欧式空间的线性变换的性质讨论
欧氏空间中利用内积关系研究线性变换
第１７卷第１期重庆职业技术学院学报Ｖｏｌ．１７Ｎｏ．１２００８年１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＶｏｃａｔｉｏｎａｌ＆ＴｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅＪａｎ．２００８定理１设Ａ和Ｂ为欧氏空间Ｖ的两个变换，Ｌ为Ｖ的一个线性变换，如果对Ｖ中的任意向量α、β都有（Ａα，β）＝（Ｌα，Ｂβ），则（１）Ａ为Ｖ中的线性变换；（２）若Ｌ是Ｖ的可逆线性变换，则Ｂ是Ｖ的线性变换．证明（１）Ａα，β，γ∈Ｖ；Ａａ，ｂ∈Ｒ都有（Ａ（ａα＋ｂβ），γ）＝（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｂγ）＝（ａＬα＋ｂＬβ，Ｂγ）＝ａ（Ｌα，Ｂγ）＋ｂ（Ｌβ，Ｂγ）＝ａ（Ａα，γ）＋ｂ（Ａβ，γ）＝（ａＡα＋ｂＡβ，γ）（Ａ（ａα＋ｂβ）－ａＡα－ｂＡβ，γ）＝０，取γ＝Ａ（ａα＋ｂβ）－ａＡα－ｂＡβ代入上式，知Ａ（ａα＋ｂβ）＝ａＡα＋ｂＡβＡ为Ｖ中的线性变换．（２）当Ｌ为恒等变换时，（Ｌα，Ｂ（ｂβ＋ｃγ））＝（Ａα，ｂβ＋ｃγ）＝ｂ（Ａα，β）＋ｃ（Ａα，γ）＝ｂ（Ｌα，Ｂβ）＋ｃ（Ｌα，Ｂγ）＝（Ｌα，ｂＢβ＋ｃＢγ）（Ｌα，Ｂ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＢβ－ｃＢγ）＝０，令Ｌα＝Ｂ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＢβ－ｃＢγ，即α＝Ｌ－１（Ｂ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＢβ－ｃＢγ），Ｂ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＢβ－ｃＢγ＝０Ｂ是Ｖ的线性变换．定理２设Ａ和Ｂ为欧氏空间Ｖ的两个变换，Ｌ为Ｖ的一个线性变换，如果对Ｖ中的任意向量α、β都有（α，Ａβ）＝（Ｂα，Ｌβ）则１）Ａ为Ｖ中的线性变换；（２）若Ｌ是Ｖ的可逆线性变换，则Ｂ是Ｖ的线性变换．证明（１）Ａα，β，γ∈Ｖ；Ａａ，ｂ∈Ｒ都有（α，Ａ（ｂβ＋ｃγ））＝（Ｂα，Ｌ（ｂβ＋ｃγ））＝（Ｂα，ｂＬβ＋ｃＬγ）＝ｂ（Ｂα，Ｌβ）＋ｃ（Ｂα，Ｌγ）＝ｂ（α，Ａβ）＋ｃ（α，Ａγ）＝（α，ｂＡβ＋ｃＡγ）（α，Ａ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＡβ－ｃＡγ）＝０，取α＝Ａ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＡβ－ｃＡγ代入上式，知Ａ（ｂβ＋ｃγ）＝ｂＡβ＋ｃＡγＡ为Ｖ中的线性变换．（２）当Ｌ为恒等变换时，（Ｂ（ａα＋ｂβ），Ｌγ）＝（ａα＋ｂβ，Ａγ）＝ａ（α，Ａγ）＋ｂ（β，Ａγ）＝ａ（Ｂα，Ｌγ）＋ｂ（Ｂβ，Ｌγ）（Ｂ（ａα＋ｂβ）－ａＢα－ｂＢβ，Ｌγ）＝０令Ｌγ＝Ｂ（ａα＋ｂβ）－ａＢα－ｂＢβ，即γ＝Ｌ－１（Ｂ（ａα＋ｂβ）－ａＢα－ｂＢβ），Ｂ（ａα＋ｂβ）－ａＢα－ｂＢβ＝０Ｂ是Ｖ的线性变换．定理３设Ａ、Ｂ、Ｃ为欧氏空间Ｖ的三个变换，Ｌ是Ｖ的线性变换，如果对Ｖ中的任意向量α、β都有（Ａα，Ａβ）＝（Ｌα，Ｂβ）＋（Ｌα，Ｃβ）则１）Ａ为Ｖ中的线性变换；（２）若Ｌ是Ｖ的可逆线性变换，则Ｂ是线性变换的充分与必要条件为Ｃ是线性变换．证明（１）Ａα，β∈Ｖ；Ａａ，ｂ∈Ｒ都有（Ａ（ａα＋ｂβ）－ａＡα－ｂＡβ，Ａ（ａα＋ｂβ）－ａＡα－ｂＡβ）＝（Ａ（ａα＋ｂβ），Ａ（ａα＋ｂβ））－ａ（Ａ（ａα＋ｂβ），Ａα）－ｂ（Ａ（ａα＋ｂβ），Ａβ）－ａ（Ａα，Ａ（ａα＋ｂβ））＋ａ２（Ａα，Ａα）＋ａｂ（Ａα，Ａβ）－ｂ（Ａβ，Ａ（ａα＋ｂβ））＋ａｂ（Ａβ，Ａα）＋ｂ２（Ａβ，Ａβ）＝（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｂ（ａα＋ｂβ））＋（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｃ（ａα＋ｂβ））－ａ（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｂα）－ａ（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｃα）－ｂ（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｂβ）－ｂ（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｃβ）－ａ（Ｌα，Ｂ（ａα＋ｂβ））－ａ（Ｌα，Ｃ（ａα＋ｂβ））＋ａ２（Ｌα，Ｂα）＋ａ２（Ｌα，Ｃα）＋ａｂ（Ｌα，Ｂβ）＋ａｂ（Ｌα，Ｃβ）－ｂ（Ｌβ，Ｂ（ａα＋ｂβ））－ｂ（Ｌβ，Ｃ（ａα＋ｂβ））＋ａｂ（Ｌβ，Ｂα）＋ａｂ（Ｌβ，Ｃα）＋ｂ２（Ｌβ，Ｂβ）＋ｂ２（Ｌβ，Ｃβ）＝ａ（Ｌα，Ｂ（ａα＋ｂβ））＋ｂ（Ｌβ，Ｂ（ａα＋ｂβ））＋ａ（Ｌα，Ｃ（ａα＋ｂβ））＋ｂ（Ｌβ，Ｃ（ａα＋ｂβ））－ａ２（Ｌα，Ｂα）－ａｂ（Ｌβ，Ｂα）－ａ２（Ｌα，Ｃα）－ａｂ（Ｌβ，Ｃα）－ａｂ（Ｌα，Ｂβ）－ｂ２（Ｌβ，Ｂβ）－ａｂ（Ｌα，Ｃβ）－ｂ２（Ｌβ，Ｃβ）－ａ（Ｌα，Ｂ（ａα＋ｂβ））－ａ（Ｌα，Ｃ（ａα＋ｂβ））＋ａ２（Ｌα，Ｂα）＋ａ２（Ｌα，Ｃα）＋ａｂ（Ｌα，Ｂβ）＋ａｂ（Ｌα，Ｃβ）－ｂ（Ｌβ，Ｂ（ａα＋ｂβ））－ｂ（Ｌβ，Ｃ（ａα＋ｂβ））＋ａｂ（Ｌβ，Ｂα）＋ａｂ（Ｌβ，Ｃα）＋ｂ２（Ｌβ，Ｂβ）＋ｂ２（Ｌβ，Ｃβ）＝０Ａ（ａα＋ｂβ）－ａＡα－ｂＡβ＝０Ａ为Ｖ中的线性变换。
第九章 欧氏空间与线性变换
(/ A α , / A β ) = (α , β ).
(c)/A保持长度不变 即对 的任意元 α 有 保持长度不变,即对 保持长度不变 即对V的任意元
(/ A α , / A α ) = (α , β )
(d) )/A把一组标准正交基变为一组标准正交基 把一组标准正交基变为一组标准正交基. 把一组标准正交基变为一组标准正交基 (e) )/A在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 (2)欧氏空间的一个变换 若它保持内积不变 则它 欧氏空间的一个变换,若它保持内积不变 欧氏空间的一个变换 若它保持内积不变,则它 是正交变换. 是正交变换 (3)正交变换的逆和积是正交变换 正交变换的逆和积是正交变换. 正交变换的逆和积是正交变换 (4)/A的特征根的模等于 的特征根的模等于1. 的特征根的模等于 3.对称变换 对称变换 (1)欧氏空间 的线性变换 是对称变换当且仅当 欧氏空间V的线性变换 欧氏空间 的线性变换/A是对称变换当且仅当 对任意的 α , β ∈ V 有 (/ A α , β ) = (α , / A β ) ,当且仅当 当且仅当 在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵. 在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵
(1)设线性变换 在一组标准正交基下的矩阵为 设线性变换/A在一组标准正交基下的矩阵为 设线性变换 在一组标准正交基下的矩阵为A, 则/A的共轭变换在这组基下的矩阵为 A / . 的共轭变换在这组基下的矩阵为 (2)共轭变换满足 *)*=/A,(/A+/B)*=/A*+/B*, 共轭变换满足(/A 共轭变换满足 (/A/B)*=/B*/A*,(k/A)*= k /A*. (3)设酉空间 的子空间 是线性变换 的不变子 设酉空间V的子空间 是线性变换/A的不变子 设酉空间 的子空间W是线性变换 空间,则 的正交补 的正交补W 的不变子空间. 空间 则W的正交补 ⊥是/A*的不变子空间 (4)若/AX= λ X,则/A*X= 若 则 (5)若线性变换 特征根为 λ1 , λ 2 , L , λ n ,则/A* 若线性变换/A特征根为 若线性变换 则 的特征根为 λ , λ , L , λ .
高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
第09章 欧式空间
= α s−1
−
(α s−1, ε1 ) (ε1,ε1 )
ε
1
−⋯
−
(α s−1 (ε s−2
,ε ,ε
s −2 s−2
) )
ε
s
−2
，ε s
= αs
−
s −1 k=1
(α s (εk
− εk ) ,εk )
ε
k
① L(ε1 ,⋯,ε s ) = L (α1 ,⋯,αs ) ⇔ ε1,⋯,ε s 与 α1,⋯, αs 等价
α = (ε1,⋯,ε n ) X = (η1,⋯,ηn ) X ， X = T X ， β = (ε1,⋯,ε n)Y = (η1,⋯,η n)Y ，Y = T Y
(α, β )在基 ε1,⋯,ε n ，η1,⋯,ηn下的度量矩阵分别为 G, G
(α ,
β)
=
X
'GY
=
X
'
T
'GT Y
=
X
'
GY
∴G = T 'GT 即 G~G
⎧R欧式空间
线性空间定义度量性质后 ⎪⎪C酉空间
⎨⎪思维时空空间 ⎪⎩辛空间
三维几何空间 R3
R
2
：设
� a
=
(a1
,
a2
),
� b
=
(b1,
b2)
�� a ⋅b = a1b1 + a2b2 ∈R
� a 的长度：
� a
=
a2 + a2 =
�� a⋅a
1
2
�� a,b
的夹角：
<
�� a, b
>= ar
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧式空间正交变换的分类
欧式空间正交变换的分类欧氏空间正交变换的分类在多维空间里保持长度不变的正交变换无疑是重要的，但这种变换在多维空间下的可操作性我们还并不清楚，下面，我们从课本出发，把二、三维空间下的正交变换推广到五维空间定义：欧式空间v的一个线性变换σ叫做一个正交变换，如果对于任一ξ∈v都存有∣σ（ξ）∣=∣ξ∣正交变换的基本性质：欧式空间v的一个线性变换σ是正交变换的充要条件是：对于v任意向量ξ，η，=。
设v就是一个n佩欧式空间，σ就是v的一个线性变换。
如果σ就是v正交变换，那么σ把v的任一一个规范拓扑基仍变为的一个规范拓扑基为。
反过来，如果σ把v的某一规范拓扑基为仍旧变为的一个规范拓扑基为，那么σ就是v的一个正交变换。
n维欧式空间v的一个正交变换σ关于v的任意规范的矩阵是一个正交矩阵。
反过来，如果v的一个线性变换关于某一个规范正交基的矩阵是单位阵，那么该线性变换σ是一个正交变换。
将v2的一个向量转动一个角ϕ的正交变换关于v2的任一规范拓扑基的矩阵就是⎛cosϕ-sinϕ⎛sinϕcosϕ⎛⎛⎛⎛在平面h内取两个正交的单位向量γ1，γ2，在取一个垂直于h的单位向量γ3，那么{γ1,γ2,γ3}是v3的一个规范正交基。
关于这个基的矩阵是010⎛。
以上两00-1⎛⎛⎛个都是正交矩阵。
设立σ就是v2的一个正交变换。
σ关于v2的一个规范拓扑基u=γ2}的矩阵是⎛cb⎛⎛，那么就是一个正交矩阵。
于是⎛d⎛a2+b2=1,b2+d2=1,ab+cd=0(2)存有第一个等式，存有一个角α并使a=cosα,c=sinα.由于cosα=cos(±α)，±sinα=sin(±α)因此可以而令a=cosϕ,c=sinϕ这里ϕ=α或-α同理，由(2)的第二个等式，存在一个角ψ使b=cosψ,d=sinψ.将a,b,c,d代入(2)的第三个等式得cosϕcosψ+sinϕsinψ=0,或cos(ϕ-ψ)=0.最后等式表明，ϕ-ψ是的一个基数倍。
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
论文写作 论线性空间与欧式空间的对比
目录1 绪论 (3)1.1 研究目的与研究意义 (3)1.2 研究现状 (3)1.3 研究内容 (3)2 欧式空间简介 (4)2.1 提出背景 (4)2.2 定义与基本性质 (5)2.3 度量矩阵 (8)2.4 标准正交基 (9)2.5 同构 (12)2.6 正交变换 (16)2.7对称变换 (19)3 线性空间简介 (21)3.1 线性空间的概念 (22)3.2 线性变换的定义 (22)3.3 线性变换的性质和运算 (23)3.4 线性变换的矩阵 (24)4 线性空间与欧式空间的对比 (28)4.1 基础域的对比讨论 (28)4.2 运算的对比讨论 (29)4.3 基的对比讨论 (29)4.4 向量坐标的对比讨论 (29)4.5 线性变换的对比讨论 (29)4.6同构的对比讨论 (30)参考文献 (31)致谢 (32)论线性空间与欧式空间的对比摘要线性空间与欧式空间是《高等代数》的两部分重要内容，两者之间既有区别又有联系，简要描述他们的定义、概念、特征，并从它们的基础域、运算、基、向量的坐标、线性变换、同构几个方面进行对比讨论。
【关键词】欧式空间线性空间对比On the comparison of linear space and Euclidean spaceAbstractLinear space and Euclidean space is "Higher Algebra" is the two important parts, they are different and contact, a brief description of the definition, concept and characteristics of them, and from their basic domains, operation, matrix, vector coordinate, linear transformation of several aspects of the discussion than.【Key words】Euclidean space linear space contrast1 绪论1.1 研究目的与研究意义线性空间与欧式空间是《高等代数》中两部分重要内容，两者既有区别又有联系。
线性空间和欧式空间
线性空间和欧式空间第六章线性空间和欧式空间§1线性空间及其同构一线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1）；交换律2）()()；结合律3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；存在零元4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0（称为的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）1；存在1元6）k(l)(kl).数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）(kl)kl；数的分配律8）k()kk.元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；,,等表示集合V中任意元素。
例1．元素属于数域K的mn矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为Mm,n(K)。
例2．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3．n维向量空间K是线性空间。
n1例4．向量空间的线性映射的集合HomK(K,K)是线性空间。
二．简单性质1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．00，k00，(1)4．若k0，则k0或者0。
三.同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间.AHomK(V,V)是一个线性映射.如果A 是一一映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
欧式空间中线性变换和正交变换的关系
欧式空间中线性变换和正交变换的关系欧⽒空间中线性变换和正交变换的关系摘要对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进⾏讨论关键词：欧式空间线性变换正交变换线性变换和正交变换是欧⽒空间的两种重要变换。
本⽂⾸先引⼊线性变换和正交变换在欧⽒空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。
为了阅读⽅便，本⽂从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧⽒空间、线性变换和正交变换。
定义1 设V 不是空集，P 为⼀个数域，在V 中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对P l k V ∈?∈?,,,,γβα，满⾜：（1）V ∈+βα，（关于加法封闭）（2）αββα+=+，（交换律）（3））（）（γβαγβα++=++，（结合律）（4）V V ∈?=+∈?ααα，使0,0，（零元）（5）0=-+∈-?∈?）（，使）（，ααααV V ，（负元）（6）V k ∈?α（关于数乘封闭）（7）αα=?1（8）αα）（）（kl l k =（9）αααl k l k +=+）（（10）βαβαk k k +=+）（则称V 为数域P 上的线性空间。
定义2 设V 是R 上的⼀个线性空间，在V 上定义了⼀个⼆元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质（R k V∈∈,,,γβα）：（1）),(),(αββα=（2）),(),(βαβαk k =（3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。
定义3 定义2中的线性空间V 就称为欧⼏⾥得空间，简称欧⽒空间。
定义4 设V 是⼀个线性空间，P 为⼀个数域，对于P k V ∈?∈?,,βα，有（1）()()()A A A αβαβ+=+（2）()()A k kA αα?=则称A 为V 上的线性变换。
定义5 设A 是欧⽒空间V 的⼀个变换，如果对于任意的,,V ∈βα即保持内积不变，都有：((),())(,)A A αβαβ=。
则称A 是正交变换。
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欧式空间的线性变换的性质讨论
毕业设计(论文)开题报告
1.本课题的目的及意义，国内外研究现状分析
线性变换是欧氏空间中具有线性性的变换,而欧氏空间是实效域上定义了内积向量空间,内积具有线性性及正定性,能否借助内积的线性性和正定性来判断欧氏空间中的变换具有线性性呢?这是一个值得探究的问题。
我们知道有限维或无限维欧氏空间中的线性变换如果保持向量的内积不变那么这个变换就必须是一个线性变换。
线性变换是欧氏空间中具有线性性的变换，而欧氏空间是实数域上定义了内积的向量空间，能否借助内积的线性性和正定性来判断欧氏空间的变换具有线性性，是一个值得研究的问题，同时如果在欧氏空间的变换是线性变换，那么这些线性变换有什么特殊性呢，对此我们给出了判定条件并且对一系列相关的问题进行了研究。
毕业设计(论文)开题报告
2.本课题的任务、重点内容、实现途径
欧氏空间的正交变换是一类较特殊的线性变换,它具有许多良好的性质,保持两个非零向量夹角不变是其中之一。
同时,保持向量夹角不变的线性变换不一定是正交变换〔1,2,3,4〕。
很自然地我们提出如下问题:欧氏空间中保持向量夹角不变的线性变换具有哪些性质呢?为叙述方便,先作论证：
1.正交变换
定义1.1如果欧氏空间V的线性变换A保持向量的内积不变，既对于V 中任意两个向量α,β，都有（Aα,Aβ）,=（α,β）则称A为一个正交变换。
定理1.1 n维欧氏空间V的线性变换A是V的正交变换的充要条件是：如果ε1，ε2，.. ..εn是V的一组标准正交基，那么Aε1,Aε2,.. ..Aεn也是V的标准正交基。
定理1.2 n维欧氏空间V的线性变换A是正交变换的充要条件是：
A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
定理1.3 设A为欧氏空间V的可逆变换，则A为V的正交变换的充要条件是：对Λα,βεV,有（Aα,β）=（α,A-1β）。
定理1.4 设A为欧氏空间V的变换，*A为A的共轭变换，则A为正交变换的充要条件是：A*A=E。
2.对称变换
定义2.1 A是欧氏空间V的一个线性变换，如果对V中任意两个向量α与β都有（Aα,β)=（α,Aβ)则称A为一个对称变换。
定理2.1 n维欧氏空间V的线性变换是对称变换的充要条件是：δ在任一组标准正交基下的矩阵都是对称矩阵。
定理2.2设A为欧氏空间V的变换，*A为A的共轭变换，则A为V的对称变换的充要条件是：A*=A。
定理2.3设A为欧氏空间V的可逆变换，则A为V的对称变换的充要条件是：对Λα,βεV,有（Aα,A-1β）=（α,β）。
3.反对称变换
定义3.1 A是欧氏空间V的一个线性变换，如果对V中任意两个向量α与β都有（Aα,β）=-（α,Aβ）则称A为一个V反对称变换。
定理3.1设A为欧氏空间V的变换，A*为A的共轭变换，则A为V的对称变换的充要条件是：A* =-A。
定理3.2 设A为欧氏空间V的可逆变换，则A为V的反对称变换的充要条件是：Λα,βεV有（Aα,A-1β）=-（α,β）。
定理3.3 欧氏空间V中的线性变换A为反对称变换的充要条件是：A在任一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵。
欧氏空间的基本理论和线性空间的基本理论，给出欧氏空间中的变换是否为线性变换的判定方法，其中利用内积判断欧氏空间中的变换是否为线性变换尤为重要，最后给出了特殊的几种在欧氏空间中的线性变换。
设V是一个非空集合，P是一个数域，则在集合V的元素之间定义一种代
数运算，叫加法；给出了一个法则，，在V中都有唯一的一个元
素＄与他们对应，这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素@,而在V中都有唯一的一个元素＄与之对应，称为k与＠的数量乘积．如果加法还满足下述规则，那么，V称为数域P上的线型空间．加法满足以下四条规则：
1）＠＋＃＝＃＋＠；
2）（＠＋＃）＋＄＝＠＋（＃＋＄）
3）在V中有一元素O，对于V中任一元素＠都有
＠＋O＝＠
(具有这个性质的元素O称为零元素)
4）则对于V中每一个元素＠，都有V中的元素＃，使得
＠＋＃=O
(＃称为＠的负元)
在以上规则中，k,l等表示数域P中的任意数；＠，＃，＄等表示集合V中任意元素．
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3.完成本课题所需工作条件（如工具书、计算机、实验、调研等）及解决办法
完成本课题可以参考书籍：罗剑《欧式空间期刊论文》大理学院学报2008。
网上查询关于欧式空间的线性变换的知识及论文报告。
线性变换是线性代数的重要内容之一，本文首先证明了线性空间V上的任一线性变换都是两个子空间的同构映射，并作为应用绘出了线性代数中一个常用公式的简单证明，然后从另外一个角度来研究线性变换，从而能够清楚地看出线性变换所具有的均匀性。
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指导教师意见：（对本课题的深度、广度及工作量的意见、对设计结果的预测，并明确是否可以开题）
指导教师（签字）
年月日系审查意见：
系主任（签字）
年月日。