高三数学知识点复习全称量词与存在量词

全称量词与存在量词

知识梳理

1、数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ?”与“?”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题

与存在性命题的逻辑关系中，,

∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们

p q p q

困惑的症结所在。

一般地，全称命题P：? x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：?x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：?x∈M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：?x∈M,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:?∈M, p(x）否定为? P: ?∈M, ? P（x）

P:?∈M, p(x）否定为? P: ?∈M, ? P（x）

典例剖析

题型一全称命题的否定

例1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）?x∈R，x2-2x+1≥0

题型二存在性命题的否定

例2：写出命题的否定

（1）p：?x∈R，x2＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 备选题

例3：写出下列命题的否定。 （1） 若x 2＞4 则x ＞2.。

（2） 若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。 （3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。

（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

点击双基

1、下列命题中，真．

命题是 （ ）

A. ,sin cos 1.5x R x x ?∈+= .B (0,),1x x e ?∈+∞>

C ．2,1x R x x ?∈+=

D ．(0,),sin cos x x x π?∈>

2、命题“存在x Z ∈，使2

2x x m ++≤0”的否定是（ ）

.A 存在x Z ∈使22x x m ++0> .B 不存在x Z ∈使22x x m ++0> .C 对任意x Z ∈使22x x m ++≤0 .D 对任意x Z ∈使22x x m ++0>

3、已知命题:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ??∈R ，sin 1x >

Ｄ．:p x ??∈R ，sin 1x >

4、若命题P ：2

,10,x R x ?∈->则命题P 的否定 . 5、以下为真命题的序号是

（1）2

,x R x x ?∈> （2）2

,x R x x ?∈> （3）2

,80x Q x ?∈-= （4）2

,20x R x ?∈+>

课外作业 一、选择

1、已知命题x x R x p sin ,:>∈?，则p 的否定形式为 （ ） A ．x x R x p sin ,:<∈?? B ．x x R x p sin ,:≤∈?? C ．x x R x p sin ,:≤∈?? D ．x

x R x p sin ,:<∈??

2、以下错误的是（ ）

A ．“对任意实数x ，均有x 2－2x+1≥0；”的否定为：“存在一个实数x ，使得x 2

－2x+1＜0”

B ．“存在一个实数x ，使得x 2－9=0” 的否定为：“不存在一个实数x ，使得x 2

－9=0” C ．“AB ∥CD ”且“AB=CD ” 的否定为：“AB 不平行于CD 或AB ≠CD ” D ．“△ABC 是直角三角形或等腰三角形” 的否定为：“△ABC 既不是直角三角形又不是等腰三角形”

3、以下错误的是（ ） A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则” B ．“x=1”是“0232

=+-x x ”的充分不必要条件 C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题

D ．对于命题使得R x p ∈?:012

<++x x ，则01,:2≥++∈??x x R x p 均有 4、命题“对任意的32

10x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在32

10x R x x ∈-+，≤ B ．存在32

10x R x x ∈-+，≤ C ．存在32

10x R x x ∈-+>，

D ．对任意的3

2

10x R x x ∈-+>，

5、命题“存在0x ∈R ，0

2

x ≤0”的否定是

A.不存在0x ∈R, 02x

>0 B.存在0x ∈R, 0

2

x ≥0

C.对任意的x ∈R, 2x

≤0 D.对任意的x ∈R, 2x

>0

6、已知:,10p x R x ?∈+>，:32q >，则下列判断错误的是：（ ）

A. “p q ∨”为真，“q ?”为假

B. “p q ∧”为假，“p ?”为真

C. “p q ∧”为假，“p ?

”为假 D. “p q ∧”为假，“p q ∨”为真

7、已知命题;2

5

sin ,:=∈?x R x p 使:,q x R ?∈命题都有210.x x ++>给出下列结论： ①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ?∧”是假命题 ③命题“q p ∨?”是真命题； ④命题“q p ?∨?”是假命题 其中正确的是（ ）.

A ．②④

B ．②③

C ．③④

D ．①②③

8、已知命题p:“[]2

1,2,0x x a ?∈-≥”，命题q:“2

,220x R x ax a ?∈++-=” 若“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}21a a a ≤-=或 B. {}

212a a ≤-≤≤或

C. {}1a a ≥

D. {}

21a a -≤≤ 二、填空

9、命题“21,2≥+∈?x R x ”的否定形式是______________________. 10、若命题“?x ∈R , 使x 2+ax +1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围为 . 11、下列命题是全称命题的序号为 （1）方程2x=5只有一解； （2）凡是质数都是奇数；

（3）方程2x 2＋1=0有实数根； （4）没有一个无理数不是实数；

（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行； （6）集合A ∩B 是集合A 的子集； 三、解答

12、写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p ：?m ∈R ，方程x 2

+x-m=0必有实根； （2）q ：?∈R ，使得x 2+x+1≤0；

13、写出下列命题的否定 （1）所有人都晨练；

（2）01,

2>++∈?x x R x ；

（3）平行四边形的对边相等； （4）01,2=+-∈?x x R x 。

14、用量词符号“??,”表述下列命题，并判断命题的真假.

（1）有一个实数，使得0322

=++x x ；（2）被8整除的数都能被4整除

思悟小结

1．开语句：语句中含有变量x 或y ，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这

种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.

2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：

(1) 全称量词

日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作x

?、y

?等，表示个体域里的所有个体。

(2) 存在量词

日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x?，y?等，表示个体域里有的个体。

3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:,()

?∈

x M p x

存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:,()

?∈

x M q x 注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。