第29章几何的回顾教案

第二十九章几何的回顾[教学目标]1.进一步体会认识研究几何图形属性的重要方法，更自觉地将合情推理与逻辑推理有机结合，解决几何图形的有关问题。

2.进一步理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用学得的公理、定理、定义进行逻辑推理，增强逻辑推理的能力。

3.体会反证法的含义，了解使用反证法证明一个命题的基本步骤。

4.通过对欧几里德《Elements》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展的价值。

[课时安排]§29.1 几何问题的处理方法---------------3课时§29.2 反证法---------------------------------1课时复习---------------------------------------------2课时课题学习中点四边形-----------------------1课时课题：29.1 几何问题的处理方法课时：3课时教学目标：进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式．掌握多边形中的有关定理．教学重难：理解证明的必要性，了解逻辑推理的基本依据；理解逻辑体系，避免循环论证；适当添加辅助线；教学过程：第一课时[情境导入]1．介绍徐光启和《几何原本》，指出逻辑推理是研究数学的一个重要的基本方法，几何学的研究充分运用了这一方法．2．回顾了探索几何图形性质的常用的两种方法：（1）通过看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜，并在实验、操作中对它们作出解释的方法。

（2）用逻辑推理的方法。

如：P72的例子说明“等腰三角形的两个底角相等”逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，因此在第19章中，给出了如下的公理：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等．（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等．（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等．我们还提到，等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据．另外也将“经过两点有且只有一条直线”以及“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”作为推理的依据。

我们可以在这些公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．第4章中已经用逻辑推理的方法证明了有关平行线的一些命题，下面将继续用逻辑推理的方法证明几何图形的有关命题．[实践与探索]例1．说明三角形的内角和是180°（1）回顾割补说明法，探讨该法的不足之处（参考“图形中的‘缝隙’”）（2）启发逻辑证明，讲解格式：已知：△ABC．求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°．证明： 如图29.1.2，延长线段AB 到D ，过点B 画BE ∥AC ．因为 BE ∥AC （画图），所以 ∠A ＝∠1 （两直线平行，同位角相等）， ∠C ＝∠2 （两直线平行，内错角相等），又因为 ∠1＋∠2＋∠ABC ＝180° （平角的定义）， 所以 ∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180° （等量代换）．回顾与反思：我们把“三角形的内角和等于180°”作为定理．利用这个定理，通过推理，可以得到“n 边形的内角和等于（n －2）×180°”这个定理（还能想起怎样证明的吗？）． 例2．求证： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 已知： 如图27.1.4，∠CBD 是△ABC 的一个外角． 求证： ∠CBD ＝∠A ＋∠C ． 证明： 因为∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180° （三角形的内角和等于180°）， 所以 ∠A ＋∠C ＝180°－∠ABC （等式的性质）． 又因为 ∠ABC ＋∠CBD ＝180° （平角的定义）， 所以 ∠CBD ＝180°－∠ABC （等式的性质）． 因此 ∠CBD ＝∠A ＋∠C （等量代换）．由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把上述命题也作为定理．探索 有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，你能证明直角三角形的两个锐角之间所具有的数量关系吗？ [课内练习]1．求证：直角三角形的两个锐角互余．2．求证：四边形的内角和等于360°；五边形的内角和等于540°． 3．已知一个多边形的内角和等于1 080°，求这个多边形的边数． [课外作业] 1. 利用“n 边形的内角和等于（n －2）×180°”这个结论，证明：任意多边形的外角和等于360°． 2. 已知一个多边形的内角和等于外角和的两倍，求这个多边形的边数．3. 求证：有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“A .A .S .”）．4. 如图，已知AD ＝AE ， ∠B ＝∠C ，求证： △ABD ≌△ACE ．[教学后记]第二课时[回顾导入]在第19章中我们已经知道，等腰三角形的“三线合一”等有关定理，同样在16章中我们也探索了平行四边形的有关性质。

[实践与探索]图27.1.4(第4题)平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等． 例2 已知： 如图29.1.4，四边形ABCD 是平行四边形． 求证： AB ＝CD ， BC ＝DA ．分析 要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论． 证明 连结AC ．因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以 AB ∥CD ，因此 ∠BAC ＝∠DCA （两直线平行，内错角相等）． 同理 ∠BCA ＝∠DAC ．在△ABC 和△CDA 中，因为∠BAC ＝∠DCA ，AC ＝CA ，∠BCA ＝∠DAC ， 所以 △ABC ≌△CDA （A.S.A.），因此 AB ＝CD ， BC ＝DA （全等三角形的对应边相等）．由△ABC ≌△CDA ，我们还可以得出∠B ＝∠D ，同样也可得出∠BAD ＝∠DCB ，于是可得： 平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等． 同样，我们也可证明：平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分．有了平行四边形的性质，我们还可以证明菱形、矩形、正方形的一些性质。

定理 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 例3 已知： 如图29.1.5，四边形ABCD 是菱形．求证： AC ⊥BD ；AC 平分∠DAB ，CA 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ，DB 平分∠CDA ． 分析 要证AC ⊥BD ，AC 平分∠DAB ，只要证明△DAB 是等腰三角形，且AC 平分BD ． 证明：设对角线AC 与BD 交于点O ．因为四边形ABCD 是菱形，故AB ＝AD ，即△ABD 为等腰三角形． 又BO ＝DO （平行四边形的对角线互相平分），所以AC ⊥BD ，AC 平分∠DAB （等腰三角形的三线合一）．同理，CA 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ，DB 平分∠CDA ． [课内练习] P79练习[课外作业] P79 习题 [教学后记]第三课时作业讲评课题：29.2反证法 课时：1课时教学目标：使学生进一步体会证明逻辑体系；了解反证法的证明步骤，体会反证法的思想，并能简单运用． 教学重难：理解逻辑体系，避免循环论证；适当添加辅助线；反证法 [回顾导入]我们知道，命题“在△ABC 中，如果AB ＝c ， BC ＝a ， CA ＝b ，且∠C ＝90°，那么a 2＋b 2＝c 2”是真命题，试问命题“在△ABC 中，如果AB ＝c ， BC ＝a ，CA ＝b ，且∠C ≠90°，那么a 2＋b 2≠c 2”是真命题吗？ 图27.3.227.3.5[实践与探索]想从已知条件∠C ≠90°出发，经过推理，得出结论a 2＋b 2≠c 2，是很困难的．我们可以用如下的方法证明上述命题是真命题．假设a 2＋b 2＝c 2，根据勾股定理的逆定理，一定有∠C ＝90°，这与已知条件∠C ≠90°矛盾，因此，假设a 2＋b 2＝c 2是错误的，于是可知a 2＋b 2≠c 2．这就说明：命题“在△ABC 中，如果AB ＝c ， BC ＝a ， CA ＝b ，且∠C ≠90°，那么a 2＋b 2≠c 2”是真命题．这种证明方法叫做“反证法”．其步骤为： 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确． 例 求证： 在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°． 已知： △ABC ．求证： △ABC 中至少有一个内角小于或等于60°．证明 假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即∠A ＞60°， ∠B ＞60°， ∠C ＞60°．于是 ∠A ＋∠B ＋∠C ＞60°＋60°＋60°＝180°， 与三角形的内角和等于180°矛盾．所以△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°． [课内练习]1.求证： 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．2.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证明你的猜想． [课外作业] P82习题 [教学后记]课题：本章复习 课时：1课时教学目标：使学生进一步理解证明逻辑体系；熟练运用有关定理进行证明． 教学重难：适当添加辅助线；灵活运用定理证明 教学过程： [导入]阅读“阅读材料”《几何原本》 [实践与探索]一、知识结构：P84图 二、典例分析例1 如图，AB 、 CD 相交于E ， AD ＝AE , CB ＝CE , F 、 G 、 H 分别是DE 、 BE 、 AC 的中点． 求证： HF ＝HG ．分析：连结AF 、CG 由AD=AE ，F 是DE 的中点，得AF ⊥DE ，故∠AFC=90O ，而AH=CH ，因此HF=21AC 。

同理HG=21AC ，所以HF=HG （学生完成证明）例2 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AC ＝BD ， E 、 F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交AC 、 BD 于点H 、 G ．求证： OG ＝OH ．分析：取AD 的中点P ，连结PE 、PF ，由AP=DP ，AE=BE ，得EP=21BD ，且EP ∥BD ，∠OGH=∠PEF ，同理FP=21AC ，且∠OHG=∠PEF ，由AC=BD ，得EP=PF ，∠PEF=∠PFE ，所以∠OGH=∠OHG ，故OG=OH （学生完成证明） [课内练习]P85复习题A 组 [课外作业]P85复习题B 、C 组 [教学后记]课题学习：中 点 四 边 形 课时：1课时 学习要点： [导入]我们已经证明了“顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形（简称为中点四边形）一定是平行四边形”．如果改变原四边形ABCD 的形状，那么中点四边形EFGH 的形状也会随着改变．现在请你探索下列问题． [实践与探索]1.当原四边形ABCD 是什么形状时，中点四边形EFGH 会变成： （1） 一个矩形？ （2） 一个菱形？ （3） 一个正方形？ 2. 原四边形ABCD 与中点四边形EFGH 两者的面积有什么关系？你可能还记得一个三角形的面积恰为其中点三角形（连结三边中点的线段组成的三角形）面积的四倍，那么这里是否也有同样的关系呢？（学生交流） [后记]10题）。