量子力学态和力学量的表象
4.1 态的表象
The representation of the state
研 究 内 容
4.2 算符的矩阵表示
Matrix representation of operators
4.3 量子力学公式的矩阵表示 4.4 幺正变换
Unitary transformation
Matrix representation of formula for quantum mechanism
2
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
常 用 的 表 象
坐 标 表 象
动
能
量
表
量
表
象
象
角 动 量 表 象
3
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
7
§4.1 态的表象（续１）
(r , t ) 称为坐标表象中的状态波函数， C (P , t ) 称为动量表象中的状态波函数。
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
粒子的位置所得结果为 r 的几率。 2 是在 (r , t ) 所描写的状态中，测量 C ( P, t ) 粒子的动量所得结果为 P 的几率。
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
Chapter.4 Chapter.4 态和力学量的表象 态和力学量的表象
The representation for the states and The representation for the states and dynamical variable dynamical variable
命题 证
若 (r , t ) 是归一化波函数，则 C (P , t ) 也归一。
[ C ( p, t )
1 *( x, t ) ( x, t )dx
p
(x )dp ]* [ C ( p, t ) p (x )dp ]dx
p
C ( p , t ) C ( p, t )dp dp (x ) p (x )dx
2．Q 表象
ˆ 的正交归一的本征函数完备系： 力学量算符 Q un (r )
本征方程：
ˆ ( x) q u ( x) Qu n n n
n 1
任一状态 可按其展开： (r , t ) a n (t )u n (r )
◆
一个定义：
表象的定义
态在任意表象中的表示；
重 点 掌 握 的 内 容
◆
二个表示：
算符在任意表象中的表示。
在任意表象中 的表示
平均值公式 ◆三个公式： 本征值方程 薛定谔方程
◆
幺正变换的基本性质 狄喇克符号及应用
◆
产生算符、湮灭算符、粒子数算符及它 们 的物理意义
◆
5
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
1
引言
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
按量子力学基本原理，体系的状态用波函数描述， 力学量用线性厄米算符表示。前面所使用的波函数及 力学量算符是以坐标这个力学量算符的本征值为变量 写出它们的具体形式的。那么，是否还可以选择其它 力学量算符的本征值作为变量而写出波函数及力学量 算符的具体形式呢？回答是肯定的。这就是说量子力 学中波函数和力学量算符的描述方式不是唯一的，这 正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有 直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间 的描写是完全是等价的。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象
C (P , t ) 物理意义？ 2 (rபைடு நூலகம், t ) 是在 (r , t ) 所描写的状态中，测量
两者从不同的侧面描写粒子的状态 , 给出了粒子的 不同信息（力学量 r 和 P 的信息）。
8
§4.1 态的表象（续２）
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
i P r
组成 完备系
展开系数
(r , t )
1 C (P , t ) e 3/ 2 (2 )
d P
3
C (P , t )
1 (r , t ) e 3/ 2 (2 )
i P r 3
dr
构成付 里叶变 换与逆 变换
从数学上讲，知道其一, 必可唯一地求出另一。 (r , t ) 描述粒子状态，那么C (P , t ) 从物理角度看， 也可用于描述粒子同一状态。
主要数学工具 矩阵力学
矩
阵
6
§4.1 态的表象 1．态的动量表象
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
(r ) 动量算符本征函数： P
任一状态 可按其展开：
1 e 3/ 2 (2 )
i P r
4.5 狄喇克符号
Dirac symbols
4.6 线形谐振子与占有数表象
Linear oscillator and occupation number representation
4
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
C ( p , t ) * C ( p , t ) dp dp ( p p)
（归一化条件）
9
C ( p, t ) * C ( p, t )dp
§4.1 态的表象（续３）
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
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量子力学课件：4.1 态的表象
量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应
有确定值 x’本征函数是
δ(x'-x)。
这可由本征 值方程看出：
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量
p为变量的δ- 函数。
换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
x ( x x) x ( x x)
所以
x ( x) ( x x)
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
(x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
1 *( x, t)( x.t)dx
动量表象 C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/] C(p)=δ(p'-p)
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系摘要体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。
态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。
微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。
常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。
关键词态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。
ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是式中 是动量的本征函数，dxx t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ⎰=⎰=ψψψ/2/1)2(1)(ipx p ex -=πψ称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。
由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。
将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成dx t x dx t x w 2),(),(ψ=dpt p c dp t p w 2),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp pp p p/''')()()(),(),(-**⎰=ψ⎰=ψψψ/')'(t iEp e p p --=δ)()(),(x u t a t x n nn ∑=ψ上式两边乘 ，再对x 变化整个空间积分 即其物理意义是，体系处在ψ(x,t)所描述的状态时，力学量Q 具有确定值Qn 的几率为可以用一组数代替ψ(x,t)描写该状态。
态和力学量的表象
动量表象下的薛定谔方程(一维) 动量表象下的薛定谔方程(一维)
在动量表象中， 在动量表象中，动量算符就是动量自身 是势能算符， 是势能算符，即以坐标算符 对应于势能函数) 数(对应于势能函数) 为变量的算符函
√
动量表象(2/4) 动量表象(2/4)
谐振子势
坐标表象中的薛定谔方程
动量表象中的薛定谔方程
对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 二阶微分方程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程
√
动量表象(3/4) 动量表象(3/4)
线性势
坐标表象、 坐标表象、动量表象中的薛定谔方程
对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 与第二章“一维线性势阱”的结果一致) 求解 (与第二章“一维线性势阱”的结果一致)
算符 的表示的变换 表象中： 在 F 表象中：基矢为 表象中： 在 F' 表象中：基矢为
，算符 的矩阵元为 ，算符 的矩阵元为
√
线性谐振子与占有数表象(1/2) 线性谐振子与占有数表象(1/2)
线性谐振子的能级和波函数 湮灭算符 和产生算符
Microsoft Word 文档
为单位改变， 谐振子能量以 为单位改变，将这个 看作一个粒子 即粒子数减一， 使体系由 态变到 态，即粒子数减一，称湮灭算符 即粒子数加一， 使体系由 态变到 态，即粒子数加一，称产生算符
√
动量表象(1/4) 动量表象(1/4)
坐标表象和动量表象的对比
坐标表象的优点 容易写出边界条件，例如： 容易写出边界条件，例如：区分束缚态和散射态 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、谐振子势 动量表象的优点 某些势场下的薛定谔方程比较简单， 某些势场下的薛定谔方程比较简单，容易求解
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变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
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第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
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变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
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第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
量子力学 态和力学量表象
1 *( x, t)( x.t)dx
[ am (t)um ( x)]* an(t)un( x)dx
m
n
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
am * (t )an (t ) um * ( x)un ( x)dx
mn
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx C( p, t)*C( p, t)dpdp ( p p)
C( p, t)*C( p, t)dp
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在
?F
bn (t )
Fnm am (t )
m
F 在 Q 表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元
n 1,2,
简写成
写成矩阵形式
b1(t) F11 F12 F1m a1m a2(t)
bn(t)
Fn1
Fn2
Fnm
２ 算符的矩阵表示
（1）力学量算符的矩阵表示 （2）Q 表象中力学量算符F的性质 （3）Q 有连续本征值的情况
（1）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
Q表象：
假设只有分立本征值，将 Φ, Ψ按{un(x)}展开：
量子力学 态和力学量的表象
果在 x x dx 范围内的几率。 在 x, t 所描写的态中测量粒子动量所得结 | c p, t |2 dp ： 果在 p p dp 范围内的几率。 可以看出：当 x, t 已知，就可完全确定 c p, t 。 反之， 当 c p, t 已知，就可完全确定 x, t 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
第四章 表象理论1
(4.2-6)
因此算符 在Q表象中是一个矩阵, （4.2-6）式也可简写为:
称为矩阵元。
(4.2-7)
说明: 力学量算符 于表象基矢
在 表象中的矩阵元 依赖
2. 厄密矩阵 对其取复共轭得到 根据厄密算符的定义
故有:
(4.2-8)
(4.2-8)式表示算符在Q表象中的表示是一个厄密矩阵 。
补充： 1、转置矩阵：矩阵A的行列互换，所得的新矩阵称 为矩阵A的转置矩阵，用符号 表示。 即：如果,则由(43) 得到(4.1-5)
在动量表象中, 粒子具有确定动量p’ 的波函数是以动 量p为变量的函数: 同理可得: 在坐标表象中, 粒子具有确定坐标x’ 的波函数是以坐标x 为变量的函数: 坐标算符的本征值方程为:
(4.1-6)
2. 一般情况 在任意力学量Q 的表象中, 假设具有分立的本征值, 对应的本征函数是 :
体系的归一化条件 写成矩阵形式： 对表象的理解: (1) 状态ψ : 态矢量
(4.1-13)
(2) Q表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间)。
(3) 本征函数: (4) 基矢量的分量。
坐标系的基矢量。 是态矢量ψ 在表象中沿各
态矢 在 表象基矢上的分量
构成了 在 表象中的
表示 ，由于
构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不
故有：
内容小节
1、表象：量子力学中状态和力学量的具体表示方式 2、ψ(x,t) 态在动量表象中的表示：
其中： 3、ψ(x,t) 态在Q表象中的波函数是：
4、力学量F在Q表象中的表示 力学量F在Q表象中的表示是一个矩阵：
其中矩阵元： 算符在自身表象中是一个对角矩阵。
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
量子力学第4章(曾谨言)
15
ˆ ˆ 例题：求x、p x 和H在一维谐振子能量表象中的 矩阵表示。 【解】同理可得 p jk ia ( (k 1) / 2 j ,k 1 k / 2 j ,k 1 ) ( p jk ) ia 0 1/ 2 0 0 . 1/ 2 0 2/2 0 . 0 2/2 0 3/ 2 . . 0 . 3 / 2 . 0 . . . 0
已知a和a可以通过幺正变换相联系，即a Sa, S11 幺正矩阵S ( Sk ) S 21 . S12 S 22 . . . , Sk ( , k ) .
可以证明，矩阵L ( Lkj )和L ( L )可以通过 幺正矩阵S相变换：L SLS 1
因此，在离散表象中量子力学的诸方程的 形式如下：
20
1 ，两态正交： 0 (1)态的归一：
(2)力学量的平均值(若 已归一）
F F (3)本征方程： F ,
，
d H(t ), (4)Schrodinger方程： i dt
以上各式中的乘法均理解为矩阵（包括列、 行矢量）乘法。
c( p, t ) ( x )( x, t )dx,
p
( x)
p
1 i exp px 2
( x, t ) 和 c( p, t )
可以互求，它们包含同样多的信息。 称这样做是变换到了动量表象，
3
2 一般情形。力学量 Q ，本征值离散，本征集为 {q1 , q2 , } ，本征函数系为 {u1 ( x ), u2 ( x ), } 则波函数可以本征函数展开
( x, t ) an (t )un ( x),
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第4章 态和力学量的表象——第6章
换称为幺正变换。在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，如 (x) Sn n (x)
n
中，以 Sn 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。设态 在 A，B 表象中的矩阵表示分别为 a，
b，S 为两表象之间的幺正变换，则态在两表象之间的变换为
b S 1a ，算符在两表象之间的变换为 F ' S 1FS 。
1
(2) 2
动量本征函数，则
C( p,t) 即为该态在动量表象中的波函数。 C( p,t) 的物理意义为： C( p.t) 2 dp 表示在该态
中，测量粒子的动量所得结果在 p 到 p+dp 范围内的几率。
二、幺正变换
1．变换矩阵
满足 S S 1 的矩阵称为幺正矩阵，幺正矩阵不是厄米矩阵。由幺正矩阵所表示的变
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a1
(t
)
a2 (t) 函数，则 (x,t) 在力学量 Q 表象中矩阵表示可写为： 。
a
n (t
)
aq (t)
3．算符 F 在 Q 表象中的矩阵表示．
算符 F 在 Q 表象中对应一个矩阵（方阵），矩阵元是 Fnm un* Fumdx ，平均值公式是
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
（2）哈密顿量本征方程
H
p ( x)
1
i px
1e
(2 ) 2
本征方程
p p'
p ' p'
C( p,t) ( p' p) p ( p p' ) p' ( p p' )
5．一个典型的例子分析
n
中，以 Sn 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。设态 在 A，B 表象中的矩阵表示分别为 a，
b，S 为两表象之间的幺正变换，则态在两表象之间的变换为
b S 1a ，算符在两表象之间的变换为 F ' S 1FS 。
1
(2) 2
动量本征函数，则
C( p,t) 即为该态在动量表象中的波函数。 C( p,t) 的物理意义为： C( p.t) 2 dp 表示在该态
中，测量粒子的动量所得结果在 p 到 p+dp 范围内的几率。
二、幺正变换
1．变换矩阵
满足 S S 1 的矩阵称为幺正矩阵，幺正矩阵不是厄米矩阵。由幺正矩阵所表示的变
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a1
(t
)
a2 (t) 函数，则 (x,t) 在力学量 Q 表象中矩阵表示可写为： 。
a
n (t
)
aq (t)
3．算符 F 在 Q 表象中的矩阵表示．
算符 F 在 Q 表象中对应一个矩阵（方阵），矩阵元是 Fnm un* Fumdx ，平均值公式是
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
（2）哈密顿量本征方程
H
p ( x)
1
i px
1e
(2 ) 2
本征方程
p p'
p ' p'
C( p,t) ( p' p) p ( p p' ) p' ( p p' )
5．一个典型的例子分析
量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习
第四章态和力学量的表象第三章中介绍了量子力学中的力学量用厄米算符表示，力学量的测量值为算符的本征值，力学量取唯一确定值的状态为算符的本征函数，力学量本征函数的集合具有正交性和完备性，微观粒子的任何态函数可以用力学量算符的本征函数进行展开，展开系数为在该状态中取值的概率幅。
前面所用的波函数ψ(x，t)本身可以看成微观状态用坐标算符的本征函数展开的概率幅，由此可以求出它用任意力学量(或者力学量完全集)的本征函数展开的概率幅。
反之，如果知道了概率幅，也可以还原出波函数。
从这个意义上说，粒子微观状态可以用任意力学量的概率幅来完全描述，波函数只是一个特例。
我们把概率幅称为状态在相应力学量中的表象，量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
相应地，量子力学中的算符也可以有不同的表示形式，力学量算符的表象为厄米矩阵。
不同表象之间可以通过线性变换来相互联系，由于本征函数具有正交归一性，因此表象变换矩阵为幺正矩阵。
我们也可以脱离具体的表象来进行量子力学研究，这时状态用抽象的态矢量来表示，力学量用作用在态矢量空间上的抽象厄米算符来表示。
利用狄拉克方法，可以脱离具体表象来直接计算力学量的本征值和状态的演化规律，非常简洁。
本章的主要知识点有1．微观状态的表象(1)离散谱情况设力学量Q的本征方程为 (x)=qn un(x)，n∈Z，任意波函数ψ(x，t)取值qn 的概率幅为cn(t)=∫un*(x)ψ((x，t)dx，概率幅的全体可以用一个列向量ψ=(…，c(t)，c1(t)，c2(t)，…)T，简写为ψ=({cn(t)}) (4-1)来表示，称为状态ψ((x，t)在Q表象下的形式，简称状态ψ((x，t)的Q表象。
在离散谱的Q表象中，状态的归一化条件为(3)典型表象典型的离散表象有束缚态能量表象和角动量表象。
(3)混合谱情况有时候，力学量Q的本征值既有离散谱，又有连续谱。
这时Q表象下的波函数为归一化条件为力学量为具有分块矩阵形式．力学量对状态的作用为3．量子力学的抽象理论采用具体表象后，量子力学状态、力学量和物理公式都表现为矩阵的形式，历史上称之为矩阵力学。