华中科技大学硕士研究生矩阵论2012年试题
矩陣論2012年試題
一、 填空題：（每個空3分，共27分）
1、設矩陣??????????+---=i i i i i A 1013122131,??????????=111X ,其中1-=i ，則
______,1=AX .______
1=A 2、設矩陣1000030012-????
??????=P P A ，則______;)(dim =A N .______)(λA m 3、矩陣????
??????=000a a a a a a A ，則a 滿足條件______時，矩陣冪級數∑∞=0k k A 收斂. 4、論矩陣????
??????-??????????=221132332211A ，則A 的LDV 分解為.______= 5、設????
??????=3/10002/10001A ,)sin(A 的Jordan 矩陣______;)sin(=A J .______)sin(lim =∞>-n n A
6、設??????=201a A ，??
????=1203B ，則矩陣方程0=+XB AX 有非零解的條件是.______≠a 二、（15分）設線性空間3R 上的線性變換T 在基},,{321e e e 下的變換矩陣為
????
??????=3332312322
211312
11a a a a a a a a a A ， （1） 求變換T 在基},3,{321e e e 下的變換矩陣.
（2） 求變換T 在基},,{3211e e e e +下的變換矩陣.
三、（15分）設矩陣????
??????=000012A （1）求矩陣A 的奇異值分解.
（2）求矩陣A 的P M -廣義逆+A .
四、（15分）設??
????????????????????????????=111,011L W 是空間3R 的子空間， （1）求空間3R 上的正交投影變換P ，使得P 的象空間.)(W P R =
（2）求空間3R 的向量T
]3,2,1[=α在投影變換P 下的象. 五、（15分）設????
??????---=502613803A ，計算矩陣函數.At e 六、證明題：
（1）（7分）設A 是可逆矩陣，n σ是矩陣A 的最小奇異值，證明
n A σ121
=-
（2）（6分）設矩陣A 和B 都是n 階方正，證明)()()(B rank A rank B A rank ?=?
2016矩阵论试题
第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 2008-2009学年度第二学期 华中科技大学《C++语言程序设计》试卷（A） （考试时间：150分钟考试方式：闭卷） 所有答案必须写在答题纸上 一、单项选择题 (30小题，每小题1分，共30分) 1、C++程序中的语句必须以( B )结束 A 冒号 B 分号 C 空格 D 花括号 2、下列选项中，( A )不是分隔符 A 标识符 B ； C ： D ( ) 3、执行语句 int a = 10, b ; int & pa = a , & pb =b ; 后，下列正确的语句是（ B） A &pb = a; B pb = pa; C &pb = &pa; D *pb = *pa; 4、设I=1,J=2，则表达式 I++ +J的值为（ C ） Ａ１Ｂ２Ｃ３Ｄ４ 5、执行下列语句后， int x , y ; x = y = 1 ; ++x || ++y ; y的值是（ C） Ａ不确定Ｂ０Ｃ１Ｄ２ 6、逗号表达式 (x = 4 * 5 , x * 5 ), x + 25 的值为（ D ） A 25 B 20 C 100 D 45 7、已知int i, x, y;在下列选项中错误的是（C） A if ( x && y ) i ++; B if ( x == y) i ――; C if ( xy ) i ――; D if ( x + y ) i++; 8、i=2，执行下列语句后的值为（ B ） switch ( i ) { case 1: i++; case 2: i――; case 3: ++i; break; case 4: ――i; default : i++; } A 1 B 2 C 3 D 4 9、已知int i = 3；下面do _ while语句执行时循环次数为（B） do { i-- ; cout < 国际经济学习题集 一、单项选择题 1、从十五世纪初到十八世纪中叶，在国际贸易和国际投资理论方面占主导地位的是( ) A、重商主义 B、重农主义 C、重金主义 D、自由放任主义 2、绝对技术差异论的提出者是( ) A、斯密 B、李嘉图 C、奥林 D、魁奈 3、消费者对差异产品的追求与现代化大生产追求规模经济相互矛盾，其解决途径是( ) A、国际投资 B、国际技术转让 C、国际融资 D、国际贸易 4、国际贸易不仅使商品价格均等化，还使生产要素价格均等化和要素技术密集度均等化。在诸种均等化中为主导力量的是( ) A、生产要素价格均等化 B、要素技术密集度均等化 C、商品价格均等化 D、工资率均等化 5、就国家整体而言，分配进口配额最好的方法是( ) A、竞争性拍卖 B、固定的受惠 C、资源使用申请程序 D、政府适时分配 6、当一国政府对某种产品征收进口关税时，若该产品的需求弹性大于供给弹性，生产者与消费者承担关税的程度是( ) A、前者大于后者 B、后者大于前者 C、两者相等 D、不确定 7、不是成熟的国际经济一体化组织的是( ) A、欧洲联盟 B、亚欧经济合作 C、美加自由贸易区 D、东南亚国家联盟 8、多数国际卡特尔组织难以长久存在的主要原因是它们难以( ) A、制定垄断价格 B、维持垄断价格 C、控制生产成本 D、控制销售成本 9、初级产品的出口价格若下降，其出口量将增加，出口总收入( ) A、不变 B、增加 C、下降 D、不确定 10、进口替代战略与出口鼓励战略的战略取向分别是( ) A、内向型-内向型 B、内向型-外向型 C、外向型-外向型 D、外向型-内向型 11、关税与贸易总协定的基本目标是( ) A、贸易适度保护 B、关税稳定 C、贸易自由化 D、贸易公平 12、在发展中国家利用外资的主要渠道中，不需要偿还的引资方式是( ) A、官方贷款 B、发行债券 C、银行贷款 D、外商直接投资 13、劳动力在各国间的流动使劳动力的移出国的不同利益集团均会受到影响，其中( ) A、劳动力需求方受损，而供给方获利 B、劳动力需求方受损，而供给方亦受损 C、劳动力需求方获利，而供给方受损 D、劳动力需求方获利，供给方亦获利 14、在下列投资方式中，属国际直接投资的是（） A、购买外国政府债券 B、购买外国企业债券 C、向外国企业提供商业贷款 D、在国外开设合资企业 15、下列贸易理论与规模经济无关的是（） A、产品差异理论 B、重叠需求理论 C、相互倾销理论 D、嗜好理论 16、赫克歇尔——俄林模型认为国际贸易的根本原因（） A、各国生产要素禀赋不同 B、各国劳动生产率不同 C、各国技术水平不同 D、各国产品技术含量不同 北京电影学院2013～2014学年第一学期课程考试 一、选择题（每小题1分，共10分） 1、一般圆柱齿轮传动的接触强度是按啮合时的情况进行计算的。 A. 单对齿啮合的最高点 B. 齿顶 C. 节点 D. 啮合的极限点 2、渐开线花键通常采用的定心方式是。 A.齿侧定心 B. 外径定心 C. 内径定心 D.齿形定心 3、将齿轮的轮齿做成鼓形齿是为了减小。 A. 载荷沿接触线分布不均匀 B. 动载荷 C. 冲击 D. 齿间载荷分配不均 4、普通螺纹中同一公称直径按分为粗牙螺纹和细牙螺纹。 A. 升角的大小 B. 旋向 C. 牙型角的大小 D. 螺距的大小 5、当键联接强度不足时可采用双键。使用两个平键时要求键布置。 A.在同—直线上 B.相隔900 C．相隔1200 D相隔1800 6、在普通圆柱蜗杆中只有的轴向压力角为标准值（20 ）。 A. 阿基米德蜗杆 B. 法向直廓蜗杆 C. 渐开线蜗杆 D. 锥面包络蜗杆 7、45号钢经调质处理，在常温下工作的轴，当计算表明其刚度不够时，应采取的正确措施是。 A. 改用合金钢 B. 改变表面粗糙度 C. 增大轴的直径 D. 提高轴的表面硬度 8、下面的联轴器中在工作时具有缓冲减振作用的联轴器是。 A. 刚性联轴器 B. 十字滑块联轴器 C. 齿式联轴器 D. 弹性柱销联轴器 9、在各种基本类型的向心滚动轴承中_____ 不能承受轴向载荷。 A. 调心球轴承 B. 圆柱滚子轴承 C. 调心滚子轴承 D. 深沟球轴承 10、一般转速、一般载荷工作的正常润滑的滚动轴承其主要失效形式是_ __。 A. 滚动体碎裂 B. 滚动体与滚道产生疲劳点蚀 C. 滚道磨损 D. 滚道压坏 二、判断题（每小题1分，共10分） （）1、型号为7210的滚动轴承，表示其类型为角接触球轴承。 （）2、滚动轴承的基本额定寿命是指可靠度为90%的轴承寿命。 （）3、公称接触角的深沟球轴承，只能承受纯径向载荷。 （）4、角接触球轴承的派生轴向力是由其支承的轴上的轴向载荷引起的。 （）5、滚动轴承的基本额定动载荷是指在载荷作用下轴承工作转时，90%轴承的不发生疲劳点蚀 （）6、滚动轴承内座圈与轴颈的配合，通常采用基轴制。 （）7、当载荷较大时，可选用滚子轴承，对轻、中载荷应选用球轴承。 （）8、滚动轴承的失效形式有下列三种：磨粒磨损，过度塑性变形、疲劳点蚀，其中最常见的一种是磨粒磨 1. She could not resist the temptation to declare her candidacy as there are only two other people c________ the seat. 竞争contest 2. Our o______ for the coming year is to increase our market share in Europe by 20 percent and to generate more profit. 目标objective 3. The worst o______ that we had to remove were tree trunks that had fallen across the road. 障碍物obstacles 4. The Labor Party’s electoral strategy, which was based on a tactical a______ with other minor parties, has proved successful. 联盟alliance 5. After a three-day s____ by the police, the terrorists who had seized the restaurant had to give in. 包围 Siege 6.They have found l______ jobs in private security firms. 赚钱的Profitable lucre lucrative 7. The curriculum ignored the natural interests of children and so e_____ their motivation. 消除eliminate 8. The manager a____ the staff to the crisis facing the company. 提醒，警示Alarm alert 9. She s____ the car skillfully through the narrow streets. 驾驶steer 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 武汉理工大学研究生考试试题(2010） 课程 矩阵论 （共６题,答题时不必抄题,标明题目序号） 一，填空题（１５分） 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-，则其最小多项式为 ２、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--，21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ； 二，（20）设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明：V 是22?R 的线性子空间; ２、求V 的维数与一组基； 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈，定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、（15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈，定义: 2008―2009学年第一学期电路理论试题及其解答 一、（6分）某有向图在选定一个树后写出的基本回路矩阵为 123110010011110101101001f l l l ?? ??=---?? ??--?? B （1） 画出对应的有向图； （2） 支路集{}2 356b b b b 是否构成树？ （3） 上面的基本回路矩阵f B 对应的树由哪些支路构成？ （4） 支路集{}3456b b b b 是否构成回路？ 【解】（1）实线为为树支，虚线为连支，有向图如图（a ）所示。 （a ） （2）因为支路集{}2 356b b b b 包含了有向图的全部节点，本身连通且不含回路，所以支路集 {}2 356b b b b 构成树。 （3）上面的基本回路矩阵f B 对应的树由{}1234b b b b 构成； （4）支路集{}3456b b b b 可以构成回路。 二、（12分）试求图2所示电路中节点①、②、③对地的电压1U 、2U 、3U 以及10V 、5V 电压源 的功率。 Ω① Ω 图2 （a ） 【解】所用电量的参考方向如图（a ）所示。节点电压方程为 123212311111 110555510 111111 5 1010105U U U U U U U ???++--=- ?????? =?????--+++= ????? 整理得 12321235221010 2410 U U U U U U U --=-?? =??--+=? 解之得 15V U =，210V U =，37.5V U = 由此可求得 31157.555 0.5A 55 U U I ----= ==- 321225107.51010.25 1.25A 510510 U U U U I ----=+=+=--=- 或者 31257.5 1.25A 101010 U U I +=--=-=- 各独立电压源吸收的功率分别为 10V 21012.5W P I ==-, 5V 15 2.5W P I ==- 三、（10分）（1）求图（a ）所示电路a 、b 端口的等效电路；（2）求图（b ）所示电路a 、b 端口的等效阻抗Z 。 5V a b a b （a ） （b ） 【解】（1）5Ω电阻与5V 电压源的串联为多余元件，所以，原电路等效为 1I ? 12 3I 23Ω 13 U a b ? a 〔方法1〕端口特性方程为 ()111122111 1233333 U I I I U I U I U =?-++=+=++ 即 1.53U I =+ a 、 b 端口的等效电路如图所示。 〔方法2〕因为图中CCVS 可等效为2 3 - Ω的电阻，所以，电路可进一步等效为 a ? 华中科技大学 高等代数2015年期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 这是华中科技大学同济医学院的期末考试中跟卫生综合有关科目的习题，仅供参考，名词解释和简答论述题可以作为复试的时候使用，仅供参考。 《营养》07法医 名解： 必需氨基酸 蛋白质的互补作用 食物中毒 食物的特殊动力作用 中国居民膳食指南 简答： 1、维生素A的生理功能 2、影响Ca/Fe吸收的因素（整体因素、膳食因素） 3、简述膳食纤维的生理功能 论述： 1、如何评价食物蛋白的营养价值（含量、消化、利用......） 2、试述黄曲霉素的毒性、致癌性以及预防措施 3、食物中毒的概念、发病特点、分类 （论述题第3题的发病特点为： 1、爆发性 2、症状基本相似 3、集体发病，人与人之间不传染 4、与食物有关 5、采取措施后控制快，无流行病余波） 【预防】07级临床（含06德）、法医、影像 一、名词解释（10*4’） 1.水俣病 2.公害病 3.高温作业 4.蛋白质互补作用 5.卫生服务需求 6.医疗保险 7.一类错误 8.抽样研究 9.相关系数 10.临床试验 二、问答题（49’） 11.职业病的特点（7‘） 12.膳食纤维的来源及生理功能（12’） 13.检验假设的基本思想及步骤（10‘） 14.流行病学的研究方法（10’） 15.影响易感性升高或降低的主要因素（10‘） 三、计算题（11‘） 16.4种治疗方法对8个患者，测血浆凝固时间，部分方差分析如下表所示（1）将下表中非阴影部分填完整（6‘） （2）0.05检验的结果。（5’） 【流行病学】07预防（含卫检） 名解4*10=40 危险因素 疾病监测 灵敏度 遗传度 现状研究 发病率 筛检 混杂偏倚 人群易感性 传染源 问答4*15=60 队列研究的优缺点 病例对照研究常见的偏倚 疫苗免疫效果评价指标 经水传播传染病流行特征 【卫生学】07级医管 名解： 半数致死量碘缺乏病二次污染物职业性有害因素（英文）窒息性气体（英文）PTS 蛋白质互补作用视黄醇当量食品添加剂 问答： 大气污染对人体健康的间接危害及形成原因。 公害病的定义、特点，列举一个公害病简述其原因和危害。 职业病的诊断依据，结合实际举例说明。 高温作业类型。 合理膳食的定义、基本卫生要求和中国膳食指南（2007版）。 食物中毒的定义、特点和分类。 【环境卫生学】04公卫 名解（4分*10=40分）注：名解均是英文的，要求先翻译成中文再答题。 1.兴奋效应 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一．判断题（每小题3分，共15分） 1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零， 即ker A =0。（ ） 2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。（ ） 3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 ， 。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并 写出常用的三类正规矩阵 。 三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。 。 华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷） 2013～2014学年第一学期 课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2013 开课单位：数理系 命题教师： 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页 特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n ，后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确，线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题（每小题3分，共27分） （6）210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. （7）301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页，将矩阵做变换即得 中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师 一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。 二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。 三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。 四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。 六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。 习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ? 第 1 页 共 4 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 长 春 理 工 大 学 研 究 生 期 末 考 试 试 题 科目名称： 矩 阵 论 命题人：姜志侠 适用专业： 理 工 科 审核人： 开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期 □开卷 √闭卷 一、(10分)F 为数域，对于线性空间22?F 中任意矩阵??? ? ??=d c b a A ，规则σ，τ分别为??? ? ??=???? ??=c a A c b a A )(,0)(τσ，问σ，τ是否为22?F 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基???? ??=000111E ，???? ??=001012E ，???? ??=010021E ，??? ? ??=100022E 下的矩阵． 二、(10分) 已知正规矩阵??? ? ??-=1111A ，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角形矩阵。三、(10分) 用Schmidt 正交化方法求矩阵???? ? ??=101011110A 的QR 分解. 四、(10分) 设矩阵?????? ? ? ?-=2000120010201012A ,求A 的行列式因子,不变因子,初等因子组， Jordan 标准形。 五、(10分) 求可对角化矩阵460350361A ?? ?=-- ? ?--?? 的谱分解式. 六、(10分) 在线性空间n m C ?中，对任意矩阵n m ij a A ?=)(，定义函数ij j i a mn A ,max ?=，证明此函数是矩阵范数。 七、(10分) 已知函数矩阵 ???? ??????=32010cos sin )(x x e x x x x A x ， 其中0≠x ，试求)(lim 0x A x →，dx x dA )(，2 2)(dx x A d ，dx x dA )(. 八、(10分)已知矩阵?? ????--=1244916A ，写出矩阵函数)(A f 的Lagrange-Sylvester 内插多项式表示，并计算A πcos . . 构成：网络边缘设备，传输介质，软件。 网络核心：数据交换（按照某种方式动态分配传输线路中的资源）。 1.电路交换（频分复用交换、时分复用交换） 独占端到端的固定传输带宽且面向连接。呼叫、数据传输、释放； 优：实时性强，管理简单；缺：独占全部带宽，信道利用率低，呼叫时间长，可靠性差。 实时交互式业务 2.存储-转发交换（报文交换，分组交换） a)报文交换：发送方将需要发送的数据打包为一个文件（报文），然后采用存储-转发 交换技术完成数据的传输；传输过程只占用相邻两个节点之间的线路；每个报文必须包括发送方和接收方的完整信息。 优：不需要建立连接，对线路不独占，提高线路利用率和网络吞吐量，发送效率高；缺： 增加额外开支，报文太大时会长时间占用某一线路。容易出错导致传输失败。 b)分组交换：发送方将要传输的报文分为若干小的数据块（分组），然后以分组为单 位，按照与报文交换同样的方式将分组传输到接收站点。 优：不需要固定物理连接，可靠性强（差错控制、迂回电路），信道利用率高（共享物 理信道）；缺：实时性差，协议复制；突发性业务，可靠性高的业务 接入方式：按功能分类，个人用户和集团用户； 接入网络的技术。居民用户：1、点到点接入（拨号接入，一线通ISDN，数字用户线缆DSL），2.、线缆调制解调接入（光纤同轴电缆混合网络HFC）；集团用户：内部先建立局域网，在通过边缘路由器接入因特网。 拓扑结构：将网络上的终端设备和传输设备抽象成点，将电缆等通信介质抽象成线； 网状：稳定性、可靠性、保密性好；所需线缆多，成本高，网络复杂，不易管理。常用于大型广域网，主干网络。 总线型：共享信道、易安装，所需线缆少，成本低；无法隔离失效的站点，实时性差。 星形：易安装，配置简单；网络性能过分依赖中心节点 环形：易安装，实时性好，可靠性高。所有节点都得参与传输。可扩充性差，配置复杂 树形：易扩展、易隔离故障、可靠性高；依赖根节点。 分类：按覆盖范围：局域网，城域网，广域网、internet 拓扑结构：星形网络、总线型网络、混合型网络等 网络协议：以太网（Ethernet）；令牌总线网（IEEE802/4）；令牌环网（IEEE802.5）；TCP/IP； 传输介质：双绞线网；同轴电缆网；光纤网；无线网；卫星通信网 网络操作系统 传输技术：广播式网络；点到点网络； 计算机网络是利用不同的通信媒体将地理上分散、具有独立功能的计算机系统连接起来，以实现资源共享与信息传递的复杂系统。 网络协议：一组控制数据通信的规则；计算机网络中互相通信的对等实体间交换信息时所必须遵守的规则的集合。三要素：语法，语义，同步；； 网络协议体系结构：协议的分层以及各层协议的集合 OSI/RM参考模型：应用层、表示层、会话层、运输层、网络层、数据链路层、物理层； TCP/IP参考模型：应用层、传输层、互联网络层、网络接口层； 混合模型：应用层、传输层、网络层、数据链路层、物理层。 矩阵论试题 、（10 分）设函数矩阵 sin t cost At cost sin t 求： A t dt 和( 0 t 0 A t dt )'。 解： A t dt = 0 tt sin t dt 00 t costdt cost dt t sin tdt = 1 cost sint sint 1 cost t2 ( A t dt )' 2 = A t 2 2t sint2 2t cost 2 cost cost2 sint2 、（15分）在R3中线性变换将基 1 0 1 1 1 ， 2 2 ，30 1 1 1 1 0 0 变为基 1 1 ， 2 1 ，33 0 1 2 (1 )求在基 1, 2, 3 下的矩阵表示A； (2 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标； (3 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标。解：（1）不难求得： 1 1 1 2 因此 在 1, 2, 3 下矩阵表示为 1 1 1 A 1 1 2 011 k 1 (2) 设 1 , 2 , 3 k 2 ，即 k 3 0 1 k 1 解之得： k 1 10, k 2 4, k 3 9 解：容易算得 在 1, 2 , 3下坐标可得 y 1 1 1 1 10 23 y 2 1 1 2 4 32 y 3 0 1 1 9 13 (3) 在基 1, 2 , 3下坐标为 10 10 1 10 1 A 1 4 11 14 15 9 11 09 6 在基 1, 2 , 3 下坐标为 23 10 1 23 10 A 1 32 11 1 32 4 13 11 0 13 9 0 02 三、（20 分）设 A 0 1 0 ，求 e At 。 1 03 2 , 3下坐标为 10, 4, 9 T 。 所以 在 1, 2015年矩阵论 一、判断题（2 X 6=12分） （1） 线性空间R 3中的正交投影是正交变换。 （2） 如果g (λ)=(λ?2)(λ?5)2是矩阵A 的化零多项式，即g(A)=0，则2和5是矩阵A 的特征值。 （3） 设A 为n 阶方阵，矩阵函数f(A)有意义，如果A 相似于对角矩阵，则f(A)也相似于 对角矩阵。 （4） 如果矩阵运算A ?B =0，则矩阵A=0或者B=0。 （5） 如果矩阵A 既有左逆又有右逆，则矩阵A 一定是方阵，且为可逆矩阵。 （6） 对于矩阵A 和矩阵A +的秩，有rank(A) = rank(A +) 二、填空题（每个空3分，共27分） （1） 设矩阵A =[11+2i 3 23?i ?21?22?3i ]，其中 i =√?1，则‖A ‖∞=___________________ （2） 线性空间W =*A ∈R 4x4| A T =A +的维，dimW=____________________________ （3） 设A =[130?2 ]，矩阵B 的特征值为2,3,4，则矩阵A ?B 的特征值为 （4） 设线性空间R 3中的线性变换T 被定义为绕向量e 2=,010-T ，逆时针旋转一个θ 角的旋转变换，则变换T 的一个二维不变子空间是 （5） 设矩阵A 的UV 分解为A =[50 033064?1][1270250 02]，则矩阵A 的LDV 分解为 （6） 设函数矩阵A(t)=[10t 3t ]，则d(A ?1(t))dt = _____________________________ 三、 （12分）设P 为R 3中的正交投影，P 将空间R 3中的向量投影到平面π上， π=*(x y z )T |x +y ?z =0+，求P 在线性空间R 3的自然基*e 1 e 2 e 3+下的变换矩阵A 。 四、 （15分）设矩阵A =[3 1?112?1210 ]， （1） 求可逆矩阵P 和矩阵A 的Jordan 矩阵J A ，使得P -1AP = J A （2） 设参数t ≠0，求矩阵函数e At 和矩阵e At 的Jordan 矩阵J e At 五、 （15分）设矩阵A =[1 1111 ?1]，（1）求矩阵A 的奇异值分解 （2）求A + 六、 （15分）设矩阵A =[?120t ]，B =[1?2?10]，D =[132?3 ]，矩阵方程为AX+XB=D ， （1） 讨论t 为何值，矩阵方程有唯一解 （2） 在矩阵方程有唯一解时，求解其中的未知矩阵X 七、证明题（6分+7分=13分） （1） 如果矩阵A 是正规矩阵，且矩阵函数f(A)有意义，证明f(A)也是正规矩阵。（6分） （2）（7分）假设A ∈C n×n 是可逆的，证明： ‖A ‖2‖A ?1‖2=σmax σmin 其中σmax ，σmin 分别为A 的最大和最小的奇异值 Invitation Letter 格式：format of an invitation letter Heading（信头）, recipient’s address（收件人地址）, salutation（称谓）, body（正文）, closing （结束语）, end notations（结尾敬语及署名） 内容： 1 邀请对方参加什么活动，原因 2 活动安排的细节及注意事项，如：地点、时间等 3 表示希望对方接受邀请之类的话 [寄信人地址,写信时间] Lun Rinding Department of Computer Changwei College Weifang,Shandong 261000 P.R.China April 29, 2000 [正式信函收信人姓名,地址] Mr. Brain Smith, Admissions Office, Stanford University, Stanford, Calif. 94305 U.S.A. Dear Sir/Madam/Mr. Smith, [称谓] Professor Shirley Sanderson of your university said when she was visiting our college that Stanford might be able to provide scholarships for a limited number of students from China to pursue postgraduate studies there next term. Since I expect to receive my bachelor's degree in June, I would appreciate being considered a candidate. [第一段：引入/说明写信原委；或叙前谊] As you will notice from the enclosed data sheet, I am especially interested in computer science. You might like to know that during the past year I took all my elective courses in this field and wrote my thesis on traffic free city centers with computers. My knowledge and practical command of English is adequate. I've passed TOEFL and GRE with flying colors. [第二段：此段为信的主体，提出有关建议，劝说，说明，申请，投诉，介绍；商榷/讨论；描绘/叙述；致谢，致歉等等] I would be grateful if you could give me a favorable consideration of my application for a scholarship. [第三段：此段表达愿望/希冀，进一步要求，祝愿…] I look forward to hearing from you. [结束语] Yours sincerely,[礼貌落款] Lun Rinding [签名] 邀请信 示例一： Dear________, There will be a(n) ________________(内容) at/in________________(地点) on___________(时间). We would be honored to have you there with us. The occasion will start at ___________(具体时间). This will be followed by a _______(进一步的安排). At around______(时间)，____________________________(另一个安排) I really hope you can make it. RSVP（请回复）before ____________(通知你的最后期限) Yours sincerely Li Ming华科 C++期末考试试卷答案
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