x f l a πcos )(1(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), ⎰-=l l n dx l
x n x f l b πsin )(1(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 当f (x )为奇函数时, l x n b x f n n πs i n )(1
∑∞==, 其中dx l x n x f l b l
n πsin )(20⎰=(n = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 当f (x )为偶函数时,
l
x n
a a x f n n πc o s 2)(10∑∞=+=, 其中dx l x n x f l a l
n πcos )(20⎰= (n = 0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 例1 设f (x )是周期为4的周期函数, 它在[-2, 2)上的表达式为
⎩
⎨⎧<≤<≤-=20 02 0)(x k x x f (常数k ≠0). 将f (x )展开成傅里叶级数.
解 这里l =2.
0]2s i n [2c o s 2120
20===⎰x n n k dx x n k a n πππ(n ≠0); k k d x dx a =+=⎰⎰-200202
1021; ⎪⎩⎪⎨⎧⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅==-=-==⎰ 6, 4, 2, 0 ,5 ,3 ,1 2)cos 1(]2cos [2sin 212020n n n k n n k x n n k dx x n k b n ππππππ 于是
) 2
5s i n 5123s i n 312(s i n 22)(⋅⋅⋅++++=x x x k k x f ππππ (-∞<x <+∞, x ≠0, ±2, ±4, ⋅ ⋅ ⋅; 在x =0, ±2, ±4, ⋅ ⋅ ⋅ 收敛于2
k ). 例2 将函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=l x x l p x px x M 2l 2
)(2l 0 2 )(展开成正弦级数. 解 对M (x )进行奇延拓. 则
a n =0(n =0, 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅),
]s i n 2)(s i n 2[2s i n )(22
200dx l x n x l p dx l x n px l dx l x n x M l b l l l l n ⎰⎰⎰-+==πππ. 对上式右边的第二项, 令t =l -x , 则
)]()(sin 2
sin 2[20220dt l t l n pt dx l x n px l b l l n --+=⎰⎰ππ
]s i n 2)1(s i n 2[220120dt l
t n pt dx l x n px l l n l ⎰⎰+-+=ππ. 当n =2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅时, b n =0; 当n =1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅时,
2s i n 2s i n 242
220πππn n pl dx l x n x l p b l n ==⎰. 于是得
) 5s i n 513s i n 31(s i n 2)(222
⋅⋅⋅-+-=
l x l x l x pl x M ππππ(0≤x ≤l ).。